复数的乘法与除法(1)
复数的乘法与除法运算
复数的乘法与除法运算复数是由实部和虚部组成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，本文将就复数的乘法与除法运算进行详细介绍。
一、复数的乘法运算复数的乘法运算是根据乘法公式展开计算得出的。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的乘法运算可以表示为：(z1)*(z2) = (a+bi)*(c+di)使用分配律展开等式右侧的乘法运算，可得：= ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的定义，i^2 = -1，将其代入上式中，得：= ac + adi + bci - bd进一步整理上式，将实部与虚部分开，可得复数乘法运算的结果为：= (ac-bd) + (ad+bc)i根据上述推导，复数的乘法运算结果的实部为(ac-bd)，虚部为(ad+bc)i。
二、复数的除法运算复数的除法运算是将被除数乘以除数的共轭值，然后再除以除数的模的平方。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的除法运算可以表示为：z1/z2 = (a+bi)/(c+di)首先，将分子和分母乘以除数的共轭值(c-di)，得：= [(a+bi)*(c-di)]/[(c+di)*(c-di)]根据乘法运算的规则展开等式，得：= [(ac+bd) + (bc-ad)i]/[(c^2+d^2)]根据上式，复数的除法运算结果的实部为(ac+bd)/(c^2+d^2)，虚部为(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
三、复数乘除法运算的应用复数的乘除法运算在实际应用中有很多重要作用。
例如，在电路分析与设计中，复数常用来表示电阻、电容和电感等元件的阻抗或者阻抗的频率特性。
复数的乘法用于计算各种电路元件的等效阻抗，而复数的除法则用于计算电路的传输函数和频率响应。
此外，复数的乘除法运算也应用在信号处理、图像处理以及控制系统等领域。
复数的乘法与除法
4 z R z 4 b(1 2 )0 2 a b
b 0或a b 4
2 2
①
| z 2 | 2得 | a bi 2 | 2
(a 2) 将 b=0代入②得 a=4 或 a=0
∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将a
2
16
1 3 2 ( ) ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2
1 3 i, 2 2
17
3 2
1 3 1 3 ( i )( i) 2 2 2 2 1
小结：
, ( ) ,
2 2
1, ( ) 1.
2 2
(1 i) (2i) 4,
4 2
(1 i)
100
(2i)
50
2 .
50
15
1 3 1 3 2. 设 i, i 2 2 2 2
计算：
2
, ( ) ,
2
3
1 3 2 ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2 1 3 i, 2 2
b 4 代入②
2
2 2
(a 2) 4 a 4, 得 a 1
得
a 1, b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
22
11
设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 证明： | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 = (a2+b2)(c2+d2)
复数代数形式的乘除运算
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
复数的乘法与除法
复数的乘法与除法复数是由实数部分和虚数部分构成的数字，可用于解决实际问题，尤其在数学和物理领域中具有重要的应用。
复数的乘法与除法是复数运算中的两个基本操作，通过这两个操作可以实现复数之间的相乘和相除运算。
本文将详细介绍复数的乘法与除法，并探讨其性质和应用。
一、复数的乘法复数的乘法可以通过展开括号并应用虚数单位 i 的定义进行计算。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数，则它们的乘积为：z1 * z2 = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi^2= (ac - bd) + (ad+bc)i根据乘法的定义，在计算过程中需要注意虚数单位 i 的特性：i^2 =-1。
通过展开括号并整理得到的结果为一个新的复数，实部为原复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部为原复数实部和虚部的乘积之和。
二、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数且z2 ≠ 0，则它们的除法为：z1 / z2 = (a+bi) / (c+di)为了简化计算，可以将分子和分母同乘以共轭复数的分子，并利用共轭复数的特性进行化简。
共轭复数 z2 的定义为 c-di，则乘以共轭复数相当于分母中的虚部相互抵消。
经过整理得到的结果为：z1 / z2 = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)]= [(a*c + b*d) + (b*c - a*d)i] / (c^2 + d^2)类似于乘法，除法的计算结果也是一个新的复数，实部为原复数实部和虚部的乘积之和，虚部为正负交替相乘的结果。
三、复数乘法和除法的性质1. 乘法交换律：对于任意两个复数 z1 和 z2，满足 z1 * z2 = z2 * z1。
2. 乘法结合律：对于任意三个复数 z1、z2 和 z3，满足 (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3)。
高中数学必修二课件：复数的乘、除运算
3．已知z(1＋2i)＝4＋3i，则|z|＝( D )
A. 2 C．2
B. 3 D. 5
解析 ∵z(1＋2i)＝4＋3i，
∴z＝41＋＋32ii，∴|z|＝|41＋＋32ii|＝||41＋ ＋32ii||＝
5＝ 5
5.故选D.
