信息光学基础2-1光波的数学描述 -2015 [兼容模式]
《信息光学》单色光波场的一般数学描述
与前面讲过的FT和IFT相联系，则更易理解，物理意
义更清楚：
F ( u , v ) f ( x , y ) e x p [ j 2 ( u x v y ) ]d x d y
f ( x , y ) F ( u , v ) e x p [ j 2 ( u x v y ) ]d u d v
r 2
k
1 球面波复振幅：
发散球面波： U°
(
v r
)
a 0
exp
j(kr
0)
r
会聚球面波：U°
(
v r
)
a0
exp
j(kr
0)
r
球面光波在整个 空间中，沿任何 方向上的空间频 率均为:1/; 沿任 何方向上的空间 周期均为: 。
在 z=z0 面上的复振幅分布为:
U° ( x , y , z ) 0
a
exp[ jk
x
2
x0
y
2
y0
z2 0
x
2
x 0
y
2
y 0
z2 0
]
如果在 z=z0 平面上，观察考察的区域较小，且z0较大时，
则在z=z0平面上的波前函数可表示为：
U° ( x , y , z ) 0
a
exp(
jkz ) exp 0
jk
x
2
x0
y
2
y0
z 0
2z 0
上述近似称为 傍轴近似；
F (u , v ) 称为空间频谱，
cos cos
F(
,
)
称为角谱。
第2章 光波衍射的线性系统分析（标量衍射角谱理论） ——标量波衍射理论
光学信息第二章1-2
a0 k U( x, y ) exp( jkz1 )exp{ j [( x x0 )2 ( y y0 )2 ]} z1 2z1
( x x0 )2 ( y y0 )2 r z1 2z1
• 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由 于波长λ极小，k 2 很大，上式中第二项不能 省略
coscos平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量深入理解这个概念的物理含义是很重要的首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况考虑cosexpcos复振幅在xy平面上周期分布的空间周期可以用相位差的两相邻等相位线的间距x表示则有x方向的空间频率用表示单位因此y方向的空间频率cos传播方向余弦为cos0的单色平面波在xy平面上的复振幅分布可用xy方向的空间频率来表示
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f x 不再和单色平面波 , fy) 述。但空间频率 exp j2 ( f x x 也就不再对应沿某一 f y y) 有关， 方向传播的平面波。
U ( x, y ) A exp j 2 ( f x x f y y )
• 代表了一个传播方向余弦为 (cos , cos ) 的单色平面波。 • 我们观察的不是某一个平面上而是整个空间光场分 cos 布，可以类似地定义沿z方向的空间频率 f z 有 U ( x, y, z ) a exp j 2 ( f x x f y y f z z ) • 由 cos2 cos2 cos2 1 有 f 2 f 2 f 2 1 x y z 2
2.2
第1章 波动光学基础 1-2 光波的函数表述 物理光学课件
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
发散柱面波波函数：
会聚柱面波波函数：
结论：平面波可以看成是构成空间任何复杂波动的基元波。
1 波动光学基础
1.2 光波的函数表述
1.2.4.波前与波面
• １.波前函数
•
广义波前：光波场内任意考察面（平面、曲面）。
•
波前函数：光波场内任意考察面（平面、曲面）上的复振幅分布函数。
S (b) 球面波
θ θθ
图10-10只考虑平面上的复振幅分布时，共轭波有两个
•
若考虑某一平面的复振幅分布，则产生其共轭复振幅
的共轭波有两个。
•例：传播方向平行于xoz平面，且与z轴夹角为θ的平面波在z=0平面上 波前函数的共轭波前函数．
1 波动光学基础
1.2 光波的函数表述
作业三：入射光波是圆频率为ω的平面波
