华中师大一附中2015年高中招生考试数学摸拟试题一(走向华师一)(附详细答案)
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三5月适应性考试数学理试题
华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试数学(理科)试题命题人:吴巨龙 尹友军 审题人:殷希群 2015.5.25本试题卷共4页,共22题,共中15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{, }A a b =,集合{}23, log (3)B a =+,若{0}A B =, 则A B 等于A .{}1,0,3-B .{}2,0,3-C .{}0,3,4D .{}1,0,32.下列说法中不正确...的是 A .随机变量2(3,)N ξσ,若(6)0.3P ξ>=,则(03)0.2P ξ<<=.B .如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的平均数改变,方差不改变.C .对命题p :0x ∃∈R ,使得20010x x -+<,则p ⌝:R ∈∀x ,有210x x -+>.D .命题“在ABC ∆中,若sin sin A B =,则ABC ∆为等腰三角形”的逆否命题为真命题. 3.在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{}n a ,已知212a a =,且样本容量为300,则对应小长方形面积最小的一组的频数为A .20B .40C .30D .无法确定4.把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,且分给同一人的多张票必须连号,那么不同的分法种数为 A .96 B .240 C .48 D .40 5.一个几何体的三视图如图所示,其主(正)视图是一个等边三角 形,则这个几何体的体积为 A .B C . D .6.如图,正方形OABC 的边长为1,记曲线2y x =和直线14y =,1,0x x ==所围成的图形(阴影部分)为Ω,若向正方形OABC 内任意投一点M ,则点M 落在区域Ω内的概率为A .14 B .13C .23D .257.已知a ,b 是平面内夹角为90︒的两个单位向量,若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=,则||c 的最大值为A .1BCD .28.设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩,若z ax y =+的最大值为24a +,最小值为1a +,则实数a 的取值范围为 A .[1,2]- B .[2,1]- C .[3,2]-- D .[3,1]-9.已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线22y px =(0)p >的准线分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2,ABO ∆p 的值为AB. C .2D10.已知函数()11f x mx x x =--+,则关于函数()y f x =的零点情况,下列说法中正确的是 A.当13m -<≤-+()y f x =有且仅有一个零点.B.当3m =-+1m ≤-或1m ≥或0m =时,函数()y f x =有两个零点. C.当30m -+<<或01m <<时,()y f x =有三个零点. D .函数()y f x =最多可能有四个零点.二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分。
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三5月适应性考试数学(文)试题 Word版含答案
华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试数学(文科) 试 题命题人:汪 萍 高显政 审题人:殷希群 2015.5.25 本试卷共4页,共三大题22小题。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4.考生务必保持答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设a 是实数,且211ii a +++是实数,则=a A .1B .21C .23D .22.已知集合}05|{2<-=x x x M ,}6|{<<=x p x N ,}2|{q x x N M <<= ,则q p +等于 A .6B .7C .8D .93.下列说法中不正确...的是 A .若命题0:p x R ∃∈,使得20010x x -+<,则:p x R ⌝∀∈,都有210x x -+≥;B .存在无数个∈βα,R ,使得等式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=-成立;C .命题“在ABC ∆中,若sin sin A B =,则A B =”的逆否命题是真命题;D .“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件.4.在等比数列{}n a 中,公比16,17,1121==+>-m m a a a a q ,且前m 项和31m S =, 则项数m 等于 A .4B .5C .6D .75.已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图像的一个对称中心是)0,3(π,则函数x x x x g 2s i n c o s s i n )(+=λ的图像的一条对称轴是 A .65π=x B .34π=x C .3π=xD .3π-=x6.