2016年考研数学(一)真题及答案

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2016-2017年考研数学一真题及答案

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2016考研数学一真题及答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且(2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( )()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )(A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( ) (A )TA 与TB 相似 (B )1A -与1B -相似 (C )TA A +与TB B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( )(A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加 (C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少 (8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axxx x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式100010014321λλλλ--=-+____________. (14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明: (I )级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛;(II )lim n n x →∞存在,且0lim 2n n x →∞<<.(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时,方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解?(21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

2016考研数学(一)真题完整版(跨考教育-文字版)

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2016考研数学(一)真题完整版(跨考教育-文字版)一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()011b a dx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且 (2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( ) ()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )(A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点(C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导(5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( )(A )T A 与T B 相似 (B )1A -与1B -相似(C )T A A +与T B B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( ) (A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加(C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim 200=-+⎰→x dt t t t x x(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axx x x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________. (14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;。

2016考研数学一:线性代数

2016考研数学一:线性代数
T
B −1 = ( P −1AP ) = P −1A −1 (P −1 ) −1 = P −1A −1P
−1
B + B −1 = P −1AP + P −1A −1P = P −1 ( A + A −1 )P 故(A) , (B) , (D)都正确. 对于(C)来说, 一般地 P −1 ≠ PT ,因此不能 直接合起来用分配律得出. 具体结果可以用一个实 例加以解释.
令 P = (η1 η2
⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ η3 ) ,η1 = ⎜ 2 ⎟ ,η2 = ⎜ 1 ⎟ ,η3 = ⎜ 于是 ⎜ 2⎟ , ⎜ 2⎟ ⎜0⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1⎞ ⎛ ⎜0 0 2⎟ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 −1 P = ⎜ 2 −1 −2 ⎟ , P AP = Λ = ⎜ −1 ⎟, ⎜ ⎜ 1⎟ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ −1 1 ⎟ 2⎠ ⎝
−1 ⎛ 1 −1 ⎜ 3 ⎜0 a + 2 ⎜0 a −1 0 ⎝ ⎛1 0 0 ⎜ → ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝
2 2 ⎞ ⎟ −3 a − 4 ⎟ 1− a 0 ⎟ ⎠
1 3a / (a + 2) ⎞ ⎟ 0 (a − 4) / (a + 2) ⎟ ⎟ 0 −1 ⎠
3a / (a + 2) ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ 故唯一解 X = ⎜ 0 (a − 4) / (a + 2) ⎟ . ⎜ −1 ⎟ 0 ⎝ ⎠
方法(二)根据行列式性质进行反复的倍加运算:
λ −1 0 0 λ −1 0 0 λ
4 3 2 −1 0 0
0 0 −1 λ +1
=
λ −1 0 λ
0 4 0 3 0 −1 0

2016考研数学一真题及答案解析(完整版)

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2016年全国硕士研究生入学考试数学一一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题纸..指定位置上. (1)若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且(2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( )()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()22222211,11y x x y x x =+-+=+++是微分方程()()y px y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ,则( ) (A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点(C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( ) (A )T A 与T B 相似 (B )1A -与1B -相似(C )T A A +与T B B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2fx x x=在空间直角坐标下表示的二次曲面为( ) (A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面 (7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( ) (A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加(C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题..纸.指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA (11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axxx x f +-=,且()10''=f ,则________=a(13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz x I 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明: (I )级数11()n n n x x ∞+=-∑绝对收敛;(II )limn n x →∞存在,且0lim 2n n x →∞<<.(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时,方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解?(21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ 分别表示为123,,ααα的线性组合。

2016考研数学真题答案解析[数一]

