注电考试最新版教材-第4讲 数学：空间解析几何(四)
解析几何第四版习题答案第四章
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§4.1柱面1、已知柱面的准线为：( x 1) 2( y 3)2( z 2) 225x y z20且（ 1）母线平行于x轴；（2）母线平行于直线x y, z c ，试求这些柱面的方程。
解：（ 1）从方程( x 1) 2( y 3)2( z 2) 225x y z 2 0中消去 x ，得到： (z y3) 2( y3)2( z2) 225即：y2z2yz 6 y 5z302此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点M(x ,y, z)，过M且平行于直线x y的直线方程为：00000z cx x0t x0x ty y0t y0y tz z0z0z而 M 0在准线上，所以( x t1) 2( y t3) 2(z2) 225x y z 2t 2 0上式中消去 t 后得到：x2y 23z2 2 xy8x 8y8z260此即为要求的柱面方程。
2而 M 0在准线上，所以：x t y2( z 2t )2x t2( z2t )消去 t ，得到：4x225y 2z24xz20x10z0此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线x y z, x1y z1, 与x1y1z 2 的圆柱面方程。
解：过又过准线上一点M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ，且方向为1,1, 1 的直线方程为：x x1t x1x ty y1t y1y tz z1t z1z t将此式代入准线方程，并消去t 得到：5( x 2y2z2xy yz zx) 2x 11y 13z0此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为(u)x(u), y(u), z(u) ，母线的方向平行于矢量 S X ,Y, Z ，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：x Y (u) vS与x x(u)Xvy y(u)Yvz z(u) Zv式中的 u, v 为参数。
证明：对柱面上任一点M ( x, y, z) ，过 M 的母线与准线交于点M ( x(u), y(u), z(u)) ，则，M M vS即1、求顶点在原点，准线为x22z 1 0, y z 10 的锥面方程。
注册电气工程师考试辅导数学空间解析几何
向量的长度
向量的长度等于向量模的长度 ，记作∣→∣。
向量的加法、数乘和向量的模
向量加法
两个向量相加，得到一个新的向量，其起点 和终点分别是两个向量的起点和终点的中点 。
数乘
一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量，其 模是原向量模的倍数，方向与原向量相同或相反。
向量场的可视化
通过向量场的可视化，可以更好地理解向量场的分布和变 化。例如，在流体力学中，速度场可以用来描述流体流动 的方向和速度。
向量场的性质
向量场有一些重要的性质，如连续性、可微性和奇异性等。 这些性质对于理解向量场的物理意义和数学分析非常重要。
曲线积分和曲面积分
01
曲线积分
曲线积分是计算曲线段上函数的积分的一种方法。在空间解析几何中，
向量的模
向量的模定义为向量起点到终点之间的距离 ，记作∣∣→∣∣。
向量的数量积、向量积和混合积
向量的数量积
两个向量的数量积等于它们的模的乘积和它们夹角的余弦值的乘 积。
向量的向量积
两个向量的向量积是一个向量，其模等于两个原向量模的乘积和它 们夹角的正弦值的乘积，方向垂直于两向量所在的平面。
向量的混合积
微分几何
微分几何是研究曲线、曲面和更高维度的流形的几何性质的数学分支。在微分几 何中，曲线和曲面被视为函数和映射的几何对象，并使用微积分的方法进行分析 。
流形
流形是微分几何中的一个基本概念，它是一个局部欧几里得空间的集合，其中每 个点都有一个邻域和一个在该邻域内定义的度量。流形在理论物理、相对论和宇 宙学等领域有广泛的应用。
空间解析几何在解决实际问题中 有着广泛的应用，如卫星轨道计 算、机器人运动学、建筑设计等 领域。
解析几何第四版课后答案全册
4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：
(1)AB、CD;
(2) AE、CG;
(3)AC、EG;
(4) AD、GF;
(5)
BE、CH.
图 1—3
[解]：相等的矢量对是
（2）、（3）和（5）；
互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点
∵ADODOABCOCOB
但ADBC
ODOAOCOB OAOCODOB
由于(OAOC)∥AC, (OBOD)∥BD,而AC不平行于BD，
OAOCODOB0，
从而OA=OC，OB=OD。
5. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明
|BT|＝|e1|,
|TC||e1|
且BT与TC方向相同，
所以BT＝|e1|TC.
|e2|
图 1-8
由上题结论有
e|e1|e
1|e|2|e|e|e|e
AT＝2＝2112.
1|e1|
|e2|
|e1||e2|
3.用矢量法证明：P
.
PA+PB+PC＝0.
是△ABC
重心的充要条件是
[证明]：“”
若P为△ABC的重心，则
3. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明
OAOB+OC=OL+OM+ON.
[证明]
∵OAOLLA OBOMMB OCONNC
OAOBOCOLOMON(LAMBNC)
=OLOMON(ALBMCN)
由上题结论知：ALBMCN0
解析几何全册课件
（讨论旋转曲面）
（讨论柱面、二次曲面）
（1）已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程．
上一页
返回
空间曲线的参数方程
一、空间曲线的参数方程
§2.3 空间曲线的方程
下一页
返回
空间曲线的一般方程
曲线上的点都满足方程,不在曲线上的点不能同时满足两个方程.
下一页
返回
（1）向量混合积的几何意义：
关于混合积的说明：
上一页
下一页
返回
解
上一页
下一页
返回
式中正负号的选择保证结果为正.
上一页
返回
解
例1
上一页
下一页
返回
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
曲面的实例：
§2.2 曲面的方程
下一页
返回
以下给出几例常见的曲面.
上一页
下一页
返回
解
设P点坐标为
所求点为
两向量夹角余弦的坐标表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为：
上一页
下一页
返回
解
上一页
下一页
返回
证
上一页
下一页
返回
空间两向量的夹角的概念：
类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.