已知直线34150x y +-=与圆22:25O x y +=交于A 、B 两点,点C 在圆O 上,且8ABC S ∆=,则满足条件的点C 的个数为A .1个B .2个C .3个D .4个7.已知某几何体的三视图如图所示,当xy 取得最大值时, 该几何体的体积为 A .72 B .74C .78D .7168.在平面直角坐标系xOy 中,点),y x M (的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121,已知)1,1(-N ,且OM ON ⋅的最小值为1-,则实数=m A . 0B .2C .5D .69.已知集合)}(|),{(x f y y x M ==,若对于任意实数对M y x ∈),(11,都存在),(22y x M ∈,使得02121=+y y x x 成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①}1|),{(xy y x M ==; ②}log |),{(2x y y x M ==;③}2|),{(-==x e y y x M ;④}1sin |),{(+==x y y x M ,其中是“垂直对点集”的序号是 A .①④ B .②③C .③④D .②④10.已知函数)(x f 满足x e x xf x f x x =+')(2)(2,8)2(2e f =,则当0>x 时,)(x fA .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值,也有极小值D .既无极大值,也无极小值二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分. 11.要从已编号1~360的360件产品中随机抽取30件进行检验,用系统抽样的方法抽出样本.若在抽出的样本中有一个编号为105,则在抽出的样本中最小的编号为__________. 12. 已知,a b 是两个单位向量,且21-=⋅b a ,向量c 与b a +共线,则c a +的最小值为正视图 侧视图俯视图2710xy_______.13.若执行如图所示的程序框图后,输出的结果是29-,则判断框中的整数k 的值是______.14.在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ,则满足90AMB ∠<︒的概率为________.15.已知ln ,0()ln(),0x x f x x x >⎧=⎨--<⎩,若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是__________.16.已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点,抛物线的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于A 、B 两点.若AFB ∆为直角三角形,则双曲线的离心率为__________.17.已知|}2|,2m in{)(-=x x x f ,其中⎩⎨⎧=b a b a },m in{ b a ba >≤,若动直线y m =与函数)(x f y =的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为1x ,2x ,3x . (1)m 的取值范围是________;(2)当321x x x 取最大值时,m =_________.三、解答题:本大题5小题,共65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分12分)已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a , b , c ,且A ,B ,C 成等差数列.(1)若23-=⋅BA CB ,3=b ,求c a +的值;(2)求C A sin sin 2-的取值范围.19.(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =,且137,,a a a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和,若存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立.求实数λ的取值范围.否 是1n = 1S =?n k <23S S =-1n n =+开始 结束 输出S20.(本小题满分13分)在三棱锥P ABC -中,PAB ∆是等边三角形,,PA AC PB BC ⊥⊥. (1)证明:AB PC ⊥; (2)若2PC =,且平面PAC ⊥平面PBC ,求三棱锥P ABC -的体积.21.(本小题满分14分)已知函数x xex f ln )(-=,x a e x g x ln )(1-+=-,其中 71828.2=e ,R a ∈.(1)求)(x f 的零点; (2)求)(x g 的极值;(3)如果s ,t ,r 满足||||r t r s -≤-,那么称s 比t 更靠近r . 当2≥a 且1≥x 时,试比较xe和a e x +-1哪个更靠近x ln ,并说明理由. 22.(本小题满分14分)已知椭圆:22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ,且过点3(1,)2-,右顶点为A ,经过点F 的动直线l 与椭圆交于,B C 两点. (1)求椭圆方程;(2)记AOB ∆和AOC ∆的面积分别为12S S 和,求12||S S -的最大值;(3)在x 轴上是否存在一点T ,使得点B 关于x 轴的对称点落在直线TC 上?