•和
E
E0
cos
k
r t
H H0 cos k r t
E
E0
cos
kr
t
H
r H0
cos kr t
r
• 其中：
•
k 和ω分别为波的空间角频率和时间角频率(又称
•
圆频率)。
E0 , H0
E0 , H0 rr
称为振动的振幅矢量; 把上式中余弦
函数的宗量称为振动的相位。
1 波动光学基础
• 真空中光速
C 1 2.99792 108 m / s
0 0
• 介质中光速
C C rr n
• 介质折射率
n rr
• 对光学波段，近似有 r 1 ，故 n εr
•
折射率是随光波的频率改变的．
二章光波的数学表述及叠加原理-精品文档
B y(z ,t) (A/c)exp i (kz a ) t
§2.2 球面波及高斯波 单色平面波并不是Maxwell方程组唯一的 解，一些在光学中经常遇到的波如：球面波和 高斯波也是它的解。 一、球面波与高斯波的产生及特点
球面波
x
E
z
y B
这是一个沿 z 轴传播的单色平面波，电矢 量 E在平面 xoz 内振荡，而磁矢量 B则在平面 yoz 内振荡。光矢量E不是对称分布而是有一定 取向，这种具有偏向性的振动状态为偏振。
偏振面为oxz平面的偏振光
x E
z
y B
沿 z 轴传播的单色平面波的简谐波动形式：
E x(z ,t) Aexp i (kz a ) t
复振幅(complex amplitude)：
U ( k r ) E exp[ i ( k r a )] 0
i ( k r a )] 相位因子： exp[
用复函数表示波动，在运算中带来方便，只有 复函数中E的实数部分才代表真正的物理量。
将E U ( k r ) exp( iw ) t 代入 麦克斯韦方程组：
1 ( rE ) 2 2 ( rE ) 2 r c t
2 2
2 2 1 ( rE ) 2 2 ( rE ) 2 r c t
该方程的解为
E ( r , t ) ( 1 / r ) A exp i ( k r a ) exp( i t ) U ( k r ) exp( i t )
R
o
z
[R2+(x2+ y2)]1/2 P0
第二章 光波的数学表述 及叠加原理
物理光学第二章-1
物理光学(2-1)光波具体形式和基本性质华中科技大学光电学院王英第二章光波与介质的基本性质一．平面波二．球面波和柱面波三．折射率四．平面波的叠加五．平面波在两介质界面上的反射和折射六．平面波在金属界面上的反射和透射七．电偶极子辐射八．光的散射2.1 平面波一维波动方程的解ˆ(,)x xEz t =E 平面波是最基本的波动形式最简单形式的平面波：一维平面波\E y =E z =0，沿z轴传播2222x x E E ztεμ∂∂−=∂∂()0cos()ˆ,E =−E kz t z t xω标量波和矢量波矢量波：E(D)、B(H)振动方向随空间和时间变化，是矢量波；标量波：各向均匀介质中的线偏振光、各向均匀介质中的分解为xyz光2.1.1 平面波的表达1、一维波动方程的平面波解只要平面简谐波就是一维波动方程的解。
()0(,)cos()ˆˆ,x E z t E kz t z t xx ω==−E 22∇+=E E εμω0)cos()(022=−+−t kz E k ωεμω22k k vω=εμω=E 0是电振动振幅;：余弦项的宗量称为位相，它决定平面波在传播轴上各点的振动的状态时间相位:ωt 变化2π所经历的时间称为周期，以T 表示。
而一秒内相位变化2π的次数称为频率，以f 表示。
由ωT=2π得空间相位kz 变化2π所经过的距离称为波长，以λ表示。
按此定义有kλ=2π，所以[]kz t ω−0(,)cos[)]E z t xE kz t ω=−πω21==T f kπλ2=时间角频率：空间角频率（波矢量）k，其大小(通常称波数)：T为时间周期：波长λ为空间周期: 0/pf c n v λ⋅==122==f Tωππλπ2=k 1f T =时间⎯空间频率、角频率、周期间的关系平面波传播速度随介质而异；频率与介质无关；频率角频率λT周期空间时间参量1f T =λ12fω=πλπ2=k again平面波的速度：等振幅面传播速度波阵面= 等振幅面（等相位面）是一个平面。
光波的数学描述
故可将复振幅波动方程化简为
