分部积分法教案
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
高等数学教案 第17课 分部积分法、几种特殊类型函数的积
17分部积分法、几种特殊类型函数的积分第课课题分部积分法、几种特殊类型函数的积分课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）能熟练地利用分部积分法计算不定积分。
（2）掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分和无理式的积分。
思政育人目标：通过学习不定积分的分部积分法和几种特殊类型函数的积分，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯。
教学重难点教学重点：分部积分法的相关定理教学难点：用分部积分法计算不定积分，化有理函数为部分分式教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（23 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（23 min）⏹【教师】讲解分部积分法，并通过例题介绍其应用定理1 设函数()u u x=，()v v x=具有连续的导数，则d du v uv v u=-⎰⎰．证明由微分公式d()d duv u v v u=+两边积分得d duv u v v u=+⎰⎰，移项后得d du v uv v u=-⎰⎰．学习分部积分法，及其应用。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第课分部积分法、几种特殊类型函数的积分172我们把公式d du v uv v u=-⎰⎰或d duv x uv u v x''=-⎰⎰称为分部积分公式．例1求ln d x x⎰．解令lnu x=，v x=，由分部积分公式，可得ln d ln dln ln d lnx x x x x x x x x x x x C=-=-=-+⎰⎰⎰．例2求arctan d x x⎰．解令arctanu x=，v x=，由分部积分公式，可得arctan d arctan darctanx x x x x x=-⎰⎰2arctan d1xx x xx=-+⎰2211arctan d(1)21x x xx=-++⎰21arctan ln(1)2x x x C=-++．例3求cos dx x x⎰．解令u x=，cos d dx x v=，即sinv x=，则cos d dsin sin sin d sin cosx x x x x x x x x x x x C ==-=++⎰⎰⎰例4 求e d xx x⎰．解令u x=，e d dx x v=，e xv=，则e d de e e d e ex x x x x xx x x x x x C==-=-+⎰⎰⎰．例5 求2e d xx x⎰．解222e d e2e d e2dex x x x xx x x x x x x=-=-⎰⎰⎰17分部积分法、几种特殊类型函数的积分 第 课32e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．结论 当被积函数是幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，可将幂函数设为u ，正（余）弦或指数函数设为v ． 例6 求ln d x x x ⎰．解222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211ln 22x x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2211ln 24x x x C =-+． 例7 求arctan d x x x ⎰．解 2arctan d arctan d 2x x x x x =⎰⎰221arctan darctan 22x x x x =-⎰22211arctan d 221x x x x x =-⋅+⎰2221111arctan d 221x x x x x +-=-+⎰22111arctan 1d 221x x x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰ 2111arctan arctan 222x x x x C =+-+． 结论 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，可将对数函数或反三角函数设为u ，幂函数设为v ． 例8 求e sin d x x x ⎰．第课分部积分法、几种特殊类型函数的积分174解法一e sin d sin de e sin e cos dx x x xx x x x x x==-⎰⎰⎰e sin cos dex xx x=-⎰e sin e cos e sin dx x xx x x x=--⎰，所以1e sin d e(sin cos)2x xx x x x C=-+⎰．解法二e sin d e d(cos)e(cos)cos d(e)x x x xx x x x x=-=-+⎰⎰⎰e cos e cos d e cos e dsinx x x xx x x x x=-+=-+⎰⎰e cos e sin sin dex x xx x x=-+-⎰e cos e sin e sin dx x xx x x x=-+-⎰，所以1e sin d e(sin cos)2x xx x x x C=-+⎰．例9 求e d x x⎰．解令t x=，则2x t=，d2dx t t=．e d2e d2de2e2e dx t t t tx t t t t t===-⎰⎰⎰⎰2e2e2e2et t x xt C x C=-+=-+．⏹【学生】掌握分部积分法的应用问题讨论（10 min）⏹【教师】组织学生讨论以下问题1．可以用分部积分法的类型有哪些？2．对于各种不同类型的积分，如何选择u，v？通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解17分部积分法、几种特殊类型函数的积分 第 课53．