若存在,则求出T 点坐标;若不存在,请说明理由.华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试A PCByo xF CA B数学(文) 答案及评分标准华中师大一附中高三年级数学组提供2015.5一、选择题 1-5 ABDBD 6-10 CDCCD 二、填空题11.9 12.2313. 5 14.8-1π15. ()()+∞-,10,1 16. 5 17 .()232,0-;2三、解答题18.解:(1)∵A ,B ,C 成等差数列,∴3π=B ,又∵23-=⋅BA CB ,∴23=⋅BC BA , ∴23cos =B ac ,∴2321=ac ,即3=ac∵3=b ,B ac c a b cos 2222-+=,∴322=-+ac c a ,即33)(2=-+ac c a ∴12)(2=+c a ,32=+c a ………………………………………………6分 (2)C C C C C C C A cos 3sin )sin 21cos 23(2sin )32sin(2sin sin 2=-+=--=-π∵320π<<C ,∴)3,23(cos 3-∈C ∴C A sin sin 2-的取值范围是)3,23(-. ……………………………12分19.解:(1)设{}n a 的公差为d ,由已知得12111545202(2)(6)a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩即121242a d d a d+=⎧⎪⎨=⎪⎩,110,2d d a =⎧≠∴⎨=⎩,故*1()n a n n N =+∈ …………………………5分(2)11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++111111233412n T n n ∴=-+-++-++11222(2)n n n =-=++ ………………………………………………7分 ∵存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立∴存在*n N ∈,使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立即22(2)nn λ≤+有解 ………………………………………………9分max2{}2(2)nn λ∴≤+ 而21142(2)162(4)n n n n=≤+++,2=n 时取等号 116λ∴≤. ………………………………………………12分20.解:(1)在Rt PAC Rt PBC ∆∆和中 2222,AC PC PA BC PC PB =-=-,PA PB AC BC =∴=取AB 中点M ,连结,PM CM ,则,AB PM AB MC ⊥⊥AB ∴⊥平面PMC ,而PC ⊂平面PMCAB PC ∴⊥ ………………………………………………6分 (2)在平面PAC 内作AD PC ⊥,垂足为D ,连结BD∵平面PAC ⊥平面,PBC AD ∴⊥平面PBC ,又BD ⊂平面PBC AD BD ∴⊥,又Rt PAC RtPBC ∆≅,AD BD ABD ∴=∴∆为等腰直角三角形 …………………………………………9分设AB PA PB a ===,则22AD a =在Rt PAC ∆中:由AD PC AC PA ⋅=⋅得a a a 22242⨯=-⋅,解得2a = ………………………………………………11分21)22(21212==⋅=∴∆a BD AD S ABD ∴312213131=⨯⨯=⋅=∆-PC S V ABD ABCP . …………………………………………13分21.解:(1) x x e x f ln )(-=,∴01)('2<--=x xe xf , AP C B MD∴)(x f 在),0(+∞上是减函数,又0)(=e f∴当e x ≤<0时,0)(≥x f ;当e x >时,0)(<x f .∴e x =是)(x f 的唯一零点. ……………………………………………3分(2)∵x a e x g x ln )(1-+=-,∴x e x g x 1)('1-=-,01)("21>+=-xe x g x ∴)('x g 在),0(+∞上为增函数,又0)1('=g ,∴)1,0(∈x 时,0)('<x g ,)(x g 递减,当),1(+∞∈x 时,0)('>x g ,)(x g 递增∴1=x 为)(x g 的极小值点,极小值为1)1(+=a g ,)(x g 无极大值.………………………………………6分 (3)当e x ≤≤1时,a e xex g x f x g x f x --=-=--1)()(|)(||)(| 设a e x e x m x --=-1)(,则0)('12<--=-x e xex m ,∴)(x m 在),1[+∞上为减函数 ∴a e m x m --=≤1)1()(,∵2≥a ,∴0)(<x m , ∴|)(||)(|x g x f <, ∴xe 比a e x +-1更靠近x ln …………………………………9分 当e x >时,a e x a e x xex g x f x g x f x x --<--+-=--=---11ln 2ln 2)()(|)(||)(|设a e x x n x --=-1ln 2)(,则12)('--=x e x x n ,02)("12<--=-x e xx n ∴)(x n '在),(+∞e 上为减函数,∴02)()(1<-='<'-e e ee n x n ,∴)(x n 在),(+∞e 上为减函数,∴02)()(1<--=<-e e a e n x n ,∴|)(||)(|x g x f < ∴xe比a e x +-1更靠近x ln ………………………………………12分 综上,在2≥a ,1≥x 时,xe比a e x +-1更靠近x ln . …………………………14分22.