粒子势能满足的边界条件(精)
18.0 薛定谔方程及其应用
一维运动粒子的含时薛定谔方程
Ψ ( x , t ) = ψ ( x )φ (t ) = ψ 0 ( x ) e
2 2
− i 2 π Et / h
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 运动粒子的定态
d ψ 8π m + ( E − E p )ψ ( x ) = 0 2 2 dx h
一. 物质波的波函数
微观粒子 具有波动性
1925年薛定谔 年薛定谔
用物质波波函数描述 微观粒子的概率波
轴正方向运动，由于其能量、动量为常量， 例如 自由粒子沿 x 轴正方向运动，由于其能量、动量为常量， 不随时间变化，其物质波是单色平面波， 所以 v 、 λ 不随时间变化，其物质波是单色平面波，波 函数为
r 2 r * r dW =|Ψ(r,t)| dV =Ψ(r,t)Ψ (r,t)dV
2. 归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为 粒子在整个空间出现的概率为1) 粒子在整个空间出现的概率为
r 2 ∫∫∫|Ψ(r,t)| dxdydz =1
3. 波函数必须单值、有限、连续 波函数必须单值、有限、 概率密度在任一处都是唯一、有限的 概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续
2
归一化条件 归一化条件
2 a A sin 2 0
∫−∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
* 0
a
∫
nπ xd x = 1 a
2 A= a
ψ ( x) =
2 nπ sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a
d ψ 8π mE + ψ = 0 ∞ Ep ∞ 波动方程 2 2 dx h
2 2
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
§2.2 方势
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrödinger 方程来处 理一类简单的问题——一维定态问题。 这样讨论的意义有： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其它基本原理；
（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论， 量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；
x a/2
, x a / 2
求粒子的能量和本征函数。
讨论
(1) 粒子的最低能量不为零
E1
2π 2
2ma 2
利用不确定性关系也可求解：
x ~ a p ~ / x a / x 则 E ~ p2 / 2m ~ (p)2 / 2m ~ 2 / 2ma 2 0
(2)波函数的对称性 当n奇数时，波函数为对称的
证明：按照假设有
ψ1
2m 2
[E
V
( x )]ψ1
0
(14)
ψ2
2m 2
[E
V
( x )]ψ 2
0
(15)
ψ1 (15) ψ2 (14) ψ1ψ2 ψ2ψ1 0
即 积分得
(ψ1ψ2 ψ2ψ1) 0 ψ1ψ2 ψ2ψ1 C
--------证毕
定理 7 设粒子在规则势场V(x)（(V(x)中无奇点)中运动，若存在
（4）一维问题是处理各种复杂问题的基础。
2.2.1 无限深方势阱， 离散谱
求解 S — 方程 分四步：
V(x)
（1）列出各势域的一维S—方程 I
II
III
（2）解方程
（3）使用波函数标准条件定解
（4）确定归一化系数
0
a
势函数
V
(
x)
一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数
一粒子在一维势场中运动,求粒子的能级和对应的波函数一维势场是指只存在一个空间维度上的势能，并且可以用一个实函数V(x)描述。
假设一个带电粒子（例如电子）在一维势场中运动，其所受的动能为T，势能为V，则其总能量E=T+V。
由于势场只存在于一维空间中，因此可以使用Schrödinger方程来描述带电粒子的运动。
根据Schrödinger方程的解析式和边界条件，可以求出粒子的能级和对应的波函数。
下面，将逐步介绍一粒子在一维势场中运动的过程，包括求粒子的能级和对应的波函数的方法。
具体如下：一、Schrödinger方程一粒子的运动可以用薛定谔方程描述，即：HΨ(x) = EΨ(x)其中，H是哈密顿算符，Ψ(x)是波函数，E是总能量。