4.i－1i 3＝( D ) A．8 C．8i
B．－8 D．－8i
解析 由题意得i－1i 3＝(i＋i)3＝8i3＝－8i.选D.
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i（i1＋i）
＝8＋8－16－16i
＝－16i.
(2)原式＝i12·－12＋ 23i12＋12－1＋2i3i8 ＝－12＋ 23i34＋[（1＋12－i）22]34i123－3 23i ＝1－(2i)412－ 23i＝1－8＋8 3i ＝－7＋8 3i.
题型三 复数的乘方运算
例3 计算下列各题． (1)（11＋－ii）7＋（11－＋ii）7－（3－4i）4＋（32i ＋2i）3； (2)－ 23－12i12＋12－＋23ii8.
【解析】 (1)原式＝[(1＋i)2]3·
1＋i 1－i
＋[(1－i)2]3·
1－i 1＋i
－
8（3－4i）（1＋i）2（1＋i） （3－4i）i
＝
（－3＋4i5）（2＋i）＝－105＋5i＝－2＋i.
(3)已知a∈R，i为虚数单位，若a2－ ＋ii为实数，则a的值为( C )
A．2
B．0
C．－2
1 D.2
【解析】
方法一：由
a－i 2＋i
＝ （a－i）5（2－i） ＝
2a－1 5
－
2＋a 5
i是实数，得
－2＋5 a＝0，所以a＝－2.
复数的乘除法运算
D.3
解： z 1 i,
原式 (1 1 i )(1 i ) ( 2 i )(1 i )
2 2i i i 2 2 i 1 3i
例2
求证：
2
2
证明：设 a bi, 则 a bi, 于是
2
2
1.复数的乘法 两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只 是在遇到 i 时，要把 i 换 成 -1 ，并把最后的结果写成
2 2
a bi (a, b R) 的形式。
易知，复数运算满足交换律、结合律、 分配律。
1 2 2 1
（1 2） 3 1 2 3） （
(1 i) 1 i 1 i 解：z2 z1 1 i (1 i)(1 i) 2i i 2
2
1 i 8 思考( ). 1 i
2 2 2.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C .1 i D.1 i
关键分母实数化 作业：P62 A组5,8
i
4n
1 ,
i
4n 1
i ,
4n 2
1
, i
4n 3
i
练习：P61 第3题
2.复数的除法
满足 (c di)( x yi) (a bi) 的复数
x yi( x, y R) 叫复数 a bi 除以复数
c di 的商.