解:(1)由已知得222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为:22143x y += …………………3分 (2)设直线l 方程为:1x my =+联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=设112212(,),(,),(0,0)B x y C x y y y ><,则12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ 当0=m 时,显然021=-S S ;yox12(,)B x y(1,0)F22(,)C x y(,0)T t A当0≠m 时,)(2212212121y y S S -⋅⋅-⋅⋅=-436221+=+=m my y234326436=⋅≤+=mm mm当且仅当m m 43=,即332±=m 时取等号 综合得332±=m 时,21S S -的最大值为23. ……………………………8分 (3)假设在x 轴上存在一点(,0)T t 满足已知条件,则TB TC k k =-即12122112()()0y yy x t y x t x t x t=-⇒-+-=-- 1221(1)(1)0y m y t y m y t ⇒+-++-=12122(1)()0m y y t y y ⇒+-+= 0436)1(439222=+-⋅-++-⋅⇒m mt m m整理得:0)4(=⋅-m t ,m 任意,4=∴t ﹒故存在点(4,0)T 满足条件﹒………………………………………………14分。
【数学】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015届高一上学期期中考试.docx
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2015 届高一上学期期中考试数学试题一.选择题:本大题共12 小题,每小题 5 分,共 60 分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A { 2, 1,0,1,2} , B { x (x 1)(x 2) 0} ,则A B ( )A.{-1,0}B . {0,1}C . {-1,0,1}D . {0,1,2}2. 已知函数 y f x 在 R 上的图像是连续不断的一条曲线, 在用二分法研究函数y f x 的零点时 , 第一次计算得到数据 :f 0.50, f 0 0 ,根据零点的存在性定理知存在零点 x 0, 第二次计算, 以上横线处应填的内容为 ()A . 1, 0 , f 0.25B . 0.5,0 , f 0.75C .1, 0.5 , f0.75D .0.5,0 , f0.253. 设集合 AR ,集合 B { y y 0} ,下列对应关系中是从集合A 到集合B 的映射的是A . xyxB . xy1(x1)2C . xy ( 1)xD . xy( 1) x 1224. 函数 f ( x)1 x )ln( x 的定义域为(1)A .(1,1]B .(1,0) (0,1]C . ( 1,1)D . ( 1, 0) (0,1,)5. 方程 x 2 log 3 x 0 的根所在的区间为()A . (0, 1)B . (1, 2)C . (2, 3)D . (3, 4)6. 函数yx的图像是()1x7.在 y2x,y log2 x , y x2这三个函数中,当0x1x2 1 时,使f (x1x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )恒成立的函数的个数是()22A .3个B . 2 个C. 1 个 D .0个.已知y log a (2ax)在 [0,1] 上是关于x的减函数,则实数 a 的取值范围是8A .(0,1)B .(1, 2)C.(1,2] D .[2,)9.如图所示的 4 个图象中,与所给3 件事吻合最好的顺序(其中s表示离开家的距离, t表示离开家的时间 ) 为()①我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学;②我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;③我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.A.(1)( 2)( 4)B.(4)( 1)( 3)C.( 1)( 2)(3)D.( 4)( 1)( 2)10.若关于x的方程a2 x(1 lg m)a x 10 (a 0 且 a1) 有实数解,则实数m的取值范围是()A .0 m 103或m 10B.0 m10 3C.m10D.0 m 1 1011. 已知函数 f (x) 是定义在 ( ,0) (0, ) 上的奇函数 , 在区间 ( ,0) 单调递增且f ( 1) 0 .若实数 a 满足 f (log 2 a)f (log 1 a) 2 f (1), 则实数 a 的取值范围是 ()2A .[1,2]B . (, 1](1,2]C . (0, 2]D .(0, 1](1,2]2212.已知函数f (x) x 2 2x 2015 x 2 2 x 2015 (xR) 则使方程,f (m 2 3m 2)f (m 1) 成立的整数..m 的个数是A . 3 个B . 4 个C . 5 个D . 无穷多个二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
