大学物理 《物理与文化》 答案

利用泡沫水泥铺道以增大摩擦阻力，使飞机减速。今设飞机
质量为1.75105 kg , v 26.8 m / s ，要求它在S=122m距离内 停下来，问：
（a）飞机的加速度为a=？
（b）飞机的轮胎受到的摩擦阻力F=？
解：（a）由2-1题知 s v 2
即
2a
a v2 26.82 2.94m / s2 2s 2122
量为m，半径为R）与地面刚接触时有平动速度 v0 （无转动） ， 球行进s距离后变为无滑动的纯滚动，质心速度降为 ，试v证明
（略去空气阻力） ： （a）从球触地的时刻（t=0）起，球将获得一角加速度 5k g
2R
（b）到t=T时，球面与地面的接触点P对地的速度恰好将为
零，球的滚动变为无滑动的，此后质心 速度 和球的转动
m2 m2
v0
v2

2m1 m1 m2
v0
（b）若 m1 m2 时，由上两式得：
v1 0
v2 v0
2-5一维空间完全弹性碰撞。在2-4题中，假设 m1 以速度 v0 碰 撞m2时，两者立刻粘在一起，问：合并后的速度 v f ? 初态 动能有多少变成热能了？当 m1 m2 时是多少？
定车速适当，轮胎与地面之间无横向的摩擦力）的合力刚好沿x 轴方向，提供了汽车转弯时所必需的向心力。如设计车速为
20.5 m/s，弯道半径r=85m，问地面倾斜角度应设计为多少？
合力沿x轴方向：
F sin m 2
r
F cos mg
联立上两式得：
tg 2
rg
2-12你打过保龄球（滚木球，bowling）吗？设你掷出的球（质
cos

1
m12v 2 2gl(m1 m2 )2
cos

1
0.022 10002 210 2 (0.02 10)2
（b）动量守恒： m1v m1v1 m2v2
能量守恒：
1 2
m1v
2

1 2
m1v12

1 2
m2v22
联立上两式得：
v1

m1 m1

m2 m2
v
面碰撞。假设碰撞是完全弹性的（即不产生热量或形变）
（a）试计算碰撞后两小球各自的速度
v1
和
v
（都沿x轴）
2
（b）讨论 m1 m2 的特殊情况。
解：（a）动量守恒： m1v0 m1v1 m2v2
能量守恒：
1 2
m1v02

1 2
m1v12

1 2
m2v22
联立上两式得：
v1

m1 m1

3-4 两个同位素原子 235U (m 3.901025 kg) 和
238U (m 3.951025 kg) 被一次电离（各带正电荷e），都 以相同速度 1.05105 m / s 进入质谱仪，质谱仪中的均有磁 场的磁感应强度为0.750T，求两个带电粒子在磁场中偏转 半个圆轨道后所分离的距离d 。如图所示，假定磁场垂直 直面向外。
角速度将保持不变 t 。求证：在从0到T时间内，球心
的平均加速度 a k g 0, T
当t T
时，v
5 7
v0 ,

5v0 7R
,

2v0 ;
7k g 滑行距离
s 12v02
49k g
（c） 摩擦力对球在0到T时间内施加的冲量等于球平动动量
的减少量
2 7
m0
3-1 试证明在库仑定律成立的情况下，一均匀带电的球壳内 任一点都不受到电场力作用，即球壳上所有电荷对放在这一 点的电荷所产生的电场力之合力为零。
碰撞后反弹回去，试计算 之值。
（c）在上面两种情况下，当摆开始 （处于垂直位置）摆动时，问绳子的 张力各为多少？