线为
的连
的中点
对边
一组
设四面体
证
e
e
e
AP
e
AD
e
AC
e
AB
P
注册电气工程师考试基础考试大纲word版本
2011年注册电气工程师考试基础考试大纲一、高等数学1.1 空间解析几何向量代数直线平面柱面旋转曲面二次曲面空间曲线1.2 微分学极限连续导数微分偏导数全微分导数与微分的应用1.3 积分学不定积分定积分广义积分二重积分三重积分平面曲线积分积分应用1.4 无穷级数数项级数幂级数泰勒级数傅里叶级数1.5 常微分方程可分离变量方程一阶线性方程可降阶方程常系数线性方程1.6 概率与数理统计随机事件与概率古典概型一维随机变量的分布和数字特征数理统计的基本概念参数估计假设检验方差分析一元回归分析1.7 向量分析1.8 线性代数行列式矩阵n维向量线性方程组矩阵的特征值与特征向量二次型二、普通物理2.1 热学气体状态参量平衡态理想气体状态方程理想气体的压力和温度的统计解释能量按自由度均分原理理想气体内能平均碰撞次数和平均自由程麦克斯韦速率分布律功热量内能热力学第一定律及其对理想气体等值过程和绝热过程的应用气体的摩尔热容循环过程热机效率热力学第二定律及其统计意义可逆过程和不可逆过程熵2.2 波动学机械波的产生和传播简谐波表达式波的能量驻波声速超声波次声波多普勒效应2.3 光学相干光的获得杨氏双缝干涉光程薄膜干涉迈克尔干涉仪惠更斯-菲涅耳原理单缝衍射光学仪器分辨本领x射线衍射自然光和偏振光布儒斯特定律马吕斯定律双折射现象偏振光的干涉人工双折射及应用三、普通化学3.1 物质结构与物质状态原子核外电子分布原子、离子的电子结构式原子轨道和电子云概念离子键特征共价键特征及类型分子结构式杂化轨道及分子空间构型极性分子与非极性分子分子间力与氢键分压定律及计算液体蒸气压沸点汽化热晶体类型与物质性质的关系3.2 溶液溶液的浓度及计算非电解质稀溶液通性及计算渗透压概念电解质溶液的电离平衡电离常数及计算同离子效应和缓冲溶液水的离子积及PH值盐类水解平衡及溶液的酸碱性多相离子平衡溶度积常数溶解度概念及计算3.3 周期表周期表结构周期族原子结构与周期表关系元素性质氧化物及其水化物的酸碱性递变规律3.4 化学反应方程式化学反应速率与化学平衡化学反应方程式写法及计算反应热概念热化学反应方程式写法化学反应速率表示方法浓度、温度对反应速率的影响速率常数与反应级数活化能及催化剂概念化学平衡特征及平衡常数表达式化学平衡移动原理及计算压力熵与化学反应方向判断3.5 氧化还原与电化学氧化剂与还原剂氧化还原反应方程式写法及配平原电池组成及符号电极反应与电池反应标准电极电势能斯特方程及电极电势的应用电解与金属腐蚀3.6 有机化学有机物特点、分类及命名官能团及分子结构式有机物的重要化学反应：加成取代消去氧化加聚与缩聚典型有机物的分子式、性质及用途：甲烷乙炔苯甲苯乙醇酚乙醛乙酸乙酯乙胺苯胺聚氯乙烯聚乙烯聚丙烯酸酯类工程塑料(ABS) 橡胶尼龙66四、理论力学4.1 静力学平衡刚体力约束静力学公理受力分析力对点之矩力对轴之矩力偶理论力系的简化主矢主矩力系的平衡物体系统(含平面静定桁架)的平衡滑动摩擦摩擦角自锁考虑滑动摩擦时物体系统的平衡重心4.2 运动学点的运动方程轨迹速度和加速度刚体的平动刚体的定轴转动转动方程角速度和角加速度刚体内任一点的速度和加速度4.3 动力学动力学基本定律质点运动微分方程动量冲量动量定理动量守恒的条件质心质心运动定理质心运动守恒的条件动量矩动量矩定理动量矩守恒的条件刚体的定轴转动微分方程转动惯量回转半径转动惯量的平行轴定理功动能势能动能定理机械能守恒惯性力刚体惯性力系的简化达朗伯原理单自由度系统线性振动的微分方程振动周期频率和振幅约束自由度广义坐标虚位移理想约束虚位移原理五、材料力学5.1 轴力和轴力图拉、压杆横截面和斜截面上的应力强度条件虎克定律和位移计算应变能计算5.2 剪切和挤压的实用计算剪切虎克定律切(剪)应力互等定理5.3 外力偶矩的计算扭矩和扭矩图圆轴扭转切(剪)应力及强度条件扭转角计算及刚度条件扭转应变能计算5.4 静矩和形心惯性矩和惯性积平行移轴公式形心主惯性矩5.5 梁的内力方程切(剪)力图和弯矩图分布载荷、剪力、弯矩之间的微分关系正应力强度条件切(剪)应力强度条件梁的合理截面弯曲中心概念求梁变形的积分法叠加法和卡氏第二定理5.6 平面应力状态分析的数值解法和图解法一点应力状态的主应力和最大切(剪)应力广义虎克定律四个常用的强度理论5.7 斜弯曲偏心压缩(或拉伸) 拉-弯或压-弯组合扭-弯组合5.8 细长压杆的临界力公式欧拉公式的适用范围临界应力总图和经验公式压杆的稳定校核六、流体力学6.1 流体的主要物理性质6.2 流体静力学流体静压强的概念重力作用下静水压强的分布规律总压力的计算6.3 流体动力学基础以流场为对象描述流动的概念流体运动的总流分析恒定总流连续性方程、能量方程和动量方程6.4 流动阻力和水头损失实际流体的两种流态-层流和紊流圆管中层流运动、紊流运动的特征沿程水头损失和局部水头损失边界层附面层基本概念和绕流阻力6.5 孔口、管嘴出流有压管道恒定流6.6 明渠恒定均匀流6.7 渗流定律井和集水廊道6.8 相似原理和量纲分析6.9 流体运动参数(流速、流量、压强)的测量七、计算机应用基础7.1 计算机基础知识硬件的组成及功能软件的组成及功能数制转换7.2 Windows操作系统基本知识、系统启动有关目录、文件、磁盘及其它操作网络功能注：以Windows98为基础7.3 计算机程序设计语言程序结构与基本规定数据变量数组指针赋值语句输入输出的语句转移语句条件语句选择语句循环语句函数子程序(或称过程) 顺序文件随机文件注：鉴于目前情况，暂采用FORTRAN语言八、电工电子技术8.1 电场与磁场库仑定律高斯定理环路定律电磁感应定律8.2 直流电路电路基本元件欧姆定律基尔霍夫定律叠加原理戴维南定理8.3 正弦交流电路正弦量三要素有效值复阻抗单相和三相电路计算功率及功率因数串联与并联谐振安全用电常识8.4 RC和RL电路暂态过程三要素分析法8.5 