举例说明循环法适用的不定积分的类型．⏹ 【学生】讨论、发言课堂测验 （10 min ）⏹ 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况⏹ 【学生】做测试题目⏹ 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程⏹ 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解 （20 min ）⏹ 【教师】讲解有理函数的积分，并通过例题介绍其应用形如10111011()()n n n n nm m m m mP x a x a x a x a Q x b x b x b x b ----++++=++++的函数称为有理函数，其中m 和n 都是非负整数；012n a a a a ，，，，及012m b b b b ，，，，都是实数，并且0000a b ≠≠，．当n m <时，称这个有理函数为真分式；当nm 时，称这个有理函数为假分式．假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如，322221(1)11111x x x x x x x x ++++==++++． 求真分式的不定积分时，如果分母可因式分解，则先因式分解，然后化成部分分式再积分． 例1 求23d 56x x x x +-+⎰．解 设23356(2)(3)23x x A Bx x x x x x ++==+-+----，则(3)(2)()323A x B x A B x A B x -+-=+--=+，学习有理函数和三角函数有理式的积分。
《高职工科应用数学》教案34定积分分部积分法
《高职工科应用数学》教案34定积分分部积分法一、教学目标：1.掌握分部积分法的基本思想和步骤；2.能够灵活运用分部积分法求解各种类型的定积分。
二、教学重难点：1.掌握分部积分法的基本步骤；2.能够熟练运用分部积分法求解各种类型的定积分。
三、教学过程：1.导入新知识（5分钟）通过回顾前几节课所学的定积分性质，引导学生回忆积分的概念和基本性质。
2.学习新知识（30分钟）2.1分部积分法的基本思想（5分钟）分部积分法是一种巧妙地选择积分后的两个因式，通过求导和积分的交替运算，将一个复杂的积分转化为一个简单的积分。
其基本思想是通过拆分被积函数中的两个因子，选取其中一个作为导数与另一个作为积分进行运算，从而简化被积函数。
2.2分部积分法的基本步骤（10分钟）分部积分法的基本步骤如下：步骤一：选择分部积分的因子步骤二：对所选因子进行求导和积分的交替运算步骤三：利用求导和积分的结果对原积分式进行化简步骤四：反复应用分部积分法直到得到简单的积分2.3分部积分法的应用举例（15分钟）例1：求定积分∫x·s inx dx解：选择x为导数，sinx为积分，应用分部积分法得到：∫x·sinx dx = -x·cosx + ∫cosxdx = -x·cosx + sinx + C例2：求定积分∫lnx dx解：选择lnx为导数，1为积分，应用分部积分法得到：∫lnx dx = x·lnx - ∫xdx = x·lnx - 0.5x^2 + C3.巩固练习（20分钟）在掌握了分部积分法的基本思想和步骤后，学生进行一些基本的练习题，巩固所学知识。
4.总结归纳（10分钟）总结分部积分法的基本思想和步骤，并与学生一起讨论分部积分法在求解定积分中的应用。
四、课堂小结：本节课主要学习了分部积分法的基本思想和步骤，并通过例题讲解和练习，使学生掌握了分部积分法的具体应用。
五、布置作业：1.巩固练习册上与本节课内容相符的练习题；2.预习下节课的内容。
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计【摘要】不定积分中的分部积分法则是微积分中的重要概念之一，能够帮助我们解决复杂的积分问题。
本文从引言、正文和结论三个部分展开，引言部分主要介绍分部积分法则的重要性，正文部分具体阐述了分部积分法则的定义、应用场景、教学设计步骤、示例演练和练习题，通过这些内容可以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
结论部分对分部积分法则的教学设计进行总结，强调了其在学习和应用中的重要性。
通过本文的讲解，读者能够深入了解分部积分法则的相关知识，并在实际的学习和应用中灵活运用。
【关键词】不定积分、分部积分法则、教学设计、重要性、定义、应用场景、步骤、示例演练、练习题、总结1. 引言1.1 分部积分法则的重要性不定积分中的分部积分法则是微积分中的重要概念之一，它在求解复杂函数的不定积分时起着至关重要的作用。
分部积分法则可以将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题，从而简化计算过程，提高计算效率。
通过掌握分部积分法则，学生可以更快地解决各种类型的积分问题，提高解题的准确性和速度。
在实际应用中，分部积分法则常常用于求解含有多个函数乘积的不定积分，如多项式函数、三角函数等。
通过适当地选择分部积分法则的顺序，可以有效地将原积分化简为易于计算的形式，进而求得最终的不定积分结果。
深入理解和熟练运用分部积分法则是学习不定积分的重要基础，对于提升学生的数学计算能力和解题技巧具有重要意义。
通过系统学习和实践，学生可以更好地掌握分部积分法则的运用，为进一步深入学习微积分打下坚实的基础。
2. 正文2.1 分部积分法则的定义不定积分中的分部积分法则是求解复杂积分的一种重要方法，它可以将一个复杂的积分问题分解成两个较简单的积分问题来求解。
分部积分法则的定义可以表述为：设u(x)和v(x)是可导函数，那么对于不定积分∫u(x)v'(x)dx，其积分结果为u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx。
这个公式可以帮助我们将一个乘积形式的积分问题转化为两个更容易求解的积分问题，从而简化求解过程。
分部积分法2市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
1 (xeaxc eaxcdx)
a
这种类型一般是将指数函数先凑入微分号内.