l
m1
v
h m2
解: (a) 动量守恒： m1v (m1 m2 )v1
机械能守恒：
1 2
(m1

m2 )v12

(m1

m2 )gh
h l(1 cos )
联立上三式：
分比是多少？此时飞机得到的空气浮力占它静止时重量的百分比
是多少？ （b）当一个宇航员乘宇宙飞船在大气层之外以第一宇宙速度
[见（2-4-3）式]1 7.9km / s 绕地球飞行时，他处在什么状态？
[将此情形与（a）中的飞机乘客比较，可体会航天与航空两种技
术的不同]。
（a）：
2
2
m / mg 0.14%
PBD 和 PCA 相似： BD / AC PD / PA
因此： F1 F2
3-2 通过两平行直导线的电流都为2.2A，且方向相同，导 线间距为7.5cm，求作用在两导线单位长度（l=1cm)上的 吸引力的大小？
解：根据安培定律，两平行载流长直导线的吸引力为：
F 0I1I2 l 4 107 2.22 1.29N
F

m2 g

m

2 2
l
2-8下面是四种天体的半径R和质量m的数值，试从公式（2-4-7） 出发，计算在这些天体表面的重力加速度g值填入表内。
天体 质量m/kg 半径R/m 表面重力加速度
地球 5.9741024 月球 7.41022
6.378 106 1.738 106
9.799 1.634
向与磁场方向夹角为 550 ，试求（a）均匀磁场的磁感应
强度；（b）作用在带电粒子2上的磁场力的大小。
解： 运动的电荷在磁场中受到的力为： F q B
（a）:
B

F1
q11

4.25 103 3.60106 862
1.37
T
（b）:
F2 q22B sin2 53.0106 1.3103 1.37 sin 550 0.00773 N
太阳 1.9891030
中子 星
2.81030 m
g G R2
6.96 108 1104
2.740 102 1.868 1012
G 6.6726 1011 N m2 / kg2
2-9（a）一个人在高空乘飞机的速度 v 300m / s（亚声速）绕
地球飞行时，它的体重（可用磅秤检验）比平时的mg减少的百
解：动量守恒： m1v0 (m1 m2 )v f
vf

m1v0 m1 m2
动能损失为： 1 2
m1v02

1 2
(m1

m2 )v f 2

1 2
m1m2 m1 m2
v02
若m1 m2 ：
vf

1 2 v0
动能损失为：
1 2
m1v02

1 2
(m1

m2 )v f
2

1 4
m1v02
解： 因很小，因此球壳上对应的小面积近似为平面，
小面积 S1 和 S2 的带电量分别为（其中为 球壳上电荷
的面密度） ：
q1


(1 2
BD)2
q2
(1
2
AC)2
S1 和 S2 上的电荷在p点产生的电场力为：
F1

k
qq1 PD2
F2

k
qq2 PA2
（方向相反）
加速度方向与飞机运动方向相反
（b）根据牛顿第二定律摩擦阻力
F ma 1.75105 2.94 5.145105 N
注意：由一维情况位置矢量、速度矢量、加速度矢量微、积 分关系知：（选飞机运动方向为正方向）
t
0 v 0 adt
t
s 0 vdt
v at s 1 at 2
为标量式。即：r v a （包含正负号）
解：（a）飞机从静止开始做加速度为a匀加速运动，故
t
v 0 adt
t
s 0 vdt
v at s 1 at 2
2
v2 s
2a
（b）4倍
（c） s v02 952 2051.1m 2a 2 2.2
s v02 2a
2-2飞机迫降时需在较短距离S内使其速度从 v 降到0 ，有时
解：两个带电粒子在磁场中的轨道半径为：
r1