( k ) U
其中 k 称为波数，表示单位长度上产生的相位变化，定义为
ReaP e
e
将花括号内的由空间位置确定的部分合在一起定义成一个物理量
jφP U Pa Pexp
称为单色光场中点的复振幅，它包含了点光振动的振幅和初位相， 仅仅是位置坐标的复值函数，与时间无关 光强可用复振幅表示成 I P U P UU *
亥姆霍兹方程
标量波动方程
作为空间和时间函数的电场或磁场分量 上满足标量波动方程
u
u
，在任一空间无源点
式中
x y z
v t
u
是拉普拉斯算符，电磁场在介质中传播速度 而
v
εμ
、 为介质的介电系数和磁导率。
满足该方程的基本解的线性组合都是方程的解。球面波和平面波 都是波动方程的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波 的线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
A a exp( jkz cos cos )
平面波的位相因子和等位相线
和球面波表达式类似，平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无 关的两部分
与坐标 x y 有关的 exp[ jk ( x cos y cos )]是表征平面波特点的线 性位相因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有这种因子， 就可以认为有一个方向余弦为 cos , cos 的平面波经过这个平 面
信息光学基本理论简介
信息光学基本理论简介信息光学是一门研究光学现象及其与信息处理、通信以及存储等领域的相互关系的学科。
它融合了光学和信息科学的理论与技术，旨在利用光的特性进行信息的处理、传输和存储。
本文将对信息光学的基本理论进行简要介绍，包括光的基本特性、光与信息的相互转换等方面。
一、光的基本特性光是一种电磁波，具有波粒二象性。
从粒子性角度看，光由许多微小的粒子状物质组成，称为光子。
从波动性角度看，光是以波动形式传播的，在空间中形成波纹。
光的传播速度是恒定的，在真空中速度接近于300,000公里/秒。
二、信息与光的相互转换信息与光的相互转换是信息光学的核心内容之一。
光可以携带和传输信息，而信息也可以被转换为光信号进行传输。
在信息光学中，常用的光学器件包括光纤、激光器、光调制器等。
光纤利用光的全内反射特性，将光信号通过光纤进行高速传输。
激光器则是产生高强度、单色、定向性好的光束，常用于光通信和光存储等领域。
光调制器可以对光信号进行调制，实现信息的编码和解码。
三、信息光学在通信领域的应用信息光学在通信领域起到了重要作用。
光通信利用光的高速传输特性，将数据以光信号的形式进行传输。
光通信具有带宽大、传输速度快、抗干扰能力强等优势，被广泛应用于长距离通信和高速互联网中。
光纤通信系统是目前最主要的光通信技术，通过利用光纤作为传输介质，把信息编码到携带光信号的光纤中进行传输。
四、信息光学在图像处理领域的应用信息光学在图像处理领域也起到了重要作用。
光学透镜、光学滤波器等器件可以对图像进行采集和处理。
例如，光学透镜可以对光信号进行聚焦或散焦，实现图像的放大和缩小。
光学滤波器可以通过对光信号进行频率或波长的选择性传递，实现图像的增强或降噪。
此外，光学干涉技术和光学全息术等也广泛应用于图像处理领域，为图像的捕捉、存储和显示提供了许多新的方法和技术。
总结：信息光学作为光学和信息科学的交叉学科，对于现代信息技术的发展和应用具有重要意义。
通过光与信息的相互转换以及光学器件的应用，信息光学在通信和图像处理领域发挥了重要作用。
信息光学的数学基础
1.1.1
矩形函数
矩形函数(rectangle function)是在光信息处理中很有用的非初等函数之一，习惯上用 rect ( )或 ( )表 示。信号脉冲如光脉冲、电脉冲等的形状为矩形时，就可用矩形函数来描述，所以矩形函数也常称为矩形 脉冲。对一个具有确定形状的脉冲，通常可以用脉冲的宽度、高度和脉冲面积(一维函数曲线下所包含的面 积， 即函数在整个定义域上的积分值)， 这三个参数来描述， 这个三参数中二个确定了， 另一个也就确定了。 把描述脉冲形状的某些参数取单位值 1 时，会使用问题变的简洁而方便又不会失去其特性，这就是所谓的 单位脉冲(或单位函数)，也称为标准脉冲(或标准函数)。单位脉冲通常先设定脉冲面积为 1，如果脉冲面积 无法定义，就设定高度为 1，当然会可将宽度设定为 1。 一维单位矩形函数的定义为：