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（二）
Pn (x) sin axdx 或 Pn (x) cos axdx (a 0)
其中 pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
Байду номын сангаас
如
经济数学
3. 分部积分公式应用
＊例3 解：
求不定积分 ex sin xdx
出现循环, 怎么办?
e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
或 e x dx 2 x e x d ( x )
2 x e x e x d ( x )
2e x ( x 1) C
4.3 分部积分法
经济数学 3. 分部积分公式应用
＊训练题三 求不定积分 e2x cos xdx
e2x cos xdx e2xd (sin x)
e2x sin x 2 e2x sin xdx e2x sin x 2e2x cos x 4 e2x cos xdx e2x cos xdx e2x (sin x 2 cos x) C
则 xexdx xd (ex )
xex exdx
xex ex C
思索:
(1) x2exdx
(2) x2 sin xdx
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2
求下列不定积分 (1) x2exdx (2) x2 sin xdx
不定积分中分部积分法则的教学设计
不定积分中分部积分法则的教学设计分部积分法是高等数学中的一种重要而又基本的积分方法，它能解决类似，等换元积分法所不能解决的某些类型的积分.本文将对这部分内容进行教学设计，分为两个课时来讲解，主要运用启发式教学法来教学.教学过程设计为三个部分：第一部分，创设问题情境引入分部积分法的定义；第二部分，运用分部积分公式求解不定积分；第三部分，对整堂课的内容进行归纳总结.通过这节课的学习，让学生掌握求积分的一些解题方法和解题技巧。
标签：高等数学分部积分法解题方法一、教材内容分析高等数学的内容是以微积分为主体的，微积分主要包括微分和积分，且极限是微积分的基础，积分与微分互为逆运算。
从整体结构上了解微积分的内容构造，对我们学习其中的分支内容会有很大的帮助。
以华东师范大学数学系编的《数学分析》第三版（上册）为教材来分析，不定积分的分部积分法出现在第八章《不定积分》的第二节的第二部分，它起着一个承上启下的作用，在积分学中占有极其重要的地位，并为后续定积分以及重积分等内容的学习奠定了基础。
换元法和分部积分法是求积分的两种重要方法，在学习了换元积分法后，虽然能求解很多类型的不定积分，但是却不能解决被积函数为两个函数（下面我们所讨论的都是指初等函数）甚至三个函数乘积的不定积分，从而很自然地引出了另一种重要的积分法一一分部积分法，这就说明了学习分部积分法的必要性。
二、学生分析大学生已经具备了较强的分析问题和解决问题的能力，也具备了一定的自主学习能力。
在教学中，应以学生为主体，让学生自主探索、亲自实践，而教师在整个教学过程中起引导作用。
通过前面换元积分法的学习，学生已经具备了一定的基础知识，如果教师再巧妙地引入新课，就能激发起学生强烈的求知欲，使得他们积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，并参与到课堂活动中去，充分发挥他们的主体作用。
根据这部分的教学内容和学生的知识现状，教师应采用启发诱导式的教学模式，并在教学过程中注重培养学生的逻辑思维能力和动手解题能力。
(完整版)分部积分法教案
分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。
重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和v教学方法：讲练法0 回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。
凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；dx x x f dx x f )(')]([)(ϕϕ⎰⎰=)]([)]([x d x f ϕϕ⎰=)(x u ϕ=↓令 du u f ⎰=)(Cx F Cu F +=+=)]([)(ϕ 第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(t x ϕ=，使得难求的积分易求dt t t f dx x f t x )(')]([)()(ϕϕϕ⎰⎰−−−→−=令 CF(x)C ])([)()]([+=+==⎰t F t d t f ϕϕϕ1引入用我们已经掌握的方法求不定积分⎰⋅xdx x cos分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x x cos ↔③第二类换元积分法解：不妨设 t x tx arccos cos ==则 原方程dt t t t ⎰--⋅⋅211arccos 更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u 、 v 为两个函数） 已知： '')'(uv v u v u +=⋅对上式两边积分得：⎰⎰+=dx uv vdx u uv ''移项得： ⎰⎰-=vdx u uv dx uv ''观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：⎰dx uv '中v ’为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