变压器与电动机变压器的电压、电流和阻抗变换三相异步电动机的使用常用继电-接触器控制电路8.6 二极管及整流、滤波、稳压电路8.7 三极管及单管放大电路8.8 运算放大器理想运放组成的比例加、减和积分运算电路8.9 门电路和触发器基本门电路RS、D、JK触发器九、工程经济9.1 现金流量构成与资金等值计算现金流量投资资产固定资产折旧成本经营成本销售收入利润工程项目投资涉及的主要税种资金等值计算的常用公式及应用复利系数表的用法9.2 投资经济效果评价方法和参数净现值内部收益率净年值费用现值费用年值差额内部收益率投资回收期基准折现率备选方案的类型寿命相等方案与寿命不等方案的比选9.3 不确定性分析盈亏平衡分析盈亏平衡点固定成本变动成本单因素敏感性分析敏感因素9.4 投资项目的财务评价工业投资项目可行性研究的基本内容投资项目财务评价的目标与工作内容赢利能力分析资金筹措的主要方式资金成本债务偿还的主要方式基础财务报表全投资经济效果与自有资金经济效果全投资现金流量表与自有资金现金流量表财务效果计算偿债能力分析改扩建和技术改造投资项目财务评价的特点(相对新建项目)9.5 价值工程价值工程的概念、内容与实施步骤功能分析十、电路与电磁场1 电路的基本概念和基本定律1.1 掌握电阻、独立电压源、独立电流源、受控电压源、受控电流源、电容、电感、耦合电感、理想变压器诸元件的定义、性质1.2 掌握电流、电压参考方向的概念1.3 熟练掌握基尔霍夫定律2 电路的分析方法2.1 掌握常用的电路等效变换方法2.2 熟练掌握节点电压方程的列写方法，并会求解电路方程2.3 了解回路电流方程的列写方法2.4 熟练掌握叠加定理、戴维南定理和诺顿定理3 正弦电流电路3.1 掌握正弦量的三要素和有效值3.2 掌握电感、电容元件电流电压关系的相量形式及基尔霍夫定律的相量形式3.3 掌握阻抗、导纳、有功功率、无功功率、视在功率和功率因数的概念3.4 熟练掌握正弦电流电路分析的相量方法3.5 了解频率特性的概念3.6 熟练掌握三相电路中电源和负载的联接方式及相电压、相电流、线电压、线电流、三相功率的概念和关系3.7 熟练掌握对称三相电路分析的相量方法3.8 掌握不对称三相电路的概念4 非正弦周期电流电路4.1 了解非正弦周期量的傅立叶级数分解方法4.2 掌握非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率的定义和计算方法4.3 掌握非正弦周期电路的分析方法5 简单动态电路的时域分析5.1 掌握换路定则并能确定电压、电流的初始值5.2 熟练掌握一阶电路分析的基本方法5.3 了解二阶电路分析的基本方法6 静电场6.1 掌握电场强度、电位的概念6.2 了解应用高斯定律计算具有对称性分布的静电场问题6.3 了解静电场边值问题的镜像法和电轴法，并能掌握几种典型情形的电场计算6.4 了解电场力及其计算6.5 掌握电容和部分电容的概念，了解简单形状电极结构电容的计算7 恒定电场7.1 掌握恒定电流、恒定电场、电流密度的概念7.2 掌握微分形式的欧姆定律、焦耳定律、恒定电场的基本方程和分界面上的衔接条件，能正确地分析和计算恒定电场问题7.3 掌握电导和接地电阻的概念，并能计算几种典型接地电极系统的接地电阻8 恒定磁场8.1 掌握磁感应强度、磁场强度及磁化强度的概念8.2 了解恒定磁场的基本方程和分界面上的衔接条件，并能应用安培环路定律正确分析和求解具有对称性分布的恒定磁场问题8.3 了解自感、互感的概念，了解几种简单结构的自感和互感的计算8.4 了解磁场能量和磁场力的计算方法9 均匀传输线9.1 了解均匀传输线的基本方程和正弦稳态分析方法9.2 了解均匀传输线特性阻抗和阻抗匹配的概念十一、模拟电子技术1 半导体及二极管1.1 掌握二极管和稳压管特性、参数1.2 了解载流子，扩散，漂移;PN结的形成及单向导电性2 放大电路基础2.1 掌握基本放大电路、静态工作点、直流负载和交流负载线2.2 掌握放大电路的基本的分析方法2.3 了解放大电路的频率特性和主要性能指标2.4 了解反馈的概念、类型及极性;电压串联型负反馈的分析计算2.5 了解正负反馈的特点;其它反馈类型的电路分析;不同反馈类型对性能的影响;自激的原因及条件2.6 了解消除自激的方法，去耦电路3 线性集成运算放大器和运算电路3.1 掌握放大电路的计算;了解典型差动放大电路的工作原理;差模、共模、零漂的概念，静态及动态的分析计算，输入输出相位关系;集成组件参数的含义3.2 掌握集成运放的特点及组成;了解多级放大电路的耦合方式;零漂抑制原理;了解复合管的正确接法及等效参数的计算;恒流源作有源负载和偏置电路3.3 了解多级放大电路的频响3.4 掌握理想运放的虚短、虚地、虚断概念及其分析方法;反相、同相、差动输入比例器及电压跟随器的工作原理，传输特性;积分微分电路的工作原理3.5 掌握实际运放电路的分析;了解对数和指数运算电路工作原理，输入输出关系;乘法器的应用(平方、均方根、除法)3.6 了解模拟乘法器的工作原理4 信号处理电路4.1 了解滤波器的概念、种类及幅频特性;比较器的工作原理，传输特性和阀值，输入、输出波形关系4.2 了解一阶和二阶低通滤波器电路的分析;主要性能，传递函数，带通截止频率，电压比较器的分析法;检波器、采样保持电路的工作原理4.3 了解高通、低通、带通电路与低通电路的对偶关系、特性5 信号发生电路5.1 掌握产生自激振荡的条件，RC型文氏电桥式振荡器的起振条件，频率的计算;LC型振荡器的工作原理、相位关系;了解矩形、三角波、锯齿波发生电路的工作原理，振荡周期计算5.2 了解文氏电桥式振荡器的稳幅措施;石英晶体振荡器的工作原理;各种振荡器的适用场合;压控振荡器的电路组成，工作原理，振荡频率估算，输入、输出关系6 功率放大电路6.1 掌握功率放大电路的特点;了解互补推挽功率放大电路的工作原理，输出功率和转换功率的计算6.2 掌握集成功率放大电路的内部组成;了解功率管的选择、晶体管的几种工作状态6.3 了解自举电路;功放管的发热7 直流稳压电源7.1 