格式 1：y = rectpuls(x) 功能： 产生单位高度为 1、 宽度为 1、 中心为 0 的矩形。 注意： 在 MATLAB 中， 该函数间断点的值规定为 rectpuls(0.5)=1 和 rectpuls(0.5)=0。 格式 2：y = rectpuls(x, a) 功能：产生指定宽度为 a 的矩形。
3
1
rect(x,y)
0.5
0 1 0.5 0 -0.5 y -1 -1 -0.5 x 0.5 0 1
图 1.1.3
二维单位矩形函数
1.1.2
阶跃函数
阶跃函数(step fucction) ， 用 step ( )或 H ( )表示。 为记念英国的著名的电气工程师海维赛德(Heaviside，
1850-1925)，又称为海维赛德函数。一维单位阶跃函数的定义为：
1
常被使用的形式。另二种表达式的定义是：
光波的形式和基本性质
是复振幅
球面波振幅Ar的确定
• 与平面波不同，随r的增加，Ar将下降 • 设r=1单位时，Ar= A1。r为其他值时，Ar= I1/2 • 按能量守恒要求
– I1412= I4r2 – I/I1=1/r2，即Ar＝A1/r
磁场的时谐平面波
• 实数形式
B r , t = A ' cos(k r t )
• 复数形式
B r , t = A ' exp j ( k r t )
• 复振幅
r exp jt B
r A' exp jk r B
• 有参考面的共轭
– 给定光波E， E在参考平面上留下的复振幅可 以代表E，也可以描述E*
平面波的共轭波
• 原始平面波的复振幅
• 原始完整光矢量 • 共轭平面波复振幅
r = A exp( jkx sin ) E
r exp jt E r, t = E
6 4 z
0 -2 -4 -6 a)
2
b)
平面上的复振幅与 平面波的关系
z=0平面上的复振幅相位是的函数
r ＝A exp( jkx cos ) A exp j ( x) E
• 是平面波的传播方向 • 所以， z=0平面上的复振幅可以描述通过这个平 面的平面波 • 推而广之，给定任意平面，其上的复振幅可以描 述通过这个平面的平面波
光波的共轭
• 共轭操作
– 原始波 – 共轭波
r exp jt E r, t E
* E r , t E r exp jt †
光学2-1波的基本性质
(2) 光波是电磁波；由上式得： 2 2 E E 0 0 2 0 t (2.2) 2 2 H H 0 0 0 t 2 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) x y z
（3）平面电磁波是自由空间电磁波的一基元成分。平面电磁波函数：
E (r , t ) E0 cos(t k r E ) H (r , t ) H 0 cos(t k r H )
满足波动方程2.2
2 E E 0 0 2 0 t 2 2 H H 0 0 0 t 2
P 某一场点。－0 (P) 为 P 点的初相位。 特点：振幅稳定，A(P) 与 t 无关；
频率单一，由扰动源确定。
光波 (电磁波) 是矢量波，一般用电场矢量 E(P,t) 描 述光波，并称其为光矢量。如果在光波的传播过程中光 矢量的方向没有发生显著变化，则可以用标量波描述光 的传播。
2. 定态波的复振幅描述
第二章
波的基本性质
§2-0 电磁场的基本方程 电磁波 §2-1 定态光波的复振幅描述 §2-2 波前函数 §2-3 光的偏振 §2-4 光波在各向同性媒质界面上的反射和 折射
§2-0电磁场的基本方程
