高等数学下册试题及答案解析知识讲解

高等数学下册试题及
答案解析
高等数学（下册）试卷（一）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分
⎰⎰
≤++1
||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表
示为 ，其值为 。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()
()
(βαψϕ≤≤⎩⎨
⎧==x t y t x 则弧长元素
=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则
=++⎰⎰∑
ds y x )122（ 。

6、微分方程
x
y
x y dx dy tan +=的通解为 。

7、方程04)4(=-y y 的通解为 。

8、级数∑
∞
=+1
)1(1
n n n 的和为 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；
（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；
（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；
（D ）0)
()(),(),(lim 2
2
00000
=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆
y x y
y x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y
u
y x u x ∂∂+∂∂等于
（ ）
（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω
=zdV I 等于（ ）
（A ）4⎰⎰⎰20
20
1
3cos sin π
π
ϕϕϕθdr r d d ；
（B ）⎰⎰⎰20
1
2sin π
πϕϕθdr r d d ；
（C ）⎰
⎰⎰ππ
ϕϕϕθ20
20
1
3cos sin dr r d d ；
（D ）⎰
⎰⎰ππϕϕϕθ20
1
3cos sin dr r d d 。

4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ）
（A ）⎰⎰
-20
cos 20
2244π
θθa dr r a d ；
（B ）⎰⎰
-20
cos 20
2244π
θθa dr r a r d ；
（C ）⎰⎰
-20
cos 20
2248π
θθa dr r a r d ；
（D ）⎰
⎰
-
-22
cos 20
224π
πθθa dr r a r d 。

5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数
),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+L
Qdy Pdx )(
（A ）⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy x Q y P )(
； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy x P y Q )(；
（C ）⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy y Q x P )(
； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy y P x Q )(。

6、下列说法中错误的是（ ）
（A ） 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx
dy
x dx dy y
sin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程
x
y
x dx dy 221=
+是伯努利方程。

7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）
（A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -； （D ）x e x 2sin 。

8、设0lim =∞
→n n nu , 则∑∞
=1n n u （ ）
（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。

)(),,(xy x g v xy x f u +==，求
y
u
x u ∂∂∂∂,。

2、（8分）设⎰+-=t x t
x dz z f t x u )(),(，求
t
u x u ∂∂∂∂,。

四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算=I ⎰⎰-2
22
x
y dy e
dx 。

（7分）
2、计算⎰⎰⎰Ω
+=dV y x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的
空间闭区域（8分）。

五、（13分）计算⎰
+
+-=L y
x ydx
xdy I 2
2，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)
()(1)
()()(y f x f y f x f y x f -+=
+，且)0(f '存
在，求)(x f 。

七、（8分）求级数∑∞
=++--1
1
212)2()1(n n n
n x 的收敛区间。

高等数学（下册）试卷（二）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则
=∂∂+∂∂y
z
x z 。

2、=+-→→xy
xy
y x 93lim
0 。

3、设⎰⎰
=20
2),(x x
dy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。

4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则⎰⎰
≤+→=++
2
22)(1
lim 223
t y x t d y x f t σπ 。

5、设L 为取正向的圆周422=+y x ，则曲线积分
⎰
=-++L
x x dy x ye dx ye y )2()1( 。

6、设→
→
→
+++++=k xy z j xz y i yz x A )()()(2
2
2
，则=A div 。

7、通解为x x e c e c y 221-+=的微分方程是 。

8、设⎩⎨
⎧<<<≤--=π
πx x x f 0,
10,
1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）。

1、设函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=+≠++=0
,00,),(22224
22
y x y x y x xy y x f ,则在点（0，0）处（ ）
（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。

2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足
02≠∂∂∂y x u
及 +∂∂22x u 022=∂∂y
u ，
则（ ）
（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。

3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若⎰⎰+=D
d y x I σ21)(，
⎰⎰+=D
d y x I σ32)(
则有（ ）
（A ）21I I <； （B ） 21I I =； （C ）21I I >； （D ）不能比较。

4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则
⎰⎰⎰Ω
dxdydz z xy 3
2 =（ ） （A ）
3611； （B ）3621； （C ）3631 ； （D ）364
1。

5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎩⎨⎧==)
()
(t y t x ψϕ
)(βα≤≤t ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且
0)()(22≠'+'t t ψϕ， 则曲线积分⎰=L
ds y x f ),(（ ）
(A) ⎰βα
ψϕdt t t f ))(),((； (B) ⎰'+'α
β
ψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22 ；
(C) ⎰'+'βα
ψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22； (D)⎰α
β
ψϕdt t t f ))(),((。

6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x ， 则曲面积分
⎰⎰∑
++zdxdy ydzdx xdydz =（ ）
(A) 0 ； (B) π2 ； (C)π ； (D)π4。

7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（ ）
(A) 0)()(=++'x q y x p y ； (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''； (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。