C x x x xdxx x x dxx x xdxx ++=-==↓⋅⎰⎰⎰cos sin sin 'sin ')(sin cos 形式一样先要化的和要求积分的真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
50不定积分的分部积分法的教案
例5求
例6求
总结上面三个例子可以知道，如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u.
例7求
例8求
例9求
作业
练习分重点：教学难点：
理解并熟练运用分部积分公式。幂函数与对数函数、幂函数与反三角函数乘积的积分。
代入分部积分公式得，
求这个积分时，如果设 ，那么
于是
上式右端的积分比原积分更不容易求出.由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键.选取u和v一般要考虑下面两点：
（1） 要容易求得：
（2） 要比 容易积出
例2求
例3求
总结上面三个例子，可以知道，如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）
授课内容
分部积分法
教学方法
及教学工具
任务驱动式教学法
授课日期
授课节次
授课地点
教学过程、教学内容（含板书设计）
设函数 及 具有连续导数.由两个函数乘积的微分公式 移项得
对这个等式两边求积分 ，得
此公式称为分部积分公式.它的特点是积分 要比积分 易求，显然，分部积分公式可以起到化难为易的作用.
例1求
解设 ， ，那么 ，
解决方法：
公开课(分部积分法)教案
《高职数学》公开课教案课题：§ 4。
4 分部积分法课型：讲授教学目的、要求：理解分部积分法的思想方法,正确选取u 、dv ，熟练掌握分部积分法公式教学重点、难点：分部积分法及其应用，恰当选取u 、dv教学内容：一、分部积分法设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为'+'='uv u (uv)v移项得 v '-'='u (uv)uv对这个等式两边求不定积分, 得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u ,⎰⎰-=vdu uv udv ,称为不定积分的分部积分公式。
二、例题例1C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰ 例2 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cosC x x x ++=cos sin. 利用这个公式的关键在于选取适当的u 和dv选取的一般原则:1.v 容易求得（凑微分法);2。
u vd ⎰比⎰udv 容易求。
例3求⎰dx e x x 2解： x x de x dx e x ⎰⎰=22 C e xe e x dx e xe e x dxxe e x dx e e x x x x x x x x x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)(2222222例4求 ⎰xdx x arctan解： ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x [][]C x x x x dx x x x dx x x x x x d x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=⎰⎰⎰arctan arctan 21)111(arctan 211arctan 21arctan arctan 2122222222 例5 34434411111ln ln ()ln ln 444416x x xd x x x x dx x x x C 分部积分法的使用技巧(1）被积函数是两个不同类型函数的乘积； (2)u 的选取按“反、对、幂、三、指”顺序.例6求xdx e x sin ⎰.解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e x x x x sin sin sin sin ⎰⎰-=-=x x x x xde x e xdx e x e cos sin cos sin ⎰+-=x d e x e x e x x x cos cos sin⎰--=xdx e x e x e x x x sin cos sin ,所以 C x x e xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin . 练习： (1）(2)xdx x ln 2⎰例7 求 ⎰dx e x解： 令 t x =，则 2t x =，tdt dx 2=，因此[]C x e Ce te dtte tdte dx e x t t t t x +-=+-===⎰⎰⎰)1(2 2 2 2三、小结使用分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv(1）原则:v 容易求得（凑微分法）; u vd ⎰比⎰udv 容易求;(2）U 的选取按 “反对幂三指”的顺序.四、作业习题4。