m11
q1 B

3.901025 1.05105 1.6021019 0.750
34.1cm
r2

m22
q2 B

3.951025 1.05105 1.6021019 0.750
34.5cm
两个带电粒子分离的距离d：d=0.8 cm
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
机械能守恒： 车对轨道无压力
mgh 2Rmg 1 m 2
2
mg m 2
R
联立上两式得：
5 h R
2
2-11汽车转弯：当一辆汽车在高速公路上转弯时，弯道并不是水 平的。如图所示，图上x轴沿水平方向，y轴沿铅直方向，地面与
-x轴成 角度，则汽车所受重力W=mg与地面反作用力FN（假
2-6火箭喷气推进原理。如图2-5-3所示，设在 t 时间内火箭尾部 喷出燃料气体质量为m ，离开喷口时的速率为u，则火箭受到 的推力F u m ，即 t 时间内火箭受到的冲量I Ft um
t 设 u 2km / s ，每秒喷出气体为1000kg，计算F 之值。
解： F u m 2103 1000 2106 N t
2-1飞机离地起飞时需达到一起飞速度 v0 ，因此需要在一条长 度为s的跑道上从静止状态开始不断地加速到v0 ，且假定是匀
加速运动 。
（a）设一架飞机A的加速度为a，求证s v02 / 2a
（b）设另一架飞机B的加速度也为a，但需要 v0 值为飞机A
的两倍，问跑道长度需增加到几倍？
（c）若a 2.2m / s2 v0 95m / s ，计算跑道长度s值。
2 d
2 7.5
3-3 在图中，两个带电粒子运动在均匀磁场中，粒子1所带电
荷量为 q1 3.60C ,速率为 1 862m / s ，速度方向与磁 场方向成 900 ，所受磁场力 F1 为 4.25103 N 。粒子2所 带电荷量 q2 53.0C ，速度 2 1.3103 m / s ，速度方
解：（a）由动量定义式 P mv 得：
一维情况：接触前
Pi mvi 0.145 (40.2) 5.829kg m / s
接触后： Pf mv f 0.145 26 3.77kg m / s
（b）由动量定理
I
t
0 Fdt P mv f mvi
2-7冲击摆。如图，用一根绳子从固定点悬挂一个沙袋，开始时
处于铅值位置，当一子弹从左方以速度 v 射入沙袋，陷在里面后
一起摆动到 角度后静止。
（a）设子弹质量为 m1 0.02 kg 沙袋质量为 m2 10 kg，
v 1000 m / s 绳长 l 2m ，试计算 之值。
（b）假如将沙袋换为一块钢，子弹做完全弹性
得：
I Ft P m(v f vi ) 0.145(26 40.2) 9.599N s
平均力：
F

I t

9.599 1.2 103

4.80104 N
2-4一维空间完全弹性碰撞。设光滑水平面上，一个小球质量
为 m1 ，沿x轴以速度 v0 与原来静止的质量为 m2 的小球发生正
3-5 一个磁场，它的方向与一个长方形面 (5.5cm7.2cm)
知识点：位置矢量、速度矢量、加速度矢量的微分、积分关
系
v dr a dv
dt
dt
t
r (t) r (t0 )
vdt
t0
t
v(t) v(t0 )
adt
t0
初始条件：t t0 时 r r (t0 ) v v(t0 )
注意：对于一维情况位置矢量、速度矢量、加速度矢量可写
2
v2 a
2s
为什么有负号？
2-3棒球运动中的力学：站在右方的投球员以vi 40.2m / s
的速度（负号表示速度方向向左）投向站在左方的击球员，后者
挥棒使球反向以 v f 26m / s 的速度被击出。设球的质量为 m=0.145kg ，击出时间 t 1.2ms ，问：
（a）棒球与棒接触前后的动量各为多少？ （b）棒对球冲量和平均力各为多少？
R
Rg
2
(mg m ) / mg 99.86% R
（b）： 失重状态
G
Mm R2

mg

m 2
R
2-10如图，在游乐场中一人缚在滑车内从高度为h的A点沿光滑 轨道下滑，进入一半径为R的圆轨道后，到达高为2R的顶点B时， 人刚好处于失重状态（即车对轨道无压力）。试证明初始高度需 达到 h 5 R （摩擦力略去不计）
1 0.996
v2

2m1 m1 m2
v
对钢块机械能守恒：
1 2
m2v22

m2 gh
h l(1 cos )
2 0.00399
cos 1 v22
2gl
(c) 上两种情况下，绳子的张力
(a) 时： (b) 时：
F

(m1

m2
)g

(m1

m2
) 12
l