在一维势场中，H的形式为：H = -(h²/2m) ∂²/∂x² + V(x)其中，h是普朗克常数，m是带电粒子的质量，V(x)是一维势能。
二、求粒子的能级和对应的波函数1. 首先，需要根据一维势场的特性和边界条件来确定粒子的波函数形式。
例如，如果一个实函数V(x)在无限远处趋近于零，那么可以假设粒子的波函数也在无限远处趋近于零。
2. 根据波函数的形式和Schrödinger方程，可以求出粒子的能级和对应的波函数。
在求解过程中，需要注意以下几点：a. 在一维势场的不同区域，波函数的形式可能不同。
例如，在势阱中，波函数可以是正弦函数或余弦函数，在势垒中，波函数可以是指数函数或衰减函数。
b. 计算过程中需要使用边界条件，例如波函数在无限远处趋近于零，以及波函数在势场的交界处连续、导数连续。
c. 对于一些特殊的势场，例如谐振子势场，可以使用已知的解析式求解粒子的能级和对应的波函数。
三、总结对于一粒子在一维势场中的运动，粒子的能级和对应的波函数是根据Schrödinger方程和边界条件求解得出的。
在求解过程中需要注意不同势场区域波函数的形式、边界条件的使用和特殊势场解析式的应用等问题。
势箱中粒子的波函数与边界条件
势箱中粒子的波函数与边界条件陈兰;孙宏伟;赖城明【摘要】在自由粒子的基础上,讨论了一维势箱中的粒子和圆环上的粒子.分析了边界条件对粒子能级的限制,说明了如何根据边界条件对波函数进行取舍等问题.【期刊名称】《大学化学》【年(卷),期】2017(032)005【总页数】4页(P77-80)【关键词】结构化学;势箱中的粒子;边界条件【作者】陈兰;孙宏伟;赖城明【作者单位】南开大学化学学院,天津300071;南开大学化学学院,天津300071;南开大学化学学院,天津300071【正文语种】中文【中图分类】G64;O641结构化学中在讨论势箱中的粒子和氢原子时，都会涉及到形如的微分方程。
从数学上讲，它有两个复数形式的线性独立特解exp(±i|k| x)；将它们进行适当的线性组合，可以得到两个实数形式的线性独立特解cos(|k| x)和sin(|k| x)。
在结构化学教学中，一维势箱采用实数解，而环形势箱和氢原子则既可采用复数解，也可采用实数解，这一点经常让学生产生困惑。
本文从一维自由运动的粒子入手，分析了教材中通常采用的复数解和实数解的特点及其物理意义；在自由粒子的基础上，结合不同的边界条件，讨论了一维势箱中的粒子和圆环上的粒子这两类典型的体系，着重说明了边界条件对粒子能级的限制以及解的取舍等问题。
质量为m的粒子沿x轴作自由运动，其定态Schrödinger方程为：令其复数形式的通解为ψ(x)=c1exp(i|p| xħ)+c2exp(－i|p| xħ)，实数形式的通解为ψ(x)=c1cos(|p| xħ)+c2sin(|p| xħ)。
通常采用形式最为简单的复数特解exp(±i|p| xħ)或实数特解cos(|p| xħ)和sin(|p| xħ)这两对线性独立的解表示粒子的状态，复数解和实数解描述不同的运动方式。
首先看复数解ψ(x)=Aexp(i|p| xħ)，当考虑状态随时间演化时，粒子的状态要用Ψ(x,t)=ψ(x) f(t)表示[1]，其中f(t)=exp(－iEt ħ)，那么就有：这是从粒性上对粒子的表征。
材料物理学ppt课件
式中k， 4202m；k弹性系数 0固 ；有频率
代入薛定谔方程， 得到谐振子的运动微分方程：
2 2 V E
2m
2 2m
d 2
dx2
2
2m02 x2
E
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的几率 ），波函数是空间和时间的函数，并且是复数，
即Φ = Φ(x，y，z，t)
自由粒子(动量、能量不随时间或位置改变）的波函数：
2 i ( px Et )
0e h
r,t
Ae
i
( Et
pr )
0 、 A 常数
（描述自由粒子的波是平面波）
波函数的性质：波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变（粒子在 空间各点出现的几率总和等于1，所以粒子在空间各点出现的几率只决定于 波函数在各点强度的比例，而不决定于强度的绝对大小）。
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
量子力学的应用
⑴一维势阱问题 势阱—在某一定区域内，势能有固定的值。 设一粒子处于势能为V的势场中，沿x方向做一维运动，势能满足下列边界条件：
V
0xa，Vx0
x0和xa，Vx
t
(1.6)
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
③定态薛定谔方程 由于势能与时间无关，薛定谔方程可进行简化．设方程的一种特解为：
x ,y ,z .t. x ,y ,z ft
第三章 箱中的粒子
1 1 sin ni t sin n j t cos[( ni n j )t ] cos[( ni n j )t ] 2 2
j dx 于是： i *
2
0
1 2 1 cos[(ni n j )t ]dt cos[(ni n j )t ]dt 2 0 2
1/ 2
c2e
i ( 2mE )1 / 2 x /
(2mE) x /
II c1e c2e
i
i
由于：
e cos i sin
(c1 c2 ) cos i(c1 c2 ) sin A cos B sin
i
则： II c1 cos ic1 sin c2 cos ic2 sin
2
上述方程为常系数二阶线齐次方程，其辅助方程为：
s 2 2m E 2 0
此，上式可写为：
s 2mE
1
1
此处能量E为势能（为零）加上动能，所以为正的，因
s i 2mE
代入常系数二阶线齐次方程的通解公式，得：
II c1e
暂令： 则：
i ( 2mE )1 / 2 x /
1 1/ 2 1 1/ 2 A cos[ ( 2 mE ) x ] B sin[ ( 2 mE ) x] 于是： II
下面利用边界条件求任意常数A与B。
由于波函数是连续的，其值不会发生突跃。
若ψ在x=0点连续，则ψI和ψII在x=0处必趋于同一值，即：
lim I lim II
一维势箱波函数的正交归一性
对于一维势箱中特定的波函数Ψi，其量子数为ni，则：
《固体物理》第六章 自由电子气
如何确定非平衡状态下电子的分布函数呢？ 玻尔兹曼方程是用来研究非平衡状态下电子的分布函数的 方程。 由于玻尔兹曼方程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能 面是球面，且在各向尔兹曼方程的微分积分方程
I2(kBT)2０ (ee1)22d
计
算I２得 π62(kBT)2， 因
此 将g(E)2CE32代入
3
N I 0 g ( E F ) I 1 g ( E F ) I 2 g ( E F )得：
.
N I 0 g ( E F ) I 1 g ( E F ) I 2 g ( E F )得:
----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
.
驻波边界条件 常用边界条件
周期性边界条件
x, y,zxL, y,z
x, y,zx, yL,z
x, y,zx, y,zL
k
(r
)
Ae ikr
E
2k 2 2m
2 2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射
回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对
E
0 F
由上式可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均
能量，这与经典的结果是截然不同的。
.
(2) 当T 0K时 ，
N CE1 2 f (E )dE ０
2 Cf ( E )E 3 2 2 C E 3 2 f dE (分步积分得来)
3
03 0
E
2 C E 3 2 f dE
,kz
2πnz L
(1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：
量子力学答案 苏汝铿 第二章课后答案2.4-2#05
由其它边界条件，又有
A1 sin k1a A2e k2 a B2e k2 a , A1k1 cos k1a A2 k2e k2 a B2 k2e k2 a ; A3 sin k1a A2e k2 ( a b ) B2e k2 ( a b ) , A3k1 cos k1a A2 k2e k2 ( a b ) B2 k2e k2 ( a b ) .
改写上式可得关于不全为 0 系数 ( A1 , A2 , B2 , A3 ) 的线性方程组：
A1 sin k1a
A2e k2a
B2e k2a B2 k2 e k2 a
0, 0, A3 sin k1a 0,
A1k1 cos k1a A2 k2e k2 a
A2 ek2 ( a b ) B2e k2 ( a b )
U0 ) U0 )
2.4 粒子处在势能
பைடு நூலகம்
（当x<0和x>2a+b） U x 0（当0 x a和a+b x 2a+b） U（当a<x<a+b） 0
的场中运动，求在能量小于 U 0 的情况下，决定能量的关系式。 解：
势能如上图所示。 薛定谔方程是：
1 k12 1 =0,
由薛定谔方程及边界条件 1 (0) 0 和 3 (2a b) 0 ，我们有
1 ( x) A1 sin k1 x, 2 ( x) A2ek x B2e k x , 3 ( x) A3 sin[k1 ( x 2a b)],
2 2
当0 x a; 当a x a b; 当a b x 2a b.
即
薛定谔方程
波函数
薛定谔方程
一、波函数 r ψ (r , t ) 用来描述微观粒子的运动状态 1、经典的波函数 x − i2π(ν t − ) x 复数形式 λ 平面波 y ( x , t ) = A cos 2π (νt − ) Ae → 经典波为实 经典波为实函数
λ
y ( x , t ) = Re[ A e
Ψ ( x, t ) = ψ 0 e
−i 2̟ ( Et − px ) h
∂ 2Ψ 4π 2 p 2 =− Ψ 2 2 ∂x h
∂Ψ i2π =− EΨ ∂t h p2 E= 2m
h ∂ Ψ h ∂Ψ − =i 2 2 8 ̟ m ∂x 2 ̟ ∂t
2 2
一维运动自由粒子 的薛定谔方程
2、势场中一维运动粒子 、
Ψ ( x , t ) = ψ ( x )φ (t ) = ψ 0 ( x ) e d 2ψ 8 π 2 m + ( E − E p )ψ ( x ) = 0 2 2
dx
− i 2 πEt / h
h 势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
4、三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 、 ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 8 π 2 m + 2 + 2 + 2 ( E − Ep )ψ = 0 2 ∂x ∂y ∂z h ∂2 ∂2 ∂2 2 + 2 + 2 =∇ 拉普拉斯算符 2 ∂x ∂y ∂z
Ψ d V = ΨΨ d V
波函数ψ本身没有实际的物理意义，但 Ψ 有意义， 本身没有实际的物理意义， 有意义， 表示概率密度。 表示概率密度。
2
4、波函数必须满足的条件 、 整个空间内发现粒子的 （1）归一化条件：某一时刻在整个空间内发现粒子的 ）归一化条件：某一时刻在整个空间 概率为1 概率为1。
量子力学曾谨言习题解答第三章
第三章： 一维定态问题[1]对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明2a x =）（）（22226112πn ax x -=- 并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数： ()ax n ax n πsin2=ψ （1）先计算坐标平均值：xdx axn axdx ax n axdx x aaa）（⎰⎰⎰-==ψ=222cos11sin2ππ 利用公式：2sin cos sin ppx p pxx pxdx x +-=⎰（2）得2c o s s i n c o s ppx ppxx pxdx x +-=⎰（3）22cos 22sin 221022a a x n n a a x n x n a xa x a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ计算均方根值用()x x x x x ，）（222-=-以知，可计算2xdx axn x adx axn x adx x xaa）（⎰⎰⎰-==ψ=2222222cos11sin2ππ 利用公式px ppx x ppx x ppxdx x sin 1cos 2sin 1cos 3222-+=⎰（5）aa x n x n a a x n n a x n a x a x222222cos 222sin 22311πππππ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=222223πn aa-=()22222222223⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-a n aaxx x x π）（ 2222212πn aa-=（6）在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度a1=ω。
210a xdx axdx x aa===⎰⎰ω31222adx x axa==⎰()22222222223⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-a n aaxx x x π）（ 故当∞→n 时二者相一致。
#[2]试求在不对称势力阱中粒子的能级。
第三章 箱中的粒子
limψ I = limψ II
x →0
−1
x →0
0 = lim A cos[h (2mE )
x →0
{
1/ 2
x] + B sin[h (2mE )
−1
1/ 2
x]
}
A＝0
2π 则： ψ II = B sin[ (2mE )1/ 2 x] h
运用x=l处的连续条件， 运用 处的连续条件，得： 处的连续条件
1 dψ ψ= 2 ∞ dx
2
于是，箱外的波函数为零， 于是，箱外的波函数为零，即：
ψ I = 0, ψ III = 0
V(x)= 区II，势能V为零。其薛定谔方程为： II，势能V为零。其薛定谔方程为： V(x)= II I V(x)= 0 III
d ψ II 2m + 2 Eψ II = 0 2 dx h
2π 1/ 2 B sin[ (2mE ) l ] = 0 h
(B不能为零，否则波函数处处为零，将有一个空箱) 不能为零，否则波函数处处为零，将有一个空箱 不能为零
2π 所以： 所以： sin[ (2mE )1/ 2 l ] = 0 h
在0，±π，±2π，±3π，…时，正弦函数为零。则： ， ， ， ， 时 正弦函数为零。
只有上式中的能量值才能使ψ满足在 处连续的边界条件 只有上式中的能量值才能使 满足在x=l处连续的边界条件，并 满足在 处连续的边界条件， 且可以看出箱中粒子的能量是量子化的，有一大于零的极小值， 且可以看出箱中粒子的能量是量子化的，有一大于零的极小值， 这与经典的结果相反（可以存在任何非负能量） 这与经典的结果相反（可以存在任何非负能量）。
（i＝j） ＝）
那么， 对应于不同能级的波函数时（ ） 那么 ， 对应于不同能级的波函数时 （ i≠j） 上述积分的 值是多少？ 值是多少？即：
量子力学简介
令
k
2mE 2
o Lx
d2
dx2
k 2
0
谐振方程
(x) Asin kx B coskx
13 - 3 量子力学简介
第十三章 量子物理
(x) Asin kx B coskx
波函数的标准条件：单值、有限和连续 .
