曲线和方程优质课件PPT
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人教版高中数学选修2-1曲线与方程(共17张PPT)教育课件
即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
思考？你能得到什么结论？ (1)曲线C上点的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解.
（2）以方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解为坐标的点都在曲线C上.
概念形成
在直角坐标系中，如果如果某曲线C（看作点的集合或适合某
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解
选修2-1课件2.1.1曲线与方程
R
M
O Q
x
图2.5 3
证明 1 如图 2 . 5 3 , 设 M x0 , y0 是轨迹上的任意一点.因为点 M 与 x 轴的距离为 | y0 |, 与y轴的距离为 | x0 |, 所以 | x0 | | y0 | k .
即x0 , y0 是方程 xy 的解.
2 设点M 1的坐标 x1 , y1
又如, 以a, b 为圆心、r 为半径的圆的方程是
y
x a 2 y b2 r 2
x a y b r 2 .这 就是说, 如果M x0 , y0 是
2 2
Mx 0 , y0
x
圆上的点, 那么它到圆心 O 的距离一定等于半径, 即
积为常数 k k 0 的点的轨迹方程 .
2 2 2 2
y
x a 2 y b2 r 2
r 的解, 即 x0 a
Mx 0 , y0
x
y0 b 2 r 2 , 也就是 x0 a 2 y0 b 2
O
图2.5 2
r , 即以这个解为坐标的点到点 a, b 的 距离为r , 它一定在以a, b 为圆心r为半径 的圆上 圆 2.5 2 .
2 2
图2.5 2
x0 a y0 b r , 2 2 也就是 x0 a y0 b r 2 , 这说明它的坐 2 2 2 标 x0 , y0 是方程 x a y b r 的解 ;
反过来, 如果 x0 , y0 是 方程 x a y b
2 .1. 1 曲线与方程
前面我们研究了直线、圆、圆锥 曲线的方程 , 讨论了这些曲线( 包 括直线)和相应的方程的关系下面 . 进一步研究一般曲线( 包括直线 ) 和方程的关系.
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)PPT
【练习】“n>1”是“方程 x2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的圆锥曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
双曲线的标准方程
【典例】根据下列条件,求双曲线的标准方程 (1)a=2 5,经过点 A(2,-5),焦点在 y 轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点 A(-5,6); (3)过点 P 3,145 ,Q -136,5 且焦点在坐标轴上.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
利用定义求轨迹方程
1．已知动圆 E 与圆 A：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 B：(x－4)2＋y2＝2 内切，则动 圆圆心 E 的轨迹方程为________．
类比：一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切，与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切，求 这个动圆圆心的轨迹方程。
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
变式训练 2:已知两定点 F1(5,0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 | PF1 PF2 |=66,求动点 P 的轨迹方程.
变式训练 3:已知两定点 F1(5,0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
8.8 曲线与方程(精品课件)
3.方程y 9 x2 表示的曲线是( )
(A)抛物线的一部分
(B)双曲线的一部分
(C)圆
(D)半圆
【解析】选D.因为 y 9 x2 , ∴y≥0, ∴x2+y2=9(y≥0)表示一个半圆.
4．(2012·河源质检)已知点 F(14，0)，直线 l：x＝－14，点 B 是 l 上的动点．若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线 交于点 M，则点 M 的轨迹是( )
解法 2：因为点 M 在线段 PF1 的垂直平分线上，所以|MF1| ＝|MP|，即 M 到 F1 的距离等于 M 到 l1 的距离．
此轨迹是以 F1(－1,0)为焦点 l1：x＝1 为准线的抛物线，轨迹 方程为 y2＝－4x.
[点评] 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合 某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程， 若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线 的定义列出等式，化简求得方程．
用直接法求轨迹方程 【例2】已知点M，N为两个定点，|MN|=6,且动点P满足PM PN 6， 求点P的轨迹方程. 【解析】以点M，N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐标原点， 建立平面直角坐标系，则M(-3,0)，N(3,0),设P(x,y)， 则 PM =(-3-x,-y),PN =(3-x,-y),PM PN=(-3-x,-y)·(3-x,y)， 又因为PM PN=6, 所以(-3-x,-y)·(3-x,-y)=6， 化简整理得：x2+y2=15.
2.求动点的轨迹方程的基本步骤
3.圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到__一__个_定__点__的距离与它到_一__条__定__直_线___的距离
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
曲线与方程 课件(共35张PPT)
曲线与方程
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
4 曲线与方程 公开课精品课件
与P2(x2,y2)得到的弦长为
P1P2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2 1 k 2 (x1 x2 )2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
26
2.求轨迹的方法 （1）直接法：
圆心，以2为半径的圆.