a bi 记作：(a bi) (c di) 或 (c di 0). c di 1 注： 叫做复数z的倒数 z
2 2 2 解：原式 (1 i ) 2i 1 i 1 i 2(1 i ) 2(1 i ) 2i 2i (1 i )(1 i ) 2
复数点乘公式
复数点乘公式
复数的乘除法运算公式：（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i；（a+bi）/（c+di）=（ac+bd）/（c2+d2）+（（bc-ad）/（c2+d2)）i。
形如z=a+bi 的数被称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当z的虚部等于零时，常称z为实数。
复数点乘公式：将两个复数相乘，类似于两个多项式的乘法，并展开为:ac+adi+bci+bdi^2。
因为i^2=-1，结果是(ACBD)+(bc+ad)i。
两个复数的乘积仍然是复数。
复数的加法满足交换律和结合律，复数作为幂和对数的底数、指数、真数时，其运算规则可由欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ（弧度制）推导而得。
复数的乘法既不是数量积又不是向量积,但是和两者有密切的联系.用指数形式表示复数。
设复数a=|a|e^(iα),b=|b|^(iβ),a_=|a|e^(-iα)；
则a_b=|a||b|e^(i(β-α)),令θ=β-α；
则a_b=|a||b|e^(iθ)=|a||b|(cosθ+isinθ)=a.b+i(a*b)。
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
《复数的乘法与除法》 讲义
《复数的乘法与除法》讲义一、复数的基本概念在数学中，复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 均为实数，i 是虚数单位，满足 i²＝－1。
a 被称为实部，记作 Re(z)；b 被称为虚部，记作 Im(z)。
例如，3 ＋ 2i 就是一个复数，其中 3 是实部，2 是虚部。
二、复数的乘法（一）乘法法则设两个复数 z₁＝ a ＋ bi，z₂＝ c ＋ di，它们的乘积为：z₁z₂＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi²＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i例如，（2 ＋ 3i)（1 ＋ 4i)＝ 2×1 ＋ 2×4i ＋ 3i×1 ＋ 3i×4i＝ 2 ＋ 8i ＋ 3i ＋ 12i²＝ 2 ＋ 11i 12＝－10 ＋ 11i（二）乘法的几何意义复数的乘法在几何上可以看作是对应向量的伸缩和旋转。
设复数 z₁对应的向量为 OZ₁，复数 z₂对应的向量为 OZ₂，那么它们的乘积 z₁z₂对应的向量 OZ 就是将 OZ₁先按照 z₂的模进行伸缩，再按照 z₂的辐角进行旋转得到的。
（三）乘法运算律复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
交换律：z₁z₂＝ z₂z₁结合律：（z₁z₂)z₃＝ z₁(z₂z₃)分配律：z₁(z₂＋ z₃) ＝ z₁z₂＋ z₁z₃三、复数的除法（一）除法法则为了进行复数的除法运算，我们需要将分母实数化。
设 z₁＝ a ＋ bi，z₂＝ c ＋ di（c ＋di ≠ 0），则：＼＼begin{align}＼frac{z₁}｛z₂}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac adi ＋ bci bdi²}｛c²＋ d²}＼＼＆＝＼frac{（ac ＋ bd) ＋（bc ad)i}｛c²＋ d²}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c²＋ d²} ＋＼frac{bc ad}｛c²＋ d²}i＼end{align}＼例如，计算＼（＼frac{2 ＋ 3i}｛1 2i}＼）＼＼begin{align}＼frac{2 ＋ 3i}｛1 2i}＆＝＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i)｝｛（1 2i)（1 ＋ 2i)｝＼＼＆＝＼frac{2 ＋ 4i ＋ 3i ＋ 6i²}｛1 4i²}＼＼＆＝＼frac{2 ＋ 7i 6}｛1 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{－4 ＋ 7i}｛5}＼＼＆＝＼frac{4}｛5} ＋＼frac{7}｛5}i＼end{align}＼（二）除法的几何意义复数的除法在几何上可以看作是对应向量的缩放和旋转的逆运算。
2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法(1)
§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律： 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1． 结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ， 所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ， 所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________． 【解析】 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数． 故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}． 【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ， 又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ， 得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ， 所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________． 解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3， 所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ， 所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________． 解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0， 得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0， 根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值． 解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。
复数的乘除法总结
x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，
如果不是，你能求出其他的解吗？
一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
2 2i i i 2 2 i 1 3i
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi
记作 c+di
例1、复数 z 满足(3-4i)×z = 1+2i，求z 。
1.知识
（1）复数的乘法； （2）复数的除法； （ 3）共轭复数。 通过本节课的学习，你有哪些收获？
归 纳 小 结
2.思想方新
1 3 1 3 i， ＝－ － i 练习2 设 － 2 2 2 2
2 2 3
（ 计算（ 1 ） （ ， 2） ， 3 ） ， (4) 。
1 i i. 1 i
1 i 8 ) . 练习 计算( 1 i 8 2 1 i （ 1 i ） 8 解 ( ) 1 i （ (1 i ) 1 - i）
2i 8 （ ） 2
i 1
8
2009浙江（理）
2 2 例4.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C.1 i D.1 i
a b2
2 2
复数的乘法与除法
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[解] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)
＝－ 43－ 43＋34－14i(1＋i)
＝－ 23＋12i(1＋i)＝－ 23－12＋12－ 23i＝－1＋2
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[巩固训练] 1．已知 x，y∈R，i 为虚数单位，且 xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y 的值为( D ) A．2 B．－2i C．－4 D．2i
[解析] 由 xi－y＝－1＋i 得 x＝1，y＝1，所以(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.
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2．已知复数 z＝2－i，则 z·－z 的值为( A ) A．5 B. 5 C．3 D. 3
[解析] z·－z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选 A.
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[巩固训练] 5．已知复数 z＝3＋3 3i＋m(m∈C)，且mm－＋33为纯虚数． (1)求 z 在复平面内对应点的轨迹； (2)求|z－1|2＋|z＋1|2 的最大值和最小值．
[解]
(1)∵mm－＋33为纯虚数，∴mm＋ －33＋
m＋3 m－3
＝0，化简得|m|＝3.
由 z＝3＋3 3i＋m，得 z－(3＋3 3i)＝m，
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复数的乘法与除法
复数的乘法与除法1. 复数的乘法复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常用以下形式表示：a+bi，其中a表示实数部分，b表示虚数部分。
复数的乘法是指两个复数相乘的运算。
1.1 复数的乘法规则复数的乘法遵循以下规则：•实数部分相乘，虚数部分相加；•实数部分相乘，虚数部分相减。
具体来说，两个复数a+bi和c+di的乘法可以表示为：(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi2由于i2=−1，可以继续简化为：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i1.2 乘法示例现在我们来看几个具体的乘法示例：示例1计算(2+3i)(4+5i)：$$(2+3i)(4+5i) = (2\\times4 - 3\\times5) + (2\\times5 + 3\\times4)i$$=(8−15)+(10+12)i=−7+22i因此，(2+3i)(4+5i)=−7+22i。
示例2计算(1+i)(1−i)：$$(1+i)(1-i) = (1\\times1 - 1\\times(-1)) + (1\\times(-1) + 1\\times1)i$$=(1+1)+(−1+1)i=2i所以，(1+i)(1−i)=2i。
2. 复数的除法复数的除法是指两个复数相除的运算。
2.1 复数的除法规则复数的除法规则与乘法规则相似，只是要将除数的虚数部分乘以−1。
具体来说，两个复数a+bi和c+di的除法可以表示为：$$\\frac{a+bi}{c+di} = \\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$$进一步简化后的结果为：$$\\frac{a+bi}{c+di} = \\frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2 + d^2}$$2.2 除法示例让我们来看几个具体的除法示例：示例1计算$\\frac{3+4i}{2+3i}$：$$\\frac{3+4i}{2+3i} = \\frac{(3+4i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}$$$$= \\frac{(6-9i+8i+12)}{(4+9)}$$$$= \\frac{18 - i}{13}$$所以，$\\frac{3+4i}{2+3i} = \\frac{18 - i}{13}$。
4.复数的乘法与除法
已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值 的最值. 例7:已知 已知 求 的最值 解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1. 设 ∈ 则 故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1| =|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i| =|(2x2+x)+(2x+1)yi| =|2x+1||x+yi|=|2x+1|. 所以,当 所以 当x=1时,|z2+z+1|最大值=3; 时 当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0. 时 由于z 故若设z=x+yi(x,y∈R),则有 解2:由于 z=|z|2=1,故若设 由于 故若设 ∈ 则有 |z2+z+1|=|z2+z+z z|=|z||z+1+z|=|2x+1|(以下同解 以下同解1). 以下同解
∴ OB = OA + OC , 即 z B = z A + zC .
→ → →
y B
a ∴−2a + 3i = a + i + (−b + ai) 2 3 即− 2a + 3i = (a − b) + ai. 2
c
A x O
− 2a = a − b a = 2 3 . ∴ ⇒ b = 6 3= 2a
zC − 6 + 2i ∴ = = −2 + 2i . zA 2+ i
已知复数z满足 是纯虚数,求 例5:已知复数 满足 已知复数 满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数 求 z. 且 是纯虚数 解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i. 设 ∈ 则
7.2.2 复数的乘除运算PPT课件(人教版)
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
－
4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
－
解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.
第四章 2.2 复数的乘法与除法
2.2复数的乘法与除法学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有知识点二共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即当z＝a＋b i时，z＝a－b i.知识点三复数的除法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R，z2≠0)，则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)．1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．(√) 2．两个共轭复数的和与积是实数．(√)3．若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( × )类型一 复数代数形式的乘法运算例1 (1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝________. (2)已知复数z 1＝⎝⎛⎭⎫12－32i (1＋i)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________. 答案 (1)－3 (2)4＋2i解析 (1)由(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i 的实部与虚部相等，可得a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3.(2)z 1＝⎝⎛⎭⎫12－32i (1＋i)＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，即a ＝4， ∴z 2＝4＋2i. 引申探究1．若本例(1)中复数(1＋2i)(a ＋i)表示的点在第二象限，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，2 解析 (1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2a ＋1>0，解得－12<a <2.2．将本例(2)中“z 1·z 2是实数”改为“z 1·z 2是纯虚数”， 求z 2.解 由例1(2)知，z 1·z 2＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，∵z 1·z 2是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2＝0，4－a ≠0，解得a ＝－1，∴z 2＝－1＋2i.反思与感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i 2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． (2)常用公式①(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2(a ，b ∈R )； ②(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )； ③(1±i)2＝±2i.跟踪训练1 (1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0， 得a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.(2)已知复数z 满足z (z ＋2)＝4＋3i ，求z . 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. 由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i ，得⎩⎪⎨⎪⎧x (2＋x )＋y 2＝4，xy －y (x ＋2)＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－1－112，y ＝－32或⎩⎨⎧x ＝－1＋112，y ＝－32，所以z ＝⎝⎛⎭⎫－1－112－32i 或z ＝⎝⎛⎭⎫－1＋112－32i. 类型二 复数代数形式的除法运算例2 (1)已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q 答案 D解析 由题图可知z ＝3＋i.∴复数z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D.(2)计算：①3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ；②(1＋i )71－i ＋(1－i )71＋i －(3－4i )(2＋2i )34＋3i . 解 ①方法一3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝(3＋2i )(2＋3i )－(3－2i )(2－3i )(2－3i )(2＋3i )＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i. 方法二 3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )2＋3i＝i ＋i ＝2i.②原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －8(3－4i )(1＋i )2(1＋i )(3－4i )i＝(2i)3·i ＋(－2i)3·(－i)－8·2i (1＋i )i＝8＋8－16－16i ＝－16i.反思与感悟 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式；②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． (2)常用公式①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i＝－i. 跟踪训练2 (1)i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则log 2(a －b )的值是( )A ．