机械控制工程基础课后答案(廉自生)

2-1什么是线性系统？其最重要特性是什么？

答：如果系统的数学模型是线性的，这种系统就叫做线性系统。线性系统最重要的特性，是适用于叠加原理。叠加原理说明，两个不同的作用函数（输入），同时作用于系统所产生

的响应（输出），等于两个作用函数单独作用的响应之和因此，线性系统对几个输入

量同时作用而产生的响应，可以一个一个地处理，然后对它们的响应结果进行叠加。

2-2 分别求出图（题2-2）所示各系统的微分方程。

)

()

(t f t y k

m

(a )

)

(t y )

(t f 2

1

k k m

(b )

c c 1

2

m x x i

o

(c )

1k 2

k o

i

x x c

(d )

i

o

c

(e )

解：)(a )()()(t f t ky t y m =+ )(b )()()()(21t f t y k k t y m =++

⋅

⋅⋅⋅+=-02010))((x c x m c x x

c i 2

12110)()()()

(K K s K K c cs

K s X s X d i ++= 02010)())((x K c x x

K x x e i i =-+-⋅

⋅

2-3 求图（题2-3）所示的传递函数，并写出两系统的无阻尼固有频率n ω及阻尼比ξ的表达式。

x i

x o

c

k

m

(a )

C

u u o

i

L

R

(b )

解：图)(a 有：m

k s m c s m

k s G +

+=

2)( m k n =

ω mk

C

2=ξ 图)(b 有：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=++=⎰⎰idt C V idt C R L V i i i 110

∴ LC

s L R s LC s G 11

)(2+

+=

LC n 1=ω L

C

R 2=ξ 2-4 求图（题2-4）所示机械系统的传递函数。图中M 为输入转矩，m C 为圆周阻尼，J

为转动惯量。（应注意消去θ

θ ,及θ ） x

题2-4

解：由已知可知输入量M 与输出量θ之间的关系为：

M k C J m =++θθθ

经拉氏变换后为：)()()(2

s M k s s C s Js m =++θθθ

∴ 222

222/11)()

()(n

n n

m m s J

k s J C s J k s C Js s M s s G ωξωωθ++=++=++== 其中，J k n =

ω Jk

C m

2=ξ

2-5 已知滑阀节流口流量方程式为)/2(v ρωp x c Q =，式中，Q 为通过节流阀流口的流量；p 为节流阀流口的前后油压差；v x 为节流阀的位移量；c 为流量系数；ω为节流口

面积梯度；ρ为油密度。

试以Q 与p 为变量（即将Q 作为p 的函数）将节流阀量方程线性化。

解：如果系统的平衡工作状态相应于Q p ,，那么方程)/2(v ρωp x c Q =可以在(Q p ,)点附近展开成Taylor 级数：

+-∂∂+-∂∂+==22

2)(!21)()()(p p p

f

p p p f p f p f Q 式中 ,,22dp

f

d dp df 均在p p =点进行计算。因为假定p p -很小，我们可以忽略p p -的高阶项。因此，方程可以写成

)(P P k Q Q -+=或)(p p k Q Q -=-

式中 )(p f Q = p p dp

df

k ==

因此，方程)](2/)/2(2[)/2(v p p p p x c p x c Q v -+=ρωρω就是由方程

)/2(v ρωp x c Q =定义的非线性系统的线性化数学模型。

2-6试分析当反馈环节1)(=s H ,前向通道传递函数)(s G 分别为惯性环节，微分环节，积分环节时，输入，输出的闭环传递函数。 解：∵ )

()()

()(s G s H s G s G B =

惯性环节：1

)(1+=Ts k

s G ∴ k

Ts k

Ts k Ts k s G B ++=+++=

1)1/(1)1/()(

微分环节：Ts s G =)(2 ∴Ts

Ts

s G B +=

1)( 积分环节：Ts

s G 1)(3= ∴ Ts

s G B +=

11

)( 2-7证明图（题2-7）所示两系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同形式）。

o

x i

x c ()

a (

b )

解：根据图)(a 的已知内容可得：

11R C I I I += ①

011V IR R V i += ②

⎰

+

=idt C i R V 2201

③ ⎰=

dt i C IR R C 11

111

④ 由②有：1

1R V V i i R -=

③求导：2

20C i i R V +

= ②求导：0

1

0111V c i V R i R V C i +=

+= 1

0)(1C V V i i C -= 101

)(11C V V R V V i i i i i C R -+-=

+= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=10102101020)(1)(C V V R V V C C V V R V V R V i i i i ∴ 1

)(1

)()()(1122212121221121210+++++++=

=

s C R C R C R s R R C C s C R s C R s R R C C s V s V s G i