第四讲 分部积分法
第四讲Ⅰ 授课题目（不定积分）：§5.4 分部积分法 Ⅱ 教学目的与要求：熟练掌握基本的不定积分公式，熟练掌握分部积分法。
Ⅲ 教学重点与难点：重点：分部积分法。
难点：分部积分法 Ⅳ 讲授内容： 一、分部积分法怎样计算不定积分⎰xdx x cos 呢？我们已经知道⎰+=c x xdx sin cos ，如果猜测x x x F sin )(= 是函数x x x f cos )(= 的一个反导数，是否正确呢？对函数F 按乘积法则求导 x x x x x x F cos sin )sin ()(+='='与f 不同，多出一项 x sin 。
但是，我们知道 c x dx x +-=⎰cos sin 如果给F 加上一项x cos 而变成G ，即x x x x G sin cos )(+=那么 x x x x x x x x x x G cos sin sin cos )sin (cos )(=-+='+='所以 c x x x xdx x ++=⎰sin cos cos把上面的思路对一般的函数表达出来就是：为了计算 ⎰'dx x g x f )()( 按照导数的乘积法则),()()()()]()([x g x f x g x f x g x f dx d '+'=⎰⎰⎰'+'=,)()()()()]()([dx x g x f dx x g x f x g x f dx d⎰⎰⎰'-='dx x g x f x g x f dx ddx x g x f )()()]()([)()(⎰⎰'-='dx x g x f x g x f dx x g x f )()()()()()(如果不定积分 ⎰'dx x g x f )()( 比较容易计算，那么⎰'dx x g x f )()( 就有可能算出.这种思路方法叫做分部积分法（integration by parts ）。
3.3 教学设计——分部积分法
教学反思
本节内容是一种求不定积分的方法，通过例题让学生体会体现了从特殊到一般，从感性到理性的辩证唯物主义观点，体会不定积分解法的多样性，感悟数学的魅力。
黑板
能力目标2
讲授新课
40’
1.推导分部积分公式
2.典型例题
3.分部积分公式 的选择
1.由导数的乘法推导分部积分公式
2.通过典型例题让学生体会分部积分公式 的选择
3.总结分部积分公式中选u的法则是：按照“反对幂三指”的次序，将出现的两种不同类型的函数中，在此顺序排在前面的
黑板
知识目标1，2
能力目标1
素质目标2
学生互动
20’
完ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课堂练习
1小组讨论课堂习题
2.教师讲解
3.用Mathematica软件检验计算结果
多媒体
素质目标1，3
课堂小结
5’
1.推导分部积分公式
2.通过例题体会分部积分法
3.分部积分公式中选 的法则
布置作业或任务
5’
1课后通过习题体会分部积分法，熟练掌握分部积分法
2.用Mathematica软件检验计算结果
单元教学设计
课题名称
学时数
课程类型
分部积分法
2
理论课
教学内容及学情分析
本节课的教学内容是分部积分法，这是积分的基本方法之一，学生已经学习了不定积分的直接积分法、第一类换元积分法和第二类换元积分法，每种方法都有针对的积分类型，而分部积分是针对被积函数是两种不同类型函数乘积的情形。
教学目标
知识目标
1.理解分部积分法的思想；
3.通过自主探究两函数乘积的不定积分，帮助学生提高自我学习与自我研究的能力。
《分部积分法》PPT课件
13
精选课件ppt
例11. 已知
的一个原函数是
求
解:
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
14
精选课件ppt
例12. 求
解法1 先换元后分部
令
即
则
故
15
精选课件ppt
解法2 用分部积分法
16
精选课件ppt
内容小结
分部积分公式
1. 使用原则 :
2. 使用经验 :
3. 题目类型 :
, 则
∴ 原式
再令
, 则
故 原式 =
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
5
精选课件ppt
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的
顺序,
例5. 求
解: 令
, 则
原式 =
反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数
令
令
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换
化为有理函数的积分.
例如:
令
42
精选课件ppt
例11. 求
解: 令
则
原式
43
精选课件ppt
例12. 求
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 ,
则有
原式
令
44
精选课件ppt
例13. 求
解: 令
则
原式
45
37
精选课件ppt
例8. 求
解:
说明: 通常求含
的积分时,
往往更方便 .
5.3 分部积分法[4页]
![5.3 分部积分法[4页]](https://img.taocdn.com/s3/m/e5911121b5daa58da0116c175f0e7cd184251891.png)
10′
知识巩固
例求
解
例求
解
例求 .
解Hale Waihona Puke 教师引导完成30′
练习
练习
解
练习
解
学生课堂完成教师讲解
40′
有些积分题目需要多次使用分部积分法才可算出结果.
例求 .
解
教师引导完成
45′
练习
解
学生课堂完成教师讲解
50′
知识巩固
例
解 =
故
教师讲授
55′
练习求 .
解
故
学生课堂完成教师讲解
65′
有时要先用换元积分法再用分部积分法.
观察以下乘法的求解微分的过程：
设 ， ，则有 ,
我们可以发现两个因子的乘积的微分和其各自的微分有些关系.
教师讲解引导学生思考
5′
新知识
我们对以上等式两端求不定积分，得 ,即 称为不定积分的分部积分公式，使用分部积分法的关键是如何选取 和 .
一般要考虑下面两点：
（1） 要容易求得；
（2） 要比 容易积分.
5.3分部积分法
教学目标：
（1）熟练使用分部积分法；
（2）理解分部积分法的使用原理.
教学难点：
（1）熟练使用分部积分法.
授课时数：2课时
教学过程
过程
备注
5.3.1分部积分法
观察
在了解了两种换元积分法之后，我们对已经可以应对大部分的题目，但是有些题目需要使用分部积分方法，分部积分方法会使用到我们在求导，求微分时学到的乘法求导的方法.
例求 .
解令 则 于是
教师讲授
75′
练习求 .
解令 ，则 ，于是
分部积分法说课稿
分部积分法说课稿一、教材分析1、地位与作用“分部积分法”是同济大学数学系第六版第四章第三节的内容。
这节课的主要内容是：分部积分法，以及用它求不定积分。
在本节课之前教材已经介绍了不定积分的概念与性质,并接着着重强调了换元积分法。
本节是解决不定积分的另一种重要方法，利用两个函数乘积的求导法则,来推得分部积分法。
本节内容不仅是本书一个非常重要的内容，也是整个数学学习中的一块重要知识，该积分方法为下一节有理函数积分的学习奠定了基础，同时也为学生深入研究数学作了一个知识储备。
2、教学目标根据以上的教材分析，确定本节课的教学目标如下：知识与技能：（1）掌握用分部积分求各种不定积分题目的的方法；（2）通过对本课学习，培养运用分部积分解决实际问题的能力。
过程与方法：（1）通过自主探究两个函数乘积的求导法则,来推得分部积分法；（2）通过设问，探究各种题型的解决办法。
情感态度与价值观：（1）感知寻求计算不定积分新方法的必要性，激发求知欲；（2）通过对分部积分公式的应用，体会不定积分解法的多样性；（3）帮助提高自我学习与自我研究的能力。
3、教学重点根据教材分析，及教学目标我对本节课确定了以下重点：通过探究两个函数乘积的求导法则,来推得分部积分法,并用此公式解决不同题型的不定积分.二、学情分析1、已有的知识与能力学生是在学习了导数的求导法则和换元积分之后学习分部积分的，因此学生具备了以下知识和能力储备(1)两函数求导的乘法法则(2)运用换元的思想来解决分部积分2、学生可能遇到的困难分部积分公式的"u"和"v"的正确选择3、教学难点针对以上的学情分析，以及教学目标和重点的制定，我确定了本课的难点：分部积分公式的"u"和"v"的正确选择，在连续使用分部积分公式时每次选作“u”的函数要是同种类型的函数。
三、教法与学法1、教学方法：教法以老师讲授为主，引导学生探究为辅。
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分部积分法
教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。
重点：分部积分法及其应用
难点：在分部积分法中，要恰当的选取U和v
教学方法：讲练法
0回顾
上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、一换元积分法(凑微法)③熟练、灵活的运用第二换元积分法。
凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；
f(x)dx f [ (x)] '(x)dx
f[ (x)]d[ (x)]
令u (x)
f (u)du
F(u) C
F[ (x)] C
第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换x (t)，使得难求的积分易求
