求曲线的轨迹方程

第九章
平面解析几何
解析：由题设知|x1|> 2，A1(－ 2，0)，A2( 2，0)，则有 y1 直线 A1P 的方程为 y＝ (x＋ 2)，① x1＋ 2 － y1 直线 A2Q 的方程为 y＝ (x－ 2)，② x1－ 2 2 2 x＝x1， x1＝x， 联立①②，解得 所以 ③ 2 y 2 y 1 y＝ y1 ＝ ， x ， x1
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直接法求曲线方程的一般步骤 (1)建立合理的直角坐标系； (2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标 表示为代数方程； (3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方 程．
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直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系 “翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性． [提醒] 对方程化简时， 只要前后方程解集相同， 证明一步可
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利用相关点法(代入法)求轨迹方程 [典例引领] x2 y2 (2018· 杭州模拟)已知点 Q 在椭圆 C： ＋ ＝1 上， 点 16 10 → 1 → → P 满足OQ＝ (OF1＋OP)(其中 O 为坐标原点，F1 为椭圆 C 的 2 左焦点)，则点 P 的轨迹为( A．圆 C．双曲线 ) B．抛物线 D．椭圆
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直接法求轨迹方程(高频考点) 直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法， 也是高考考查的重要内容．主要命题角度有： (1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)； (2)无明确等量关系求轨迹方程．
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[典例引领] 角度一 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)
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解：设点 M 坐标为(x，y)． 因为 M(x，y)为线段 AB 中点，所以点 A，B 的坐标分别为 A(2x，0)，B(0，2y)． 当 x≠1 时，因为 l1⊥l2，且 l1，l2 过点 P(2，4)，所以 kPA· kPB 0－4 2y－4 ＝－1，即 · ＝－1(x≠1)， 2x－2 0－2 化简得 x＋2y－5＝0(x≠1)． 当 x＝1 时，A，B 分别为(2，0)，(0，4)， 所以线段 AB 的中点为(1，2)， 满足方程 x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)． 综上得 M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．
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第三小题第二解法
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求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再 利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、 夹角公式等)进行整理、 化简， 即把这种关系“翻译”成含 x， y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法： 若动点轨迹满足已知曲线的定义， 可先设定方程， 再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程．
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(3)相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列 出， 但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的， 如果相 关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以 用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可 求得动点的轨迹方程． （4）参数法、交轨法 易错防范 (1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、 位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)． (2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯 粹性”的影响．
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定义法求轨迹方程 [典例引领] → 1→ 已知 A(－5，0)，B(5，0)，动点 P 满足|PB|， |PA|，8 2 成等差数列，则点 P 的轨迹方程为________．
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【解析】
→ → 由已知得|PA|－|PB|＝8，
所以点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的双曲线的右支， 且 a＝4，b＝3，c＝5， x2 y2 所以点 P 的轨迹方程为 － ＝1(x≥4)． 16 9 x2 y2 【答案】 － ＝1(x≥4) 16 9
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第9讲
曲线与方程
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1．曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点 的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下 的关系：
这个方程的解 ； (1)曲线上点的坐标都是______________ 曲线上 ． (2)以这个方程的解为坐标的点都在________
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定义法求轨迹方程 (1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合 某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹 方程； (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、 椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中 的变量 x 或 y 进行限制．
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法二：设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1，0)，由直 1 角三角形的性质知|CD|＝ |AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的 2 轨迹是以 D(1，0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点 不共线，所以应除去与 x 轴的交点)． 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
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练习。(2018· 杭州七校模拟)已知动圆 C 过点 A(－2，0)，且 与圆 M：(x－2)2＋y2＝64 相内切．求动圆 C 的圆心的轨迹方 程．
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解：圆 M：(x－2)2＋y2＝64，圆心 M 的坐标为(2，0)，半径 R＝8.因为|AM|＝4<R，所以点 A(－2，0)在圆 M 内．设动圆 C 的半径为 r， 依题意得 r＝|CA|，且|CM|＝R－r， 即|CM|＋|CA|＝8>|AM|. 所以圆心 C 的轨迹是中心在原点，焦点为 A，M，长轴长为 x2 y2 8 的椭圆，设其方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)，则 a＝4，c＝2.所以 a b b2＝a2－c2＝12. x2 y2 所以动圆 C 的圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1. 16 12
【答案】
D
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练习一．(2017· 高考全国卷Ⅱ节选)设 O 为坐标原点，动点 M x2 2 在椭圆 C： ＋y ＝1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 2 → → P 满足NP＝ 2NM.求点 P 的轨迹方程．
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以省略，必要时可说明 x，y 的取值范围．
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[通关练习] 1．已知|AB|＝2，动点 P 满足|PA|＝2|PB|，则动点 P 的轨迹 方程为________．
解析：如图所示，以 AB 的中点 O 为原 点，直线 AB 为 x 轴建立如图所示的平 面直角坐标系， 则 A(－1， 0)， B(1， 0)． 设 P(x，y)，因为|PA|＝2|PB|， 所以 （x＋1）2＋y2＝2 （x－1）2＋y2， 10 整理得 x ＋y － x＋1＝0， 3
2 2
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52 2 16 即x－3 ＋y ＝ . 9
所以动点 P
52 2 16 的轨迹方程为x－3 ＋y ＝ . 9
52 2 16 答案：x－3 ＋y ＝ 9
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2．如图，过点 P(2，4)作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 交 x 轴非负半轴于 A 点，l2 交 y 轴非负半轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程．
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→ 1 → → 【解析】 因为点 P 满足OQ＝ (OF1＋OP)， 2 所以 Q 是线段 PF1 的中点．设 P(x1，y1)， x2 y2 由于 F1 为椭圆 C： ＋ ＝1 的左焦点， 16 10 x1－ 6 y 1 则 F1(－ 6，0)，故 Q ， ， 2 2 x2 y2 由点 Q 在椭圆 C： ＋ ＝1 上， 16 10 2 （x1－ 6）2 y1 则点 P 的轨迹方程为 ＋ ＝1， 64 40 故点 P 的轨迹为椭圆．
(2018· 河北衡水中学调研)已知直角三角形 ABC 的斜边 为 AB，且 A(－1，0)，B(3，0)．求直角顶点 C 的轨迹方程． 【解】 法一：设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，
所以 y≠0. y y 因为 AC⊥BC， 所以 kAC· kBC＝－1， 又 kAC＝ ， k ＝ ， x＋1 BC x－3 y y 所以 · ＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0. x＋ 1 x － 3 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
参数法求轨迹方程
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考点四.交轨法 已知直线L与抛物线y2=2px交于A,B 两点 OA ,且 OB (1)求AB中点的轨迹方程; (2)求证:AB经过一定点,并求出定点坐标; (3)作OM AB 交AB于点M,求点M的轨迹方程.
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x2 2 练习二．(2018· 中原名校联考)已知双曲线 －y ＝1 的左、右 2 顶点分别为 A1，A2，点 P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不 同于 A1、A2 的两个不同的动点，则直线 A1P 与 A2Q 交点的 轨迹方程为________．
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解：设 P(x，y)，M(x0，y0)， → 则 N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)， → ＝(0，y )． NM 0 → ＝ 2 NM →得 由NP 2 x0＝x，y0＝ y. 2 因为 M(x0，y0)在 C 上， x2 y 2 所以 ＋ ＝1. 2 2 因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2.
那么， 这个方程叫做曲线的方程； 这条曲线叫做方程的曲线．
栏目 导引第九章源自平面解析几何3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系； (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)； (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式； (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将 其转化为关于 x，y 的方程式，并化简； (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
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x2 2 所以 x≠0， 且|x|< 2， 因为点 P(x1， y1)在双曲线 －y ＝1 上， 2 x2 1 所以 －y2 1＝1. 2 x2 2 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为 ＋y ＝1(x≠0，且 2 x≠± 2)． x2 2 答案： ＋y ＝1(x≠0，且 x≠± 2) 2
已知点 F(0，1)，直线 l：y＝－1，P 为平面上的动点， →· → ＝FP →· → ，则 过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且QP QF FQ 动点 P 的轨迹 C 的方程为( A．x2＝4y C．x2＝2y ) B．y2＝3x D．y2＝4x
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【解析】
设点 P(x，y)，则 Q(x，－1)．
→· → ＝FP →· →， 因为QP QF FQ 所以(0， y＋1)· (－x， 2)＝(x， y－1)· (x， －2)，即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)， 整理得 x2＝4y， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y. 【答案】 A
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角度二
无明确等量关系求轨迹方程