1 B.32C ．2D ．3(2)已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则|z |＝________. 答案 (1)A (2)22解析 (1)2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝32－12i ＝a ＋b i ， ∴⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－12，log 2(a －b )＝log 22＝1. (2)(1＋3i)z ＝1＋i ， z ＝1＋i1＋3i ＝(1＋i )(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝1＋3＋(1－3)i4，∴|z |＝14(1＋3)2＋(1－3)2＝224＝22.类型三 共轭复数例3 (1)复数z 的共轭复数记作z .已知(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 5＋i解析 ∵(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ， ∴z －3＝4＋3i1＋2i，z ＝3＋4＋3i 1＋2i ＝3＋(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3＋10－5i5＝5－i ，则z ＝5＋i.(2)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·(z －3i)＝101－3i ，求z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 由z ·(z －3i)＝101－3i ，得z z －3z i ＝1＋3i ，即a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，所以z ＝－1或z ＝－1－3i.反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练3 (1)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋2i ＝2－n i ，则m ＋n im －n i的共轭复数为________． 答案 i解析 由m ，n ∈R ，且m ＋2i ＝2－n i ， 可得m ＝2，n ＝－2，所以m ＋n i m －n i ＝2－2i 2＋2i ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )2＝－i.所以它的共轭复数为i.(2)已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 B 解析 ∵z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选B.2．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝m －i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数m 可以是( ) A ．i B ．i 2 C ．i 3 D ．i 4 答案 B解析 z 1·z 2＝(1＋i)(m －i)＝m ＋1＋(m －1)i. ∵z 1·z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝0，m －1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，m ≠1，得m ＝－1.∵i 2＝－1， ∴实数m 可以是i 2，故选B.3．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2－z z ＝________.答案 －1＋2i解析 ∵z ＝－1－i ，∴z ＝－1＋i ，2－z z＝2－(－1＋i )－1－i ＝3－i －1－i＝－1＋2i.4．计算：(1)⎝⎛⎭⎫12＋32i (4i －6)； (2)(1－i )(1＋2i )1＋i .解 (1)⎝⎛⎭⎫12＋32i (4i －6)＝12·4i ＋12·(－6)＋32i·4i ＋32i·(－6) ＝2i －3－6－9i ＝－9－7i. (2)(1－i )(1＋2i )1＋i＝(1－i )(1＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(－2i )(1＋2i )2＝－i(1＋2i)＝2－i.5．已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．一、选择题1．复数－i ＋1i 等于( )A ．－2i B.12i C ．0 D ．2i答案 A解析 －i ＋1i ＝－i ＋ii 2＝－2i ，故选A.2．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－3i D ．3i 答案 A解析 z 2－2z ＝(1＋2i)2－2(1＋2i)＝1＋(2i)2＋22i －2－22i ＝－3. 3．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( )A ．6B ．－6C ．0 D.16答案 A解析 ∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i 5是实数，∴6－b ＝0，∴b ＝6，故选A.4．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z 等于( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i答案 C解析 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋ii ＝1－i ，∴zi＋i·z ＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C. 5．已知复数z 满足2z ＋mz －3＝i ，且z 的实部与虚部之和为0，则实数m 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 B解析 由2z ＋mz －3＝i ，得z ＝m ＋3i－2＋i ＝(m ＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－2m ＋3－(6＋m )i 5＝－2m ＋35－6＋m5i.又z 的实部与虚部之和为0， 则－2m ＋35－6＋m5＝0，解得m ＝－1.6．设复数z ＝1－i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 等于( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i 答案 A 解析2z ＋z ＝21－i ＋1－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＋1－i ＝1＋i ＋1－i ＝2.故选A. 7．