f (x)dx 令x (t) f[ (t)]'⑴dt
f[ (t)]d (t)
F[ (t)] C
F(x) C
1引入
用我们已经掌握的方法求不定积分x cosxdx
分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
x cosx
③第
—
1类换兀积分法
解：不妨设cosx t则x arccost
原方程t arccost 1-dt
更为复杂
-1 t
所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：(假设u、已知: (u v)' u'v uv' 灵活的运用第v为两个函数)
对上式两边积分得：uv u'vdx uv'dx
观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：uv'dx中v'为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。
x cosxdx
先要化的和要求积分的形式一样
x(sin x)'dx
xsi nx x'si nxdx
xsinx cosx C
真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。
其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2公式
2.1定理设函数u u(x)和v v(x)及都具有连续的导数，则有分部积分公式:
uv'dx uv u'vdx (或udv uv vdu)
说明：①两函数的积分等于将其中一个放在d里后，里外相乘减去换位的积分。
②内外积减去换位“积”。
③步骤：a放d中，b、套公式。
2.2例1求不定积分x sinxdx
解：x sin xdx
x sin xdx
xd(cos x)①放d中
xcosx cos xdx②套公式
xcosx sin x C
3 U、V的选取问题
例2求不定积分e x xdx
解：e x xdx
x 1
2、
e d(-x )
2
1 2 x 1 2. x
x e x de
2 2
1 2 x 1 x 2 ,
x e e x dx
2 2
移项得: uv'dx uv u'vdx
容易发现使用分部积分公式后，变得更加复杂了，是我们的公式用错了吗？不妨换个角度看问题：
e x xdx
xde x
x x
xe e dx
x x
xe e C
发现问题解决了，问题出在哪里？观察发现，这两种做法的不同之处在于把谁放在d里，换句话说就是则样选择u和v的问题，由上面的例看出运用分部积分公式时恰当的选择u和v是十分重要的，选对了可以轻松解题，选错了，轻则解题复杂，重则解不出结果。
那么应该如何选取u和v的呢？
我们来看一下公式udv uv vdu，要把v放在d中首先要对v积分，所以v要便于积分；而u要进
行求导，所以u便于求导；实际上关键是v，v定了，u怎然定了。
所以U、V选取的原则是：v便于积分，u便于求导。
例3求不定积分xln xdx
分析：对于x和Inx来说明显的x便于积分，故选lnx做u
xln xdx
In xd(1x2)
2
1 2
x In x1 2 ,.x d I n x
22
12
In 1
xdx
x x
22
12
In 1
2 亠
—x x—x C
24
实际上在选取v时是相对的，两个函数中更便于积分的做v，我们列出了一个积分从难到易顺序：反、对、幕、三、指；一般在做题的时候我们选取后面的做v.
4例题讲解
例4求不定积分In xdx
分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作 1 In x即可。
解：
In xdx
In xdx
x I n x xd I n x
x I n x x C
结论：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。
例5求不定积分x2e x dx
x
x 2e x dx x 2de
x 2e x 2 xe x dx 再次使用分部积分公式
x 2e x 2 xde x x e 2(xe e dx) 2
X c X X x e 2xe e C
结论：分部积分公式是可以重复使用的。
x
例6求不定积分
e sin xdx
解：
e x sin xdx sin xde x X ・
x .
e sinx
e cos xdx
e sin x e cosx e sin xdx
I
X ・ X
I
I e sin x e cosx I 则2I e x sin x e x cosx
1 x x
I - (e x sinx e x cosx) C 2
问题得以解决。
故要灵活的处理问题。
5小结
1、 分部积分的公式
解:
好像进入了死胡同，实则不然，令
e x sinxdx I ,则上式变为:
2、U、V的选取
3、灵活的使用公式
x。