第七章量子力学的矩阵表述

二 算符的矩阵表示
设算符 Fˆ 作用态ψ 上得到态φ
Fˆψ = φ
7.10
计算ϕ n 与上式的内积
( ) ϕn , Fˆψ = (ϕn ,φ )
7.11
( ) ∑ ∑ cl ϕ n , Fˆϕl = bl (ϕ n ,ϕl ) = bn
l
l
7.12
定义矩阵 F 使其矩阵元为
Fmn = (ϕ m , Fˆϕ n )
3 薛定谔方程
以上介绍的态的矩阵表示对含时间的完整态函数
列矩阵的矩阵元看成时间的函数 若
∑ Ψ(rv,t) = cn (t)ϕ n (rv)
n
包括非定态 7.23
也适用
只需把态矢
则 Ψ(t) 的矩阵表示为
c1 c2
(t) (t)
Ψ(t)
=
M
7.24
cn (t)
M
通常 选取的基底是不随时间变化的 相应的力学量算符不显含时间
det(F − λk I ) = 0
7.22
从中可求出 F 的本征值 {λk } 把上式的某个根 λk 代入 7.21 可解出{dk } 即与本征值
λk 相映的本征态矢φk 注意 因为 7.21 的系数行列式为零 由 7.21 确定本征态矢
φk 可以相差一个任意常数因子 利用这个任意因子 可以对本征态归一化
7.44
它是测量的量 显然应该是不变量
3 算符矩阵的迹
∑ ∑ ∑ Tr(F ) ≡
Fnn =
ϕ
+ n
Fϕ
n
=
ψ
+ i
F
′ψ
i
= Tr(F ′)
7.45
n
n
i
[作业]证明 7.45
2. 不变形式 1 算符的代数式
A + B = C ⇔ A′ + B′ = C′ AB = C ⇔ A′B′ = C′
因此 所有可以归结为算符相加和相乘的式子都是不变式
∑ ψ (x) = cnϕ n
cn = (ϕ n ,ψ )
7.4
n
对于给定的力学量 A {ϕ n }是已知的确定的函数集 故{cn }包含ψ (rv) 的所有信息 可用
分量{cn }表示态ψ (x) 记为一列矩阵
c1
c2
ψ
=
M
cn M
7.5
这种表示方式和用分量表示矢量一样 可见称量子态ψ 为态矢是非常贴切的 因为在这种
在我们熟悉的坐标表象中 坐标和动量算符分别为 x 和 pˆ = −ihd / dx
概率幅为
ψ (x) 动量本征态为
ψ p (x) =
1 eipx / h 2πh
7.1
动量本征态集是完备的 任意态都可以用动量本征态展开 傅立叶积分展开
ψ (x) = ∫ c( p)ψ p (x)dp
7.2
注意 ψ p (x) 是已知的函数 因此 ψ (x) 由 c( p) 给出 即 c( p) 包含了态ψ (x) 的所有信
第七章 量子力学的矩阵表述
量子态 纯态
概率幅 态函数ψ (rv)
力学量
算符 作用在ψ (rv) 上
其中位矢算符特别简单
xˆψ (rv) = xψ (rv)
这种量子力学的表示方式不是唯一的 量子力学的表示方式称为表象 以上的表示方 式为坐标表象
7 1 态和算符的矩阵表示
先讨论一个简单例子 一维量子力学的坐标表象和动量表象
a1
Ψ = a2
7.35
M
用符号 Ψ′ 记态 Ψ 在 B 表象中的态矢
7.34 可写成
b1 Ψ′ = b2
M Ψ′ = SΨ
7.36 7.37
两边同乘 S + 得到反演式
Ψ = S +Ψ′
7.38
7.37 和 7.38 即态矢在两个表象之间的变换关系
2 算符的变换
记算符 Fˆ 在 A 表象和 B 表象的矩阵分别为 F 和 F ′ 其矩阵元为
∑ ∑ Ψ = anϕ n = biψ i
7.29
n
i
系数
an = (ϕ n , Ψ)
bi = (ψ i , Ψ)