x 0, (0) 0 有 B 0 (x) Asin kx
a
因0<x<a/2,故得
xa 2
粒子出现的概率最大。
13 - 3 量子力学简介
第十三章 量子物理
薛定谔（Erwin Schro..dinger， 1887~1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学,并建立了量子 力学的近似方法 .
量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 .
0
L
A 2 L
(x) 2 sin n π x , (0 x L)
LL
(
x,
t
)
2 sin np x ei Et
LL
(n 1,2......)( 0 x L)
0
( x 0, x L)
13 - 3 量子力学简介
第十三章 量子物理
讨论 1、能量量子化
x L, (L) 0 有 A 0
只有
sinkL 0
kL np , n 1,2,3
k np
L
13 - 3 量子力学简介
第十三章 量子物理
波函数 ( x) Asin np x
曾量子力学汇总题库(网用)
曾谨言量子力学题库一简述题：1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以Å为单位）3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应4. （1）试简述Bohr 的量子理论5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件6. （1）试述de Broglie 物质波假设7. （2）写出态的叠加原理8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。
9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(ϕθψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(ϕθ方向的立体角元ϕθθΩd d d sin =中找到粒子的几率。
11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikre r1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。
15.（3）简述和解释隧道效应16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。
17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？21.（4）若算符Aˆ、B ˆ均与算符C ˆ对易，即0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[==C B C A ，A ˆ、B ˆ、C ˆ是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。
22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。
23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ˆ和x 方向的角动量xL ˆ是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式25.（4）简述幺正变换的性质26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在2221)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ödinger 方程。
第4讲 边界条件
D的法向分量连续 B 的法向分量连续 E 的切向分量连续 H 的切向分量连续
第五讲 边界条件
场矢量的折射关系 在线性、各向同性的理想介质分界面上 电场矢量的折射关系
tan 1 tan 2 E1t / E1n EHale Waihona Puke t / E2n 介质1 介质2
2 E2
en en en en D S B 0 E 0 H JS
B
理想导体
E
JS
磁感应强度平行于导体表面 电场强度垂直于理想导体表面 理想导体表面上的电流密度等于H的切向分量
理想导体表面上的电荷密度等于D 的法向分量
en ( H1 H 2 ) J S
en ( E1 E2 ) 0
S
en (B1 B2 ) 0 en (D1 D2 ) S
分界面上的自由电荷面密度
D dS
S
ρdV
V
en
媒质1 媒质2
在不同媒质的分界面上仍然适用， 由此可导出电磁场矢量在不同媒 质分界面上的边界条件。
en
D dS
S
ρdV
V
en
ΔS
D1
Δh
媒质1 媒质2
S P
D2
媒质1
Δl
H1
Δh
N
媒质2
H2
H dl
C
(J
D t
) dS
第五讲 边界条件
恒定电场的边界条件 场矢量的边界条件
J dS 0
普通物理学 7 量子力学简介
量子物理
一、波函数 概率密度 1、经典的波与波函数 机械波
电磁波
x E ( x, t ) E0 cos 2π (t )
y ( x, t ) A cos 2π (t )
x
H ( x, t ) H 0 cos 2π (t )
经典波为实函数
x
y ( x, t ) Re[ Ae
( x, y, z ) 为有限的、单值函数 。
量子力学简介
量子物理
三、 一维势阱问题 粒子势能 Ep 满足的边界条件
Ep
0, 0 x a Ep Ep , x 0, x a
意义
o
a
x