湖北省华中师范大学第一附属中学中考提前招生提前招生数学模拟试卷
湖北省华中师范大学第一附属中学中考提前招生提前招生数学模拟试卷一、选择题1.下列图像中有关量的变化趋势与对应叙述关系正确的是()A.向一定质量表面生锈的铁片中滴加盐酸至过量 B.向一定质量的稀硫酸中滴加水C.向氢氧化钠和碳酸钠的混合溶液中滴加石灰水至过量 D.加热一定质量的氯酸钾2.现有一包由5.6g铁、7.2g镁、1.0g碳混合而成的粉末,把它加入一定量的CuCl2溶液中。
实验结束后,测得剩余固体中含有三种物质。
则剩余固体的质量不可能是A.26. 2gB.26.6gC.26. 0gD.25. 8g3.固体X可能由氢氧化钠、碳酸钠、氯化钠、硝酸镁、硝酸钡、硫酸钠、硫酸铜中的一种或几种物质组成(提示:以上物质中,只有氢氧化钠和碳酸钠的水溶液显碱性)。
为确定其组成,进行如下实验:①将固体X加入水中充分溶解,得到无色溶液;②测X溶液的pH,pH= 13;③向X的溶液中加入足量的硝酸钡溶液,产生白色沉淀,过滤;④向步骤③所得沉淀中加入足量的稀盐酸,沉淀不溶解;⑤向步骤③所得的滤液中加入过量的稀硝酸,再加入硝酸银溶液,产生白色沉淀。
根据以上实验信息,关于固体X组成的判断有以下几种说法:①不能确定是否有硝酸镁;②硝酸钡、硫酸铜、碳酸钠一定不存在;③硫酸钠和氢氧化钠一定存在;④不能确定是否有氯化钠。
以上说法中正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知反应前后分子变化的微观示意图如下所示,下列说法错误..的是A.反应前后元素种类不变B.A是有机物,C、D是无机物C.点燃前要先检验A的纯度,防止爆炸D.此反应中A和B的化学计量数之比等于1:15.逻辑推理是化学学习中常用的思维方法。
下列推理正确的是A.碱溶液呈碱性,呈碱性的溶液一定是碱溶液B.单质只含一种元素,只含一种元素的纯净物一定是单质C.中和反应生成盐和水,生成盐和水的反应一定是中和反应D.有机化合物都含碳元素,含碳元素的化合物一定是有机化合物6.下图是a、b、c三种物质的溶解度曲线,下列有关叙述正确的( )A.a物质的溶解度大于b物质的溶解度B.降低温度,c物质会从其饱和溶液中析出C.t2℃时30ga物质加入到50g水中不断搅拌,能形成80g溶液。
华中华师大一附中2015年高中招生考试数学模拟试题(走向华师一)(附详细答案)
华师一附中高中提前自主招生考试数学训练题一、选择题1.如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形.︒=∠30ADC , AD = 3,BD = 5,则CD 的长为( ). (A )B )4 (C )(D )4.52. 设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax ,有两个不相等的实数根1x 、2x ,且1x <<12x ,那么实数a 的取值范围是( ) A 、112-<a B 、5272<<-a C 、52>a D 、0112<<-a 3. 如图AC ⊥BC 于C ,BC =a, CA=b, AB=c, ⊙O 与直线AB 、BC 、AC都相切,则⊙O 的半径为( ) A.2a b c +- B. 2b c a +- C. 2a b c ++ D. 2a cb +- 4. 如果a 、b 、c 是非零实数,且a+b+c=0,那么||||||||abc abcc c b b a a +++的所有可能的值为( )A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-25. 如图线段AB,CD 将大长方形分成四个小长方形,其中18S =,26S =,35S =,则4S =( ) A.203 B. 53 C.10 D. 1036. 如图,正方形ABCD 的边1=AB ,和都是以1为半径的圆弧,则无阴影部分的两部分的面积之差是 ( )A 、12-πB 、41π- C 、13-π D 、61π-7. 在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若∠B =60°,则bc ab ac +++的值为( )A. 21B. 22C. 1D.28. .已知a =1999x +2000,b =1999x +2001,c =1999x +2002,则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 39. 如图9-2,点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点,连AF 、CE ,设AF 、CE 交于点G ,则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于 ( )OABC 3题图AS BD1C5题图S 2S 4S 3c ABabDF GHGDCABEFE DCBAA.65 B.54 C.43 D.32 10. 如图,D 、E 在BC 上,F 、G 分别在AC 、AB 上,且四边形DEFG 为正方形.如果S △CFE =S △AGF =1,S △BDG =3,那么 S △ABC 等于 ( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 11. 如果a +b +c =0,1114a b c ++=-,那么222111a b c++的值为 (A)3 (B)8 (C)16 (D) 2012. 如果a 、b 是关于x 的方程(x +c )(x +d )=1的两个根,那么(a +c )(b +c )等于 (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) c 213. .如图,Rt △ABC 的斜边BC=4,∠ABC=30°,以AB 、AC 为直径分别作圆. 