分部积分法教案

分部积分法

教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。

重点：分部积分法及其应用

难点：在分部积分法中，要恰当的选取U和v

教学方法：讲练法

0回顾

上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、一换元积分法(凑微法)③熟练、灵活的运用第二换元积分法。

凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；

f(x)dx f [ (x)] '(x)dx

f[ (x)]d[ (x)]

令u (x)

f (u)du

F(u) C

F[ (x)] C

第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换x (t)，使得难求的积分易求

f (x)dx 令x (t) f[ (t)]'⑴dt

f[ (t)]d (t)

F[ (t)] C

F(x) C

1引入

用我们已经掌握的方法求不定积分x cosxdx

分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。

②凑微法失效。x cosx

③第

—

1类换兀积分法

解：不妨设cosx t则x arccost

原方程t arccost 1-dt

更为复杂

-1 t

所以凑微法和第二换元积分法都失效。

反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：(假设u、已知: (u v)' u'v uv' 灵活的运用第v为两个函数)

对上式两边积分得：uv u'vdx uv'dx

观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uv'dx中v'为导数形式。

故，我们可以尝试来解一下上面的积分。

x cosxdx

先要化的和要求积分的形式一样

x(sin x)'dx

xsi nx x'si nxdx

xsinx cosx C

真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。

2公式

2.1定理设函数u u(x)和v v(x)及都具有连续的导数，则有分部积分公式:

uv'dx uv u'vdx (或udv uv vdu)

说明：①两函数的积分等于将其中一个放在d里后，里外相乘减去换位的积分。

②内外积减去换位“积”。

③步骤：a放d中，b、套公式。

2.2例1求不定积分x sinxdx

解：x sin xdx

x sin xdx

xd(cos x)①放d中

xcosx cos xdx②套公式

xcosx sin x C

3 U、V的选取问题

例2求不定积分e x xdx

解：e x xdx

x 1

2、

e d(-x )

2

1 2 x 1 2. x

x e x de

2 2

1 2 x 1 x 2 ,

x e e x dx

2 2

移项得: uv'dx uv u'vdx

容易发现使用分部积分公式后，变得更加复杂了，是我们的公式用错了吗？不妨换个角度看问题：

e x xdx

xde x

x x

xe e dx

x x

xe e C

发现问题解决了，问题出在哪里？观察发现，这两种做法的不同之处在于把谁放在d里，换句话说就是则样选择u和v的问题，由上面的例看出运用分部积分公式时恰当的选择u和v是十分重要的，选对了可以轻松解题，选错了，轻则解题复杂，重则解不出结果。那么应该如何选取u和v的呢？

我们来看一下公式udv uv vdu，要把v放在d中首先要对v积分，所以v要便于积分；而u要进

行求导，所以u便于求导；实际上关键是v，v定了，u怎然定了。所以U、V选取的原则是：v便于积分，u便于求导。

例3求不定积分xln xdx

分析：对于x和Inx来说明显的x便于积分，故选lnx做u

xln xdx

In xd(1x2)

2

1 2

x In x1 2 ,.x d I n x

22

12

In 1

xdx

x x

22

12

In 1

2 亠

—x x—x C

24

实际上在选取v时是相对的，两个函数中更便于积分的做v，我们列出了一个积分从难到易顺序：反、对、幕、三、指；一般在做题的时候我们选取后面的做v.

4例题讲解

例4求不定积分In xdx

分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作 1 In x即可。

解：

In xdx

In xdx

x I n x xd I n x

x I n x x C

结论：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。

例5求不定积分x2e x dx

x

x 2e x dx x 2de

x 2e x 2 xe x dx 再次使用分部积分公式

x 2e x 2 xde x x e 2(xe e dx) 2

X c X X x e 2xe e C

结论：分部积分公式是可以重复使用的。

x

例6求不定积分

e sin xdx

解：

e x sin xdx sin xde x X ・

x .

e sinx

e cos xdx

e sin x e cosx e sin xdx

I

X ・ X

I

I e sin x e cosx I 则2I e x sin x e x cosx

1 x x

I - (e x sinx e x cosx) C 2

问题得以解决。故要灵活的处理问题。

5小结

1、 分部积分的公式

解:

好像进入了死胡同，实则不然，令

e x sinxdx I ,则上式变为: