多重积分的变量替换
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线性变换：讨论特征函数 正则变换：讨论特征函数
• 非负可测函数和有积分函数的积分 变换公式
3
n 复习R 上正则变换
• 定义:设Rn是非空开集, T Rn满足 下列条件:
T在上是单射； T在上有一阶连续导数(即是C1的); DT=T在上处处可逆(即J(T)=det(T)恒不为零)
8
正则变换是可测变换
• 可测变换: 把可测集映射成可测集的变换叫 做可测变换 • 正则变换是可测变换: 由正则变换把开集映 射成开集, 再由正则变换是单射, 因此在正 则变换下, 交的像等于像的交. 由任一个可 测集包含在可数多个开集的交中,并且两者 的差的测度为零.因此只要能证明零测集的 像还是零测集就行了 • 步骤: (1) 在一个闭方块中的零测集的像是 零测集; (2) 一般的零测集的像是零测集
k 1
C
n k 1
k
11
零测集的像是零测集
• 设Rn中的开集,T为上的C1变换. E 为零测集, 即|E|=0, 则|T(E)|=0. • 证明: 可以表示成可数多个闭方块的并以 及上面的结论，就可以得到所要的结论.#
12
可测集的像是可测集
• 设Rn中的开集,T为上的正则变换.E, 为可测集, 则T(E)也是可测集. • 证明: 由E可测, 则存在可数多个开集Gk和零 测集Z, 有
• 基本结果：Fra Baidu bibliotek
– 测度
T ( E ) J (T )
E
– 积分
T (E)
f f T J (T )
E
• 如何证明：
– 线性变换: 此时J(T)是常数 – 正则变换
15
线性变换测度公式
• 设L是Rn上的线性变换, ERn可测. 则L(E) 可测且|L(E)|=|det(L)| |E|. • 证明步骤：只需要讨论L为可逆的情形
任取, 由|E|=0, 存在可数多开方块 C k, E Ck , Ck k=1,2,… n n 1 k 1 k 1
10
闭方块中零测集的像(续)
(k ) a 不妨设 Ck Q , 否则用CKQ替代CK.取 Ck 为 Ck的中心, 记Ck的边长为 lk , 我们有
则称T为上的正则变换. • 结论: T()开集、T-1: T()也是正则 变换、且 1 1 x , T (T ( x)) T ( x)
4
记号复习：导数矩阵
• 导数矩阵(也叫Jacobi矩阵):
T1 ( x) x1 T2 ( x ) DT ( x) T ( x) x1 Tn ( x) x 1
T1 ( y ) T1 ( x ) T1 T1 y x 1 1 x n x1 o y x ( y x) Tn Tn Tn ( y ) Tn ( x ) x1 x n yn xn
T1 ( x) x2 T2 ( x) x2 Tn ( x) x2
T1 ( x) xn T2 ( x) xn Tn ( x) xn
5
记号复习：差分的表示
• 设x, B(x,r) (r>0),yB(x,r).T Rn 在x点可微, 则
E Gk \ Z k 1
注意T(Gk)是开集且 T E 就得到结论.#
T Gk \ T Z k 1
13
问题二
• 如果仅要求T是C1的, T还能把可测集映成可 测集吗？ • 其他类型的可测变换.
14
正则变换如何改变测度
7
记号复习：线性变换
• 设L: RnRn为线性变换, 在取定基(通常取标 准基)后, L可等同为一个n阶方阵(也记为L). • 线性变换是可微变换; 如果还是非奇异(也叫 非退化的), 就是正则变换 • L(x)=Lx; L(x)=L; J(L)=det(L) • 线性变换的范数: ||L||=max{|Lx| : |x|=1} • 导数的范数: ||T||E=sup{||T(x)|| : xE}
x Ck , T x T a xa (k ) 因此 T C Q T a , k nl
(k )
k
(k )
nlk
2
Q
所以
n
T a n l
(k )
n n k
n
C
n
k
T ( E ) T Ck n
积分学
多重积分的变 量替换
1
讨论的缘由
• 单积分或一重积分的变量替换(也 叫换元)的根据是微积分基本定理, 其在计算和证明中的作用是巨大的. 在证明了Fubini定理之后, 它在重 积分的讨论中也获得应用.但这还 是不够的！ • 多重积分的一般变量替换是一个十 分重要、有趣题目
2
基本思路
• 什么样的Rn到自身的变换是保集合 的可测性的?基本例子:正则变换 • 正则变换如何改变可测集的测度?