8、设级数∑∞
=1n n a 为一交错级数，则（ ）
(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；
(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若)0(0→→n a n ，则必收敛。

三、求解下列问题（共计15分）
1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，
-2，2）
的方向的方向导数。

2、（7分）求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围
成的闭区域D 上的最大值和最小值。

四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算⎰⎰⎰
Ω
+++=3
)1(z y x dv
I ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及
1=++z y x 所围成的立体域。

2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω
++=dv y x f z t F )]([)(222，
其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt
dF 。

五、求解下列问题（15分）
1、（8分）求⎰-+-=L
x x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，
0）经2x ax y -=到O （0，0）的弧。

2、（7分）计算⎰⎰∑
++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中∑是
)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧。

六、（15分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分
⎰
'++-'L
x dy x ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关，求函数)(x ϕ。

高等数学（下册）试卷（三） 一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设⎰=yz
xz t dt e u 2
， 则
=∂∂z
u。

2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=l 的方向导数
)
0,0(l
f ∂∂= 。

3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分
⎰⎰⎰Ω
=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。

4、设),(y x f 为连续函数，则=I ⎰⎰=+
→D
t d y x f t σπ),(1lim 2
，其中
222:t y x D ≤+。

5、⎰=+L
ds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。

6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω∂是由有限块分片光滑的曲面所
组成，如果函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。

7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y 。

8、若级数∑∞
=--1
1
)1(n p
n n 发散，则p 。

二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、设),(b a f x '存在，则x
b x a f b a x f x )
,(),(lim
--+→=（ ）
（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）2
1
),(b a f x '。

2、设2
y x z =，结论正确的是（ ）
（A ）022>∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （B ）022=∂∂∂-∂∂∂x y z
y x z ；
（C ）022<∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ； （D ）022≠∂∂∂-∂∂∂x
y z y x z 。

3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为
21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=D
d y x f σ),(（ ）
（A ）0；（B ）2⎰⎰1
),(D d y x f σ；（C ）4⎰⎰1
),(D d y x f σ； (D)2⎰⎰2
),(D d y x f σ。

4、设Ω：2222R z y x ≤++，则⎰⎰⎰Ω
+dxdydz y x )(22=（ ）
（A ）538R π； （B ）534R π； （C ）5158R π； （D ）515
16
R π。

5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为
),(y x ρ，则曲线弧Ｌ的重心的x 坐标x 为（ ） （Ａ）x =
⎰
L
ds y x x M
),(1
ρ； （B ）x =
⎰
L
dx y x x M
),(1ρ；
（C ）x =⎰L
ds y x x ),(ρ； （D ）x =⎰
L
xds M
1, 其中M 为曲线弧Ｌ的
质量。

６、设∑为柱面122=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外
侧，则 曲面积分⎰⎰∑
++ydxdz x xzdydz zdxdy y 22＝（ ）
（A ）0； （B ）4π-
； （C ）245π； （D ）4
π。

７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ）
（A ）A ，若1)(=x f ； （B ）x Ae ，若x e x f =)(；
（C ）E Dx Cx Bx Ax ++++234，若x x x f 2)(2-=； （D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=。

８、设⎩⎨
⎧≤<<≤--=π
πx x x f 01
0,
1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于
（ ） （A ）
])1(1[2n n --π； （B ）0； （C ）π
n 1； （D ）πn 4。

三、（１２分）设t t x f y ),
,(=为由方程 0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其
中F f ,具有一阶连续偏导数，求dx dy 。

四、（８分）在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离
最短。

五、（８分）求圆柱面y y x 222=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的
面积Ａ。

六、（１２分）计算⎰⎰∑
=xyzdxdy I ，其中∑为球面 1222=++z y x 的
0,0≥≥y x 部分
的外侧。

七、（10分）设x x d x df 2sin 1)
(cos )
(cos +=，求)(x f 。

八、（10分）将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数。

高等数学（下册）试卷（四）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、由方程2222=+++z y x xyz 所确定的隐函数),(y x z z =在点（1，0，-1）处的全微分=dz 。

2、椭球面632222=++z y x 在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 。

3、设D 是由曲线2,2+==x y x y 所围成，则二重积分
⎰⎰=+=D
dxdy x I )1(2 。

4、设Ω是由4,0,422===+z z y x 所围成的立体域，则三重积分
⎰⎰⎰Ω
+=dv y x I )(22= 。

5、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面积分
⎰⎰∑
=+=ds y x I )(22 。

6、
⎰⎩
⎨⎧=++=++=02
2222z y x a z y x ds x。

7、已知曲线)(x y y =上点M(0,4)处的切线垂直于直线052=+-y x ，且
)(x y 满足微分方程02=+'+''y y y ，则此曲线的方程是 。

8、设)(x f 是周期T=π2的函数，则)(x f 的Fourier 系数为 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、函数xy x
y
z +=arcsin 的定义域是（ ）
（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ； （C ）{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤x y x y x Y ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x Y 。

2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面
0122=-++z y x ，则点P 的坐标是（ ）
（A ）（1，-1，2）； （B ）（-1，1，2）；（C ）（1，1，2）； （D ）（-1，-1，2）。

3、若积分域D 是由曲线2x y =及22x y -=所围成，则⎰⎰D
d y x f σ),(=
（ ）
（A ） ⎰
⎰
--22211),(x x dy y x f dx ； （B ） ⎰
⎰--22211
),(x x dy y x f dx ；
（C ） ⎰
⎰-y y
dx y x f dy 21
),(； （D ）⎰⎰
--1
1
2),(22
dx y x f dy x x 。

4、设;0,:22221≥≤++Ωz R z y x 0,0,0,:22222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ， 则有（ ）
（A ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4xdv xdv ； （B ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4ydv ydv ；
（C ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4xyzdv xyzdv ； （D ）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4zdv zdv 。

5、设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成的立体的表面，则曲面积
分⎰⎰∑
+ds y x )(22=（ ）
（A ）
π221+； （B ）2
π
； （C ）π22； （D ）0 。

６、设∑是球面2222a z y x =++表面外侧，则曲面积分
⎰⎰∑
++dxdy z dzdx y dydz x 3
33＝（
）
（A ）
3512a π； （B ）5512a π； （C ）55
4
a π； （D ）55
12
a π-。

７、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率
x
y x x
x k ln ln +-
=，则此曲线方程为（ ）
（A ）)ln(ln x x e x y +=
； （B ）x x e
x
y ln +=； （C ）)ln(ln x x ex y +=； （D ）)ln(ln x e x
y +=。

８、幂级数∑∞
=+1)1(n n x n 的收敛区间为（ ）
（A ）（-1，1）； （B ）),(+∞-∞； （C ）（-1，1）； （D ）[-1，1]。

三、（１０分）已知函数)()(x
y
xg y x yf u +=，其中g f ,具有二阶连续导数，
求
y x u
y x u x ∂∂∂+∂∂222的值。

四、（１０分）证明：曲面)0(3>=c c xyz 上任意点处的切平面与三坐标面所
围成立体的体积为一定值。

五、（１４分）求抛物面224y x z ++=的切平面π，使得π与该抛物面间并
介于柱面
1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小。

六、（１０分）计算⎰-++=L
x x dy x y e dx y y e I )cos ()sin (，其中Ｌ为
24x y --=由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段。

七、（８分）求解微分方程212
y y
y '-+''=0 。

八、（８分）求幂级数∑∞
=1n n
n
x 的和函数)(x S 。

高等数学（下册）试卷（五）
一、填空题（每小题3分，共计24分）
1、设),(y x f z =是由方程0=+----x y z xe x y z 所确定的二元函数，则
=dz 。

２、曲线⎩⎨⎧=-+-=-++045320
3222z y x x z y x 在点（１，１，１）处的切线方程
是 。

３、设Ω是由1222≤++z y x ，则三重积分⎰⎰⎰Ω
dv e z
＝ 。

４、设)(x f 为连续函数，m a ,是常数且0>a ，将二次积分
⎰
⎰⋅-a y
x a m dx x f e dy 0
)()( 化为定积分为 。

５、曲线积分⎰+)
(AB L Qdy Pdx 与积分路径)(AB L 无关的充要条件
为 。

６、设∑为222y x a z --=，则⎰⎰∑
=++ds z y x )(222 。

７、方程x e y y 23=+'的通解为 。

８、设级数∑∞
=1
n n a 收敛，∑∞
=1
n n b 发散，则级数∑∞
=+1
)(n n n b a 必是 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）
１、设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=)
0,0(),(,0)0,0(),(,),(2
22y x y x y
x y
x y x f ，在点（０，０）处，
下列结论（ ）成立。

（Ａ）有极限，且极限不为0； （Ｂ）不连续； （Ｃ）0)0,0()0,0(='='y x f f ； （Ｄ）可微。

２、设函数),(y x f z =有222=∂∂y f
，且1)0,(=x f ，x x f y =')0,(，则),(y x f =
（ ）
（Ａ）21y xy +-； （Ｂ）21y xy ++； （Ｃ）221y y x +-；
（Ｄ）221y y x ++。

３、设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+D
d y x f σ)(22在极坐标
系中等于（ ）
（Ａ）dr r rf ⎰2
1
)(2π； （Ｂ）dr r rf ⎰2
1
2)(2π；
（Ｃ）⎰⎰-1
22
2
])()([2dr r f r dr r f r π； （Ｄ）
⎰⎰-1
220
2])()([2dr r rf dr r rf π。

