静态场的边值问题

?
0
②全微分方程解的选取（以 kx为例）
kx2 ? 0
f (x) ? A1x ? A2
kx2 ? 0
f (x) ? A1 sin kx x ? A2 cos kx x
? kx?2 ? kx2 ? 0
f (x) ? A1 sh k?x x ? A2 ch k?x x ? A1?ek?xx ? A2?e? kx?x
讨论：
①对于第一类边界条件， 因为
?
? ?0 S
所以C = 0
②第二类和第三类边界条件的情况 ? 1 ? ? 2 ? C
对于求解场函数来说，解是唯一的。
4、应当明确 ①只有在区域的所有边界上给出唯一的边界条件时，边值问题 的解才是唯一确定的。
②唯一性定理 给出了求解电磁场问题的理论依据 不论采用什么方法，只要得到的解能够在区域内满足方程而在 边界上满足边界条件，这个解就是该边值问题的唯一正确解。
在区域τ内存在两个不同的函数 ?和1 ?都2 满足相同的泊松
方程 ? 2? ? ，f 并且在区域边界 S上满足同样的边界条件。
令
? ?? ? 1 ? ? 2
则有
? 2? ?? ? 2 (? 1 ? ? 2 ) ? ? 2? 1 ? ? 2? 2 ? f ? f ? 0
利用
?
??
? ?(uF ) ? u? ?F ? F? u
? ky2
? kz2
则上式分解成三个独立的全微分方程，即
d
2 f (x) dx 2
?
k
2 x
f ( x)
?
0
d
2 g( y) dy 2
?
k
2 y
g
(
y)
?
0
d 2 h(z) dz 2
?
kz2 h(z)
?
0
?
kx2
,
?
k
2 y
,
?
k
2 z
称为分离常数 ，分离常数之间满足约束关系
k
2 x
?
k
2 y
?
kz2
?s ?
???
? ds
?n
?
?? (?
?
?) 2 d?
①对于第一类边界条件 ? s ? C1
? ? s ? (? 1 ? ? 2 ) s ? ? 1 s ? ? 2 s ? C1 ? C1 ? 0
②对于第二类边界条件 ?? ?n s ? C2
?? ?
?n s
?
? (?
?n
1
??
2)
s
?
?? 1
?n
s
?x2 ?y2 ?z2
令 ? (x, y, z) ? f (x) ?g(y) ?h(z) ，并代入上式
并两边同除以 f (x)g(y)h(z) 得
1 ? 2 f ( x) ? 1 ? 2 g ( y) ? 1 ? 2 h(z) ? 0 f (x) ?x2 g ( y) ?y2 h(z) ?z 2
? kx2
①给定全部边界上的函数值
? s ? C1
“狄利赫利”边界条件
②给出全部边界上函数的法向导数值
?? ?n s ? C2
“聂曼”边界条件
③给定部分边界上的函数值，而其余边界上给出函数的法向导数值
? s1 ? C1 , ?? ?n s2 ? C2
混合边界条件
3、唯一性定理的证明
证明：考虑泊松方程，用反证法
并且 ? 1、? 2、…… ? n都是满足方程 ? 2? ? 0 的解
则
? ?
? ? p ? a1? 1 ? a2? 2 ?
? an? n
也是方程 ? 2? ? f 的解
其中 a i为任意常数。
2、证明 讨论泊松方程的情况 对叠加得到的结果两边作 ? 2 运算，得
? 2? ? ? ? 2 (? p ? a1? 1 ? a 2? 2 ? ? a n? n ) ? ? 2? p ? a1? 2? 1 ? a2? 2? 2 ? ? an? 2? n
? ?
? 3 s2
?0
? ?
?
3
s3
?
C3
分解后每个边值问题都只有一个非齐次边界值，求解变得容易。 原问题的解应该是三个问题解的叠加
? ? ?? 1?? 2 ?? 3
§5.2 拉普拉斯方程的分离变量法
一. 直角坐标系中的分离变量法
1、方法介绍
直角坐标系中拉普拉斯方程的表达式为
①变量的分离
? 2? ? ? 2? ? ? 2? ? 0
?
取 u ? ? ?, F ? ? ? ?
则
? ?(? ?? ? ?) ? ? ?? 2? ?? ? ? ??? ? ?? (? ? ?)2
对上式两边在区域内作体积分，然后运用散度定理，得
?s (? ?? ? ?) ?ds? ? ?? (? ? ?) 2 d?
将 ? ? ??ds? ? (?? ? ?n) ds 代入上式得
第五章 静态场的边值问题
边值问题 研究方法
解析法 数值法
分离变量法
镜像法
复变函数法
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
????
§5.1 唯一性定理和解的叠加原理
一. 唯一性定理
1、表述 在给定的区域内，泊松方程（或拉普拉斯方程）满足所给定
的全部边界条件的解是唯一的。
2、边界条件的形式
二. 解的叠加原理
解的可叠加性是方程线性的必然结果。
1、表述
①对拉普拉斯方程 ，若? 1、? 2、…… ? n都是满足方程 ? 2? ? 0 的解
则
? ?
? a1? 1 ? a 2? 2 ? ?
? a n? n
也是方程 ? 2? ? 0 的解
其中a i为任意常数。
②对泊松方程 ，若 ? p是满足方程 ? 2? ? f 的一个任意解
?
?? 2
?n
s
? C2
? C2
?
0
③对于第三类边界条件
? ? ?0 , s1
?? ? ? 0
?n s2
不论对哪类边界条件，面积分
?
?
s
???
? ds
?n
都等于零
因此有
? (? ? ?)2d? ? 0 ?
由于 (? ? ?)2 大于或等于零，故上式成立的条件是 ? ? ?? 0
解之可得
? ?? C
? f ? a1 ?0 ? a2 ?0 ? ? an ?0 ? f
因此 ? ? 是方程 ? 2? ? f 的解
令 f = 0，即可得到拉普拉斯方程情况的证明
3、应用 求解边界问题时，可以先将复杂边界条件分解成便于求解 的几个边界条件，则总的边界问题解就是这些解的叠加。
例：
? ? 2? ? 0
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? ?
对 g( y) 和 h(z) 也都有与上述相同形式的解。在 f (x)、g(y)、h(z) 三组可取解中各取其一并相乘，即可得到一个解的表达式。
?
s1 ? C1
? ?
?
s2 ? C2
? ?
?
s3 ? C3
分解为三个边界问题
? ? ?
? ?
2? 1 ? 0 1 s1 ? C1
? ?
?
1 s2
?
0
? ?
?
1 s3
?
0
? ? ?
? 2? ?2
2 s1
? ?
0 0
? ?
?
2
s2
?
C2
? ?
? 2 s3 ? 0
? ? ?
? 2? ?3
3 s1
? ?
0 0