1）是固体物理金属中自由电子的简化模型； 2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来。
2 2 nπ ( x) sin x a a 2 n
2
n4
d 8π mE 薛定谔方程： ( x) 0 2 2 dx h
2 2
量子力学简介
量子物理
Ep , x 0, x a 0, ( x 0, x a) Ep 0, 0 x a
d 2 8π 2 mE 0 2 2 dx h 2 2 d 2 8π mE k 0 2 k
波函数：
( x)
0,
( x 0, x a)
2 nπ sin x , (0 x a) a a
2
o
a
x
概率密度： 能量： 量子数：
2 2 nπ ( x) sin x a a 2 h 2 En n 8ma 2
n 1,2,3,
量子力学简介
电粒子在有界磁场中运动的边界条件-37页文档资料
(1 r ) 2 0 .5 2 r 2 r 0 .375 m r mv
Bq v 1 .5 10 7 m / s
• 2.所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
v1170 m /s
小结
• 1 、不论是确定B的还是确定V的边界条件，
或者粒子经过的区域的边界条件，都应首先
• 3 、注意由特殊到一般。 • 4、可以通过粒子轨迹圆半径的放缩或旋转，探索出临界
条件。 • 5、区分四个圆：磁场区域圆、粒子轨迹圆、轨迹圆心圆、
粒子经过的磁场区域圆。
• 练习1. 一匀强磁场,磁场方向垂直于xy平面,在xy平 面上,磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。 一个质量为m、电荷量为q的带电粒子,由原点O开 始运动,初速度为v，方向沿x正方向。后来,粒子经 过y轴上的P点,此时速度方向与y轴的夹角为300,P到 O的距离为L,如图。不计重力的影响。求磁场的磁 感应强度B的大小和平面上磁场区域的半径R。
• 例3. 在xoy平面内有许多电子(质量为m、电量为 e),从坐标原点O不断地以相同的速率v0沿不同方 向射入第一象限,如图所示。现加一个垂直于xoy 平面向里,磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些电 子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。 求符合该条件磁场的最小面积。
y
P O A1
rmine2fRco3s00
3mv 2Bq
• 例2. 如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强 磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸 面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同 的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁 场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。图中 的阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，问哪个 图正确。
粒子势能满足的边界条件(精)
0 , ( x 0, x a) 波函数 ( x) 2 nπ sin x , (0 x a) a a 6. 概率密度 0 , ( x 0, x a) 2 w ( x) 2 2 nπ 2 w ( x) sin x , (0 x a) a a
二、一维方势垒 隧道效应
在经典力学中, 如图所示，若满足
则小球一定能够达到顶点。如果
则一定不能达到顶点。
问题的题出：对于微观粒子？？
1 2 mv 2mgh 2
1 2 mv 2mgh 2
，
时，
U 0 U ( x) 0
U 0 , E U 0 ,
0 xa x 0, x a
2 A a
2 nπ ( x) sin x , (0 x a ) a a
nπ ( x) A sin x a n
2 2 nπ ( x) sin x a a 2 n
2
n4
16E1
n3 n2
n 1 x0
a2
9
4 E1
a
x0
a2
a
E1
Ep 0
物理意义 当 n, , a 很大时，E 0 ，量子效应不 明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应 .
( x)
1
2 3
o
a
x
隧道效应的本质 : 来源于微观粒子的波粒二相性 . 应用 1981年宾尼希和 罗雷尔利用电子的隧道效应 制成了扫描遂穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面原 子排列的状况 . 1986年宾尼 希又研制了原子力显微镜.
1981年IBM公司苏黎世实验室的两位科学家宾尼希(G．Binnig) 和罗雷尔(H．Roher)利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微 镜 ( Scanning Tunneling Microscope)——观察固体表面原子情 况的超高倍显微镜。
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2 2 n 2 En 2a 2
2 2 E1 2 a 2
2 2 2 E1 n 2a 2
n 1,2,3
基态能量 激发态能量
(n 3,4,)
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .
( x) A sin kx 5. 归一化常量 n nπ k , n 1,2,3, ( x) A sin x a a a 2 a 2 nπ 2 * A sin xdx 1 0 dx 0 dx 1
图象处理系统 扫描探针 样品表面电子云
STM具有空间的高分辨率(横向可达0.1nm， 纵向可优于0．01nm)，能直接观察到物质表 面的原子结构，把人们带到了微观世界。
纳米算盘
硅表面， 每一个隆起处是一个硅原子
原子组成的“原子”
单原子操纵1990年4月，美国IBM宣布，他 们用扫描隧道显微镜操纵氙原子，用35个 原子排出了"IBM"字样
( x)
1
2 3
o
a
x
隧道效应的本质 : 来源于微观粒子的波粒二相性 . 应用 1981年宾尼希和 罗雷尔利用电子的隧道效应 制成了扫描遂穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表面原 子排列的状况 . 1986年宾尼 希又研制了原子力显微镜.
1981年IBM公司苏黎世实验室的两位科学家宾尼希(G．Binnig) 和罗雷尔(H．Roher)利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微 镜 ( Scanning Tunneling Microscope)——观察固体表面原子情 况的超高倍显微镜。
§2.6 一维势
一、 一维无限深势阱 粒子势能 1．势函数 意义
U
满足的边界条件
0 U ( x)
0 xa x 0, x a
1）是固体物理金属中自由电子的简化模型；
2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来 .
3）拟解决的问题：能量分布、概率分布
2. 薛定谔方程
d2 2 2 E 0 2 dx
2 d 2 [ U ( x)] ( x) E ( x) 2 2 dx
0 xa
( x) 0
x 0, x a
d2 2 k 0 2 dx
3. 方程的通解——波函数
令
2E k 2
，
1990：IBM：从观察到操纵
镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显 微镜照片。48 个 Fe 原子形成“电子围栏”， 围栏中的电子形成驻波
2 A a
2 nπ ( x) sin x , (0 x a ) a a
nπ ( x) A sin x a n
2 2 nπ ( x) sin x a a 2 n
2
n4
16E1
n3 n2
n 1 x0
a2
9 E1
4 E1
a
x0
a2
a
E1
Ep 0
物理意义 当 n, , a 很大时，E 0 ，量子效应不 明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应 .
例：电子在 a 1.0 10 m 的势阱中 .
2 h 2 15 E n2 n 3 . 77 10 eV 2 8ma 2 h 15 （近似于连续） E 2n n 7 . 54 10 eV 8ma 2
2
当 a 0.10nm 时, E n 75.4eV（能量分立）
三.扫描隧穿显微镜（STM）
STM(Scanning Tunneling Microscope)
是观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。它能够操纵原 子。 STM利用由电子计算机操纵控制的细到尖端就只有 几个原子的厚度的探针和材料平面间的电流，调度材料平 面上的原子，而且通过调节电流的大小，可逐个地把原子 吸起来并放置到其他地方。
二、一维方势垒 隧道效应
在经典力学中, 如图所示，若满足
则小球一定能够达到顶点。如果
则一定不能达到顶点。
问题的题出：对于微观粒子？？
1 2 mv 2mgh 2
1 2 mv 2mgh 2
，
时，
U 0 U ( x) 0
U 0 , E U 0 ,
0 xa x 0, x a
v
m
h
量
子 隧 道 效 应
一维方势垒
0, x 0, x a
U ( x)
U, 0 x a
粒子的能量 隧道效应 从左方射入 的粒子，在各区 域内的波函数
E Ep0
( x)
1
2 3
o
a
x
粒子的能量虽不足以 超越势垒 , 但在势垒中似 乎有一个隧道, 能使少量 粒子穿过而进入 x a 的区域 , 所以人们形象地 称之为隧道效应 .
a
0 , ( x 0, x a) 波函数 ( x) 2 nπ sin x , (0 x a) a a 6. 概率密度 0 , ( x 0, x a) 2 w ( x) 2 2 nπ 2 w ( x) sin x , (0 x a) a a
方程通解为：
A sin kx B coskx
利用标准条件：单值、有限和连续 .
4. 能量分布
x 0, 0, B 0
( x) A sin kx
n k , n 1,2,3, a
2E k 2
( x) A sin kx x a, A sin ka 0 sin ka 0 sin ka 0, ka n