麦克斯韦是继法拉第之后，集电磁学大成的伟大科学家。他依据库 仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等前人的一系列发 现和实验成果，建立了第一个完整的电磁理论体系，不仅科学地预 言了电磁波的存在，而且揭示了光、电、磁现象的本质的统一性， 完成了物理学的又一次大综合。这一理论自然科学的成果，奠定了 现代的电力工业、电子工业和无线电工业的基础。 麦克斯韦1831年6月出生于英国爱丁堡，他的父亲原是律师，但 他的主要兴趣是在制作各种机械和研究科学问题，他这种对科学的 强烈爱好，对麦克斯韦一生有深刻的影响。麦克斯韦10岁进入爱丁 堡中学， 14岁在中学时期就发表了第一篇科学论文《论卵形曲线的 机械画法》，反映了他在几何和代数方面的丰富知识。16岁进入爱 丁堡大学学习物理，三年后，他转学到剑桥大学三一学院。在剑桥 学习时，打下了扎实的数学基础，为他尔后把数学分析和实验研究 紧密结合创造了条件。他阅读了W.汤姆生的科学著作，他十分赞同 法拉第提出的新观点，并且精心研究法拉第的《电学的实验研究》 一书。
第一、二讲 光波的基本性质及其描述
第一章 波动光学 第二章 几何光学 第三章 现代光学
§1.1 光波的基本性质及其描述
一 、光波的传播速度
1865年麦克斯韦预言存在电磁波，在真空中电 磁波电场强度的波动方程为
2E t 2
1
0 0
2E r 2
0
电磁波在真空中的传播速度为
c 1 2.9979108 m/s
0 0
电磁波的传播速度就是光速，这预言了光是电磁波。
中心波长 (nm) 660 610 570 550 460 440 410
4000Å
波长范围 (nm)
760~622 622~597 597~577 577~492 492~450 150~435 435~390
7600Å
二 、介质的折射率
根据电磁波在介质表面上的反射和折射理论，可 以导出光的折射定理为
2、波场中各点振动的振幅不随时间变化，在空间
形成一个稳定的振幅分布。 光波的定态波场数学表达式为：
波矢 2
E(r,t) A(r)cos[(t r) 0]
或
E(r , t)
A(
r
)e
it
e
i
( r
0
)
四 、光波的强度
光波的传播总是伴随着能量传播，这个过程用 平均能流密度来描述。人眼或感光仪器检测到的光 强都是由能流密度的大小来决定的，因此，光波的 平均能流密度也叫光强，通常用I来表示。
对于电磁波，平均能流密度正比于电场强度
振幅的平方 。
S
E02 或 S
H
2 0
I S 1 2
E0 2
n
2
c
E0 2
§1.2 光源 单色光 相干光
信息光学中的光学学基础理论及方法
信息光学中的光学学基础理论及方法信息光学是在光学基础理论和方法的基础上，运用信息科学与技术的原理和方法，研究和应用光与信息的相互作用规律的学科。
它涉及了光学、物理学、电子学、计算机科学等多个学科的交叉与融合，对于现代通信、图像处理、光电技术等领域具有重要意义。
本文将介绍信息光学中的光学学基础理论及方法。
一、光的波动性和粒子性光的波动性和粒子性是信息光学的基础理论之一。
光可以被看作是由电磁波构成的，具有特定的频率和波长。
这种波动性使得光能够传播和传递信息。
同时，光也具有粒子性，可以看作是由光子组成的粒子流，每个光子携带一定量的能量。
这种粒子性在信息光学中被应用于光信号的量子化和光电子器件的设计中。
二、光的干涉与衍射干涉和衍射是光学学中的重要概念。
干涉是指两个或多个光波相遇时产生的干涉效应，可以用来实现光的相乘运算、滤波等功能。
衍射是指光波遇到障碍物时发生的扩散现象，可以用来实现光的传播和分布控制。
在信息光学中，利用干涉和衍射的原理，可以实现光的编码、解码、传输和存储等操作。
三、光的调制与调制技术光的调制是指改变光的若干参数，如强度、相位、频率等，以实现光信号的调控和传输。
调制技术是信息光学中的核心方法之一。
常用的调制技术包括电光调制、声光调制、相位调制等。
通过对光信号进行调制，可以实现光的波长分割、多路复用、时分复用等功能，从而提高信息传输的速度和效率。
四、光的成像与图像处理光的成像和图像处理是信息光学中的关键内容。
通过利用光的成像原理和图像处理技术，可以实现对图像的获取、传输、显示和识别等操作。
常用的光学成像方法包括透镜成像、衍射成像、干涉成像等。
而图像处理技术涉及图像的数字化、编码、压缩、增强等内容。
光学成像与图像处理的发展促进了现代电视、摄影、医学影像等领域的发展。
五、光的传输与光纤通信光的传输是信息光学中的重要应用之一。
光传输指的是利用光波进行信息传播的过程。
而光纤通信是一种将光信号通过光纤进行传输的通信方式，具有带宽大、传输距离远、抗干扰性强等优点。