４、设Ω是由0,0,0===z y x 及12=++z y x 所围成，则三重积分
⎰⎰⎰Ω
=)(
),,(dv z y x xf
（Ａ） ⎰
⎰
⎰---y x y dy z y x xf dz dx 210
210
1
),,(；
（Ｂ） ⎰
⎰⎰--y
x dz z y x xf dy dx 210
10
10
),,(；
（Ｃ） ⎰
⎰
⎰---y x x dz z y x xf dy dx 210
210
1
),,(；
（Ｄ） ⎰⎰⎰10
1
10
),,(dz z y x xf dy dx 。

５、设∑是由1,11,0,0,0======z y x z y x 所围立体表面的外侧，则曲面积分
⎰⎰∑
=++)(
zdxdy ydzdx xdydz
（Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）3； （Ｄ）2。

６、以下四结论正确的是（ ）
（Ａ）
⎰⎰⎰≤++=++2
2225
22234)(a z y x a dv z y x π； （Ｂ）
()
;44222
2
222a ds z y x a z y x π=++⎰⎰=++
（Ｃ）
⎰⎰
=++=++外侧
222242224)(a z y x a dxdy z y x π；
（Ｄ） 以上三结论均错误。

７、设)(x g 具有一阶连续导数，1)0(=g 。

并设曲线积分
⎰
-L
dy x g xdx x yg )(tan )( 与积分路径无关，则
⎰
=-)
4,4()
0,0()()(tan )(π
πdy x g xdx x yg
（Ａ）
π22； （Ｂ）π2
2-； （Ｃ）π82； （Ｄ）π8
2
-。

８、级数∑∞
=---111
2
)1(n n n 的和等于（ ）
（Ａ）2/3；（Ｂ）1/3； （Ｃ）1； （Ｄ）3/2。

三、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）设,z
y x u =求y u x u ∂∂∂∂,z
u ∂∂。

２、（７分）设),(z
y
y x f u =，f 具有连续偏导数，求du 。

四、求解下列问题（共计１５分）
１、（８分）计算⎰⎰
++=D
d y f x f y bf x af I σ)
()()
()(，其中222:R y x D ≤+。

２、（７分）计算⎰⎰⎰Ω
+++=dv z y x I )1(，其中2222:R z y x ≤++Ω。

五、（１５分）确定常数λ，使得在右半平面0>x 上，
⎰
+-+L
dy y x x dx y x xy λλ)()(224224与积分路径无关，并求其一个原函数
),(y x u 。

六、（８分）将函数3
)
1(1)(x x
x f -+=展开为x 的幂级数。

七、（７分）求解方程096=+'-''y y y 。

高等数学（下册）试卷（六）
一、单选题（共15分，每小题3分）
1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )
A ．(,)f x y 在P 连续
B ．(,)f x y 在P 可微
C ． 0
0lim (,)x x f x y →及 0
0lim (,)y y f x y →都存在 D ．
00(,)(,)
lim (,)x y x y f x y →存在
2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）．
ln ln ln ln .x x y y y y
A x y +
ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x
y y C y
ydx dy x + ln ln ln ln .x x y y y x
D dx dy x y
+
3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则
(),,(=⎰⎰⎰Ω
dxdydz z y x f
）．
21
2
00
cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π
θ
θθθ⎰
⎰
⎰
21
2
cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π
θ
θθθ⎰
⎰
⎰
21
20
02
cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π
θ
πθθθ-⎰⎰
⎰
21
cos .(cos ,sin ,)x
D d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰
⎰
4． 4．若1(1)n n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．
A ． 条件收敛
B ． 绝对收敛
C ． 发散
D ． 敛散性不能确定
5．曲线22
2
x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）
二、填空题（共15分，每小题3分）
1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = . 2．交 换ln 10
(,)e
x I dx f x y dy =⎰⎰
的积分次序后，I =_____________________．
3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .
4. 已知0!
n
x
n x e n ∞
==∑，则x xe -= .
5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分） 1.（本小题满分6分）设arctan y z y x
=, 求z x ∂∂,z y ∂∂.
2.（本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面
23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程
3. （本小题满分7分）求函数2
2
z x y =+在点(1,2)
处沿向量122
l i j =+
r r r
方向的方向导数。

4. （本小题满分7分）将x
x f 1
)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。

5．（本小题满分7分）求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数
),(y x z z =的极值。

6．（本小题满分7分）计算二重积分
1,1,1,)(222
=-=--=+⎰⎰y y y x D d y x
D
由曲线σ及2-=x 围成.
7.（本小题满分7分）利用格林公式计算⎰-L
x y x y xy d d 22，其中L 是圆周
222a y x =+（按逆时针方向）.
8.（本小题满分7分）计算⎰⎰⎰Ω
z y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面
0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.
.
四、综合题（共16分，每小题8分）
1．（本小题满分8分）设级数1
1
,n n n n u v ∞
∞
==∑∑都收敛，证明级数21
()n n n u v ∞
=+∑收敛。