掌握桥式整流及滤波电路的工作原理、电路计算;串联型稳压电路工作原理，参数选择，电压调节范围，三端稳压块的应用7.2 了解滤波电路的外特性;硅稳压管稳压电路中限流电阻的选择7.3 了解倍压整流电路的原理;集成稳压电路工作原理及提高输出电压和扩流电路的工作原理十二、数字电子技术1 数字电路基础知识1.1 掌握数字电路的基本概念1.2 掌握数制和码制1.3 掌握半导体器件的开关特性1.4 掌握三种基本逻辑关系及其表达方式2 集成逻辑门电路2.1 掌握TTL集成逻辑门电路的组成和特性2.2 掌握MOS集成门电路的组成和特性3 数字基础及逻辑函数化简3.1 掌握逻辑代数基本运算关系3.2 了解逻辑代数的基本公式和原理3.3 了解逻辑函数的建立和四种表达方法及其相互转换3.4 了解逻辑函数的最小项和最大项及标准与或式3.5 了解逻辑函数的代数化简方法3.6 了解逻辑函数的卡诺图画法、填写及化简方法4 集成组合逻辑电路4.1 掌握组合逻辑电路输入输出的特点4.2 了解组合逻辑电路的分析、设计方法及步骤4.3 掌握编码器、译码器、显示器、多路选择器及多路分配器的原理和应用4.4 掌握加法器、数码比较器、存储器、可编程逻辑阵列的原理和应用5 触发器5.1 了解RS、D、JK、T触发器的逻辑功能、电路结构及工作原理5.2 了解RS、D、JK、T触发器的触发方式、状态转换图(时序图)5.3 了解各种触发器逻辑功能的转换5.4 了解CMOS触发器结构和工作原理6 时序逻辑电路6.1 掌握时序逻辑电路的特点及组成6.2 了解时序逻辑电路的分析步骤和方法，计数器的状态转换表、状态转换图和时序图的画法;触发器触发方式不同时对不同功能计数器的应用连接6.3 掌握计数器的基本概念、功能及分类6.4 了解二进制计数器(同步和异步)逻辑电路的分析6.5 了解寄存器和移位寄存器的结构、功能和简单应用6.6 了解计数型和移位寄存器型顺序脉冲发生器的结构、功能和分析应用7 脉冲波形的产生7.1 了解TTL与非门多谐振荡器、单稳态触发器、施密特触发器的结构、工作原理、参数计算和应用8 数模和模数转换8.1 了解逐次逼近和双积分模数转换工作原理;R-2R网络数模转换工作原理;模数和数模转换器的应用场合8.2 掌握典型集成数模和模数转换器的结构8.3 了解采样保持器的工作原理6 变压器6.1 了解三相组式变压器及三相芯式变压器结构特点6.2 掌握变压器额定值的含义及作用6.3 了解变压器变比和参数的测定方法6.4 掌握变压器工作原理6.5 了解变压器电势平衡方程式及各量含义6.6 掌握变压器电压调整率的定义6.7 了解变压器在空载合闸时产生很大冲击电流的原因6.8 了解变压器的效率计算及变压器具有最高效率的条件6.9 了解三相变压器联接组和铁芯结构对谐波电流、谐波磁通的影响6.10 了解用变压器组接线方式及极性端判断三相变压器联接组别的方法6.11 了解变压器的绝缘系统及冷却方式、允许温升7 感应电动机7.1 了解感应电动机的种类及主要结构7.2 掌握感应电动机转矩、额定功率、转差率的概念及其等值电路7.3 了解感应电动机三种运行状态的判断方法7.4 掌握感应电动机的工作特性7.5 掌握感应电动机的启动特性7.6 了解感应电动机常用的启动方法7.7 了解感应电动机常用的调速方法7.8 了解转子电阻对感应电动机转动性能的影响7.9 了解电机的发热过程、绝缘系统、允许温升及其确定、冷却方式7.10了解感应电动机拖动的形式及各自的特点7.11了解感应电动机运行及维护工作要点8 同步电机8.1 了解同步电机额定值的含义8.2 了解同步电机电枢反应的基本概念8.3 了解电枢反应电抗及同步电抗的含义8.4 了解同步发电机并入电网的条件及方法8.5 了解同步发电机有功功率及无功功率的调节方法8.6 了解同步电动机的运行特性8.7 了解同步发电机的绝缘系统、温升要求、冷却方式8.8 了解同步发电机的励磁系统8.9 了解同步发电机的运行和维护工作要点9 过电压及绝缘配合9.1 了解电力系统过电压的种类9.2 了解雷电过电压特性9.3 了解接地和接地电阻、接触电压和跨步电压的基本概念9.4 了解氧化锌避雷器的基本特性9.5 了解避雷针、避雷线保护范围的确定10 断路器10.1 掌握断路器的作用、功能、分类10.2 了解断路器的主要性能与参数的含义10.3 了解断路器常用的熄弧方法10.4 了解断路器的运行和维护工作要点11 互感器11.1 掌握电流、电压互感器的工作原理、接线形式及负载要求11.2 了解电流、电压互感器在电网中的配置原则及接线形式11.3 了解各种形式互感器的构造及性能特点12 直流电机基本要求11.1 了解直流电机的分类12.2 了解直流电机的励磁方式12.3 掌握直流电动机及直流发电机的工作原理12.4 了解并励直流发电机建立稳定电压的条件12.5 了解直流电动机的机械特性(他励、并励、串励)12.6 了解直流电动机稳定运行条件12.7 掌握直流电动机的起动、调速及制动方法13 电气主接线13.1 掌握电气主接线的主要形式及对电气主接线的基本要求13.2 了解各种主接线中主要电气设备的作用和配置原则13.3 了解各种电压等级电气主接线限制短路电流的方法14 电气设备选择14.1 掌握电器设备选择和校验的基本原则和方法14.2 了解硬母线的选择和校验的原则和方法注册电气工程师(供配电)执业资格考试基础考试分科题量、时间、分数分配说明上午段：高等数学24题流体力学12题普通物理12题计算机应用基础10题普通化学12题电工电子技术12题理论力学13题工程经济10题材料力学15题合计120题，每题1分。
全国注册电气工程师基础考试辅导教材 高等数学+概率论与数理统计+线性代数
1.1.1 向量代数 1.1.2 空间解析几何
1.1.1 向量代数
1.向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量.
向量的模
2.几种特殊向量 单位向量、 零向量、 相等向量、 负向量、
向径.
3.向量的表示法
（1）有向线段 (模和方向余弦）
（2）向量的分解式： a axi ay j azk
（1）旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕 其平面上的一条直线旋转 一周所成的曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
方程特点:
设有
平面曲线L
:
f
(
x, y) z0
0
(1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面方程为
f (x, y2 z2 ) 0 (2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面方程为
运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
a ( b)
( a ) ( b) a ( b)
(ab)
(3) 分配律
6. 向量积
定义： 设 a , b的夹角为 ，
向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则
模 : c a b sin
称 c 为向量 a 与b 的向量积 , 记作
(3)向量与数的乘法：
b
a
a
b
c
a
b
d
设((21))是一00个,, 数，a向与a量aa同0与向，的乘| 积a|a
规定为
| a |
(3) 0, a与a反向， | a || | | a |
线性运算的坐标表达式
a {ax , ay , az }
b {bx , by , bz }
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
注电考试最新版教材-第5讲 数学：空间解析几何(五)微分学(一)
（四）例题【 例1-1-11 】方程z 2-x 2-y 2＝0所表示的曲面是（ A ）单叶双曲面（ B ）双叶双曲面（ C ）旋转双曲面（ D ）圆锥面【 解 】 在顶点位于原点、旋转轴为 z 轴的圆锥面方程中，令 a = 1 ，即为所给方程，故选（ D ）。
【例1-1-12 】将双曲线C绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程是【 解 】 曲线 C 绕 x 轴旋转，只需将 C 的方程中的 y 换成22y z ±+,故应选（ B )。
五、空间曲线空间曲线可以看作是两下曲面的交线。
若空间曲线 C 是曲面的交线，则 C 的方程可用下述方程组表示此方程组称为空间曲线 C 的一般方程。
若将空间曲线 C 上动点的坐标 x 、y 、 z 表示为参数 t 的函数：这方程组称为空间曲线 C 的参数方程。
例如，参数方程表示的空间曲线是螺旋线。
第二节微分学一、极限（一）函数的几种特性一、函数与极限（一）函数的概念与特性1 函数的概念设x和y是两个变量， D 是一个给定的数集，如果对于每个数x ∈D ，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是x的函数，记作 y = f （x），数集 D 叫做这个函数的定义域， W ={y y = f ( x ) , x ∈ D ｝为函数的值域， C={(x ，y) y = f ( x ) , x ∈ D ｝称为函数 y = f （x）的图形.在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数。
把直接函数 y = f （x）中的因变量 y 看作自变量，而把自变量 x 看作因变量，按照函数概念，就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y= f （x）的反函数，记作x=ϕ(y).如果把直接函数y=f(x)和反函数y=ϕ(x)的图形画在同一坐标面上，则这两个图形关于直线。
解析几何第四版习题答案第四章
解析⼏何第四版习题答案第四章第四章柱⾯、锥⾯、旋转曲⾯与⼆次曲⾯§ 4、1柱⾯1、已知柱⾯得准线为:且(1)母线平⾏于轴;(2)母线平⾏于直线,试求这些柱⾯得⽅程。
解:(1)从⽅程中消去,得到:即:此即为要求得柱⾯⽅程。
(2)取准线上⼀点,过且平⾏于直线得直线⽅程为:⽽在准线上,所以上式中消去后得到:此即为要求得柱⾯⽅程。
2⽽在准线上,所以:消去,得到:此即为所求得⽅程。
3、求过三条平⾏直线得圆柱⾯⽅程。
解:过⼜过准线上⼀点,且⽅向为得直线⽅程为:将此式代⼊准线⽅程,并消去得到:此即为所求得圆柱⾯得⽅程。
4、已知柱⾯得准线为,母线得⽅向平⾏于⽮量,试证明柱⾯得⽮量式参数⽅程与坐标式参数⽅程分别为:与式中得为参数。
证明:对柱⾯上任⼀点,过得母线与准线交于点,则,即1、求顶点在原点,准线为得锥⾯⽅程。
解:设为锥⾯上任⼀点,过与得直线为:设其与准线交于,即存在,使,将它们代⼊准线⽅程,并消去参数,得:即:此为所要求得锥⾯⽅程。
2、已知锥⾯得顶点为,准线为,试求它得⽅程。
解:设为要求得锥⾯上任⼀点,它与顶点得连线为:令它与准线交于,即存在,使将它们代⼊准线⽅程,并消去得:此为要求得锥⾯⽅程。
4、求对锥⾯上任⼀点,过与顶点得母线为:令它与准线得交点为,即存在,使,将它们代⼊准线⽅程,并消去得:此即为要求得圆锥⾯得⽅程。
5、求顶点为,轴与平⾯垂直,且经过点得圆锥⾯得⽅程。
解:轴线得⽅程为:过点且垂直于轴得平⾯为:即:该平⾯与轴得交点为,它与得距离为:要求圆锥⾯得准线为:得径⽮为,试证明锥⾯得⽮量式参数⽅程与坐标式参数⽅程分别为: 与式中,为参数。
证明:对锥⾯上任⼀点,令,它与顶点得连线交准线于,即。
,且(顶点不在准线上)即亦即此为锥⾯得⽮量式参数⽅程。
若将⽮量式参数⽅程⽤分量表⽰,即:此为锥⾯得坐标式参数⽅程,为参数。
§ 4、3旋转曲⾯1、求下列旋转曲⾯得⽅程:(1);绕旋转(2);绕旋转(3)绕轴旋转;(4)空间曲线绕轴旋转。
解析几何讲稿4z16j_r_2011
第四章坐标变换和几何不变量•要点–相关代数知识及其几何诠释–平面（仿射\直角）坐标系之间的坐标变换和一般二次曲线分类–空间（仿射\直角）坐标系之间的坐标变换和一般二次曲面分类–等距变换和刚体运动–仿射变换及其不变量简介§16相关代数知识及其几何诠释•（实）正交（矩）阵–定义、基本性质及其向量表示•Euclid 空间单位向量的正交补–Euclid 空间的单位正交基向量组–Gram-Schmidt 正交化–单位向量正交补的一般构造•（实）镜像阵–构造和性质–正交阵的镜像分解*•实对称阵的实特征值与正交相似标准形–（复）矩阵的（复）特征值、特征向量、特征多项式–实对称阵的实特征值、实特征向量–实对称阵的镜像相似及其正交相似标准形1．正交阵•定义16.1（p.139）设A 是一个n ⨯n 实矩阵，如果AA T =I ，则称A 是n 阶正交（矩）阵.•核心实方AA T=I .•基本性质及其向量表示A -1=A T ；A TA =I ．记A =(a ij )n ⨯n=(α1, α2, ... αn ) ，αj =(a 1j , a 2j , …, a nj )T ,I n =(e 1, …, e n ) ，e j =(0, …, 1, …, 0)T ,则有A T αj =e j ，并且有,T T 2T1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n ααα A1．正交阵•定义式实方AA T=I.•基本性质及向量表示A-1=A T；A T A=I ．记A=(aij)n⨯n=(α1, α2, ... αn) ，αj=(a1j, a2j, …, a nj)T，I n=(e1, …, e n) ，e j=(0, …, 1, …, 0)T,则有A Tαj=e j，并且有,TT2T1T⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nαααA,T2T1TT22T21T2T12T11T1T⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nnnnnnnααααααααααααααααααAAI1．正交阵•定义实方AA T=I.•基本性质及向量表示A-1=A T；A T A=I ．记A=(aij)n⨯n=(α1, α2, ... αn) ，αj=(a1j, a2j, …, a nj)T，I n=(e1, …, e n) ，e j=(0, …, 1, …, 0)T,则有A Tαj=e j，并且有即αiTαj=αj Tαi=δij．若划分A 成行向量组（A T成列向量组），有类似讨论.,T2T1TT22T21T2T12T11T1T⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nnnnnnnααααααααααααααααααAAI1．正交阵•定义实方AA T=I. •基本性质及向量表示A-1=A T；A T A=I．记A=(aij)n⨯n=(α1, α2, ... αn) ，有αiTαj=αj Tαi=δij．此即等价于•定理16.1（p.139）•注1正交阵列（行）向量组与正交标架对应；2阶，3阶，n阶.•注1*在E3的直角坐标系下，对于向量a 和b 的分量形式，与正交阵A 的同时作用，不改变向量a 和b 的内积：a∙b=ab T, (aA)∙(bA) =(aA)(bA)T=ab T=a∙b .•例1* 下列2阶实方阵是2阶正交阵：1．正交阵对应的各个行列式取值±1.•补充题1、二阶正交阵全体：确定为•例1*下列2阶实方阵是2阶正交阵：,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθA ,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=θθθθAB .cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθBA .1,cos sin sin cos ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧±=∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-εθθεθθεθR ,1001,1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C B1．正交阵•补充题1、二阶正交阵全体：确定为•定理16.2（p.140）(1)单位阵是正交阵；(2)两个正交阵的乘积是正交阵；(3)正交阵的逆矩阵是正交阵；(4)正交阵的行列式取值±1 .•证法：利用定义及下列引理.•引理1两个同阶方阵乘积的行列式|AB |=|A ||B |..1,cos sin sin cos ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧±=∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-εθθεθθεθR2．Euclid 空间单位向量的正交补•空间E n在指定的单位正交基向量组下的分量表示设为{(a 1, a 2, …, a n ) | (a 1, a 2, …, a n )∈R n} ，内积定义为对应分量乘积之和，则其中的一个单位向量是指一个向量β=(b 1, b 2, …, b n ) ，满足ββT=1．•引理2E n中的任意一个极大线性无关向量组，都可以经过Gram-Schmidt 正交化过程，对应于一个单位正交基向量组，使得基变换矩阵为可逆（非奇异）矩阵．•几何直观：正交分解，向量的单位化．2．Euclid 空间单位向量的正交补•引理3对于E n中的任意一个非零向量α，都存在向量组{β1, … , βn -1} ，使得{α, β1, … , βn -1} 为极大线性无关向量组．•想法：寻找线性无关向量，逐个扩充．•推论对于E n中的任意一个单位向量α，都存在向量组{β1,…,βn -1}，使得{α,β1,…,βn -1}成为E n中的一个单位正交基向量组．——单位向量α的正交补空间及其基向量组{β1,…,βn -1}的一般构造可实现．•作法：对于引理3所构造的一般基向量组再施行保持α不动的Gram-Schmidt 正交化过程．3．（实）镜像阵•几何背景对于E n中的任意一个单位向量α，都存在关于其正交补空间（即α的法空间）的镜面反射变换σ，所诱导的向量变换⎺σ在单位正交基向量组上的作用为⎺σ(βj) =βj，⎺σ(α) =-α．•镜面反射变换代数表示⎺σ(a1α+a2 β1+… +a nβn-1)=-a1α+a2 β1+… +a nβn-1=aα+aβ+… +aβ-2aα．3．（实）镜像阵•关于任意一个单位向量α的正交补空间的镜面反射变换σ，所诱导的向量变换⎺σ在单位正交基向量组上的作用分别为⎺σ(βj) =βj，⎺σ(α) =-α．⎺σ(a1α+a2 β1+… +a nβn-1)=a1α+a2 β1+… +a nβn-1-2a1α．•镜面反射变换矩阵表示将每一个基向量看成为实n维行向量参与矩阵运算，则有矩阵表示⎺σ(βj) =βj(I n-2αTα) ，⎺σ(α) =α(I n-2αTα) ，⎺σ=I n-2αTα．3．（实）镜像阵•镜面反射变换矩阵表示将每一个基向量看成为实n 维行向量参与矩阵运算，则有矩阵表示⎺σ(βj ) =βj (I n -2αT α) ，⎺σ(α) =α(I n -2αT α) ，⎺σ=I n -2αT α．•镜像阵对应构造对于任意一个实n 维单位行向量α，称I n -2αT α为n 维（实）镜像阵．•镜像阵性质对于n 维（实）镜像阵M =I n -2αT α，①M 对称，对合，正交；②有(n +m ) 维（实）镜像阵;⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m I M3．（实）镜像阵•对实n 维单位行向量α，I n -2αT α为镜像阵.•镜像阵性质对于镜像阵M =I n -2αT α，①M 对称，对合，正交；②有(n +m ) 维（实）镜像阵③|I n -2αT α|=-1．这只要注意到下式（并取行列式则易得结论）;⎪⎪⎭⎫⎝⎛m I M.111111⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎫ ⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎫ ⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛ββαββαββα M3．（实）镜像阵•对实n 维单位行向量α，I n -2αT α为镜像阵.•镜像阵基本定理对于E n 中的任意两个非零行向量β1和β2，一定存在（实）镜像阵I n -2αT α，使得β10(I n -2αT α) =β20．•几何意义：对于等长的两个实向量，存在镜面反射变换，使一个是另一个的像．•构造性证法：可取单位行向量α为α=(β20-β10)0．3．（实）镜像阵•镜像阵基本定理对于E n中的任意两个非零行向量β1和β2，一定存在（实）镜像阵I n -2αT α，使得β10(I n -2αT α) =β20．•正交阵的镜像分解*定理任一正交阵一定可以分解为有限个（实）镜像阵的乘积．•构造性证法：任取正交阵A =(a ij )n ⨯n =(α1,α2,...αn )，对列向量应用镜像阵基本定理，可取到（实）镜像阵或单位阵M 1使得M 1α1=e 1=(1, 0, …, 0)T ；此时M 1A 仍然正交，从而其第一行必为e 1T ．进一步用数学归纳法降阶归纳．单位阵亦可.3．（实）镜像阵•镜像阵基本定理对于E n中的任意两个非零行向量β1和β2，一定存在（实）镜像阵I n -2αT α，使得β10(I n -2αT α) =β20．•正交阵的镜像分解*定理任一正交阵一定可以分解为有限个（实）镜像阵的乘积．•推论（实）方阵是正交阵的充要条件是它一定可以分解为有限个（实）镜像阵的乘积．•例（补充题3）试将正交阵A 用有限个镜像阵的乘积来表示，其中.cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθA4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形•（复）矩阵的（复）特征值、特征（列）向量、特征多项式、特征方程定义式（p.140，定义16.4、定义16.2、定义16.3）：Aξ=λξ；|λI-A| ，|λI-A| =0 ．•特征（行）向量定义式：非零ξ使得ξA=λξ．问：对角阵的特征值如何？对应的特征向量如何？对应的实特征向量如何？4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形解：A 的特征多项式即为|λI 2-A | •例2*求下列实方阵的特征多项式和特征值：,1cos 2cos sin sin cos cos sin sin cos det 2+-=---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=θλλθλθθθλθλθθθλ,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθA ,1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B .cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=θθθθC4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形解：A 的特征多项式即为|λI 2-A | =λ2 -2λcos θ+1 ；由|λI 2-A | =λ2 -2λcos θ+1 =0解得A 的特征值为B \C ……？（课外独立思考、完成）•例2*求下列实方阵的特征多项式和特征值：,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθA ,1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B .cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=θθθθC .e sin 1cos 1θθθλ-=-±=4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形补充题2、对于A =(a ij )n ⨯n ，迹tr.A =. 试证：①n =2 时，|λI 2-A |=λ2-(tr.A )λ+|A |；②n =3 时，|λI 3-A |=λ3-(tr.A )λ2+a 2λ-|A |，其中•例2*求下列实方阵的特征多项式和特征值：,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθA ,1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B .cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=θθθθC .3332232233311311222112112a a a a a a a a a a a a a ++=∑=ni ii a 14．实对称阵的实特征值与正交相似标准形解：对于A 的特征值其特征（行）向量p =(p 1, p 2) ≠0满足(p 1, p 2)(λI 2-A ) =0，即•例3*求下列实方阵的特征向量：.0),0(sin 1sin sin sin 1),(21=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±--±θθθθp p ,sin 1cos θθλ-±=,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθA .1001⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形解：对于A 的特征值其特征向量p =(p 1, p 2) ≠0满足•例3*求下列实方阵的特征向量：.0),0(sin 1sin sin sin 1),(21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±--±θθθθp p ,sin 1cos θθλ-±=当sin θ=0 时，解得(p 1, p 2) 为任意非零向量；当sin θ≠0 时，解得(p 1, p 2) =.{0},1), 1(-∈-C c c ,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθA .1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形解：对于B 的特征值λ1=1 , λ2=-1 ,其从属于λ1 的特征（行）向量q 1=(q 11, q 12) ≠0满足(q 11, q 12)(λ1I 2-B ) =0，即•例3*求下列实方阵的特征向量：.0),0(2000),(1211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛q q 解得(q 11, q 12) =c 1(1, 0), c 1∈C -{0}；,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθA .1001⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形解：对于B 的特征值λ1=1 , λ2=-1 ,其从属于λ2 的特征（行）向量q 2=(q 21, q 22) ≠0满足(q 21, q 22)(λ2I 2-B ) =0，即•例3*求下列实方阵的特征向量：,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθA .1001⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B .0),0(0002),(2221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-q q 解得(q 21, q 22) =c 2(0, 1), c 2∈C -{0}.例3*特征向量形态例示解：对于A 的特征值当sin θ=0 时其特征向量(p 1, p 2) 为任意非零向量;当sin θ≠0 时(p 1, p 2) =•例3*求下列实方阵的特征向量：,cos sin sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθA .1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B ,sin 1cos θθλ-±=对于B 的特征值λ1=1 , λ2=-1 , 其从属于λ1和λ2的特征向量分别为c 1(1, 0)和c 2(0, 1), c 1, c 2∈C -{0}.注：B 的从属于λ1 和λ2 的实特征向量分别为c 1(1, 0) 和c 2(0, 1) , c 1, c 2∈R -{0} ..{0},1), 1(-∈-C c c4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形•特征向量的线性结构定理16.4*（p.141）设n阶方阵A具有从属于特征值λ的特征向量x和y，若k x+l y≠0，则k x+l y也是A的从属于λ的特征向量，其中(k,l) ∈C2-{(0, 0)} .特别：当上述定理中的对象都是实的，若k x+ l y≠0，则k x+l y也是A的从属于λ的实特征向量，其中k,l∈R. 进一步，若x和y线性无关，则实平面{k x+l y|(k,l)∈R2} 称为方阵A 的从属于λ的实特征平面. 代数上一般可讨论实特征子空间.4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形简解：A 的特征值λ1=λ2=2 , λ3=-1 .其从属于λ1=λ2=2的实特征向量(x , y , z ) 全体再补上0则成为实平面3x +y -3z =0 ；其从属于λ3=-1 的实特征向量(x , y , z ) 全体再补上0则成为实直线t (0, 0, 1), t ∈R .•特征向量的线性结构——定理16.4*（p.141）•例4求方阵A 的特征值和实特征向量，其中.100120302⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形•（复）矩阵的（复）特征值、特征（列）向量定义式：Aξ=λξ；|λI-A| =0 ．对行，类似.•矩阵的相似、实相似定义16.5*（p.141）对于n阶方阵A和B，若有可逆矩阵T使得TAT-1=B，则称A和B相似．其中当T是实矩阵时，称A和B实相似；当T是正交阵时，称A和B（实）正交相似；当T是镜像阵时，称A和B（实）镜像相似. [类似，对复矩阵有酉相似.]•性质n阶方阵的特征多项式和特征值在相似变换下不变．（定理16.5，p.141）4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形•（复）矩阵的（复）特征值、特征（列）向量定义式：Aξ=λξ；|λI-A| =0 ．•性质（证明留做习题）•推论n阶方阵的迹在相似变换下不变．•实对称阵的实特征值、实特征向量定理16.6*(p.142) n阶实对称阵的特征值都是实数，并具有对应的实特征向量．证明概要：Aξ=λξ⇒⎺ξT Aξ=λ⎺ξTξ⇒λ⎺ξTξ=⎺λ⎺ξTξ⇒λ=⎺λ, ...从而具有对应的实特征向量. （经典思路）4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形•实对称阵的（实）镜像相似取特征值λ1及其单位特征（列）向量ξ1，取镜像或单位阵M 1使M 1ξ1=e 1，则ξ1=M 1e 1，且(M 1AM 1)e 1=(M 1A )ξ1=λ1M 1ξ1=λ1e 1，并且M 1AM 1仍然为实对称阵！此即.001111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A AM M λ其中A 1为(n -1) 阶实对称阵！再用数学归纳法降阶讨论可得实对称阵的实正交相似标准形——由实特征值构成的对角阵．4．实对称阵的实特征值与正交相似标准形•实对称阵的（实）镜像相似取特征值λ1及其单位特征向量ξ1，取镜像或单位阵M 1使M 1ξ1=e 1，则M 1AM 1为实对称阵再归纳可得•定理16.7*(p.142) 实对称阵一定实正交相似于由其实特征值所构成的对角阵（标准形）．•实对称阵正交相似矩阵的一种求法：（自读）–由互相正交的单位特征向量构造. （pp.142-143）.001111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A AM M λ习题十六（p.144）•参照高等代数，酌情选题训练（注意一定要有独立思考的过程）：•3；4；5、②，④，⑧；6、①，④。
注册电气工程师基础考试数学课件
a x bx a y b y a z bz a x a y az
a b 0
2 2 2
bx b y bz
2
2
2
a x bx a y b y a z bz 0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
2 2 2 M 1 M 2 x2 x1 y2 y1 z2 z1
点到平面的距离公式：
点M 0 ( x0 , y0 , z0 )到平面Ax By Cz D 0的距离为
d
Ax0 By 0 Cz0 D A2 B 2 C 2
5.数量积
a b | a || b | cos
其中 为 a 与 b 的夹角
2
a prja b b prjb a
数量积的坐标表达式
a aa
a b a x bx a y b y a z bz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
2、曲面
空间曲面S与三元方程F ( x, y, z ) 0对应.
（1）旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕 其平面上的一条直线旋转 一周所成的曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.
直的单位向量.
解
i c a b ax bx
j ay by
k i j k a z 3 2 4 10 j 5k , bz 1 1 2
注册电气工程师公共基础高数大纲
注册电气工程师公共基础高数大纲Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】注册电气工程师执业资格考试基础考试大纲（供配电） 1、高等数学 空间解析几何向量代数 一、向量的概念 1、空间直角坐标系空间两点),,(1111z y x M 与),,(2222z y x M 之间的距离 2、向量既有大小又有方向的量称为向量。
常用有向线段表示向量，其长度为向量的大小称为向量的模，其方向为向量的方向。
用a或a 表示。
模为1的向量称为单位向量。
模为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向不定。
和向量a 大小相同方向相反的向量称为向量a 的负向量，记作-a 。
设a=(a 1，a 2，a 3)， b =(b 1，b 2，b 3)是两个向量，有关向量有如下一些基本概念要掌握：（1）模 a =232221a a a ++（2）方向余弦 aa a a a a 321cos ,cos ,cos ===γβα 且C os 2+C os 2+C os 2=1。
（3）向量的加减法 a ±b =(a 1±b 1,a 2±b 2,a 3±b 3).(4)数乘向量 λa =（λa 1，λa 2，λa 3），其中λ为数量，λa 为与a平行的向量。
（5）数量积 332211,cos b a b a b a b a b a b a ++>=<=⋅，两个向量的数量积是一个数.（6）向量积 321321b b b a a a kj i b a=⨯=(a 2b 3－a 3b 2，a 3b 1－a 1b 3，a 1b 2－a 2b 1)，两个向量的向量积是一个向量.b a b a b a b a b a b a b a⨯⊥⨯><=⨯,,;)(;,sin 和成右手系.（7）两个向量平行或垂直的充分必要条件b k a b a=⇔∥或0 =⨯⇔b a b a ∥3．向量的坐标表达式将向量的始点移到空间直角坐标系的原点O 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（二）两平面的夹角
两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）。
设有平面 Ⅱ1, : A l x + B 1y ＋ C l z + D 1 = 0 和平面 Ⅱ2 : A 2 x + B 2y ＋ C 2z + D 2 = 0，则Ⅱ1和Ⅱ2的夹角θ由下式确定：
由此可得
Ⅱ1与Ⅱ2互相垂直相当于A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0 Ⅱ1与Ⅱ2平行相当于
空间一点 P 0（ x 0，y 0， z 0）到平面
的距离，有以下公式：
（三）例题
【例 1-1-5 】求过三点 M l ( 2 , -1，4)、M 2 （-l , 3 ，-2 ）和 M 3( 0 , 2 , 3 ）的平面的方程。
由平面的点法式方程，得所求平面方程为
【 例 1 -1 -6】 求两平面 x - y + 2z - 6 = 0 , 2x + y +z- 5 ＝0的夹角。
【 解 】 因为
故所求夹角3
π
θ=。
【例 1 - 1 -7】 平行于 x 轴且经过点（ 4 , 0 ，- 2 ）和点（ 2 , 1 , 1 ）的平面方程是
【 解 】 由平面平行于 x 轴知，平面方程中 x 的系数为0，故（ A ）、（ B ）不正确。
由平面经过两已知点，知（ C ）满足，故选（ C ）.
三、直线
（一）空间直线的方程
设空间直线L 是平面Ⅱ1 : A l x + B 1y ＋ C l z + D 1 = 0 和平面 Ⅱ2 : A 2 x + B 2y ＋ C 2z + D 2 = 0，的交线，则 L 的方程为。
此方程称为空间直线的一般方程。
设直线 L 过点 M 0（ x 0 , y 0 , z 0) ，它的一个方向向量为s=（m,n,p ) ，则直线 L 的方程为
此方程称为直线的对称式方程。
如设参数 t 如下：
此方程组称为直线的参数式方程。
（二）两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角（通常指锐角）。
设直线 L 1：
和直线L 2
:
则 L 1 和 L 2的夹角ϕ可由下式确定：
由此可得
L 1和 L 2 互相垂直相当于
L 1和 L 2平行相当于
（三）直线与平面的夹角
直线和它在平面上的投影直线的夹角ϕ称为直线与平面的夹角，通常规定02
π
ϕ≤≤。
设直线的
方程是
平面的方程是
则直线与平面的夹角φ由下式确定：。