电网潮流计算

潮流计算就是根据给定电力系统的网络结构、参数和决定电力系统运行状况的边界条件，确定电力系统稳态运行状态的方法。

电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行状况的一种计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统的运行状态:各母线的电压，各元件中流过的功率，系统的功率损耗等等。

从数学上讲，潮流计算是要求解一组由潮流方程描述的非线性代数方程组。

电力系统潮流计算是电力系统分析中最基本的最重要的计算，是电力系统无功优化的前提与基础，是无功优化最基础的计算工具。

电力系统潮流计算分为离线计算和在线计算两种，前者主要用于系统规划设计和安排系统的运行方式，后者则用于正在运行系统的正常监视及实时控制。

本文所研究基于前一种离线分析的计算方法。

潮流方程对于N个节点的电力网络(地作为参考节点不包括在内)，如果网络结构和网络元件参数己知，则流入节点i可用nI ij j j I Y V ==∑表示示。

式中Y 是节点导纳矩阵。

以极坐标的形式写出1n i ij j ij jj I Y V θδ==∠+∑电力系统计算中，给定的运行变量是节点注入功率，计算用的方程如下:*i i i iP jQ V I -=Ni ,,2,1 =用极坐标表示，则有:1ni i i ij j ij ji j P jQ V Y V δθδ=-=∠-∠+∑分离出实部虚部可得()1cos ni j i ij ij i j j P V V Y θδδ==-+∑()1sin ni j i ij ij i j j Q V V Y θδδ==--+∑上式为用极坐标表示的最基本的潮流计算方程。

对于N 个节点的电力系统，每个节点有四个运行变量，分别为有功注入P,无功注入Q 、电压模值V 、电压相角θ。

一般说来，每个节点的4个变量中给定两个，求解另两个。

哪两个作为给定的变量由该节点的类型决定。

对于节点类型的给定应遵循一定的原则，并不是任意指定，当节点类型选择不当时，会出现潮流不收敛，或者潮流计算结果明显偏离实际系统的运行情况，在潮流运算初始化的时候，可以按照如下情况来指定。

（1）PQ 节点（负荷节点）事先给定的是节点功率(P 、Q ），待求的是节点电压向量(V 、θ)。

通常变电所母线也就是负荷节点通常都指定为PQ 节点，当某些发电机的出力P 、Q 给定时，也可作为PQ 节点。

显然，在潮流计算中，系统大部分节点属于PQ 节点。

（2）PV 节点（电压控制节点）给出的参数是节点的有功功率P 及电压幅值V ，待求量就是该节点的无功功率Q 及电压向量的相角θ。

通常选择有一定无功功率贮备的发电机母线或者有无功补偿设备的变电所母线作PV 节点。

PV 节点上的发电机称之为PV 机（或PV 给定型发电机）。

（3）平衡节点给定的运行参数是V 和θ，，而待求量是该节点的P 、Q ，因此又称为V θ节点。

在潮流计算中，这类节点一般只设一个。

关于平衡节点的选择，一般选择系统中担任调频调压的某一发电厂（或发电机），或者将外网作为等值机来处理，作为功率平衡的调节节点，必须具备较大的有功和无功调节能力。

、对每个负荷节点我们得到两个等式即1.1和1.2电压控制节点有一个等式，即1.2。

于是我们得到两个非线性方程组或7-=0i i i ij j j i P jQ U Y U ∈-∑。

和方程组()()11cos sin ni j i ij ij i j j ni j i ij ij i j j P V V Y Q V V Y θδδθδδ==⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩∑∑抽象成下列非线性方程组()()()11221212,,,0,,,0,,,0n n n n f x x x f x x x f x x x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩（1.1）其中()1,2,,i f i n = 为给定在n 维欧氏空间的n R 的中的区域D 上的实值函数，引进向量记号，令112233()0()0()(),,0,00()n n f x x f x x f x F x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则1.1可写成()0F x =（1.2）若存在*x D ∈，使得*()0F x =，则称*x 是方程1.2的解。

用迭代法求解1.2，先将2.1化为等价的方程：()x G x = 1.3这里映像:n n G D R R ⊂→，例如可取()()G x x BF x =+，其中()n B L R ∈为非奇异矩阵。

显然1.3和1。

2等价。

高斯赛德而迭代法：如果()kx 是变量x 的厨师估计值，于是迭代格式变为()1k k x G x +=柯西收敛定理：数列有极限的充要条件是：对任意给定的，有一正整数，当时，有成立。

又定理柯西收敛定理有，当连续迭代结果的差小于某一特定值时，就得到方程的解。

()()+1k k x x ε-≤这里ε是要求的精度。

定理 1.1设*x 是方程1.2的解，:n n G D R R ⊂→，若存在一个开球(){}**,,0S S x x x x D δδδ==-<>⊂和常数()0,1a ∈，使得对一切x S ∈，有()()**-G x G x a x x ≤-，则对任意0x S ∈，*x 是迭代序列()1,0,1,2,,k k x G x k +== 的吸引点。