已知复数z ＝4＋b i1－i (b ∈R )的实部为－1，则复数z －b 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝4＋b i 1－i ＝(4＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(4－b )＋(4＋b )i 2＝4－b 2＋4＋b2i ，又复数z ＝4＋b i 1－i(b ∈R )的实部为－1， 则4－b 2＝－1，即b ＝6. ∴z ＝－1＋5i ，则z ＝－1－5i.复数z －b ＝－1－5i －6＝－7－5i ，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.8．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2z ＋z ＝2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B. 二、填空题9．复数a －2i 1＋2i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________． 答案 4解析 a －2i 1＋2i ＝(a －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a －4－2(a ＋1)i 5 ＝a －45－2(a ＋1)5i. ∵复数a －2i 1＋2i是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －45＝0，－2(a ＋1)5≠0，解得a ＝4.10．已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 答案 1解析 a ＋2i i＝2－a i ＝b ＋i ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，－a ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1. 11．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i ，|z |＝________.答案 1解析 因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i 25＝i. 则|z |＝1.三、解答题12．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i. (1)求z 的共轭复数z ；(2)若az ＋b ＝1－i ，求实数a 与b 的值．解 (1)∵z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝1＋i ， ∴z ＝1－i.(2)a (1＋i)＋b ＝1－i ，即a ＋b ＋a i ＝1－i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＝－1，解得a ＝－1，b ＝2. 13．已知i 是虚数单位，且复数z 满足(z －3)(2－i)＝5.(1)求z 及|z －2＋3i|；(2)若z ·(a ＋i)是纯虚数，求实数a 的值．解 (1)∵(z －3)(2－i)＝5，∴z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3 ＝(2＋i)＋3＝5＋i.∴|z －2＋3i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.(2)由(1)可知，z ＝5＋i ，∴z ·(a ＋i)＝(5＋i)(a ＋i)＝(5a －1)＋(a ＋5)i.又z ·(a ＋i)是纯虚数，∴5a －1＝0且a ＋5≠0，解得a ＝15. 四、探究与拓展14．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于第________象限．答案 二解析 由复数的几何意义知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1z 2＝－2－i i＝－1＋2i ，对应的点在第二象限． 15．已知z 是复数，z ＋2i 与z 1－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 因为z 是复数，z ＋2i 与z1－i 均为实数， 所以可设z ＝x －2i.由x －2i 1－i＝(x －2i )(1＋i )2＝2＋x ＋(x －2)i 2， 可得x ＝2.因为复数(z ＋a i)2＝(2－2i ＋a i)2＝－a 2＋4a ＋4(a －2)i ，又复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a >0，4(a －2)>0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <4，a >2， 即2<a <4.所以实数a 的取值范围为(2,4)．。
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问题2 复数集中规定的乘法运算满足什么运算律呢？
复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律.
追问 如何证明呢？
证明：设z1 a bi，z2 =c di，那么 z1z2 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i z2z1 (c di)(a bi) (ca db) (cb da)i (ac bd ) (ad bc)i 所以 z1z2 = z2 z1
设 z1 a bi, z2 c di (a,b, c, d R) ，定义 z1z2 (ac bd ) (ad bc)i
追问 两个复数的乘法运算类似于我们学过的哪种运算？
z1z2 (a bi)(c di) ac adi bci bdi2 (ac bd ) (ad bc)i
例8 在复数范围内解方程: （3）ax2 bx c 0(a 0且a,b, c R)
分析：当=b2 4ac 0时，
x b b2 4ac 2a
实数根
典型例题
例8 在复数范围内解方程: （3）ax2 bx c 0(a 0且a,b, c R)
该方程的根 与系数有什 么关系？
分析：当
0
时，( x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
(x b )2 ( 4ac b2 i)2
2a
2a
x1
x2
b a
x1x2
c a
x b 4ac b2 i
2a
2a
共轭虚根
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂小结
1.复数的乘法法则及其运算律 2.复数的除法法则 3.在复数范围内解实系数一元二次方程
复数的除法法则：
a bi c di a bi
c di
a bic di c dic di
(ac
b)i
ac bd bc ad i c2 d 2 c2 d 2
典型例题
例6 计算:(1 2i) (3 4i).
解：原式= 1 2i
3 4i = (1 2i)(3 4i)
问题2 复数集中规定的乘法运算满足什么运算律呢？
复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律.
对任意复数 z1, z2 , z3, 有 z1z2 z2 z1 (z1z2 )z3 z1(z2 z3 ) z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3
典型例题
例1 计算：(2 i)(3 4i).