2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数，且
2f
x x
∂=∂， 证明曲线积分 2(,)L
xydx f x y dy +⎰与路径无关．若对任意的t 恒有
(,1)
(1,)
(0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+⎰
⎰
，求),(y x f 的表达式．
高等数学（下册）试卷（一）参考答案
一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；
2、负号；
3、2
3;
11
0⎰⎰⎰
⎰-+=D
y e e y
dx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'；
5、180π；
6、Cx x
y
=sin
； 7、x
x
e C e
C x C x C y 2423212sin 2cos -
+++=； 8、1；
二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、
21f y f x
u
'+'=∂∂；)(xy x g x y u +'=∂∂； 2、
)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u
-++=∂∂； 四、1、)1(2
1
420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；
2、⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰=
+=
πππθθ20
20
21
20
2
21322
33
14
2r
dz r dr d dz r dr d I
柱面坐标
； 五、令2
222
,y x x
Q y x y P +=+-=则x
Q
y x x y y P ∂∂=+-=∂∂2
2222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，
x
Q
y P ∂∂∂∂,在D 内连续。

所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，
x
Q y P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，
则
πε2)(
2
22*
=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰=+++-
++++
y x D l
l L l
l
L dxdy y P
x Q Green I 公式
六、由所给条件易得： 0)0()
0(1)
0(2)0(2
=⇒-=
f f f f 又x
x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)
()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)
()()(1)
()(lim 0
x
f x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)
0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'=
即 )0()
(1)
(2
f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(arctan 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(tan()(x f x f '=∴
七、令t x =-2，考虑级数∑∞
=++-1
1
212)1(n n n
n t
Θ21
23
21
232lim t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；
当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散； 当1-=t 即1=x 时，级数∑∞
=++-11
1
21
)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞
=+-1
1
21
)1(n n
n 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）试卷（二）参考答案
一、1、1； 2、-1/6； 3、⎰⎰
⎰⎰
+2
02
/42
22
/),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ； 4、
)0(3
2
f '； 5、π8-； 6、)(2z y x ++； 7、02=-'+''y y y ； 8、0； 二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ； 三、1、函数)ln(22z y x u ++=在点A （1，0，1）处可微，且
)
1,0,1(2
2
1z
y x x u A ++=
∂∂2/1=；
01)
1,0,1(2
2
2
2
=+⋅
++=
∂∂z y y z
y x y u A ；
2/11)
1,0,1(2
2
2
2
=+⋅++=
∂∂z
y z z
y x z
u A
而),1,2,2(-==AB l 所以)3
1
,32,32(-=ο,故在A 点沿=方向导数
为：
=∂∂A l
u A
x
u ∂∂αcos ⋅+
A
y
u ∂∂βcos ⋅+
A
z
u ∂∂γcos ⋅
.2/131
21)32(03221=⋅+-⋅+⋅=
2、由⎪⎩⎪⎨⎧=--==-+--='0)24(0)1()4(22
y x x f xy y x xy f y
x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ，
又0)0,(,0),0(==x f y f
而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(23≤≤-=x x x y x f
令0)122(23='-x x 得4,021==x x
于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f
),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f
四、1、Ω的联立不等式组为⎪⎩
⎪
⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 10101
0:
所以⎰⎰
⎰
---++++=10
10
10
3
)1(x y x z y x dz
dy dx I
⎰⎰--++=
x dy y x dx 10210
]41)1(1[21
⎰-=--+=101652ln 21)4311(21dx x x
2、在柱面坐标系中
⎰⎰⎰+=πθ200022)]([)(t h rdz r f z dr d t F ⎰+=t dr r h r r hf 032]3
1
)([2π
所以
]3
1)([232t h t t hf dt dF +=π]31)([222h t f ht +=π
五、1、连接→
OA ，由Green 公式得：
⎰
⎰
⎰
-+=OA
OA
L
I ⎰
⎰
-=+OA
OA
L
⎰⎰=
≥≤+++-0
,220)cos cos (y ax y x x x
Green dxdy m y e y e
公式
28
1
a m π= 2、作辅助曲面⎩⎨⎧≤+=∑2
221:a y x a
z ，上侧，则由Gauss 公式得： ⎰⎰∑
=I +⎰⎰∑1
⎰⎰∑-1
=
⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-1
1
=
⎰⎰⎰
⎰⎰≤≤≤+≤+-
++a
z z y x a y x dxdy a dxdydz z y x 0,2
2222
22)(2
=⎰⎰⎰
≤+-a
z y x a zdxdy dz
4
2
222π 40432
1
2a a dz z a πππ-=-=⎰
六、由题意得：)()(2)(32x xe x x x ϕϕϕ''=+-'
即x xe x x x 2)(2)(3)(=+'-''ϕϕϕ 特征方程0232=+-r r ，特征根2,121==r r
对应齐次方程的通解为：x x e c e c y 221+=
又因为2=λ是特征根。