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WORD 资料 .可编辑2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题 :1~ 8 小题,每小题 4 分,共 32 分 .下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 ....1 、设函数f ( x) 在(-,+)连续,其2阶导函数f (x) 的图形如下图所示,则曲线y f ( x) 的拐点个数为()(A )0(B) 1(C )2(D)3【答案】 (C)【考点】拐点的定义【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上,并且在这点的左右两侧二阶导数异号,因此,由 f (x) 的图形可知,曲线 y f ( x) 存在两个拐点,故选(C).2 、设y 1 e2 x x 1e x是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x的一个特解,23则()( A )a3,b1,c 1.(B)a3,b2, c 1.( C )a3,b2, c 1.( D)a3,b2, c 1.【答案】 (A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★【详解】 1 e2x, 1 e x为齐次方程的解,所以 2 、 1 为特征方程2 +a b 0 的根,从而23a123,b 1 2 2, 再将特解y xe x代入方程 y 3y 2 y ce x得:c 1.3 、若级数a n条件收敛,则 x 3 与x 3 依次为幂级数na nnx 1的:n 1n 1( A )收敛点,收敛点( B)收敛点,发散点( C )发散点,收敛点( D )发散点,发散点【答案】 (B)【考点】级数的敛散性【难易度】★★★a n条件收敛,故x2为幂级数a n x 1n【详解】因为的条件收敛点,进而得n 1n 1a n xn1,收敛区间为0,21 的收敛半径为,又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间,故n 1na n xn0,2 ,因而x3与 x 3 依次为幂级数n1的收敛区间仍为na n x 1 的收敛n 1n1点、发散点 .4 、设 D 是第一象限中曲线2xy1,4 xy 1与直线 y x, y3x 围成的平面区域,函数 f ( x, y)在 D 上连续,则 f (x, y)dxdyD1( A )2d sin 21 42sin 21( C )3d sin 2142sin 2f (r cos , r sin )rdrf (r cos ,r sin )dr1( B)2d sin 2142sin 21(D )3d sin 2142sin 2f (r cos ,r sin )rdrf (r cos , r sin )dr【答案】 (D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★【详解】由y x 得,;由y3x 得,43由 2xy1得, 2r 2cos sin1, r12sin由 4xy1得, 4r 2cos sin1, r12sin 21所以 f ( x, y)dxdy3d sin 2 f (r cos , r sin)rdr1D42sin 211115、设矩阵A 12a, b d ,若集合{1,2} ,则线性方程组Ax b 有无穷多个14a2 d 2解的充分必要条件为( A )a, d( B)a, d( C )a, d(D )a,d【答案】 (D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】★★11111111【详解】A, b12a d01 a 1d11 4 a2 d 20 0 a 1 a 2 d 1 d 2Ax b 有无穷多解R( A)R( A,b)3a 1或 a 2 且 d 1 或 d 26 、设二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 在正交变换x Py 下的标准形为 2y12y22y32,其中P (e1 ,e2 , e3 ) ,若 Q(e1 , e3 , e2 ) ,则 f ( x1 , x2 , x3 ) 在正交变换x Qy 下的标准形为( A )2y12y22y32( B)2y12y22y32( C )2y12y22y32( D)2y12y22y32【答案】 (A)【考点】二次型【难易度】★★200【详解】由 x Py ,故f x T Ax y T (P T AP ) y 2y12y22y32且: P T AP 010001100200 QP00 1 PC,Q T AQ C T (P T AP)C 0 10 010001所以fx T Ax y T (Q T AA) y2y12y22y32,故选 (A)7 、若A, B为任意两个随机事件,则( A )P(AB) P( A)P(B)( B)P( AB) P( A)P(B)(C )P( AB)P( A) P(B)(D)P( AB)P(A)P(B) 22【答案】 (C)【考点】【难易度】★★【详解】P(A)P(AB), P(B)P(AB)P(A)P(B)2P(AB)P(AB)P(A)P(B)故选( C)28 、设随机变量X,Y不相关,且 EX2, EY1, DX3,则E X X Y 2(A )-3(B)3(C )-5(D)5【答案】 (D)【考点】【难易度】★★★【详解】EXXY2 E X 2XY 2XEX2EXY 2EXDX E2X EXEY 2EX 5二、填空题: 9 ~ 14小题 ,每小题 4 分 ,共 24 分 .请将答案写在答题纸指定位置上 ....ln cos x9 、limx2x 01【答案】2【考点】极限的计算【难易度】★★ln cosxln(1 cos x 1)cos x 11 x 21【详解】 lim limlim2x 2limx 2x 2x 22xx 0x 0x 02 (sin xx )dx10、 -cos x212【答案】4【考点】积分的计算【难易度】★★sin x2【详解】2 (x )dx 22xdxcosx4-2111 、若函数 z z( x, y) 由方程 ezxyz+xcos x 2 确定,则 dz (0,1).【答案】【考点】隐函数求导【难易度】★★【详解】令 F ( x, y, z)ezxyz x cos x2 ,则 F xyz 1sin x , F y xz , F z xy ,又当 x0, y 1时, z0 ,所以zF x 1,zF ydxx(0,1)F zy(0,1)0 ,因而 dz (0,1)F z12 、设是由平面 xyz 1与三个坐标平面所围成的空间区域,则( x 2 y 3z)dxdydz1 【答案】4【考点】三重积分的计算【难易度】★★★【详解】 由轮换对称性,得1òòò(x+2y + 3z )dxdydz= 6 òòòzdxdydz = 6 ò0zdz òòdxdyW WDzWORD 资料 .可编辑其中 D z 为平面 z= z 截空间区域 W 所得的截面,其面积为1(1- z )2.所以2òòò()òòò11 21321z × (1 - z )dz =3z- 2z + z dz=x + 2y + 3z dxdydz = 6zdxdydz = 64WWò2ò()2 0 0 2-1220 02 2 13 、 n 阶行列式 0 0-1 2【答案】 2n 12【考点】行列式的计算 【难易度】★★★【详解】 按第一行展开得= 2n+1- 214 、设二维随机变量 ( X ,Y ) 服从正态分布 N (1,0,1,1,0) ,则 P( XY Y 0).【答案】12【考点】【难易度】★★【详解】( X ,Y) ~ N (1,0,1,1,0), X ~ N (1,1),Y ~ N (0,1), 且 X ,Y 独立X 1~ N(0,1), P XYY 0P(X 1)Y 0P X1 1 1 1 110,Y0 PX10,Y02 2 2 22三、解答题: 15~ 23 小题 , 共 94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明...过程或演算步骤.15 、(本题满分10 分)设函数 f (x) x a ln(1 x) bx sin x , g( x) kx3,若 f ( x) 与 g ( x) 在x0 是等价无穷小,求a ,b,k值。

(1987-2016)历年考研数学一真题及答案

(1987-2016)历年考研数学一真题及答案

ˆπ 2
ˆ 2(1+cosθ)
x dxdy = dθ
r cosθ · r dr
D
ˆ−
π 2
2
π(
)
= 16 2 cos2θ + cos3θ + 1 cos4θ dθ
(0
3 )
1π 2 131π
= 16 · + + · · ·
22 3 3422
32 = + 5π.
3
16.(本题满分 10 分)
设函数 y(x) 满足方程 y′′ + 2y′ + ky = 0, 其中 0 < k < 1.
2
设矩阵 A = 2 a 1 , B = 1
2 a ,
−1 1 a
−a − 1 −2
当 a 为何值时, 方程 AX = B 无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时, 求此方程.
1 −1 −1 2 2
1 −1 −1 2
2
解 (A | B) = 2 a 1
1
a → 0 a + 2 3 −3 a − 4
(3)
由 (1) 式知, 当 n → ∞ 时, xn+1 − xn → 0, 即 F (xn) → 0. 结合 (2) (3) 式知 xn → ξ. 即 lim xn ∈ (1, 2) ⊂ (0, 2).
n→∞
数学(一) 试题及解答 · 第 4 页(共 7 页)
20.(本题满分 11 分)
1 −1 −1
[A]
1 (A) −2 .
1 (B) −3 .
1 (C) .
3
1 (D) −2 .
二、填空题:9 ∼ 14 小题, 每小题 4 分, 共 24 分.

2016考研数学一真题及答案解析完整版

2016考研数学一真题及答案解析完整版

2016考研数学一真题及答案解析(完整版)2016年考研数学一真题及答案解析(完整版)一、单选题1.已知函数 f(x) 在(0, +∞) 上连续,且满足 f(x+y) = f(x) + f(y) +2√[f(x)f(y)],则 f(x) 的解析式是() A. f(x) = x^2 B. f(x) = x^2 + 2x C. f(x) = x^2 + 4x D. f(x) = x^2 + 6x答案:C解析:将 x=y=0 代入方程得到 f(0) = 0,将 y=0 代入方程得到 f(x) = f(x) + f(0),所以 f(0) = 0。

将 y=x 代入方程得到 f(2x) = 4f(x),所以 f(2x) =4f(x) = 4(x^2 + 2x) = (2x + 4)^2。

所以 f(x) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4。

2.在等差数列 1, 3, 5, 2015 中,有多少个数能被 3 整除? A. 672 B. 671C. 670D. 669答案:A解析:等差数列的公差是 2,所以第 n 项是 1 + (n-1)2 = 2n-1。

要使 2n-1 能被 3 整除,则 n 必须是 3 的倍数。

2015 ÷ 3 = 671 余 2,所以有 671 个数能被 3 整除。

3.设 A 是m×n 的矩阵,B 是n×m 的矩阵,则 AB 的秩为() A. m B. nC. m + nD. 0答案:D解析:秩的定义是矩阵的非零行的最大数目。

AB 的秩等于 B 的非零行的最大数目,因为 AB 的行是 A 的行与 B 的列的线性组合,所以 AB 的秩不可能超过 B 的非零行的最大数目。

而 B 的非零行的最大数目不可能大于 n,所以 AB 的秩不可能大于 n,所以 AB 的秩为 0。

二、填空题1.设函数 f(x) = x^2 + ax + b,其中 a, b 是常数,f(x) 的图像经过点 (1,2),则 a + b 的值是 ______。

2016考研数学(一、二、三)真题及答案解析

2016考研数学(一、二、三)真题及答案解析

精心整理2016考研数学(一)真题及答案解析考研复习最重要的就是真题,所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析,希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺,快速有效的备考。

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)设{}n x 是数列下列命题中不正确的是( )(D )发散点,发散点 【答案】(A ) 【解析】因为级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛,所以2R =,有幂级数的性质,1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛半径也为2R =,即13x -<,收敛区间为13x -<<,则收敛域为13x -<≤,进而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点,收敛点,故选A 。