解：原式 = 6 3i 8i 4i2 6 3i 8i 4 (1) 10 5i
①按照多项式的乘法展开
②把 i2换成-1
③把实部与虚部分别合并
典型例题
例2 计算下列各式的值. （1）(3 2i)(3 2i); （2）(1 i)2.
典型例题
例2 计算下列各式的值.
（1）(3 2i)(3 2i);
解： i19 i443 (i4 )4 i3 i i28 i47 (i4 )7 1 i37 i491 (i4 )9 i i i90 i4222 (i4 )22 i2 1
i, n 4k 1
in
1, n 4k 2 i, n 4k 3
1, n 4k
(k N)
问题4 我们已经建立了复数集里的加、减、乘运算，那么，复 数的除法该如何定义呢？
平方差公式
解法1：原式 = 32 2i 3 3 2i (2i)2 9 6i 6i 4 (1) 13
解法2：原式 = 32 (2i)2 9 4 13
典型例题
例2 计算下列各式的值.
（2）(1 i)2.
完全平方公式
解法1：原式 = (1 i)(1 i)
解法2：原式 = 12 2i i2
1 1 ？ z a bi
1 z
|
z z |2
追问2 如何把 1 中的分母由虚数变成实数? a bi
分母实数化：
分子分母同 时乘以分母 的共轭复数
1 a bi a bi a bi a b i a bi (a bi)(a bi) a2 (bi)2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
zm zn zmn (zm )n zmn (z1 z2 )n z1n z2n
典型例题
例4 计算：(5i)2,i3,i4 .
解：(5i)2 52 i2 25 (1) 25 i3 i2 i1 (1) i i i4 i2 i2 (1) (1) 1
典型例题
变式1 计算：i19 , i28, i37 , i90. 并总结 in (n N) 的取值规律.
追问3 有了倒数的概念，两个复数除法的运算法则可以如何规定？
复数的除法法则：
a bi c di (a bi) 1
c di
(a
bi)
c c2
di d2
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad )i
ac bd bc ad i c2 d 2 c2 d 2
追问3 有了倒数的概念，两个复数除法的运算法则可以如何规定？
复数的乘法与除法
问题1 我们已经学习了复数的加法和减法法则，你认为该如何 定义复数的乘法法则呢？
设 z1 a bi, z2 c di (a,b, c, d R) ，那么 z1z2 (a bi)(c di) ？
问题1 我们已经学习了复数的加法和减法法则，你认为该如何 定义复数的乘法法则呢？
12 i 11 i i2
= 1 2i 1
1i i 1
2i
2i
典型例题
两个共轭复数的乘积等于这个复数 （或共轭复数）的模的平方.
问题3 我们知道，实数的乘方是相同实数的乘积，规定复数 的乘方也是相同复数的乘积.那么，复数的乘方满足什么运算 律呢？
对复数 z, z1, z2和自然数 m, n ，有
(3 4i)(3 4i)
①将除式写为分式 ②分母实数化
= 5+10i 25
1 2i 55
③分子、分母分别进行乘法运算
典型例题
例8 在复数范围内解方程: （1）x2 2 0;
（2）x2 2x 3 0; （3）ax2 bx c 0(a 0且a,b, c R)
典型例题
例8 在复数范围内解方程: （1）x2 2 0;
复数的倒数：
对于复数z a bi ，如果存在复数 z '，使 z z ' 1， 则 z '叫做 z 的倒数，记作 1 .
z
1 1 ？ z a bi
1
追问1 我们需要把
中的分母由虚数变成实数，以前所学
a bi
的知识，有没有类似的变形？
无理数的分母有理化：
1
1 2
1 2 1 2
1 2 (1 2)(1 2) 1
解： x2 2 x2 ( 2i)2 x1 2i, x2 2i
典型例题
例8 在复数范围内解方程:
（2）x2 2x 3 0;
解： (x 1)2 2 (x 1)2 ( 2i)2
配方法
x 1 2i 或 x 1 2i
x1 1 2i , x2 1 2i
两个根有什 么关系？
典型例题