用{ϕ n }展开ψ i
∑ ∑ ψ i = (ϕ n ,ψ i )ϕ n ≡ Si*nϕ n
n
n
Sim = (ψ i ,ϕ m )
7.30
7.31 7.32
记以 Sin 为矩阵元的矩阵为 S 称为 A 表象到 B 表象的变换矩阵 可证
ψ
=
c1
M
+
c2
M
+
L
+
cn
M
+
L
0பைடு நூலகம்0
1
M
M
M
7.7
每一个态矢都有一个相应的共轭态矢
( ) ψ + = c1∗
c2∗
L
c
∗ n
L
7.8
态矢和共轭态矢是一一对应的 分别都包含了量子态的所有信息 都可以表示量子态 但 是数学上态矢和共轭态矢是两个不同性质的量 一个是列矢量 另一个是行矢量 它们之
∑ ψ (x) = cnϕ n
n
7.3
cn 2 是在ψ (x) 态中测量力学量 A 得到值α n 的概率 ]
一 态的矩阵表述
矩阵表示的实质是选取态空间的一套基底后 用量子态的分量来表示量子态
以分立谱为例 设某力学量 A 的正交归一本征态集为{ϕ n } 它是完备的 可以作为
态空间的基底 即任意态可表示为
Ψ′+Φ′ = (SΨ)+ (SΦ) = Ψ + S + SΦ = Ψ +Φ
7.43
内积相当于矢量的点乘运算 为态矢 Φ 在 Ψ 的投影 是一 几何 量 在表象变换下不
变 2 平均值
( ) < F >= Ψ + FΨ = Ψ + S + SFS + SΨ = (SΨ)+ SFS + (SΨ) = Ψ′+ F ′Ψ′
7.18
2 本征方程
Fφk = λkφk
7.19
或
(F − λk I )φk = 0
7.20
把矩阵元写出来 即
F11 − λk
F21
F31 M
F12 F22 − λk
F32 M
F13 F23 F33 − λk M
OLLL
d1 d2 d3 M
=
0
7.21
这是关于 {d k }的线性齐次方程组 它有非平庸解的充分必要条件是系数行列式等于零
法则一样
1 单位矩阵
1 0 0 L
I
=
0 0
1 0
0 1
L L
M
M
M O
2 对角矩阵
一个算符在自身表象中必定是一个对角矩阵
值
3 厄米共厄矩阵和厄米矩阵
A 的厄米共厄矩阵
A+
=
~ A
*
而且其对角员就是算符的各个本征 7.16
厄米矩阵
A+ = A
7.17
四 一些量子力学公式
1 平均值公式
< F >= ψ + Fψ
一方阵 F 其矩阵元由 7.13 给出 表象和矩阵表示是不同的但有密切关系的两个概念 矩阵表示必须以某一给定表象为
前提 在分立基底表象中 特别是所考虑态空间的维数有限时 矩阵表示比较方便 连续 基底表象形式上也可以定义矩阵表示 对理解一些定理和记忆一些关系式会有帮助 但对 真正的计算是没有什么用的
7.2 表象变换
例
An B m exp( A) [ A, B] 等
2 算符对态的作用
Φ = FΨ ⇔ Φ′ = F ′Ψ′
3 本征方程和本征值
Fφk = λkφk ⇔ F ′φk′ = λkφk′
7.49
7.46 7.47
7.48
可见 本征值是表象变换下的不变量
和矢量分析理论的情形一样 只有表象 坐标架 变换下不变的量和关系式才是重要 的良和关系式
SS + = S + S = I 既 S −1 = S +
7.33
满足上式的矩阵称为幺正矩阵 幺正矩阵不一定是厄米矩阵
二 态和算符的变换 1 态的变换
∑ ∑ ∑ bi
=
(ψ i , Ψ) =
n
Si*nϕ n
,
Ψ
=
n
Sin (ϕ n , Ψ) =
n
Sin an
7.34
用同样的符号 Ψ 记态 Ψ 在 A 表象中的态矢
和是没有意义的 引入共轭态矢是为了方便地表示内积 若基底是正交归一的 则ψ 与另
一态矢φ 它的分量为{bn } 的内积 (ψ ,φ ) 可表示成
b1
b2
( ) ∑ ψ +φ = c1∗
c2∗
L cn∗
L
M
=
cn∗bn
bn n
M
7.9
共轭态矢和态矢相乘的规则和矩阵相乘的规则一样 它们的积是两个态的内积
息 所以可以用 c( p) 表示一个量子态 动量表象
c( p) 的意义
c( p) 2 dp 正比于在ψ (x) 态中测量动量得到动量值在 p ~ p + dp 之
间的概率 当平面波按 δ 函数归一化时 c( p) 是在ψ (x) 态中测量动量得到动量值在
p ~ p + dp 之间的概率密度幅
[对分立谱 设ϕ n 是某力学量 A 的与本征值α n 对应的本征态
态空间 希尔伯特空间 不同基底之间的变换 表象变换 任何表象原则上都是互 相等价的 但对于一个具体的系统 具体的问题 有些表象可能很麻烦 而另一些表象可 能很方便 就象解析几何中坐标架的选取一样 有方便和不方便之分
一 基底变换和幺正变换矩阵 考虑 A 和 B 两个力学量对应的两个表象 A 表象和 B 表象 两个算符的本征方程为
Sin Fnm S + mj
n,m
h,m
矩阵形式为
F ′ = SFS +
7.41
利用 7.33 得逆变换
F = S + F ′S
7.42
7.41 和 7.42 即算符变换公式
三 表象变换下的不变量和不变形式
1. 不变量 物理测量结果应该与态空间的基底选择无关 因此是表象变换下的不变量 此外 一
些态矢量的 几何性质 也是不变量 1 内积
Aˆ ϕ n = α nϕ n
Bˆψ i = βiψ i
7.27
A 表象以 {ϕ n }为基底 B 表象以{ψ i }为基底 设这两套基底都是正交归一基底
(ϕ n ,ϕ m ) = δ nm
( ) ψ i ,ψ j = δ ij
7.28
任意态 Ψ 可以用 {ϕ n }展开 也可以用 {ψ i }展开
7.13
则前式可写成 用矩阵表示即
∑ Fnl cl = bn
l
7.14
Fψ = φ
7.15
可见 当量子态用矩阵表示时 算符亦可表示为一矩阵 方阵 F 它对任意态矢列矩阵
的作用等于算符矩阵乘以该态矢列矩阵 称 F 为算符 Fˆ 在 A 表象中的矩阵
三 矩阵性质
因为量子力学中一般只用到线性算符 所以算符的代数运算和线性代数中的矩阵运算
( ) Fnm = ϕ n , Fˆϕ m
( ) Fij′ = ψ i , Fˆψ j
7.39
将 7.31 代入上面第二个式子得
∑ ∑ ∑ ( ) Fij′
=
n
Si*nϕ n ,
m
S
* jm
Fˆϕ
n
=
n,m
S
in
S
* jm
ϕ n , Fˆϕ m
7.40
∑ ∑ ( ) =
S
in
Fnm
S
* jm
=
表示方式中 态空间的基底已取定为 A 的本征态 故称之为 A 表象
态矢量的线性迭加运算规则和列矩阵的线性迭加运算规则一样 例如作为基底的正交
归一态矢有矩阵形式
1 0
10
00
ϕ1
=
M
ϕ2
=
M
…
ϕn
=
M
0
0
1
M
M
M
7.6
任意态是上述基底迭加
1 0
0 1
00
薛定谔方程的矩阵表示为
ih d Ψ = HΨ
7.25
dt
用分量写出即
∑ ih
d dt
an
(t)
=
m
H nm am (t)
7.26
小结 以某一力学量 A 的本征态为态空间的基底 称为 A 表象 一个态在这套基底的
全体分量排成一列矩阵 称为该态在 A 表象的矩阵表示 算符 Fˆ 在 A 表象的矩阵表示是