基础光学第2章光的波动概念和描述
平面波的复振幅的特点
E% E0 exp[i(P)] E0 exp[i(k r 0 )] E0 exp[i(kx x ky y kz z 0 )] E0 exp[ik(x cos y cos z cos ) i0 ]
1）振幅为常数：光场中各点的光矢量振幅 相等，光强相等， 与位置坐标无关。
I 1 T S dt 1 T E H 1
T0
T0
2
0 r 0r
E02
1 2
n
0 0
E02
nE02
如果在同一种介质中，光强可表示为 I E02
而在不同的介质中，n不同，光强则为 I nE02
2.3 光波的基本分类及其数学描述
点光源：是指形状和大小可以忽略的理想化光源，其概念类 似于力学中的质点、电学中的点电荷。
波的传播方向，即电磁波的等相位面行进的方向。而表示的是z处 光波的相位。
光的时间和空间的双重周期性
2.2光速和光强
电磁波在介质中传播的速度为
v 1
0r 0r
其中，是真空的介电常数，为介质的相对介电常数；是真空 的磁导率，为介质的相对磁导率。 光在真空中的传播速度为
c 1 2.99792458108 m/s
其中 kx k cos，ky k cos ，kz k cos 复振幅 E% E0 exp[i(P)] E0 exp[i(k r 0 )]
E0 exp[i(kx x ky y kz z 0 )] E0 exp[ik(x cos y cos z cos ) i0 ]
2 / T 2 2c /
E0 为电场矢量的振幅，0为时刻的初相位， 为振动角频率。 其中，T ， 和 分别为光波振动的周期、频率和波长。
光波基本性质总结
2
– 时空参量关系
kv
光波的数学描述
• 三维简谐平面波
– 波面的定义——等位相面 – 波函数和复振幅
E ( r , t ) E 0 exp[ j ( k r k t 0 )]
E 0 exp[ j ( k x x k y y k z z k t 0 )] E ( r ) E 0 exp[ j ( k r 0 )] E 0 exp[ j 2 ( f x x f y y f z z 0 )]
– 折射光、反射光和入射光共面
rp
tp
tg ( i t ) tg ( i t )
2 sin t cos sin( i t )
sin( i t ) cos( i t )
• 反射波和折射波性质
光波的数学描述
• 三维简谐平面波的波函数的有关参量
– 空间参量
• 空间频率 空间频率也和考察方向有关
f s ( ) 1 Ts ( )
2
cos
2
fs ( x)
2
cos
f
2
; fs ( y)
cos
; fs (z)
cos
fx fy fz
1
2
– 振幅变化规律；布儒斯特定律和偏振性质；位相变化 规律；反射率和透射率
电磁波在媒质界面上的折射和反射
• 反射波和折射波性质
– 振幅变化规律；布儒斯特定律和偏振性质；位相变化 规律；反射率和透射率
E0
k exp j ( xx 0 yy 0 ) z0
信息光学(第三章)
u( x, y, z, t ) a( x, y, z) exp j2t ( x, y, z)
光强为
I UU * U
2
二、球面波的复振幅空间分布
x
1．点光源在坐标系的原点
a0 U ( x, y, z) exp( jk r ) r
k 2
y
k
会聚光：
U ( x, y, z) 2 exp j ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 a0
二、球面波在垂直于z轴平面上的复振幅空间分布
A( f , f
x
y
) exp j 2 ( f x x f y y ) df x df y
物理意义
A(
cos cos cos cos cos cos , ) exp j 2 ( x y ) d d
∙ P(x,y,z)
z
当为发散球面波时 a0 a0 2 U ( x, y, z) exp( jkr) exp( j r) r r
当为会聚到原点的球面波时
a0 2 U ( x, y, z) exp( j r) r
2．点光源在坐标系的（x0,y0,z0）点
x
∙ P(x,y,z)
z)
在垂直于z轴的特定平面上，z cos 常数