T ( y) T ( x) T ( x)( y x) o y x ( y x)
n
• 其中T(y), T(x), y和x都是n维列向量, |y-x|是 n维欧氏范数(也叫长度或距离)
yx
y x
i 1 i i
2
6
记号复习：差分矩阵表示
• 上页的式子的矩阵形式：
9
闭方块中零测集的像
• 设 Rn中的开集,T为上的C1变换. 闭方块 Q, EQ为零测集, 即|E|=0, 则|T(E)|=0. • 证明:只要证明,|T(E)|<就行了.记 =||T||Q, 由微分中值不等式 x, y Q, T ( x) T ( y) x - y
• 非负可测函数和有积分函数的积分 变换公式
3
n 复习R 上正则变换
• 定义:设Rn是非空开集, T Rn满足 下列条件:
T在上是单射； T在上有一阶连续导数(即是C1的); DT=T在上处处可逆(即J(T)=det(T)恒不为零)
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正则变换是可测变换
• 可测变换: 把可测集映射成可测集的变换叫 做可测变换 • 正则变换是可测变换: 由正则变换把开集映 射成开集, 再由正则变换是单射, 因此在正 则变换下, 交的像等于像的交. 由任一个可 测集包含在可数多个开集的交中,并且两者 的差的测度为零.因此只要能证明零测集的 像还是零测集就行了 • 步骤: (1) 在一个闭方块中的零测集的像是 零测集; (2) 一般的零测集的像是零测集
k 1
C
n k 1
k
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零测集的像是零测集
• 设Rn中的开集,T为上的C1变换. E 为零测集, 即|E|=0, 则|T(E)|=0. • 证明: 可以表示成可数多个闭方块的并以 及上面的结论，就可以得到所要的结论.#
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可测集的像是可测集
• 设Rn中的开集,T为上的正则变换.E, 为可测集, 则T(E)也是可测集. • 证明: 由E可测, 则存在可数多个开集Gk和零 测集Z, 有
• 基本结果：Fra Baidu bibliotek
– 测度
T ( E ) J (T )
E
– 积分
T (E)
f f T J (T )
E
• 如何证明：
– 线性变换: 此时J(T)是常数 – 正则变换
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线性变换测度公式
• 设L是Rn上的线性变换, ERn可测. 则L(E) 可测且|L(E)|=|det(L)| |E|. • 证明步骤：只需要讨论L为可逆的情形
任取, 由|E|=0, 存在可数多开方块 C k, E Ck , Ck k=1,2,… n n 1 k 1 k 1
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闭方块中零测集的像(续)
(k ) a 不妨设 Ck Q , 否则用CKQ替代CK.取 Ck 为 Ck的中心, 记Ck的边长为 lk , 我们有
则称T为上的正则变换. • 结论: T()开集、T-1: T()也是正则 变换、且 1 1 x , T (T ( x)) T ( x)
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记号复习：导数矩阵
• 导数矩阵(也叫Jacobi矩阵):
T1 ( x) x1 T2 ( x ) DT ( x) T ( x) x1 Tn ( x) x 1
T1 ( y ) T1 ( x ) T1 T1 y x 1 1 x n x1 o y x ( y x) Tn Tn Tn ( y ) Tn ( x ) x1 x n yn xn
T1 ( x) x2 T2 ( x) x2 Tn ( x) x2
T1 ( x) xn T2 ( x) xn Tn ( x) xn
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记号复习：差分的表示
• 设x, B(x,r) (r>0),yB(x,r).T Rn 在x点可微, 则
E Gk \ Z k 1
注意T(Gk)是开集且 T E 就得到结论.#
T Gk \ T Z k 1
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问题二
• 如果仅要求T是C1的, T还能把可测集映成可 测集吗？ • 其他类型的可测变换.
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正则变换如何改变测度
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记号复习：线性变换
• 设L: RnRn为线性变换, 在取定基(通常取标 准基)后, L可等同为一个n阶方阵(也记为L). • 线性变换是可微变换; 如果还是非奇异(也叫 非退化的), 就是正则变换 • L(x)=Lx; L(x)=L; J(L)=det(L) • 线性变换的范数: ||L||=max{|Lx| : |x|=1} • 导数的范数: ||T||E=sup{||T(x)|| : xE}
x Ck , T x T a xa (k ) 因此 T C Q T a , k nl
(k )
k
(k )
nlk
2
Q
所以
n
T a n l
(k )
n n k
n
C
n
k
T ( E ) T Ck n
积分学
多重积分的变 量替换
1
讨论的缘由
• 单积分或一重积分的变量替换(也 叫换元)的根据是微积分基本定理, 其在计算和证明中的作用是巨大的. 在证明了Fubini定理之后, 它在重 积分的讨论中也获得应用.但这还 是不够的！ • 多重积分的一般变量替换是一个十 分重要、有趣题目
2
基本思路
• 什么样的Rn到自身的变换是保集合 的可测性的?基本例子:正则变换 • 正则变换如何改变可测集的测度?
T ( y) T ( x) T ( x)( y x) o y x ( y x)
n
• 其中T(y), T(x), y和x都是n维列向量, |y-x|是 n维欧氏范数(也叫长度或距离)
yx
y x
i 1 i i
2
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记号复习：差分矩阵表示
• 上页的式子的矩阵形式：
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闭方块中零测集的像
• 设 Rn中的开集,T为上的C1变换. 闭方块 Q, EQ为零测集, 即|E|=0, 则|T(E)|=0. • 证明:只要证明,|T(E)|<就行了.记 =||T||Q, 由微分中值不等式 x, y Q, T ( x) T ( y) x - y