沪教版六下数学第5讲：方程与一元一次方程-学生版

方程与一元一次方程是初中数学六年级下学期第2章第1节和第2节的内容．在预习阶段，本讲主要讲解方程和一元一次方程的相关概念，方程的解的检验，一元一次方程的解法及一元一次方程的简单应用．重点在于理解一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的解法，为后续重点学习一元一次方程的应用做好准备．1、方程及其相关概念（1）未知数：用字母x、y…等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数；（2）方程：含有未知数的等式叫做方程；（3）元：在方程中，所含的未知数又称为元；（4）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；（5）项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”方程与一元一次方程内容分析知识结构模块一：方程与方程的解知识精讲号在内）称为一项；如在方程 2.50x +=和2052y -=中，x 、2.5、25、2y-都是方程中的一项；（6）系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x 的系数为1，2y -的系数为12-；（7）次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x 、2y-的次数都是1；（8）常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，25． 2、 方程的解如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程 的解．【例1】 判断下列各式，哪些是方程？（1）17x +=； （2）514-+=-； （3）1a a =+； （4）395yx +=； （5）32m n -； （6）2t =； （7）26p =； （8）33ππ⨯=．【例2】 （1）方程2405y x -=中，项25y-的系数是______，次数是______； （2）方程360mn -=中，项3mn 的次数是______，常数项是______． 【例3】 列方程：（1）x 的23与3的和为5； （2）m 的相反数与2的差为2；（3）a 的三次方与b 的平方的和为10；（4）x 、y 的积减去19的差的一半为23．【例4】 检验1x =是不是方程97124x x --=--的解．例题解析【例5】 在下列问题中，引入未知数，列出方程：（1） 某数的3倍与7-的和等于91，求这个数；（2）一个数与它的一半的和为56，求这个数； （3）长方形的长比宽多4厘米，长方形的周长是30厘米，求长方形的长．【例6】 检验4-、1是不是方程2340x x --=的解．【例7】 根据条件，引入未知数列方程：学校开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安 排住3人，就有100人没有床位，那么在学校住宿的学生有多少人？【例8】 根据下列条件列出方程：（1）50千克含糖5%的盐水，现在要把它的浓度提高到含糖15%，需加糖x 千克； （2）商店对某种商品调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是15%，此商品的原价为300元，商品的进价为x 元．【例9】 试写出一个方程使它的解分别是：（1）7x =；（2）2x =或3x =． 思考：满足条件的方程是唯一的吗？【例10】 引入未知数，列出方程：如图，足球上的黑色皮都是五边形的，白色皮都是六边形的，白色皮共有20块，则有多少块黑色皮？1、 一元一次方程的概念只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程．2、 解方程求方程的解的过程叫做解方程．3、 解一元一次方程的一般步骤（1）去分母； （2）去括号； （3）移项；（4）化成ax b =（0a ≠）的形式（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解b x a=．【例11】 判断下列方程是否是一元一次方程？如果不是，请说明理由．（1）30x =； （2）29x y -=； （3）538+=； （4）()234m m --=； （5）61x=； （6）3443x x +=+；（7）0x a +=； （8）2221x x x x ++=+．模块二：一元一次方程及其解法知识精讲例题解析【例12】 当m 为______时，()231m m x -+=是一元一次方程．【例13】 方程()2123x x -=变形为13x x -=，其根据是（ ） A ．方程两边同时加上x B ．方程的两边同时乘以43xC ．方程的两边同时乘以23D ．方程的两边同时乘以32【例14】 解方程：（1）4354x x +=-； （2）0.30.66 1.2x x -=-；（3）93277575x x +=-；（4）()()547715x x ---=．【例15】 下列解方程过程中，变形正确的是（ ）A ．由213x -=，得231x =-B ．由9798x -=，得9798x =-C ．由0.311 1.240.1x x ++=+，得31011241x x ++=+D ．由132x x-=，得236x x -= 【例16】 若方程()2310n a x bx c +++=表示关于x 的一元一次方程，则常数a 、b 、c 、n 必须满足怎样的条件？【例17】 解方程：（1）()()()2234191x x x ---=-； （2）()30%70%440%x x x ++=-；（3）32122234x x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）()()()21133336424x x x -+-=-+；（5）0.40.31.60.20.5x x +--=-．【例18】 当x =______时，代数式()1316x +与233x -的值为互为相反数．【例19】 已知关于x 的方程()()324x a x a +=-的解为3x =，求a 的值．【例20】 解方程：235x +=．【例21】 解方程：100813355720152017x x x x++++=⨯⨯⨯⨯L ．【例22】 若a 、b 、c 是正数，解方程：3x a b x b c x c ac a b------++=．1、 列方程解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）； （3）列方程； （4）解方程； （5）检验并作答．模块三：一元一次方程的应用知识精讲【例23】列方程求解：（1）某数与6的和的3倍等于21，求这个数；（2）矩形的周长是40，长比宽多10，求矩形的长和宽．【例24】三个连续整数的和为93，求这三个数．【例25】甲、乙两桶油质量相等．甲桶用去26千克，乙桶加入14千克，此时乙桶油的质量是甲桶油的3倍，两桶油原来各多少千克？【例26】一根电线，第一次用去13，第二次用去16米，还剩全长的25，这根电线的原长多少米？【例27】某班学生合买一件纪念品，每人出0.6元，则多出4.8元，若每人出0.5元，则差0.3元，求该班的学生人数．例题解析【例28】鸡和兔一共20只，共有70条腿，求鸡和兔各有几只？【例29】希腊数学家丢番图（公元3~4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他的寿命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感动很幸福；可是儿子只活了他父亲年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”请回答：（1）他结婚的年龄；（2）他开始当爸爸的年龄；（3）他儿子死时他的年龄；（4）他去世时的年龄．【例30】牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？（假设每头牛每天吃草量相同）【习题1】 下列式子中，不是方程的是（ ）A ．5x y +=B ．3y =-C ．2x y -D ．21x =-【习题2】 判断下列方程是不是一元一次方程：（1）511x =；（2）2100x -=； （3）392yx -=；（4）()4320t t -+=．【习题3】 和方程334x x -=+的解不完全相同的方程是（ ）A ．74511x x -=-B ．1203x +=+C ．()()()()2213134a x a x +-=++D ．()()()()7415111x x x x --=--【习题4】 当a ______，n =______时，方程()2232n a x -+-=是一元一次方程．【习题5】 检验下列各数是不是方程124326x x x+-+-=的解． （1）1x =；（2）2x =．【习题6】 根据条件，设未知数，列方程．（1） 学校举办科技节，航模组16人，小明加入车模组后，航模组的人数比车模组人数的14多5人，求原车模组人数；随堂检测（2）小智和小方交流暑假活动，小智说：“我参加了夏令营，外出五天，这五天的日期之和为40，你知道我是几号出去的吗？”请你帮小方解决这个问题．【习题7】 解方程：（1）111128612345x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭；（2）()0.370%20020054%x x +-=⨯；（3）0.20.50.030.0250.50.032x x x ++--=．【习题8】 若x = 2是方程40ax -=的解，求方程243x ax x a -=+的解．【习题9】 小智今年的年龄是妈妈的13，两年前母子的年龄相差24岁，那么四年后母子的年龄和为多少？【习题10】 方程()72234x x -=-和方程()()7463x a x a ++=--+的解相同，求a 的值．【作业1】 判断下列各式是不是方程，如果不是说明理由．（1）41y x =-；（2）232x x ++；（3）8998⨯=⨯；（4）1 = 0．【作业2】 下列方程中是一元一次方程的是（ ）A ．12x x+= B ．2520x x -+= C ．2163x -= D ．40xy -=【作业3】 方程5324x x +=-移项可得（ ）A ．5234x x +=-B ．5234x x -=-C ．5234x x +=--D ．5234x x -=--【作业4】 检验2、3-是不是方程2560x x -+=的解．课后作业【作业5】 解方程：（1）211136x x x +---=+；（2）()35%25%10030024%x x +-=⨯；（3）1.7210.30.7x x -=-．【作业6】 关于x 的方程()22450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x =___．【作业7】 方程32x -=的解是______．【作业8】 已知2-是关于x 的方程()21523mx x =+-的解，则()201721117m m -+=______．【作业9】甲、乙两人各有钱若干元，已知甲的钱数是乙的4倍，当甲花去13后，又花去余下的13，如果这是甲给乙7元钱，甲、乙两人的钱数正好相等，问甲原来有多少钱？【作业10】已知方程124123x x+--=的解是2a+，那么方程()()2233x x a+--=⎡⎤⎣⎦3a的解是______．。