(4)下列级数发散的是( ) (A )18nn n∞=∑(B)11)n n ∞=+(C )2(1)1ln n n n ∞=-+∑(D )!n n ∞∑ 312)n n=⇒∑(1)ln n n ∞-+∑(B ),a α∉Ω∈Ω (C ),a α∈Ω∉Ω (D ),a α∈Ω∈Ω 【答案】(D )【解析】Ax b =有无穷多解⇔()()3,0r A r A A =<⇒=,即(2)(1)0a a --=,从而12a a ==或当1a =时,2211111111121010114100032A ααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭ 从而232=0=1=2αααα-+⇒或时Ax b =有无穷多解当2a =时,2211111111122011114400032A ααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭从而232=0=1=2αααα-+⇒或时Ax b =有无穷多解 (B )()()()P AB P A P B ≥(C )()()()2P A P B P AB +≤(D )()()()2P A P B P AB +≥【答案】(C )【解析】排除法。

2016考研数学一试题及答案详解

2016考研数学一试题及答案详解

(8) 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1 , A2 , A3 ,且三种结果发生的概率均为
1 ,将试验 E 独 3
立重复做 2 次, X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数, Y 表示 2 次试验中结果 A2 发生的次数, 则 X 与 Y 的相关系数为 ( ) (B)
1 2 【答案】(A) 【解析】方法一:
x, x 0, (4) 已知函数 f ( x) 1 则 1 1 , x , n 1,2, , n n 1 n
(A) x 0 是 f ( x )的第一类间断点. (C) f ( x )在 x 0 处连续但不可导. 【答案】(D) 【解析】因为 lim f ( x) lim x 0 , lim f ( x ) lim
2 2 (11) 设函数 f u, v 可微, z z x, y 由方程 x 1 z y x f x z , y 确定,则
dz | 0,1 _____ .
5
【答案】 dx 2dy 【解析】将 x 0, y 1 代入 ( x 1) z y 2 x 2 f ( x z , y ) 得 z 1 .
所以相关系数 XY
Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )

1 2
.
4
方法二: 设 Z 表示 2 次试验中结果 A3 发生的次数,则 X Y Z 2 。 根据方差的性质有 D(Y )=D( 2 X Z ) D( X Z ) D( X ) D( Z ) 2Cov( X , Z ) ,注意 到 D(Y ) D( X )=D( Z ), Cov( X , Z ) Cov( X , Y ) ,从而 D( X )= 2Cov( X , Y ) 。所以根据相关 系数的定义有 XY

2016考研数学一真题及解析参考答案

2016考研数学一真题及解析参考答案

2016考研数学(一)真题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(((()q x =(,则()(的第一类间断点(B )(处连续但不可导(D ) (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是()(A )TA 与TB 相似(B )1A -与1B -相似(C )TA A +与TB B +相似(D )1A A -+与1B B -+相似 (6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为()(A )单叶双曲面(B )双叶双曲面(C )椭球面(C )柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则() (A )p 随着μ的增加而增加(B )p 随着σ的增加而增加(少(22(((11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan ax x x x f +-=,且()10''=f ,则________=a(13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.(14)设12,,...,nx x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在((D ⎧=⎨⎩(0,ky +=()I ()II (21),x ye-+且f 积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz x I 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}nx 满足1()(1,2...)n n xf x n +==,证明:(I )级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛;(II )lim nn x →∞存在,且0lim 2nn x→∞<<.(22a ⎫⎪⎪⎪-⎭当a ((I ()将12,,ββ(域D (I (U X (III )求Z U X =+的分布函数()F z . (23)设总体X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,00,3,32θθθx x x f ,其中()∞+∈,0θ为未知参数,321,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,令()321,,m ax X X X T =。

考研数学一试题及解答

考研数学一试题及解答

5. 设 A, B 是可逆矩阵, 且 A 与 B 相似, 则下列结论错误的是
[C ]
(A) AT 与 BT 相似.
(B) A−1 与 B−1 相似.
(C) A + AT 与 B + BT 相似.
(D) A + A−1 与 B + B−1 相似.
数学(一) 试题及解答 · 第 1 页(共 7 页)
6. 设二次型 f (x1, x2, x3) = x21 + x22 + x23 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3, 则 f (x1, x2, x3) = 2
n=1
( II ) 证
F (x) =令 f (x) − x,
F ′(x)
=
f ′(x)

1

(
−1,
1 −
)

F (x)
严格递减,
(2)
2
f (0)
=
1,
0
<
f ′(x)
<
1
´x
=⇒0
1
<
f (x)
<
1 x+1
(x
>
0)

F (1)
>
0,
F (2)
<
0
2
2
⇒ ∃ ξ ∈ (1, 2), 使得 F (ξ) = 0.
−1 1 a −a − 1 −2
0 0 a−1 1−a 0
当 a = −2 时, 方程 AX = B 无解; 3
当 a = 1 时, 方程 AX = B 有无穷多解, X = −C1 − 1

2015~2016年考研数学(一)真题含答案详解

2015~2016年考研数学(一)真题含答案详解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c(C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛,则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =,3y x =围成的平面区域,函数(),f x y 在D 上连续,则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若集合{}1,2Ω=,则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ,其中()123,,=P e e e ,若()132,,=-Q e e e ,则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y(B) 2221232+-y y y(C) 2221232--y y y(D) 2221232++y y y(7) 若A,B 为任意两个随机事件,则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B(C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关,且2,1,3===EX EY DX ,则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题:9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx→=(10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定,则(0,1)d ________.z=(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域,则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-L LM M OM M L L(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ,则{0}________.P XY Y -<=三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ,3()=g x kx ,若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小,求,,a b k 的值.(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零,若对任意的0x I ∈,由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4,且()02f =,求()f x 的表达式.(17)(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ,曲线C :223++=x y xy ,求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.(18)(本题满分 10 分)(I )设函数()()u x ,v x 可导,利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() (II )设函数()()()12n u x ,u x ,,u x L 可导,n f x u x u x u x =L 12()()()(),写出()f x 的求导公式.(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A,终点为()0,B ,计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基,113=2+2k βαα,22=2βα,()313=++1k βαα.(I )证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;(II )当k 为何值时,存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同,并求所有的ξ.(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值;(II )求可逆矩阵P ,使1-P AP 为对角矩阵..(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为:x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数,12n x ,x ,,x L 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量.答案解析(1)【答案】(C )【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ).(2)【答案】(A )【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知,212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =⨯=,从而原方程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解xy xe =代入得1c =-.故选(A )(3)【答案】(B )【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质.【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛,即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点,所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1,收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点,发散点.故选(B ).(4)【答案】(B )【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形,所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰,故选(B ) (5)【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,由()(,)3r A r A b =<,故1a =或2a =,同时1d =或2d =.故选(D ) (6)【答案】(A)【解析】由x Py =,故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选(A ) (7)【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂,按概率的基本性质,我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤,从而()()()2P A P B P AB +≤≤,选(C) .(8)【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+-2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅-23221225=++⨯-⨯=,选(D) .(9)【答案】12-【分析】此题考查型未定式极限,可直接用洛必达法则,也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一:2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===-方法二:2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-,则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =,即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F zz xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂,因而(0,1).dzdx =-(12)【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算,可直接计算,也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性,得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面,其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(13)【答案】122n +- 【解析】按第一行展开得1111200212022(1)2(1)220220012n n n n n D D D +----==+--=+-L L LL L221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++L 122n +=-(14)【答案】12【解析】由题设知,~(1,1),~(0,1)X N Y N ,而且X Y 、相互独立,从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. (15)【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一:原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx→⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a aa b k+=-==111,,23a b k ∴=-=-=-法二:()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=21sin cos 1lim13x ab x bx x x kx →++++==因为分子的极限为0,则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==,分子的极限为0,12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==,13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为:()()()000,y f x f x x x '-=-令0y =,得到()()000f x x x f x =-+',故由题意,()()00142f x x x ⋅-=,即()()()000142f x f x f x ⋅=',可以转化为一阶微分方程,即28y y '=,可分离变量得到通解为:118x C y =-+,已知()02y =,得到12C =,因此11182x y =-+;即()84f x x =-+.(17)【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+,故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单,可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数:()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩,得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M====3=.(18)【解析】(I )0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()limh u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=0()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++ ()()()()u x v x u x v x ''=+(II )由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=L121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++L L L L(19)【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩,ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d π2θθ==(20)【答案】 【解析】(I)证明:()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k k k ==≠++ 故123,,βββ为3R 的一个基. (II )由题意知,112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即101010020k k=,得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21)【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ,1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22)【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率,则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰, 从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()(),23,,n =L 为Y 的概率分布; (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生,N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,),N Ge k n p -(,):(注:Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑,则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()(),12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑,2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑,所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--,从而7168E Y S ==()().(23)【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰, 令()E X X =,即12X θ+=,解得$1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量;(II) 似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他, 当1i x θ≤≤时,11111()()nni L θθθ===--∏,则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-(),关于θ单调增加, 所以$12min nX X X θ={,,,}L 为θ的最大似然估计量. 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且(2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( )()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩K ,则( ) (A )0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点 (C )()f x 在0x =处连续但不可导 (D )()f x 在0x =处可导 (5)设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( ) (A )TA 与TB 相似 (B )1A -与1B -相似(C )T A A +与T B B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B )双叶双曲面 (C )椭球面 (C )柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( )(A )p 随着μ的增加而增加 (B )p 随着σ的增加而增加 (C )p 随着μ的增加而减少 (D )p 随着σ的增加而减少(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axxx x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.(17)(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线,计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰,并求()I t 的最小值(18)设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成,∑为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑(19)(本题满分10分)已知函数()f x 可导,且(0)1f =,10'()2f x <<,设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==,证明:(I )级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛;(II )lim n n x →∞存在,且0lim 2n n x →∞<<.(20)(本题满分11分)设矩阵1112221,11112 A a B aa a--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a为何值时,方程AX B=无解、有唯一解、有无穷多解?(21)(本题满分11分)已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(I )求99A(II )设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =,记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

