江苏省南京市2014届高三考前冲刺训练(南京市教研室) 数学 Word版含答案
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南京市2014届高三数学综合题
一、填空题
1．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0， ]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．
【答案】{ ， ，1}．
【提示】由题意知， 即 ，其中k Z，则k＝ 或k＝ 或k＝1．
【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等．
③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．
其中正确的是___________．（填写正确命题序号）
【答案】①④．
【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．
【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．
4．圆锥的侧面展开图是圆心角为 π，面积为2 π的扇形，则圆锥的体积是______．
当直线过点A时，t最大．由 解得A( ， )，
所以tmax＝ － ＝ ．
因此 的取值范围是[－ ， ]．
【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．
9．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的取值集合是．
因为a15＝－ d＞0，a18＝ d＜0，所以a15＋a18＝－ d＋ d＝ d＜0，
所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故Sn中S16最大．
【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．
【答案】x＋y－2＝0．
【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．
6．已知双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．
【答案】 － ＝1．
【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝klog2x(k为常数，
【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．
3．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：
①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；
【答案】{ ， }．
【提示】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{an}的公差为d，则
1若删去a2，则由2a3＝a1＋a4得2a1q ＝a1＋a1q ，即2q ＝1＋q ，
整理得q (q－1)＝(q－1)(q＋1)．
又q≠1，则可得q ＝q＋1，又q＞0解得q＝ ；
2若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q ，即2q＝1＋q ，整理得q(q－1)(q＋1)＝q－1．
由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝ ．
【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据．
*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则 的取值范围是_________．
【答案wk.baidu.com[－ ， ]．
【提示】由2a＋2b≤21＋c得2a－c＋2b－c≤2，由0≤a＋c－2b≤1得0≤(a－c)－2(b－c)≤1，
0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD为矩形，则k的值是___________．
【答案】 ．
【提示】设A(t，2 log2t)(t＞1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2klog2t)，则有log2t＝2klog2t，
于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤ ≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，
则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0， ＝y－x．
在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t．
如图，当直线y－x＝t与曲线y＝x2相切时，t最小．
此时令y′＝2x＝1，解得x＝ ，于是y＝ ，所以tmin＝ － ＝－ ．
【答案】π．
【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知 ＝ π，且 ·2πr·l＝2 π，解得l＝2，r＝ ，所以圆锥高h＝1，则体积V＝ πr2h＝π．
【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．
5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．
又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得q＝ ．
综上所述，q＝ ．
【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．
*10．数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，设Sn为{bn}的前n项和．若a12＝ a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值等于___________．
【答案】16．
【提示】设{an}的公差为d，由a12＝ a5＞0得a1＝－ d，d＞0，所以an＝(n－ )d，
从而可知1≤n≤16时，an＞0，n≥17时，an＜0．
从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，
故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．
2．如图：梯形ABCD中，AB//CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若 · ＝－12，则 · ＝．
【答案】0．
【提示】以 ， 为基底，则 ＝ ＋ ， ＝ － ，
则 · ＝ 2－ · － 2＝4－8cos∠BAD－12＝－12，
所以cos∠BAD＝ ，则∠BAD＝60o，
则 · ＝ ·( － )＝ ·( － )＝ 2－ · ＝4－4＝0．
一、填空题
1．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0， ]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．
【答案】{ ， ，1}．
【提示】由题意知， 即 ，其中k Z，则k＝ 或k＝ 或k＝1．
【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等．
③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．
其中正确的是___________．（填写正确命题序号）
【答案】①④．
【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．
【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．
4．圆锥的侧面展开图是圆心角为 π，面积为2 π的扇形，则圆锥的体积是______．
当直线过点A时，t最大．由 解得A( ， )，
所以tmax＝ － ＝ ．
因此 的取值范围是[－ ， ]．
【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．
9．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的取值集合是．
因为a15＝－ d＞0，a18＝ d＜0，所以a15＋a18＝－ d＋ d＝ d＜0，
所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故Sn中S16最大．
【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．
【答案】x＋y－2＝0．
【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．
6．已知双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．
【答案】 － ＝1．
【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝klog2x(k为常数，
【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．
3．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：
①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；
【答案】{ ， }．
【提示】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{an}的公差为d，则
1若删去a2，则由2a3＝a1＋a4得2a1q ＝a1＋a1q ，即2q ＝1＋q ，
整理得q (q－1)＝(q－1)(q＋1)．
又q≠1，则可得q ＝q＋1，又q＞0解得q＝ ；
2若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q ，即2q＝1＋q ，整理得q(q－1)(q＋1)＝q－1．
由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝ ．
【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据．
*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则 的取值范围是_________．
【答案wk.baidu.com[－ ， ]．
【提示】由2a＋2b≤21＋c得2a－c＋2b－c≤2，由0≤a＋c－2b≤1得0≤(a－c)－2(b－c)≤1，
0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD为矩形，则k的值是___________．
【答案】 ．
【提示】设A(t，2 log2t)(t＞1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2klog2t)，则有log2t＝2klog2t，
于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤ ≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，
则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0， ＝y－x．
在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t．
如图，当直线y－x＝t与曲线y＝x2相切时，t最小．
此时令y′＝2x＝1，解得x＝ ，于是y＝ ，所以tmin＝ － ＝－ ．
【答案】π．
【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知 ＝ π，且 ·2πr·l＝2 π，解得l＝2，r＝ ，所以圆锥高h＝1，则体积V＝ πr2h＝π．
【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．
5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．
又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得q＝ ．
综上所述，q＝ ．
【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．
*10．数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，设Sn为{bn}的前n项和．若a12＝ a5＞0，则当Sn取得最大值时n的值等于___________．
【答案】16．
【提示】设{an}的公差为d，由a12＝ a5＞0得a1＝－ d，d＞0，所以an＝(n－ )d，
从而可知1≤n≤16时，an＞0，n≥17时，an＜0．
从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，
故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．
2．如图：梯形ABCD中，AB//CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若 · ＝－12，则 · ＝．
【答案】0．
【提示】以 ， 为基底，则 ＝ ＋ ， ＝ － ，
则 · ＝ 2－ · － 2＝4－8cos∠BAD－12＝－12，
所以cos∠BAD＝ ，则∠BAD＝60o，
则 · ＝ ·( － )＝ ·( － )＝ 2－ · ＝4－4＝0．