故其特解可设为：x e B Ax x y 2*)(+= 代入方程并整理得：1,2
1
-==
B A
即 x e x x y 2*)2(2
1
-=
故所求函数为：x x x e x x e c e c x 2221)2(2
1
)(-+
+=ϕ 高等数学（下册）试卷（三）参考答案
一、1、2
22
2z x z y xe
ye
-； 2、5； 3、⎰⎰
⎰
------1
1
1110
22
22),,(x x y x dz z y x f dy dx ；
4、325);
0,0(a f π、； 6、
⎰⎰⎰⎰⎰+
Ω∂Ω
++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R
y Q x P )(
， Gauss 公式； 7、C Bx Ax ++2 8、0≤P 。

二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于dt t x f dx t x f dy t x ),(),('+'=，0='+'+'dt F dy F dx F t y x
由上两式消去dt ，即得：
y t t x t t x F f F F f F f dx dy '
'+''
'-'⋅'=
四、设),(y x 为椭圆4422=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为
13
326y
x d --=
；令)44()326(222-++--=y x y x L λ，于是由：
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+==+---==+---=0
4408)326(60
2)326(42
2y x L y y x L x y x L y x λλλ 得条件驻点：)53
,58(),53,58(),53,58(),53,38(4321----M M M M
依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中13
13
13
3261
min =
--=M y
x d 即为所求。

五、曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=y
y x y
x z 22222在yoz 面上的
投影为⎩⎨
⎧=≤≤=0
)
0(22x z y y
z
于是所割下部分在yoz 面上的投影域为：
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤≤≤≤y z y D yz 202
0:， y
σd z
x
y x A yz
D ⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(
12 x ⎰⎰
⎰⎰
=-=-=yz
D y y
y dz dy y
y dydz 21
20
2
2
82222
六、将∑分为上半部分2211:y x z --=∑和下半部分2221:y x z ---=∑， 21,∑∑在面xoy 上的投影域都为：,0,0,1:22≥≥≤+y x y x D xy 于是： ⎰⎰⎰⎰
∑--=
1
221dxdy y x xyzdxdy xy
D
15
1
1cos sin 2
1
22=
⋅-⋅=
⎰
⎰ρρρθθρθπ
d d 极坐标
； ⎰⎰⎰⎰∑=
----=
2
15
1))(1(2
2dxdy y x xy xyzdxdy xy
D ， ⎰⎰⎰⎰∑∑+=∴2
1
I =
15
2 七、因为
x x d x df 2sin 1)
(cos )
(cos ==，即x x f 2sin 1)(cos +='
所以22)(x x f -=' c x x x f +-=∴331
2)(
八、)1ln()1ln()]1)(1ln[()(22x x x x x f +++=++=Θ
又]1,1(,)1()1ln(1
1-∈-=+∑∞
=-u u n u n n
n ∴∑∑∞
=∞=---∈-+-=11
211]1,1(,)1()1()(n n n
n n n x x n x n x f
∑∞
=--∈+-=1
1]1,1(),1()1(n n n
n x x x n
高等数学（下册）试卷（四）参考答案
一、1、dy dx 2-；2、632=++z y x ； 3、
20
153
； 4、π32； 5、π22； 6、33
2
a π； 7、x e x y -+=)2(2；
8、⎰-
=π
π
π
dx x f a 22)(1
0；ΛΛ,,2,1cos )(1
n k kxdx
x f a k ==
⎰-
π
ππ
ΛΛ,,2,1sin )(1
n k kxdx
x f b k ==
⎰-
π
ππ
二、1、C ； 2、C ； 3、A ； 4、D ； 5、A ； 6、B ； 7、A ； 8、C 三、)()()(x
y
g x y x y g y x f x u '-+'=∂∂Θ
)()()(12222x y g x y x y g x y y x f y x u '+'-''=∂∂∴)(32x y
g x
y ''+
=
)(1y x
f y '')(32x y
g x
y ''+ )(1)(1)(22x y
g x x y g x y x f y
x y x u '-'+''-=∂∂∂)(2x y g x y ''-
)(2y x f y x ''-
=)(2
x y
g x y ''- 故0222=∂∂∂+∂∂y x u
y x
u x
四、设),,(000z y x M 是曲面03=-=c xyz F 上的任意点，则3000c z y x =， 在该点处的法向量为：
='''=M
z y x F F F ),,(,(00z y ,00x z )00y x ,(03x c =,03y c )0
3
z c )1,1,1(0003z y x c =
于是曲面在M 点处的切平面方程为：
)(100x x x -+)(1
00y y y -+)(100
z z z -=0 即
03x x +03y y +0
3z z
=1 因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：
30000002
92933361c z y x z y x V ==⋅⋅=
这是一个定值，故命题得证。

五、由于介于抛物面224y x z ++=，柱面1)1(22=+-y x 及平面0=z 之间的立
体体积为定值，所以只要介于切平面π，柱面1)1(22=+-y x 及平面0=z 之间的立体体积V 为最大即可。

设π与224y x z ++=切于点),,(000z y x P ，则π的法向量为)1,2,2(00-=y x ，
且2
02004y x z ++=，切平面方程为：0)()(2)(200000=---+-z z y y y x x x
即2
02000422y x y y x x z --++=
于是⎰
⎰⎰-
≤+---++=
22
2
020001
)1()4sin 2cos 222π
π
ρθρθρρσd y x y x zd V y x （极坐标
)42(2
020
0y x x --+=π 则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂=-=∂∂00
00
20)22(y y V x x V
ππ，得驻点（1，0）
且.5,
50)
0,1(==z V
π
由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体
积为最小。

此时的切平面π为：32+=x z 六、联接BA ，并设由L 及BA 所围成的区域为D ，则
⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
------=-+=+D
x x BA
BA
L BA
BA
L
dxdy y e y e Green I 0
)1cos 1cos (公式 ππ4221
22=⋅⋅=
七、令)(y z y ='，则dy dz z
y =''，于是原方程可化为：0122
=-+z y
dy dz z
即012=-+y
dy dz ，其通解为2112
1)1(-=⎰=--y c e c z dy y
21)1(-=∴
y c dx
dy
即dx c y dy 12
)1(=- 故原方程通解为：2
11
1c x c y +-
=
八、易求得该幂级数的收敛区间为).1,1(-
)1,1(-∈∀x ，令∑∞
==1)(n n n x x S ，则)()(1
'='∑∞
=n n
n x x S x x n n -==∑∞=-1111
注意到0)0(=S ，=∴)(x S ⎰⎰
--=-='x
x
x x
dx
dx x S 0
0)1ln(1)( 高等数学（下册）试卷（五）参考答案
一、1、x
y z x y z xe dy xe dx ----+++1)1(；2、1
1
91161--=-=-z y x ；3、π2；4、⎰
--a x a m dx x a x f e 0
)())((；
5、对任意闭曲线l ，⎰=+l
Qdy Pdx 0或
x
Q
y P ∂∂=∂∂或),,(y x u ∃使得Qdy Pdx du +=；
6、42a π；
7、x x e ce y 235
1
+=-； 8、发散
二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、C ； 6、B ； 7、D ； 8、A 三、1、
1-=∂∂z y z x y x u ；x z y x y u z y z ln 1-=∂∂；y x x y z
u z y z ln ln ⋅=∂∂
2、22212111f z
y
z u f z f y x y u f y x u '-=∂∂'+'-=∂∂'=∂∂Θ
=∂∂+∂∂+∂∂=
∴dz z u
dy y u dx x u du dz f z
y dy f z f y x dx f y 222121)1(1'-'+'-+'。

四、1、因为积分域D 关于x y =对称，所以
σσd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I D
D
⎰⎰⎰⎰
++=++=)()()
()()()()()(
故])()()
()()()()()([21σσd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I D
D ⎰⎰⎰⎰
+++++= =
⎰⎰+=+D
R b a d b a 2)(21)(21πσ； 2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
++++++=yzdV dV z y x dV z y x I 2)1(2)(222
+⎰⎰⎰Ω
ydV 2⎰⎰⎰Ω
+zdV 2⎰⎰⎰Ω
+dV
因为Ω关于三个坐标轴都对称，而z y x zx yz xy 2,2,2,2,2,2都（至少）关于某
个变量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。

于是：
dV dV z y x I ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω+++=)(2223234
3R dV z π+=⎰⎰⎰Ω
)1(343462
3320
2
222R R R dxdy z dz
z R y x R
+=+=⎰⎰⎰-≤+ππ。