U ( x, y) a exp( jkz cos ) exp jk( x cos y cos ) U 0 exp jk( x cos y cos )
光波场的数学描述
U ( x, y) A exp( jkx cosa )
等位相面与x-y平面相交 形成平行于y轴的直线
等位相面是平行于y 轴的一系列平面, 间隔为l
等位相面与x-z平面相交 形成平行直线
沿x方向的等相线 间距:
z
2p l X k cos a cos a
复振幅分布:
U ( x, y) A exp( jkx cosa )
U ( x, y,) exp( j
p
l
l
z l fx l f y )
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
1 cos a fx X l
Y = ∞, fy=0 复振幅分布可改写为:
定义 复振幅分布在x方向的空间频率:
对于在x-z平面内传播的平面波, 在y方向上有:
U ( x, y) A exp(j 2pf x x)
平面波的空间频率: 一般情形
U ( x, y) A exp[jk ( x cosa y cos b )]
P点处的复振幅:U ( P )
a0 jkr e r
取决于k与r是平行 还是反平行
距离 r 的表达
若球面波中心在原点:
r x y z
2 2
2
若球面波中心在 S (x0,Fra biblioteky0, z0):
r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
光波的数学描述
将U(P)exp(-j2pn t)代入波动方程
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2015/11/18
§2‐1 二维光场分析
1. 光振动的复振幅表示
单色光场中某点在某一时刻的光振动可表示成：
()()(),cos 2πνφu P t A P t P =-⎡⎤⎣⎦
(){}
[2πνφ()]
,Re ()j t P u P t A P e
--=用复指数函数表示上式：
{}
φ()2πνRe ()j P j t
A P e
e
-=
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令-—复振幅
()()()exp φU P A P j P =⎡⎤⎣⎦
复振幅包含了点P处光振动的振幅和初相位，——是位置坐标的复值函数，与时间无关——定态光场
(){}
φ()2πν,=Re ()j P j t
u P t A P e
e
-
00
注：平方根二项式展开
1 11
2
b b +=+-
2015/11/18
)]
cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=线性位相因子
和球面波表达式类似，
平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无关的两部分。
C
y x =+βαcos cos 等相位线方程为
可见，等位相线是一些平行直线。
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π2y
x-
虚线表示相位值相差的一组波面与平面的交线，
——等相位线.
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如何理解空间频率、空间周期？
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若假设波矢k位于平面
0x z exp[cos ]
A jkx α=)]cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=——一列沿波矢k方向传播的平面波
2015/11/18
空间频率与平面波的传播方向有关，
——波矢量与轴的夹角越大，则λ在轴上的投影就越大，
即在某方向上的空间频率就越小，
——空间频率的最大值是波长的倒数。
2015/11/18尽管各方向的空间频率不同
——沿波的传播方向波场的空间周期恒为。
空间频率恒为
λ
λ/1
=
f。