则这两圆的公共部分面积为( ) (A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π (D) 332-π14. 如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根,则实数a 的取值范围是( ) A 、22<<-a B 、23≤<a C 、23≤<-a D 、23≤≤-a 15. 如图,已知:点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点,DF BD 、分别交CE 于点H G 、,若正方形ABCD 的面积是240, 则四边形BFHG 的面积等于……………………( ) A 、26 B 、28 C 、24 D 、316. 有四位同学参加一场竞赛.竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分;选乙题答对得90分,答错得-90分.若四位同学的总分为0,则这四位同学不同得分情况的种数是( ) .(A)18 (B) 24 (C)36 (D)4817. 如图,△ABC 中,D 是AB 的中点,E 在AC 上,且∠AED =90°+21∠C ,则BC+2AE 等于( B ) A .AB B .ACC .23AB D .23AC 二、填空题1. 如果a ,b ,c 是正数,且满足, 那么的值为 .2. 如图,正方形ABCD 的边长为2,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB 分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 . 3 已知12x x ,为方程2420xx ++=的两实根,则3121455x x ++=GFE D CBA4. 在△ABC 中,AC=2011,BC=2010,20112010+=AB 则=•C A cos sin5 如果有2007名学生排成一列,按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数,那么第2007名学生所报的数是 . 6. 两个反比例函数x y 3=,x y 6=在第一象限内的图象点1P 、2P 、3P 、…、2007P 在反比例函数xy 6=上,它们的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、…、2007x ,纵坐标分别是1、3、5…共2007个连续奇数,过1P 、2P 、3P 、…、2007P 分别作y 轴的平行线,与xy 3=的图象交点依次为)','(111y x Q 、)','(222y x Q 、…、),('2007'20072007y x Q , 则=20072007Q P7. 已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11,将其中不同的三个数组成三数组,比如(3、5、7)、(5、9、11)……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长8. 如图,直线x y 33=,点1A 坐标为(1,0),过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ,以原点O 为圆心,1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ;再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ,以原点O 为圆心,2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ,…,按此做法进行下去,点4A 的坐标为( , );点n A ( , ).9. 在一个口袋中有4个完全相同的小球, 把它们分别标号为 1, 2,3,4,随机地摸出一个小球然后放回,再随机地摸出一个小球。
2015年中考第一次模拟考试数学试卷附答案
九年级数学试卷 第1页(共 10 页)2015年中考第一次模拟考试数学试卷注意事项:1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上,答在本试卷上无效.2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合,再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.3.答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置,在其他位置答题一律无效.4.作图必须用2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡...相应位置....上) 1.计算231⎪⎭⎫⎝⎛-•a a 的结果是( ▲ )A .aB .5aC .6aD .4a 2.下列无理数中,在-1与2之间的是( ▲ )A .3-B .2-C .2D .53.实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,则下列各式正确的是( ▲ )A . a >bB . a >-bC .-a >b4.如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,且DE //BC ,若S △ADE :S △ABC =4:9,则AD :AB =( ▲ )A .1∶2B .2∶3C .1∶3D .4∶95.一元二次方程2x 2-3x -5=0的两个实数根分别为1x 、2x ,则1x +2x 的值为( ