人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：倍数 约数
初中一年级数学教案数的倍数和约数
关联交易工作总结
关联交易工作总结。
近年来，随着企业之间的合作日益密切，关联交易也越来越成为企业经营活动中的重要组成部分。
在这样的背景下，我们对关联交易的工作进行了总结和分析，以期更好地规范和管理关联交易，确保企业的合法权益。
首先，我们对过去一段时间内的关联交易情况进行了梳理和总结。
我们发现，关联交易的范围逐渐扩大，涉及的金额也在不断增加。
这表明企业之间的合作越来越密切，但也意味着关联交易的风险与挑战也在增加。
因此，我们需要更加重视关联交易的管理工作，加强监管和控制。
其次，我们对关联交易的管理制度进行了审视和调整。
我们不断完善和优化了关联交易的管理制度，明确了各方的责任和义务，加强了内部审查和监督，建立了更加严格的审批流程和决策机制。
这些举措为规范和管理关联交易提供了有力的制度保障，有助于防范和化解关联交易风险。
最后，我们对关联交易的风险进行了评估和应对。
我们针对不同类型的关联交易风险，制定了相应的风险防范措施和对策，确保企业在开展关联交易的过程中能够做到风险可控、风险可预期。
这不仅有助于保护企业的合法权益，也有利于提升企业的经营效益和竞争力。
总的来说，通过对关联交易工作的总结和分析，我们更加清晰地认识到了关联交易管理的重要性和紧迫性，也更加明确了下一步的工作重点和方向。
我们将继续加强对关联交易的监管和管理，不断完善和优化关联交易的管理制度，确保企业的合法权益和长远发展。
初中数学培优竞赛教案
初中数学培优竞赛教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握初中数学培优竞赛的核心知识点，提高解题技巧和能力。
2. 过程与方法：通过典型例题的讲解和练习，培养学生的逻辑思维、创新意识和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和爱好，培养学生的团队协作精神和挑战自我的勇气。
二、教学内容：1. 数论：因数与倍数、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与同余方程等。
2. 代数：整式与分式、方程与不等式、函数与图像、数列等。
3. 几何：平面几何、立体几何、解析几何等。
4. 组合数学：排列组合、计数原理、图论等。
5. 概率与统计：概率的基本概念、随机事件、统计方法等。
三、教学过程：1. 导入：通过讲解数学竞赛的意义和价值，激发学生的学习兴趣，吸引学生的注意力。
2. 讲解：针对每个知识点，选取典型的例题进行讲解，让学生掌握解题方法和解题思路。
3. 练习：针对每个知识点，设计相应的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和经验，培养学生的团队协作精神。
5. 总结：对每个知识点进行总结，让学生形成系统的知识体系。
6. 作业：布置相应的作业，让学生课后巩固所学知识。
四、教学策略：1. 启发式教学：引导学生主动思考问题，培养学生的创新意识和解决问题的能力。
2. 案例教学：通过典型例题的讲解，让学生掌握解题方法和解题思路。
3. 实践教学：设计相应的练习题，让学生在实践中提高解题能力。
4. 情感教学：关注学生的学习兴趣和情感需求，激发学生的学习动力。
五、教学评价：1. 过程评价：关注学生在学习过程中的表现，如态度、参与度、团队协作等。
2. 结果评价：通过作业、测验、竞赛等方式，评价学生的学习成果。
3. 综合评价：结合过程评价和结果评价，对学生的综合素质进行评价。
六、教学资源：1. 教材：选用权威、实用的数学竞赛教材。
2. 教辅：提供丰富的习题和竞赛题目，方便学生课后巩固。
初一数学专题复习之约数与倍数
初一数学专题复习之约数与倍数
初一数学专题复习之约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的`性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
最小公倍数的求法：1、短除法；2、分解质因数。
数论--约数倍数-第4讲约数和倍数竞赛班学生
第四讲约数和倍数一、基础知识1. 1. 常用的特殊自然数的整除特征1）2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依次类推2）5系列:被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质假设一个多位数末三位是abc，末三位之前的部分为x那么该数=1000x+abc，由于8|1000,所以8|1000x,因此该数能否被8整除就决定于末三位abc能否被8整除，证毕.3）3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除.被9整除只需看各位数字之和能否被9整除.我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质假设该三位数为abc=100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a+b+c，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc 就能被9整除，反之亦然。
推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下.4）7,11,13系列被7，11，13整除的判别方法：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除[思考]：为什么要从末三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现7ｘ11ｘ13=1001，正好比1000大1，由此我们可以得到如下证明和2系列的证明类似，我们仍然设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x那么我们要证明的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除该数=1000x+abc=1001x+（abc-x）由于1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除，证毕.特别的，我们还有另外一种判别能否被11整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数为数字之和能否被11整除，若能整除则原数可被11整除，反之亦然.请大家自己想一想这个如何证明？（思考题）2.整除的性质1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c.2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a.3.最大公约数和最小公倍数两个基本性质一.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即若a=a1*(a,b),b=b1*(a,b),则(a1,b1)=1二.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积.[a,b]*(a,b)=ab二、例题部分例1．（★★第16届希望杯第2试）我们用记号“|”表示两个正整数之间的整除关系，如3|12表示3整除12，那么满足x | (y+1)和y | (x+1)的正整数组(x,y)有__________组.例2.(★★第12届希望杯第2试) 两个正整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是__________例3.（★★★★ 1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。
七数培优竞赛讲座第26讲 整数整除的概念和性质
第二十六讲整数整除的概念和性质对于整数和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a＝bm+n(0≤n<b)，其中m称为商，n称为余数，特别地，n＝0时，即a＝bm，便称a被被b整除(也称a是b的倍数或的约数)，记为b|a．整除有以下基本性质：1．若a|b，a|c，则a|（b c）；2．若a|b，b|c，则a|c；3．若a| b c，且(a，c)=1，则a|b，特别地，若质数p|b c，则必有p|b或p|c；4．若b|a，c|a，且(b，c) =1，则b c|a．解整除有关问题常用到数的整除性常见特征：1．被2整除的数：个位数字是偶数；2．被5整除的数：个位数字是0或5；3．被4整除的数：末两位组成的数被4整除；被25整除的数，末两位组成的数被25整除；4．被8整除的数：末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的数被125整除；5．被3整除的数：数字和被3整除；6．被9整除的数：数字和被9整除；7．被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除．【例1】一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是．思路点拨略(重庆市竞赛题)注：确定已知条件来确定自然数，是数学活动中常见的一类问题，解这类问题时往往用到下列知识方法：(1)运用整除性质；(2)确定首位数字；(3)利用末位数字；(4)代数化；(5)不等式估算；(6)分类讨论求解等．【例2】有三个正整数a、b、c其中a与b互质且b与c也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b整除，②a2+c2不能被b整除：③(a+b)2不能被c整除；④a2+b2不能被c整除，其中，不正确的判断有( )．A．4个B．3个 C 2个D．1个思路点拨举例验证．(“希望杯”邀请赛试题)1287xy是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．【例3】已知7位数6(江苏省竞赛题)1287xy能被8，9整除，运用整数能被8、9整除的性质求出x，y的思路点拨7位数6值．【例4】(1)若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x一a)(x一b)(x一c)(x一d)一9＝0，求证；4︳(a+b+c+d)．(2)已知两个三位数abc与def的和abc+def能被37整除，证明：六位数abcdef也能被37整除．思路点拨 (1)x 一a ，x 一b ，x 一c ，x 一d 是互不相等的整数，且它们的乘积等于9，于是必须把9分解为4个互不相等的因数的积；(2)因已知条件的数是三位数，故应设法把六位数abcdef 用三位数的形式表示，以沟通已知与求证结论的联系．注：运用整除的概念与性质，建立关于数字谜中字母的方程、方程组，是解数学谜问题的重要技巧．华罗庚曾说：“善于‘退’，足够地，‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”从一般退到特殊，从多维退到低维，从空间退到平面，从抽象退到具体……只要不影响问题的求解，对于许多复杂的问题，以退求进是一种重要的解题思想．【例5】 (1)一个自然数N 被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被3除余2，被2除余1，则N 的最小值是 ．(北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时，所得的余数都是y ，则x —y 的值等于( )．A ．15B ．1C ．164D ．174(“五羊杯”竞赛题)(3)设N=个1990111，试问N 被7除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题) 思路点拨 运用余数公式，余数性质，化不整除问题为整除问题．(1)N+1能分别被2，3，4，5，6，7，8，9，10整除，(2)建立关于x ，y 的方程组，通过解方程组求解，(3)从考察11，111，…111111被7除的余数人手．【例6】盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )A ．1990个B ．1991个C 1992个D ．1993个思路点拨 无论魔术师如何变，盒中球的总数为6k+7个，其中k 为自然数，经验证，1993=331×6+7符合要求．故选D ．【例7】在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?思路点拨 由于2与3互质，3与5互质，5与2互质(这种特性我们也称为2、3、5两两互质)，所以同时被2、3、5整除的整数必然被2×3×5=30整除；另—方面，被30整除的正整数必然可同时被2、3、5整除，因此，在100以内同时被2、3、5整除的正整数就是在100以内被30整除的正整数，显然只有30、60、90三个．【例8】某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除． 思路点拨 显然，号码为9999是幸运券，除这张外，如果某个号码n 是幸运券，那么号m=9999—n 也是幸运券，由于9是奇数，所以m ≠n ．由于m+n=9999相加时不出现进位，这就是说，除去号码9999这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的整倍数，而101│9999，故知所有幸运券号码之和也能被101整除思考：“如果某个号码n 是幸运券，那么号m=9999—n 也是幸运券”，这是解决问题的关键，请你考虑这句话合理性． 若六位数9381ab 是99的倍数，求整数a 、b 的值．81ab能被9整除，∴8+1+a+b+9+3=21+a+b能被9整除，得3+a+b=9k l(k1为整∵93数)．①81ab能被11整除，∴8—1+a—b+9—3=13+a—b能被11整除，得2+a—b=11k2(k2又93为整数)．②∵0≤a，b≤9 ∴0≤a+b≤18，－9≤a－b≤9．由①、②两式，得3≤<9k1≤21，－7≤11k2≤1l，知k1=1，或k1=2；k2=0，或，而3+a+b与2+a—b的奇偶性相异，而k1=2，k2=1不符合题意．故把k1=1，k2=0代人①、②两式，解方程组可求得a=2，b=4．【例9】写出都是合数的13个连续自然数．思路点拨方法一：直接寻找从2开始，在自然数2，3，4，5，6，…中把质数全部划去，若划去的两个质数之间的自然数个数不小于13个，则从中取13个连续的自然数，就是符合要求的一组解，例如：自然数114，115，116，…，126就是符合题意的一组解．方法二：构造法我们知道，若一个自然数a是2的倍数，则a+2也是2的倍数，若是3的倍数，则a+3也是3的倍数，…，若a是14的倍数，则a+14也母14的倍数，所以只要取a为2，3，…，14的倍数，则a+2，a+3，…a+14分别为2，3，…，14的倍数，从而它们是13个连续的自然．所以，取a=2×3×4×…×14，则a+2，a+3，…，a+14必为13个都是合数的连续的自然数．【例10】已知定由“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式20+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数”．试问：这个定理中的整数n的最大可能值是多少?请证明你的结论．思路点拨先将a+b+c化为3(a+2b)的形式，说明a+b+c是3的倍数，然后利用整除的性质对a、b被3整除后的余数加以讨论得出a+2b也为3的倍数．∵=a+b+2a+5b=3(a+2b)，显然，3│a+b+c若设a、b被3整除后的余数分别为r a、r b，则r a≠0，r b≠0．若r a≠r b，则r a=2，r b=1或r a=1，r b=2，则2a+5b =2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3)，或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)；3(2P+59+4)，即2a+5b为合数与已知c为质数矛盾．∴只有r a=r b，则r a=r b=1或r a=r b=2．于是a+2b必是3的倍数，从而a+b+c是9的倍数．又2a+5b=2×11十5×5=47时，=a+b+c=11+5+47=63，2a+5b =2×13十5×7=61时，a+b+c =13+7+61=81，而(63，81)=9，故9为最大可能值．注：由余数切入进行讨论，是解决整除问题的重要方法．【例11】一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．思路点拨将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大数、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定．【例12】设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为cba ．由“新生数”的定义，得N=abc —cba =(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a —c)．由上式知N 为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990．这九个数中，只有954－459=495符合条件，故495是唯一的三位‘新生数”． 注：本题主要应用“新生数”的定义和整数性质，先将三位“新生数”进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数。
初一数学竞赛培优讲义 含答案 全册 共15讲 改好98页
装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
初中数学《约数和倍数(二)》讲义及练习
约数个数定理与约数和定理1． 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。
难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2． 求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
约数个数问题【例 1】 数160的约数个数是多少？它们的和是多少？它们的积呢?【解析】 对任意一个自然数，我们首先可以将它作因式分解，化成质数及其次数的乘积，以160为例，我们有5116025=⨯.要算它的约数的个数，我们可以这样来理解：约数的因数只可能是2,5.并且它们的次数不会超过原数的次数，从而约数的因数的2的次数可以为0，1,2,3,4,5；而5的次数也只可能是0或1.把它展开你就可以发现它就是我们要求的：情况1：不包含5的约数：1,2,22,32,42,52,情况2：包含5的约数:15⨯，25⨯，225⨯，325⨯，425⨯，525⨯.从而我们可以任意地从中选若干个2，5的次数，即：(15+)⨯(11+)12=.(个)所以它的约数的和：(2345122222+++++)⨯(15+)至于要算它们的约数的积，我们可以将它的约数配对：一个约数和它被原数除的数组成一对(如2和80是160的一对).这样，对于非平方数而言，我们得到整数对，并且它们的积就是原数本身；而对于平方数而言，仅仅是多了一个数(它的开方)，从而通过对它的约数的个数，可以求出它们的积.知识点拨第五讲约数与倍数（二）例题精讲对本题而言，我们有(1;160)，(2;80)，(4;40)，(5;32)，(8;20)，(10;16)共6对.从而它们的积为6160.【例 2】 求在1到100中，恰好有10个约数的所有自然数.【解析】 逆用约数个数定理：101100191=⨯=+⨯+()()或10251141=⨯=+⨯+()()，所以自然数N 只有两种分解可能，一种是4N p =一种是1412N p p =⨯,但第一种情况100以内这样的数不存在，第二种情况只有2p 等于2的可能，所以432N =⨯或452N =⨯因此满足条件的自然数只有48和80.【巩固】 在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【解析】6只能表示为(51+)或(11+)(21+)，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：2222222222222222325272112132172192238323537311452532721⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种种种种所以符合条件的自然数一共有1842116++++=种．【例 3】 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【解析】 最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。
了解倍数与约数的定义与判定
了解倍数与约数的定义与判定倍数与约数是数学中常见的概念，对于理解和运用数字关系具有重要意义。
本文将详细介绍倍数与约数的定义以及判定方法，并通过实例来帮助读者更好地理解。
一、倍数的定义与判定倍数是指一个数能够被另一个数整除，即能够用另一个数乘以某个整数获得的数。
具体来说，如果说a能被b整除，那么a就是b的倍数。
例如，6能被2整除，因此6是2的倍数。
判定一个数是否是另一个数的倍数，我们可以使用取余运算来实现。
如果一个数能够被另一个数整除，即余数为0，那么该数就是另一个数的倍数。
例如，我们来判定48是否是8的倍数。
我们可以进行48除以8的运算，结果为6，余数为0。
因此，48是8的倍数。
二、约数的定义与判定约数是指能够整除一个数的数。
换句话说，如果一个数能够被另一个数整除，那么这个数就是另一个数的约数。
例如，2是4的约数，因为2能够整除4。
判定一个数是否是另一个数的约数，我们同样可以使用取余运算。
如果一个数能够整除另一个数，即余数为0，那么该数就是另一个数的约数。
例如，我们来判定12的约数。
我们可以将12除以不同的数，如3、4、6等等。
如果结果的余数均为0，那么这些数就是12的约数。
三、倍数与约数的关系倍数和约数之间存在着密切的关系。
如果一个数x是另一个数y的倍数，那么y一定是x的约数。
相反地，如果一个数x是另一个数y的约数，那么y一定是x的倍数。
这是因为倍数与约数本质上是数的整除关系的两种表达方式。
如果一个数x能够整除另一个数y，那么x就是y的约数，y就是x的倍数。
因此，倍数与约数是相互对应的。
举个例子来说明，我们考虑数字12。
12是3的倍数，同时12的约数有1、2、3、4、6和12。
其中3是12的约数，而12又是3的倍数。
这充分展示了倍数与约数之间的对应关系。
四、实例分析为了更好地理解倍数与约数的定义与判定，我们来分析一个实际问题。
假设我们需要判断一个数x是否是另一个数y的倍数。
我们可以通过以下步骤来进行：1. 用x去除以y，如果余数为0，说明x是y的倍数；2. 如果余数不为0，说明x不是y的倍数。
初中数学知识归纳倍数和约数的概念与计算
初中数学知识归纳倍数和约数的概念与计算初中数学知识归纳：倍数和约数的概念与计算在初中数学学习中，倍数和约数是一个非常重要的概念。
本文将对倍数和约数的概念进行归纳，并介绍如何计算倍数和约数。
一、倍数的概念与计算1. 倍数的概念倍数是指一个数能够被另一个数整除，即这个数是另一个数的整数倍。
通俗来说，如果一个数能够被另一个数整除，那么这个数就是另一个数的倍数。
2. 倍数的计算方法要计算一个数的倍数，可以通过将这个数不断地加上自身，直到满足条件为止。
例如，计算4的倍数，可以开始从4开始不断加上4，直到满足条件。
依次计算得到的结果为4、8、12、16...3. 判断是否是倍数在判断一个数是否是另一个数的倍数时，可以通过判断能否整除来得出结论。
如果一个数能够整除另一个数，则它就是它的倍数。
例如，判断8是否是4的倍数，可以计算8÷4，如果结果为整数且余数为0，则8是4的倍数。
二、约数的概念与计算1. 约数的概念约数是指能够整除一个数的数，即能够整除一个数且结果为整数的数。
通俗来说，如果一个数能够被另一个数整除，那么这个数就是另一个数的约数。
2. 约数的计算方法要计算一个数的约数，可以列举所有能够整除这个数的数。
例如，计算12的约数，可以列举1，2，3，4，6，12。
这些数都能够整除12，所以它们是12的约数。
3. 判断是否是约数在判断一个数是否是另一个数的约数时，可以通过判断能否整除来得出结论。
如果一个数能够整除另一个数，则它就是它的约数。
例如，判断3是否是12的约数，可以计算12÷3，如果结果为整数且余数为0，则3是12的约数。
三、倍数和约数的关系与应用1. 倍数与约数的关系倍数和约数是密切相关的概念。
如果一个数是另一个数的倍数，那么另一个数就是这个数的约数。
例如，如果12是3的倍数，那么3就是12的约数。
2. 倍数和约数的应用倍数和约数在实际问题中有广泛应用。
例如，在分配苹果时，如果总数是12，每份是3个，那么12就是3的倍数，而3就是12的约数。
数学学习技巧汇总倍数与约数的计算方法
数学学习技巧汇总倍数与约数的计算方法数学学习技巧汇总：倍数与约数的计算方法在数学学习中，倍数与约数是非常基础且重要的概念。
掌握倍数与约数的计算方法不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够提高我们的数学思维能力。
本文将介绍倍数与约数的相关概念及其计算方法，以帮助读者更好地掌握数学知识。
一、倍数的计算方法倍数是指一个数可以被另一个数整除的结果。
计算一个数的倍数可以按照以下方法进行：1. 基本倍数：某个数的倍数可以通过将该数不断地加上自身来获得。
例如，要计算7的倍数，可以从7开始，依次加上7，即7、14、21、28...依次类推。
2. 公式计算：对于给定的两个数a和b，要计算a的倍数，可以使用下面的公式：第一个倍数：a * 1 = a第二个倍数：a * 2 = 2a第三个倍数：a * 3 = 3a...第n个倍数：a * n = na其中，n为任意正整数，代表要计算的倍数的个数。
3. 关系计算：在一些特殊情况下，可以通过找到数的某种关系来计算倍数。
例如，如果一个数是另一个数的倍数，那么这个数的倍数一定也是另一个数的倍数。
二、约数的计算方法约数是指能够整除一个数的所有正整数。
计算一个数的约数可以按照以下方法进行：1. 因数分解：将这个数进行因数分解，然后把所有的因数列出来。
例如，对于数30而言，它的因数分解为2 * 3 * 5，因此它的约数就是1、2、3、5、6、10、15和30。
2. 范围计算：对于一个给定的数，可以从1开始，依次进行整除操作，将所有整除结果为整数的数列出来。
例如，对于数36而言，从1开始依次整除36，可以得到36、18、12、9、6、4、3和2，因此它的约数就是1、2、3、4、6、9、12、18和36。
3. 复合运算：如果一个数能被1整除，同时也能被另一个数整除，那么这个数的约数一定也能被这个数的公约数整除。
利用这个性质，可以通过先计算出一个数的公约数，然后再依次整除这个数得到其余的约数。
《约数和倍数》课件
欢迎来到关于约数和倍数的PPT课件，本次课件将会向你介绍约数和倍数的 定义，以及求解方法和例题演示。让我们开始吧！
约数和倍数的定义
约数
如果一个整数除以另外一个整数，余数为0，那么我们说后者是前者的约数。
倍数
如果一个整数乘以另外一个整数得到某个数，那么我们说这个数是另外那个数的倍数。
求约数的方法
质因数分解法
将一个数分解质因数，再将各个质因数的幂次加1， 最后相乘。即可得出所有的约数。
列举法
用小的整数去除大的整数，将其商和余数一直分解， 找到全部约数。
判断一个数是不是另一个数的约数
1 方法一：可以用列举法求出所有的约数，看看那个数是否在其中 2 方法二：可以判断该数与那个数是否存在倍数关系
求一个数的所有倍数
1
Step 1
将对应的数值不断累加/乘即可得到所有倍数
例题演示
例题 1 例题 3
求36的所有约数。 求11的所有倍数。
例题 2 例题 4
判断11是否是56的约 数。
判断75是否是10的倍 数。
求一个数的所有约数
1
Step 2
2
列出所有质因数及其对应的幂次
3
Step 1
质因数分解这个数
Step 3
各个质因数的幂次加1，再相乘即可得出 所有的约数
求倍数的方法
直接乘法
将一个数乘以对应的倍数即可得到倍数
直接加法
将一个数加上对应的数值即可得到倍数
判断一个数是不是另一个数的倍数
1 方法一：可以直接用除
人教版数学七年级培优和竞赛二合一讲练教程(2)倍数 约数
（2）倍数约数【知识精读】1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。
【分类解析】例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。
解：列表如下其规律是：设A＝a m b n(a，b是质数,m，n是正整数)那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，∴N＝6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。
数的倍数与约数知识点总结
数的倍数与约数知识点总结数的倍数和约数是数学中的基本概念，对于初中数学的学习至关重要。
本文将对数的倍数和约数的概念、性质以及求解方法进行总结和归纳，以帮助读者更好地掌握这两个知识点。
一、数的倍数1. 基本概念：如果一个整数a除以另一个整数b，余数为0，我们就说a是b的倍数。
记作b|a，读作“b整除a”或“a是b的倍数”。
2. 性质：- 任意整数都是0的倍数，0不是任何数的倍数。
- 如果a是b的倍数，那么a也是-b的倍数。
- 如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数。
- 如果a是b的倍数，而b不是0的倍数，那么|a|≥|b|。
3. 判定方法：判断一个数是否是另一个数的倍数，可以通过以下方法进行计算：- 求余法：如果a÷b的余数为0，则a是b的倍数。
- 公式法：如果存在整数k，使得a=k×b，那么a是b的倍数。
4. 常见概念：- 最小公倍数：两个数公有的倍数中最小的一个数称为这两个数的最小公倍数，记作lcm(a,b)。
求最小公倍数的方法会在后文中进行介绍。
- 奇数倍和偶数倍：奇数倍是指一个数是奇数的倍数，偶数倍是指一个数是偶数的倍数。
二、约数1. 基本概念：如果一个整数a除以另一个整数b，商为整数，余数为0，我们就说b是a的约数，a是b的倍数。
2. 性质：- 任意整数都是1和它本身的约数。
- 如果a是b的约数，b是c的约数，那么a也是c的约数。
- 如果a是b的约数，那么-b也是a的约数。
- 如果a是b的约数，而b不是0的约数，那么|a|≤|b|。
3. 判断方法：判断一个数是否是另一个数的约数，可以通过以下方法进行计算：- 求余法：如果a÷b的余数为0，则b是a的约数。
- 公式法：如果存在整数k，使得k×b=a，那么b是a的约数。
4. 常见概念：- 最大公约数：两个数公有的约数中最大的一个数称为这两个数的最大公约数，记作gcd(a,b)。
求最大公约数的方法会在后文中进行介绍。
初中数学竞赛精品标准教程及练习02倍数约数
初中数学竞赛精品标准教程及练习02倍数约数倍数与约数是初中数学竞赛中经常会涉及到的重要概念，对于解题非常关键。
下面是一个标准的教程及练习题目，帮助学生更好地掌握倍数与约数的相关知识。
教程一、理解倍数的概念倍数是指一些数能被另一个数整除的数，或者说一个数是另一个数的倍数，可以用“整除”来解释。
例如，6是3的倍数，因为6能被3整除，即6÷3=2二、倍数的判断方法判断一个数是否是另一个数的倍数，可以采用两种方法：1.用除法判断：将被判断的数除以给定的数，如果余数为0，则表示它是给定数的倍数，否则不是。
2.用乘法判断：将给定的数乘以一些倍数，如果得到被判断数，即两数相乘等于被判断数，则表示它是给定数的倍数，否则不是。
三、倍数的性质1.一些数的倍数一定是它的约数，例如，6是6的倍数，同时也是6的约数。
2.一个数的倍数有无穷多个，例如，2的倍数有2，4，6，8，10等等。
3.一个数的正负整数倍同样是它的倍数，例如，3的倍数既有3，又有-3，6，-6，9，-9等等。
四、理解约数的概念约数是指能够整除其中一个数的数，或者说一些数可以被其他数整除。
例如，6的约数有1，2，3，6五、约数的判断方法判断一个数是否是另一个数的约数，可以采用两种方法：1.用余数判断：将被判断的数除以给定的数，如果余数为0，则表示它是给定数的约数，否则不是。
2.用除法判断：将给定的数除以一些约数，如果商等于被判断数，即两数相除等于被判断数，则表示它是给定数的约数，否则不是。
六、约数的性质1.一个数的约数个数是有限的，一个数的约数数目与它的大小有关。
2.一个数的约数中，除了1和它自身以外，其他约数都是成对出现的。
练习题1.判断以下哪些数是18的倍数：36、27、45、54、722.一个数是5的倍数，它至少可以被几个数整除？3.一个数是3的倍数，它的4倍是多少？4.求36的所有约数。
5.判断以下哪些数是45的约数：3、5、9、15、30。
初中数学知识归纳整数的倍数和约数
初中数学知识归纳整数的倍数和约数整数是我们数学学习中最基础的概念之一，而计算整数的倍数和约数也是数学课堂上常见的题型。
本文将对初中数学中整数的倍数和约数进行归纳总结。
一、整数的倍数整数的倍数是指能够整除某个整数的数，我们可以通过以下方法来判断一个数是否为另一个数的倍数。
1. 除法法则使用除法法则可以判断一个数是否是另一个数的倍数。
根据除法法则，如果一个整数a能够被另一个整数b整除，那么a就是b的倍数。
例如，若要判断24是否是8的倍数，我们可以进行以下计算：24 ÷8 = 3，结果为整数，因此24是8的倍数。
2. 整数关系整数的倍数还可以通过整数之间的关系来判断。
如果一个整数a是另一个整数b的倍数，那么可以用a去乘以一个整数k，结果等于b。
例如，18是9的倍数，因为18 × 2 = 36，36 = 9 × 4。
3. 倍数的性质倍数具有以下性质：（1）一个数是自己的倍数；（2）一个数的倍数可以无穷多。
二、整数的约数整数的约数是指能够整除某个整数的数，我们可以通过以下方法来确定一个数的约数。
1. 除法法则使用除法法则可以判断一个数是否是另一个数的约数。
根据除法法则，如果一个整数a能够整除另一个整数b，那么a就是b的约数。
例如，若要判断15的约数，我们可以进行以下计算：15 ÷ 3 = 5，15 ÷ 5 = 3，因此3和5都是15的约数。
2. 整除关系一个数的约数可以通过整除关系来判断。
如果一个整数a是另一个整数b的约数，那么可以用a去乘以一个整数k，结果等于b。
例如，4是16的约数，因为4 × 4 = 16。
3. 约数的性质约数具有以下性质：（1）一个数的约数一定是它的因数；（2）一个数的约数个数有限。
三、整数倍数和约数的关系在数学中，倍数和约数有着紧密的联系。
如果一个整数a是另一个整数b的倍数，那么b一定是a的约数；反之亦然，如果a是b的约数，那么b一定是a的倍数。
(人教版数学)七年级竞赛专题讲解：第三十二讲最大公约数与最小公倍数
注 (1) 本题的切入点是最大公约数和最小公倍数；
(2) 注意答案的两种可能性．
【例 4】在一间屋子里有 100 盏电灯排成一横行， 依从左到右的顺序编上号码 1，2，3，…，
100．每盏电灯上有一根拉线开关， 最初所有电灯全是关的， 现有 100 个学生在门外排着队，
第一个学生走进屋来，把编号是 1 的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，
上一共有多少个孔 ?
A 孔出发，逆时针方
思路点拨 依题意，每步跳过 2 孔，连起点一共要跳过 3 个孔，故除掉 B 孔外，圆圈上 的孔数是 3 的倍数，有 3│ n— 1；每步跳过 4 个孔，连起点一步要跳过 5 个孔，故除掉 B 孔 外，圆圈上的孔数是 5 的倍数，因此，有 5│n— 1；又每步跳过 6 个孔时，可回到 A 孔，这 表明 7│ n．
因此， (a ， b)=3 ，于是
a=3 × 7， b=3 × 13，
∴ a × b=(3 × 7) × (3X × 3)=819 ． 故选 B．
注： 本题的精妙之处在于由 a+b 和 [a ，b] 的两个质因式的分解， 确定出 a 和 b 的最大公为
数是 1 或 3．
【例 6】 用整元的人民币购物，若用多于 7 元的任意元钱去买单价为 3 元和 5 元的两
均不等于零的整数．如果 a1│ l ，…， ak│ l ，则称 l 是 a1、a2、 、ak 的公倍数，其中正的
公倍数中最小的称为 a1、a2、 、ak 的最小公倍数，其他公倍数一定是最小的公倍数的倍
数． 3 ．若将 a， b 进行质因数分解，并将它们表示成
a
p p 1
2
1
2
pm m ，
b
p p 1
数学竞赛专题讲座--约数与倍数
（4）约数与倍数班别_________姓名___________一、定义：1、例如6=3×2，则6是2（或3）的倍数，2（或3）是6 的约数，记作：2│6或3│6，读作：2整除6或3整除6。
2、例如：1，2，3，6都是12和18的公约数，其中6是12和18 的最大公约数。
记作（12，18）=6，读作：12和18 的最大公约数是6。
3、例如：12，24，36，48，…都是3和4的公倍数，其中12是3和4的最小公倍数。
记作：[3，4]=12，读作： 3和4的最小公倍数是12。
4、特别地，若（a ，b ）=1，则称a ，b 互质。
二、例题：1、求24和36的最大公约数和最小公倍数解法一：提取公因数法：所以，（24，36）= 2×2×3 = 12 ， [24，36] = 723223=⨯解法二：分解质因数法： ∵∴2、求720的正约数的个数。
解：因为53272024⨯⨯=，所以720的正约数的个数是（4+1）×（2+1）×（1+1）=5×3×2 = 30三、练习1．自然数a ，b 的最大公约数记为（a, b ）,则（1996，774）= _______。
2．两个质数的差是27，则这两个质数的和是_________。
3．已知a, b, c 为三个自然数，且a×b=35, a×c=42, 则这三个数的积a×b×c=_________.4.一个数与24的最大公约数是8，它们的最小公倍数是48，则这个数是_________。
5．有四个不同约数的最小自然数是_________。
6．m ,n 是不同的质数，则m+n+mn 的最小值是_______。
7．一个数7532233⨯⨯⨯=x ,则x 的两位数的约数中最大的是_______。
8．把1，2，3，…，8，9九个数字依不同次序排列可得到若干个互不相同的九位数，所有这些九位数的最大公约数是_______。
(含答案)2020-2021学年初中数学竞赛精品讲座及试题02：倍数、约数
A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B 0时，A－R能被B整除 例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。 二、例题
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以 应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32 。 解：列表如下
正 正约数 个 正 正约数
∴最大公约数是2×3， 记作（24，90）＝6 最小公倍数是23×32×5＝360， 记作[24,90]=360 例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N 解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数 ∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3 例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数 分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的 最小公倍数减去1。 解： ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359 三、练习2 1， 12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 2， 分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________ 3， 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 4， 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________ 5， 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6， 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________ 7， 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____ 8， 一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最 大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？ 9， 一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如 果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶， 那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
2020-2021学年数学初一培优和竞赛讲练-2-倍数 约数
为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
4
晨起凭栏眺 但见云卷云舒
风月乍起 春寒已淡忘 如今秋凉甚好 几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷 和其中的一字一句 幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了 被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思
【分类解析】
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以
应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32 。
解：列表如下
正
个
整 正约数 数
数
计
1，2
2
2
1，2，4
22
3
正 整 正约数 数
1，3 3
1，3，32 32
个正 数整 计数
2 2×3
3 22×3
跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5 阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
答案
1. 1，2，3，4，6，12； ±1，±2，±3，±6，±9，±18 2. 22×3×52； 18 3. 2×5； 22×53 4. 693 5. ［3，5，11］＝165，1155；990 6. A＝3 即求14－2与23－2的公约数 7. 30，60，90 8. （135，105）＝15，正约数有1，3，5，15 9. 119。∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7在有余数的除法中，
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人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程
（2）倍数约数
【知识精读】
1两个整数A和B（B"`0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3整数A（A"`0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出
现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4整数A（A"`0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包
括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7在有余数的除法中，
被除数＝除数×商数＋余数 若用字母表示可记作：
A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B"`0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。
【分类解析】
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以
应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32 。
解：列表如下
其规律是：设A＝a b(a，b是质数,m，n是正整数)
那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)
例如求360的正约数的个数
解：分解质因数：360＝23×32×5，
360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）
例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数
解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6
最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360
例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N
解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数
∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6
经检验1和2不合题意，∴N＝6，3
例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数
分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。
解： ∵[10,9,8]=360,
∴所以所求的数是359
【实战模拟】
1，
12的正约数有_________,16的所有约数是_________________
2，
分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________
3，
用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4，
一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________
5，
能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________
6，
己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________
7，
写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。
答____
8，
一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？
9，
一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
答案
1. 1，2，3，4，6，12； ±1，±2，±3，±6，±9，±18
2. 22×3×52； 18
3. 2×5； 22×53
4. 693
5. ［3，5，11］＝165，1155；990
6. A＝3 即求14－2与23－2的公约数
7. 30，60，90
8.（135，105）＝15，正约数有1，3，5，15
9.119。
∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119。