高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)

这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →
|取最小值时，x 的值等于________．
解析：AB →
＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →
|＝1－x
2
＋2x －3
2
＋－3x ＋3
2
＝14x 2－32x ＋19＝
14⎝
⎛
⎭⎪⎫x －872＋57，
故当x ＝8
7时，|AB →|取最小值．
答案：87
14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→
是平面A 1BD 的一个法向量．
AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→
＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→
，BC 1→
〉＝
1＋13×2＝6
3
. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为6
3.
答案：
63
设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，
则N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．
∴NE ∥AM .
又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，
∴AM ∥平面BDE .
(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，
则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．
又∵PF →与CD →所成的角为60°，
|
2－t ·2|2－t
2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322
(舍去)． 故点P 为AC 的中点．
22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。