2016年考研数学试题详解及评分参考 郝海龙

2016年考研数学试题详解及评分参考 郝海龙

文章标题:2016年考研数学试题详解及评分参考1. 前言2016年的考研数学试题一直备受广大考生关注,其中,郝海龙老师的详细解析更是备受期待。

本文将从多个角度对2016年考研数学试题进行深入解析,希望对广大考生有所帮助。

2. 郝海龙老师的解析郝海龙老师一直以他深入浅出的风格著称,他的解析不仅涵盖了试题的基本解法,更注重了解题技巧和核心思路的传授。

从他的解析中,我们可以学到很多解题的技巧和方法,从而更好地备战考研数学试题。

3. 试题详解及评分参考(1)选择题部分2016年考研数学试题的选择题部分非常经典,有很多考点值得深入探讨。

郝海龙老师通过他的解析,详细地讲解了每一道选择题的解题思路和解题技巧,为考生提供了很好的参考和学习材料。

(2)解答题部分在解答题部分,2016年的考研数学试题同样涉及了很多经典的数学问题,包括微积分、概率论等。

郝海龙老师对这部分试题的解析也是非常详细和深入的,他不仅讲解了解题思路,还结合了考试评分标准,为考生提供了评分参考。

4. 个人观点和理解作为一名数学老师,我认为2016年的考研数学试题不仅考察了考生的基础知识,更注重了考生的数学思维和解题能力。

而郝海龙老师的解析更是站在了这个角度,他通过详细的解析和评分参考,为考生提供了更全面的备考材料,希望广大考生可以从他的解析中受益良多。

5. 总结通过本文的详细解析,我们不仅对2016年考研数学试题有了更深入的理解,更有了更多的学习方法和解题技巧。

希望广大考生可以在备战考研数学试题的过程中,多多借鉴郝海龙老师的解析,取得更好的成绩。

(以上内容仅为模拟创作,并非真实数据)6. 实例分析接下来,我们可以通过具体的实例来进行分析和扩展。

首先我们选取2016年考研数学试题中的一道选择题和一道解答题,对其进行详细的解析和评分参考。

(1)选择题部分题目:已知函数f(x) = x^2 + 2x + 3,g(x) = 2x - 1,求f(g(x))。

2016考研数学一真题及标准答案解析(完整版)

2016考研数学一真题及标准答案解析(完整版)

2016考研数学(一)真题完整版一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)若反常积分()011b a dx x x +∞+⎰收敛,则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且 (2)已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩,则()f x 的一个原函数是( ) ()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩(3)若()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =( )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )(A)0x =是()f x 的第一类间断点 (B )0x =是()f x 的第二类间断点(C)()f x 在0x =处连续但不可导 (D)()f x 在0x =处可导(5)设A ,B是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是( )(A )T A 与T B 相似 (B)1A -与1B -相似(C )T A A +与T B B +相似 (D )1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )(A )单叶双曲面 (B)双叶双曲面 (C )椭球面 (C)柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则( ) (A)p 随着μ的增加而增加 (B)p 随着σ的增加而增加(C)p 随着μ的增加而减少 (D)p 随着σ的增加而减少(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim 200=-+⎰→x dt t t t x x(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(11)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定,则()_________1,0=dz(12)设函数()21arctan axx x x f +-=,且()10''=f ,则________=a (13)行列式1000100014321λλλλ--=-+____________. (14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题..纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16)(本题满分10分)设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明:反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;。

2016考研数学一真题_答案

2016考研数学一真题_答案

2016考研数学一真题_答案考研数学一是众多考研学子面临的一项重要挑战。

2016 年的考研数学一真题,更是对考生知识掌握程度和解题能力的一次全面检验。

先来看选择题部分。

第 1 题考查了函数的基本性质,需要考生对函数的连续性、可导性有清晰的理解。

比如,给出一个具体函数,判断在某一点处的可导性,这就要求考生能够熟练运用导数的定义和相关定理进行判断。

第 2 题涉及到了极限的计算,可能需要运用到等价无穷小替换、洛必达法则等方法。

第 3 题则是关于导数的应用,比如求函数的极值或者判断函数的单调性。

填空题部分,也涵盖了多个重要的知识点。

像第 9 题,考查了向量的运算,这就需要考生掌握向量的点积、叉积等运算规则。

第 10 题可能是关于曲线积分的计算,需要对相关的计算公式和方法熟练运用。

接下来是解答题。

第 15 题通常是关于一元函数的微积分问题,可能要求计算定积分或者求函数的最值。

这需要考生在计算过程中保持细心,注意积分的上下限以及各种计算法则的正确运用。

第 16 题往往是多元函数的微积分,比如求偏导数或者全微分。

考生需要清楚多元函数的求导法则,以及不同变量之间的关系。

第 17 题可能是关于级数的问题,要求判断级数的收敛性或者求出级数的和。

这需要考生掌握常见的级数判别法,如比较判别法、比值判别法等。

第18 题常常是关于常微分方程的求解,可能是一阶线性微分方程,也可能是二阶常系数线性微分方程。

考生需要熟练掌握相应的求解方法和公式。

第 19 题大概率是关于重积分的计算,包括二重积分和三重积分。

这需要考生理解积分区域的图形,选择合适的积分顺序和坐标系进行计算。

第 20 题可能是关于曲线和曲面积分的综合应用,要求考生能够灵活运用高斯公式、斯托克斯公式等。

第 21 题通常是概率论与数理统计的题目,比如求随机变量的概率分布、数字特征等。

第 22 题则可能是关于参数估计或者假设检验的问题,需要考生熟悉相关的统计方法和公式。

总的来说,2016 年考研数学一真题覆盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个重要的数学分支,题目难度适中,既考查了基础知识的掌握,又对考生的综合运用能力和解题技巧提出了较高的要求。

2016考研数学一真题及答案解析

2016考研数学一真题及答案解析

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.1、若反常积分1(1)a bdx x x +∞+⎰收敛,则(A )1a <且1b >.(B )1a >且1b >.(C )1a <且1a b +>.(D )1a >且1a b +>.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是(A )2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩(B )2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩(C )2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩(D )2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩3、若222(1)1y x x =+-+,222(1)1y x x =+++是微分方程'()()y p x y q x +=的两个解,则()q x =(A )23(1)x x +.(B )23(1)x x -+.(C )21x x +.(D )21xx-+.4、已知函数,0,()111,,1,2,,1x x f x x n nn n≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ 则(A )0x =是()f x 的第一类间断点.(B )0x =是()f x 的第二类间断点.(C )()f x 在0x =处连续但不可导.(D )()f x 在0x =处可导.5、设A ,B 是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是(A )T A 与TB 相似.(B )1A -与1B -相似.(C )TA A +与TB B +相似.(D )1A A -+与1B B -+相似.6、设二次型222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则123(,,)2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为(A )单叶双曲面(B )双叶双曲面(C )椭球面(D )柱面7、设随机变量2~(,)(0)X N μσσ>,记2{}p P X μσ=≤+,则(A )p 随着μ的增加而增加(B )p 随着σ的增加而增加(C )p 随着μ的增加而减少(D )p 随着σ的增加而减少8、随机试验E 有三种两两不相容的结果1A ,2A ,3A ,且三种结果发生的概率均为13,将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为(A )12-(B )13-(C )13(D )12二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上.9、02ln(1sin )lim_______.1cos xx t t t dt x →+=-⎰10、向量场(,,)()A x y z x y z i xyj zk =++++的旋度_______.rotA =11、设函数(,)f u v 可微,(,)z z x y =由方程22(1)(,)x z y x f x z y +-=-确定,则(0,1)|______.dz =12、设函数2()arctan 1xf x x ax=-+,且(0)1f '''=,则a =______.13、行列式100010014321λλλλ--=-+______.14、设12,,,n x x x 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本,样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)已知平面区域{=(,)|22(1cos ),22D r r ππθθθ⎫≤≤+-≤≤⎬⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.16、(本题满分10分)设函数()y x 满足方程20y y ky '''++=,其中01k <<.(1)证明:反常积分()y x dx +∞⎰收敛;(2)若(0)1y =,(0)1y '=,求0()y x dx +∞⎰的值.17、(本题满分10分)设函数(,)f x y 满足2(,)(21)x y f x y x e x-∂=+∂,且(0,)1f y y =+,t L 是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线。

2016考研数学一真题和答案解析

2016考研数学一真题和答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上。

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C )【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】(A )【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知,212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =⨯=,从而原方程变为32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A )(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛,则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】(B )【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。

2015-2017考研数学一真题(答案+解析)

2015-2017考研数学一真题(答案+解析)

历年考研数学一真题2015-2017(答案+解析)2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,其二阶导数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3【详解】对于连续函数的曲线而言,拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点0x =.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的,所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点,所以应该选(C ) 2.设21123()x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解,则(A )321,,a b c =-==- (B )321,,a b c ===- (C )321,,a b c =-== (D )321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=,由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根.如果21r =不是特征方程的实根,则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ,其中()Q x 应该是一个零次多项式,即常数,与条件不符,所以21r =也是特征方程的另外一个实根,这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=,同时*x y xe =是原来方程的一个解,代入可得1c =-应该选(A )3.若级数1nn a∞=∑条件收敛,则33,x x ==依次为级数11()nnn na x ∞=-∑的(A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点(C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛,也就是这个幂级数的收敛为1,即11limn n na a +→∞=,所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+,绝对收敛域为02(,),显然33,x x ==依次为收敛点、发散点,应该选(B )4.设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y x ==所围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则(,)Df x y dxdy =⎰⎰( )(A)1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰(B)1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示,化成极坐标方程:221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D :432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰,所以应该选(B ).5.设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,若集合{}12,Ω=,则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是(A ),a d ∉Ω∉Ω (B ),a d ∉Ω∈Ω(C ),a d ∈Ω∉Ω (D ),a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换:2222111111111111201110111403110012(,)()()B A b ad a d a a d a d a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪==→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ----⎝⎭⎝⎭⎝方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<,也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立,当然应该选(D ). 6.设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-,其中()123,,P e e e =,若()132,,Q e e e =-,则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为(A )2221232y y y -+ (B )2221232y y y +- (C )2221232y y y -- (D ) 2221232y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T T f x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择(A ). 7.若,A B 为任意两个随机事件,则( )(A )()()()P AB P A P B ≤ (B )()()()P AB P A P B ≥ (C )2()()()P A P B P AB +≤ (D )2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择(C ).8.设随机变量,X Y 不相关,且213,,EX EY DX ===,则2(())E X X Y +-=( )(A )3- (B )3 (C ) 5- (D )5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择(D ).二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)9.20ln(cos )lim x x x→= 【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-.10.221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ . 【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数,在对称区间上积分为零,所以22202214sin .cos x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11.若函数(,)z z x y =是由方程2cos z e xyz x x +++=确定,则01(,)|dz = .【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-,则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+且当01,x y ==时,z =,所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -12.设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域,则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰ .【详解】注意在积分区域内,三个变量,,x y z 具有轮换对称性,也就是dxdydz dxdydz dxdydz x y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13.n 阶行列式20021202002212-=- . 【详解】按照第一行展开,得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+,有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==,得11122222()n n n D D -+=+-=-.14.设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ,则{}0P XY Y -<= .【详解】由于相关系数等于零,所以X ,Y 都服从正态分布,1101~(,),~(,)X N Y N ,且相互独立.则101~(,)X N -.{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯= 三、解答题15.(本题满分10分)设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++,3()g x kx=在0x →时为等价无穷小,求常数,,a b k 的取值.【详解】当0x →时,把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式,得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时,(),()f x g x 是等价无穷小,则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩,解得,11123,,.a b k =-=-=-16.(本题满分10分)设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零,若对任意的0x I ∈,曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4,且02()f =,求()f x 的表达式.【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =,得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--=' 整理,得218y y '=,解方程,得118C x y =-,由于02()f =,得12C = 所求曲线方程为84.y x=- 17.(本题满分10分)设函数(,)f x y x y xy =++,曲线223:C x y xy ++=,求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【详解】显然11,f fy x x y∂∂=+=+∂∂. (,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y处的最大方向导数的方向就是梯度方向,最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值.用拉格朗日乘子法求解如下:令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩,得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----,进行比较,可得,在点21,x y ==-或12,x y =-=处,方向导数取到最大,3.=18.(本题满分10分)(1)设函数(),()u x v x 都可导,利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+;(2)设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导,12()()()()n f x u x u x u x =,写出()f x 的求导公式.【详解】(1)证明:设)()(x v x u y=)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆(2)12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 19.(本题满分10分)已知曲线L 的方程为z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩,起点为0()A ,终点为00(,)B ,计算曲线积分2222()()()L y z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰.【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=,终点为00(,)B 对应2t π=-.22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt π==20.(本题满分11分) 设向量组123,,ααα为向量空间3R的一组基,113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++.(1)证明:向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基;(2)当k 为何值时,存在非零向量ξ,使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同,并求出所有的非零向量.ξ【详解】(1)()123123201020201(,,),,k k βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭,因为2012102024021201k k k k ==≠++,且123,,ααα显然线性无关,所以123,,βββ是线性无关的,当然是向量空间3R 的一组基.(2)设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ,则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得:1132231320()()x k x x k ααααα++++=,所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解.从而系数行列式应该等于零,也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k kαααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关,所以10110020k k=,也就是0k =.此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭,由于12,αα线性无关,所以13200x x x +=⎧⎨=⎩,通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭,其中C 为任意常数.所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数. 21.(本题满分11分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭.(1)求,a b 的值;(2)求可逆矩阵P ,使1P AP -为对角矩阵.【详解】(1)因为两个矩阵相似,所以有trA trB =,A B =.也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩. (2)由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--,得A ,B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=,得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则1100010005.P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22.(本题满分11分)设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y 为次数.求Y 的分布函数;(1) 求Y 的概率分布; (2) 求数学期望.EY 【详解】(1)X 进行独立重复的观测,得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k kP Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23.(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数,12,,,n X X X 是来自总体的简单样本.(1)求参数θ的矩估计量;(2)求参数θ的最大似然估计量. 【详解】(1)总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =,解得参数θ的矩估计量:21ˆX θ=-. (2)似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数,为了使似然函数达到最大,只要使θ尽可能大就可以,所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。

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