看潮流方程7-=0i i i ij j j i P jQ U Y U ∈-∑。

P ，Q 已知，给定初值i U，j U进行迭代就能求出所要的值。

高斯迭代法需要多次迭代才能获得所要的精度，并且不能保证收敛。

牛顿法通过逐步线性化可以构造牛顿程序考虑方程()0F x =，这里我们假定映像n n F D R R ⊂→：与开凸集D 中二次G-可导，且''F 于D 连续。

设*x D ∈是方程组的解。

0x 为*x 的初始近似，0x D ∈，利用泰勒公式，我们有()()()()()()()120000000'"F x F x F x x x F x t x x x x dt=+-++--⎰一般0x 充分接近*x ，略去高阶无穷小量，因而可用线性方程组()()()000'0F x F x x x +-=近似代替方程。

设方程的解为1x ,则()()1'1000x x F x F x -⎡⎤=-⎣⎦一般的我们有()()1'1,1,2,3.k k k k x x F x F x k -+⎡⎤=-=⎣⎦ 实际计算可采用下列形式：()()1'k k k k k k x x x F x x F x +=+∆⎧⎨∆+=⎩从上式可以看出牛顿法每步都要解一个n 阶线性方程组。

这个方程组的解k x ∆可看成对前次近似k x 的修正量，即k x 加上修正量x ∆就是新的近似1k x +。

牛顿法的局部收敛性定理设:n n F D R R ⊂→在*x 地开邻域0S D ⊂上F -可导且()*'F x 非奇异，*x 为方程()0F x =的解。

那么存在闭球()*0,S S x S δ=⊂，使映像()()()1',k k k G x x F x F x -⎡⎤-⎣⎦在S 上有定义，且牛顿迭代法产生的序列{}k x 超线性收敛到*x 。

又若假定()()'**'F x F x a x x -≤-其中0a >为常数，则牛顿迭代法至少二阶收敛。

将1.1和1.2在初始估计值处进行泰勒级展开并忽略高阶项，可以得到下列一组线性方程套用()()1'0k k k k k k x x x F x x F x +=+∆⎧⎨∆+=⎩有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222222222222k KKKnK K KK K n n n nK n n n K K KKK nn K n K KKK n n n nn n P P P P V V P P P P P V V P Q Q Q Q Q V V Q Q Q Q Q V V δδδδδδδδ⎡⎤∂∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎡⎤∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∆⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∆∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥∆⎢⎣⎦⎢∂∂∂∂⎢∂∂∂∂⎢⎣⎦()()22n K K n V V δδ∆⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥∆⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎥⎥\简写为1234J J P V J J Q δ∆∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦由节点导纳矩阵可算出节点的有功功率和无功功率，在分别对i δ和i V 求偏导数渴求的雅克比矩阵各元素，利用公式和设定的电压相角初值计算,P Q ∆∆，,P ∆Q ∆为计划值于计算值的的差叫做功率余额，()()kish ki i i kish ki i i P P P Q Q Q ∆=-∆=-解得新的节点电压和相角新的节点电压新的估计值为()()()()()()11k k k i i i k k k iiiV V V δδδ++=+∆=+∆，代入新的电压相角再迭代，直到满足收敛条件。

计算步骤如下，首先要输入网络的原始数据以及各节点的给定值并形成节点导纳矩阵。

输入节点电压初值(0)i V 和(0)i θ置迭代计数k=0。

然后开始进入牛顿法的迭代过程。

在进入第k+1次迭代时其计算步骤如下（1）按上一次迭代算出的个节点电压，利用式(2.41)计算各类节点的不平衡量()()2(),,K K K i i i P Q V ∆∆∆；（2）按照条件{}()()2()1max ,,K K K i i i P Q V ε∆∆∆<校验收敛；（3）计算雅克比矩阵的各元素；（4）解修正方程式求各节点的修正量()(),K K i i V θ∆∆；（5）修正各节点电压(1)()()(1)()(),K K K K K K i i i i i i V V V θθθ++=+∆=+∆；（6）判断是否满足收敛条件。

若满足，则停止计算；反之，令k=k+1，进行新一轮迭代。

牛顿法是局部收敛的，也就是说初值选择必须接近真解*x 附近，选择初值就成了牛顿法的弱点，估计牛顿法的初值可用康托罗维奇定理定理：设:n n F D R R ⊂→及初始近似值0x 满足下列条件，：()1()1'0F x -⎡⎤⎣⎦存在且()1'0F x β-⎡⎤≤⎣⎦，()2在0x 地邻域()0,S x δ内，()'0F x 存在冰满足李普希兹条件：()()'**'F x F x x x γ-≤-,()0,,x y S x δ∀∈。

并且12ραβγ=≤112ρδηρ--≥则方程在()0,S x δ内有解*x ，且牛顿程序产生的序列{}n x 收敛于*x ，并有估计式121*2120k k jj x x θηθ---=-≤∑其中112112ρθρ--=+-当牛顿法用于潮流计算时，选择初值变得很容易，在正常运行方式下，其电压标幺值的幅值范围在1附近，节点电压相角在0︒附近，在运用上述定理，就可以得到更加准确地初值，使牛顿法收敛的更快。