∴所围成的图形的面积等于 ·22=4 .
8
题型分类 深度剖析
题型一 直接法求轨迹方程 【例1】如图所示，过点P（2，4）
作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x 轴于A，l2交y轴于B，求线段AB 中点M的轨迹方程. 思维启迪 设M（x，y），则A、B两点坐标可 用x,y表示，再利用 PA· PB =0,建立等式即可.
2 1
-4x1-10=0.
[4分] [8分]
21
因为R为PQ的中点，所以x1
x
2
4
,
y1
y0. 2
代入方程x
2 1
+y
2 1
-4x1-10=0，得
x
4
2
y
2
4
x
4
10
0.
2 2
2
整理得x2+y2=56.
[10分]
这就是Q点的轨迹方程.
[12分]
点轨迹方程.
2
3.两曲线的交点 （1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐 标应该是两个曲线方程的公共解 ，即两个曲线方 程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几 组解，两条曲线就有几个交点，方程组 无解，两 条曲线就没有交点. （2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所
P1P2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2 1 k 2 (x1 x2 )2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 .
26
2.求轨迹的方法 （1）直接法：
圆心，以2为半径的圆.
∴所围成的图形的面积等于 ·22=4 .
8
题型分类 深度剖析
题型一 直接法求轨迹方程 【例1】如图所示，过点P（2，4）
作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x 轴于A，l2交y轴于B，求线段AB 中点M的轨迹方程. 思维启迪 设M（x，y），则A、B两点坐标可 用x,y表示，再利用 PA· PB =0,建立等式即可.
2 1
-4x1-10=0.
[4分] [8分]
21
因为R为PQ的中点，所以x1
x
2
4
,
y1
y0. 2
代入方程x
2 1
+y
2 1
-4x1-10=0，得
x
4
2
y
2
4
x
4
10
0.
2 2
2
整理得x2+y2=56.
[10分]
这就是Q点的轨迹方程.
[12分]
点轨迹方程.
2
3.两曲线的交点 （1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐 标应该是两个曲线方程的公共解 ，即两个曲线方 程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几 组解，两条曲线就有几个交点，方程组 无解，两 条曲线就没有交点. （2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所
高二数学2.1 曲线与方程优秀课件
例1. (1)等腰三角形顶点坐标为A(0,3), B(2,0),C(2,0), 中线AO(O为原点)的方程是x 0吗?为什么?
解 :不是.尽管中线AO上点的坐标都是方程x 0的解, 但是以方程x 0的解为坐标的点不全是中线AO 上点,比如点D(0,4),因而中线AO的方程不是x 0.
中线AO的方程应该是 x 0(0 y 3).
• 〔1〕曲线上的点坐标都是这个方程 的解
• 〔2〕以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点
• 那么这个方程f〔x，y〕=0叫做这条 y
曲线C的方程
f（x，y）=0
• 这条曲线C叫做这个方程的曲线
0
x
说明：1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形
曲线与方程等价对应的两个判定条件： (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
x02 +y02 = 25
两边开方取算术根，得
x02 y02 5,
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆 上的一点.
由〔1〕、〔2〕可知，x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆心，半径 等于5的圆的方程.
例3 判断以下结论的正误并说明理由
对〔1〕过点A〔3，0〕且垂直于x轴的直线为x=3
点M与x轴的距离为| y0 |,与y轴的距离为| x0 |，
所以
|x0|• | y0 | k,
y
即(x0, y0 )是方程xy k的解。
RM
OQ
x
例： 证明：与两条坐标轴的距离的积为常 数k(k＞0)的点的轨迹方程是 xy＝±k.
(2)设点M1的坐标(x1, y1)是方程xy k的解，则
解 :不是.尽管中线AO上点的坐标都是方程x 0的解, 但是以方程x 0的解为坐标的点不全是中线AO 上点,比如点D(0,4),因而中线AO的方程不是x 0.
中线AO的方程应该是 x 0(0 y 3).
• 〔1〕曲线上的点坐标都是这个方程 的解
• 〔2〕以这个方程的解为坐标的点都 是曲线上的点
• 那么这个方程f〔x，y〕=0叫做这条 y
曲线C的方程
f（x，y）=0
• 这条曲线C叫做这个方程的曲线
0
x
说明：1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形
曲线与方程等价对应的两个判定条件： (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
x02 +y02 = 25
两边开方取算术根，得
x02 y02 5,
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆 上的一点.
由〔1〕、〔2〕可知，x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆心，半径 等于5的圆的方程.