五、令λλ)(,)(224224y x x Q y x xy P +-=+= 则
124224)(4)(2-+++=∂∂λλλy x xy y x x y
P
，124524)(4)(2-+-+-=∂∂λλλy x x y x x x
Q
由已知条件得
y
P
x Q ∂∂=∂∂，即有0)1)((24=++λy x ，所以1-=λ 所求的一个原函数为 ：
dy y
x x dx y x xy y x u y x 2
42
),()
0,1(242),(+-+=⎰
⎰
⎰-=+-=y x
x
y
dy y x x dx 0
2
2421
arctan 0 六、易知
2
333)
1(1)1(2)1()1(2)1(1x x x x x x ---=---=-+ 又
)11(11
<<-=-∑∞=x x x n n
∑∞
=-='-=-∴1
1
2
)11()1(1n n nx x x ∑∑∞
=-∞=-+=-='-=-1122
2
3)1()1())1(1()1(1n n n n nx n x n n x x -+=-+∴∑∞=-1
1
3
)1()1(1n n nx n x x ∑∞
=-1
1
n n nx
∑∞
=-=1
12n n x n ， 其中
)11(<<-x
七、方程的特征方程为：0962=+-r r ，其特征根为321==r r ，
故方程的通解为：x e x c c y 321)(+=
高等数学（下册）试卷（六）参考答案
一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1.-1 2. I =
10
(,)y
e
e dy
f x y dx ⎰⎰
3. →
→
→
-+-k j i 242 4 1
(1)!n n n x n +∞
=-∑ 5. (2,2)
三、解答题（共54分，每小题6--7分）
1．解：2
2
2
y
x y x z +-=∂∂; (3分)
y z ∂∂=x y arctan +22y
x xy + ( 6分). 2. 解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =r
满足：
000
23232
x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：
112
232
x y z +-+==-或者112
232
x y z -+-==
- ( 6分) 3. 解：(1,2)(2,4)f ∇= ( 3分
),
(1,2)
1f l
∂=+∂r ( 7分) 4. 解：)3(31
)(-+=
x x f =)
3
3(11
3
1-+⋅
x , ( 2分) 因为 ∑∞
=+=
-0
11
)1(n n n x
x ，)1,1(-∈x ,所以∑∞
=-⋅-=-+⋅0
)33(31)1()3
3(113
1n n n x x =∑∞=+--0
1)3()31()1(n n n n x ,其中1331<-<-x ，即60<<x .( 5分)
当0=x 时，级数为∑∞
=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞
=⋅-0
31
)1(n n 发散,故
x 1=∑∞
=+--0
1)3()31()1(n n n n x ，)6,0(∈x ， ( 7分)
5. 解：由401284(2)0128z x x z y z y z y z y ∂⎧==⎪∂--⎪
⎨∂+⎪==⎪∂--⎩, 得到0=x 与02=+z y , ( 2分)
再代入08822222=+-+++z yz z y x ，得到0872=-+z z 即8
1,7
z =-。

由此可知隐函数(,)z z x y =的驻点为(0,2)-与16
(0,)7。

( 4分)
由224128z x z y ∂=∂--，20z x y ∂=∂∂，224128z y z y ∂=
∂--，可知在驻点(0,2)-与16(0,)7有0H >。

( 5分)
在(0,2)-点，1z =，因此 224
015
z x ∂=>∂，所以(0,2)-为极小值点，极小值为
1z =；( 6分)
在16(0,)7点，87z =-，因此 224015z x ∂=-<∂，所以16
(0,)7为极大值点，极大值为
8
7
z =-， ( 7分)
6. 解：记⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--⎩⎨⎧≤≤-≤≤-1
101:1102:221y x y D y x D ，则21D D D -=.（2分） 故
σσσd y x d y x d y x D D D
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+2
1
)()()(2
22222 ( 4分) -=
-+=⎰⎰⎰⎰--320)(2
32
1
311
2
2
2π
πθdr r d dx y x dy 4
π
（7分）
7. 解：L 所围区域D ：222a y x ≤+,由格林公式，可得⎰-L
x y x y xy d d 22=
y x y y x x xy D
d d ))()((22⎰⎰∂-∂-∂∂=⎰⎰+D y x y x d d )(22=4π2002
2πd a r r r d a ⎰⎰=⋅θ.(7分)
8.
⎪⎧≤≤,π
,10z 所以
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=Ω
θθθr r z z y x xy sin cos d d d d d 01
2π0
1
=⎰⎰
r r d d 2sin 213
010
2πθθ=8
4)42cos (1
42
π
⋅-r θx
四、综合题（共16分，每小题8分） 1．证明：因为lim 0,lim 0n n n n u v →∞
→∞
==，（2分）
故存在N ，当n N >时，2
2
2
()23n n n n n n n u v u v u v u +=++≤，因此21
()n n n u v ∞
=+∑收
敛。

（8分） 2．证明：因为
2f x x
∂=∂，且22()xy x y ∂=∂，故曲线积分 2(,)L xydx f x y dy +⎰与路
径无关．（4分）
因此设)(),(2y g x y x f +=，从而
(,1)
11
22 (0,0)
2(,)0[()]()t t xydx f x y dy dx t g y dy t g y dy +=++=+⎰
⎰⎰⎰，（5分）
(1,)
1 (0,0) 0
2(,)0[1()]()t t t
xydx f x y dy dx g y dy t g y dy +=++=+⎰
⎰⎰⎰，（6分）
由此得 1
2
()t g y dy +⎰ 0
()t
t g y dy =+⎰对任意t 成立，于是12)(-=t t g ，即
12)(),(22-+=+=y x y g x y x f ．（8分）。