例3 判断以下结论的正误并说明理由
对〔1〕过点A〔3，0〕且垂直于x轴的直线为x=3
点M与x轴的距离为| y0 |,与y轴的距离为| x0 |，
所以
|x0|• | y0 | k,
y
即(x0, y0 )是方程xy k的解。
RM
OQ
x
例： 证明：与两条坐标轴的距离的积为常 数k(k＞0)的点的轨迹方程是 xy＝±k.
(2)设点M1的坐标(x1, y1)是方程xy k的解，则
优质实用教学课件精选双曲线及其标准方程PPT课件公开课
解: 6 10 点P的轨迹为双曲线
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5 ∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
课堂练习
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
x
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
焦点在x轴上
焦点在y轴上
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2 哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点 所在位置与分母的大小无关。
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根 据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2 的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：
• 例曲线3、，如求果m方的程范m围x-21+2-ym2 = 1 表示双 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
例2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9， 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨 迹方程．
解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 和B，根据两圆外切的条件，
|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴，线
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5 ∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
课堂练习
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
x
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
焦点在x轴上
焦点在y轴上
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2 哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点 所在位置与分母的大小无关。
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根 据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2 的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：
• 例曲线3、，如求果m方的程范m围x-21+2-ym2 = 1 表示双 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
例2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9， 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨 迹方程．
解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 和B，根据两圆外切的条件，
|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴，线
双曲线及其标准方程ppt课件
F1 O F2
3.限式 |MF1| - |MF2|=±2a
4.代换 即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
5.化简
6
代数式化简得：
y
M (c2 a2) x2 a2 y2 a2 (c2 a2)
F1 O F2
可令：c2-a2=b2
x
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
不存在
(4)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为0,则M点的轨迹是什么?
线段AB的垂5直平分线
（三）合作探究，构建方程
双曲线标准方程推导
1.建系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 y 点为原点建立直角坐标系
M
2.设点
x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F. 2(c,0)
15
16
2
（二）注重细节，理解概念
双曲线定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对 值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹
叫做双曲线.
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
F1 o F2
3
（二）注重细节，理解概念
思考：为什么要求 0<2a<2c? 演示
当2a=2c时，动点的轨迹是什么? 以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射 线． 当2a>2c时，动点的轨迹是什么? 不存在 当2a=0时，动点的轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线
x2 b2
（1 a
0, b
0)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上呢？
(二次项系数为正,焦点在相应的轴8上)
双曲线及其标准方程优质课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
M
F1 o F2
求双曲线方程：
M
1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
F1
F2
2.设点．设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.限制条件 ||MF1| - |MF2||=2a
4.代入坐标
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
坐标
F ( ±c, 0) ，F(0, ± c)
a.b.c的关系
a>b>0，b2=a2-c2 a>0，b>0，b2=c2-a2
作业：P61 A组 1, 2
检测练习：
练习1 若平面内两定点F1(- 4,0),F2(4, 0)，且平面内一 点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝4，求点P的轨迹方程.
x2 y2 1( x 0)
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点的距离的 和 等于常数
（大于两定点间的距离） 的点的轨迹.
几何条件：
M
|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|
F1
F2
2. 问题：
平面内与两定点的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
双曲线定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差 的绝对值
等于常数（不大于︱F1F2︱的）点的轨迹叫做双曲线.
C.双曲线
D.两条射线
练习：
练习3 ： 已知双曲线的焦点在x轴上，且通过点 A( 2, 3)
B( 15 , 2) 求双曲线的原则方程. 3
x2 y2 1 3
小结：
❖ 本节课都学了哪些知识； 你是如何得到的这些知识. ❖ P61 A组 1 2
a2 b2
F1 o F2
求双曲线方程：
M
1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
F1
F2
2.设点．设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.限制条件 ||MF1| - |MF2||=2a
4.代入坐标
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
坐标
F ( ±c, 0) ，F(0, ± c)
a.b.c的关系
a>b>0，b2=a2-c2 a>0，b>0，b2=c2-a2
作业：P61 A组 1, 2
检测练习：
练习1 若平面内两定点F1(- 4,0),F2(4, 0)，且平面内一 点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝4，求点P的轨迹方程.
x2 y2 1( x 0)
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点的距离的 和 等于常数
（大于两定点间的距离） 的点的轨迹.
几何条件：
M
|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|
F1
F2
2. 问题：
平面内与两定点的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
双曲线定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差 的绝对值
等于常数（不大于︱F1F2︱的）点的轨迹叫做双曲线.
C.双曲线
D.两条射线
练习：
练习3 ： 已知双曲线的焦点在x轴上，且通过点 A( 2, 3)
B( 15 , 2) 求双曲线的原则方程. 3
x2 y2 1 3
小结：
❖ 本节课都学了哪些知识； 你是如何得到的这些知识. ❖ P61 A组 1 2
a2 b2
高数空间曲线及其方程ppt课件
解
由
z z
2 x2
x2 y2
y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .
.
z 0
.
o
.
x
y
z =0
2
9
例如,
C
:
x
2
x2 (y
y2 1) 2
空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线投影柱面的交消去z消去x空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线消去z消去x空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线4x消去z空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线3x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3xy63x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3xy63x2y123x2y126所围成的立体图作图练习3x2y126所围成的立体图作图练习3x2y126所围成的立体图作图练习所围立体图作出曲面所围立体图作出曲面学画草图学画草图所围立体图作出曲面备用题求曲线轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
1
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
曲线的方程与方程的曲线-课件
5．一般地：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与 一个二元方程f(x，y)＝0的实数解之间建立了如下的关系： ①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解 为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做 ______________；这条曲线叫做________．
例：画出方程y＝－x2(x≥0)的曲线．
解析：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，
( 2)2＋(3－1)2＝6≠10.
∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点Q( 2 ，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)∵点 Mm2 ，－m在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上．
∴x＝m2 ，y＝－m 适合方程 x2＋(y－1)2＝10.
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/32021/3/32021/3/3M ar-213- Mar-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/32021/3/32021/3/3Wednesday, March 03, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/32021/3/32021/3/32021/3/33/3/2021
程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
答案：(1)不正确 (2)不正确 (3)不正确
一、选择填空题
1．下列命题正确的是( D )
A．方程x－y 2＝1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距为－2 的直线方程
B．△ABC 的三个顶点坐标为 A(－3,0)、B(3,0)、C(0,3)， 则中线 CO(O 为坐标原点)的方程是 x＝0
C．到 y 轴距离为 2 的轨迹方程为 x＝2 D．方程 y＝ x2＋2x＋1表示两条射线
曲线与方程 课件
所以|x0|·|y0|＝k， 即(x0，y0)是方程 xy＝±k 的解．
②设点 M1 的坐标(x1，y1)是方程 xy＝±k 的解， 则 x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点 M1 到纵轴、横轴的距离，因此点 M1 到这 两条直线的距离的积是常数 k，点 M1 是曲线上的点． 由①②可知，xy＝±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数 k(k>0)的点的轨迹方程．
结论：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与 一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这 个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
问题 4 曲线的方程与方程的曲线有什么区别？ 答案 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念， “曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而 “方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形．两者 通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方程成 为曲线(几何图形)的代数表示，从而将研究曲线的性质转 化到讨论相应方程的问题上．
(3)中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程 的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上， (1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：
Hale Waihona Puke 小结 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形， 变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程 表示的曲线就不是原方程的曲线．
答案 不对
问题 3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为 什么？ 答案 y＝±x 理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点 M 的坐 标(x0，y0)满足 y0＝x0 或 y0＝－x0；即(x0，y0)是方程 y＝±x 的解；反之，如果(x0，y0)是方程 y＝x 或 y＝－x 的解，那 么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．
②设点 M1 的坐标(x1，y1)是方程 xy＝±k 的解， 则 x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点 M1 到纵轴、横轴的距离，因此点 M1 到这 两条直线的距离的积是常数 k，点 M1 是曲线上的点． 由①②可知，xy＝±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数 k(k>0)的点的轨迹方程．
结论：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与 一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这 个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
问题 4 曲线的方程与方程的曲线有什么区别？ 答案 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念， “曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而 “方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形．两者 通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方程成 为曲线(几何图形)的代数表示，从而将研究曲线的性质转 化到讨论相应方程的问题上．
(3)中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程 的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上， (1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：
Hale Waihona Puke 小结 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形， 变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程 表示的曲线就不是原方程的曲线．
答案 不对
问题 3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为 什么？ 答案 y＝±x 理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点 M 的坐 标(x0，y0)满足 y0＝x0 或 y0＝－x0；即(x0，y0)是方程 y＝±x 的解；反之，如果(x0，y0)是方程 y＝x 或 y＝－x 的解，那 么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．
高中数学上课用PPT-曲线和方程
o
x
把点 M1(3， 4) 、M2(2 5 ， 2) 的坐标分别代入方程x2 y2 25，
有 32 (4)2 25 成立
(2 5)2 22 25 不成立， (3 ， 4) 是方程的解， (2 5 ， 2) 不是方程的解，
点 M1 在这个圆上， 点 M2(2 5 ， 2) 不在这个圆上.
类比：
抛物线
? ?
方程：y = x2
推广：
任意曲线C 方程：F（x,y）=0
即：任意的曲线和二元方程是否能都建立这种对应关系呢？ 也即：方程F（x,y）=0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的 关系就能用方程F（x,y）=0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程 F（x,y）=0？为什么要具备这些条件？
人教版全日制普通高级中学教科书——数学第二册（上）
曲线和方程
四川省温江中学 舒叶梅
画出方程 x–y = 0 表示的坐标都是方程的解； 2、以这外方程的解为坐标的点都在直线上。 即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应的关系 也即：
直线
方程
x y 0
用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？
(1) (2) (3) x y 0 x2 y 2 0 x y0
（ 1）
（ 2）
（ 3）
这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线” 为：
(1) (2)
CF F C
CF
例 3. 若命题“曲线 C 上的点的坐标满足方程 f(x ， y)=0 ” 是 正确的.则下列命题中正确的是( D ) (A)方程f(x，y)=0 所表示的曲线是C (B)坐标满足 f(x，y)=0 的点都在曲线C上
y
o
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y
y
y
?
O
x
O
x
O
x
A
2021/02/01
B
C
5
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
练习：请标出下列方程所对应的曲线 (1) x y0 (2)x2y2=0 (3)|x|y=0
y
y
y
O
x
O
x
O
x
A
2021/02/01
B
C
6
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
∴(x0,y0)是方程x2+y2=25的解
8
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
例2.证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的
方程是x2+y2=25。 (2)设(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，
y
M(x0,y0)
那么 x02+y02=25 即 x02 y02 5
O
x 即点M(x0,y0)到原点的距离等于5，
∴点M(x0,y0)是这个圆上的点。
由(1)、(2)可知，圆心为坐标原点，半径等于5
20的21/圆02/0的1 方程是x2+y2=25。
9
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
证明已知曲线的方程的方法和步骤： 1.设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0) 是方程f(x0,y0)=0的解 2.设(x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解，证明点 M(x0,y0)在曲线C上
7
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
例1.证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的
方程是x2+y2=25。
y
M(x0,y0)
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意 一点
O
2021/02/01
∵点M到原点的距离等于5，
x
∴ x02y02 5 即：x02+y02=25
11
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
回顾：
1.曲线的方程、方程的曲线 2.点在曲线上的充要条件 3.证明已知曲线的方程的方法和步骤
2021/02/01
12
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
书面作业：
1.习题7.6第1、2题 2.证明以C(a,b)为圆心，R为半径的圆的方程 为(xa)2+(yb)2=R2．
14
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了 方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！
2021/02/01
15
2021/02/01
13
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
研究作业：
1.证明曲线曲线y=x2关于y =x的对称图形 的方程是y2=x
2.证明曲线y=x3x关于点(1,2)的对称曲线 的方程是4 y=(2x)3 (2x)
数学教育之窗：
Email:
2021/02/01
练习：解答下列各题时，说出依据是什么？ ①如点果M曲1(线5,0C)的、方M程2(1是,f5()x是,y否)=0在，方那程么为Px(x2+0,yy20=)在25 的曲曲线线C上上？的充要条件是 f(x0,y0)=0 ②已知方程为x2+y2=25的曲线过点M3(m,3)， 求m的值。
2021/02/01
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点。 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲 线叫做方程的曲线。
2021/02/01
4
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
练习：请标出下列方程所对应的曲线 (1) x y0 (2)x2y2=0 (3)|x|y=0
(x0,y0)是方程xy=0的解
直线l叫方程x-y=0的直线，方程x-y=0叫直线l的方程
M(x0,y0)是C上的点
(x0,y0)是方程y=2x2 (1 x 2) 的解
y
l
8
C
1
x-y=0
O1 x
2021/02/01
y=2x2(1 x 2)
2 -1 O 2 x
3
定义：在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的 点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如 下的关系：
2021/02/01
1
例1.(1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象 限的平分线 l ，并写出其方程.
(2)画出函数y=2x2(1 x 2)的图象C
曲线 ? 方程
点
(x,y)
y
x-y=0
O1 x
2021/02/01
y=2x2(1 x 2)
2 -1 O 2 x
2
M(x0,y0)是l上的点
2021/02/01
10
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
例3.举三个例子，每个例子画一条曲线， 写一个方程。
第一个例子同时满足定义中的两个条件。 第二个例子满足定义中的条件①不满足条 件②。 第三个例子满足定义中的条件② 不满足 条件①。
2021/02/01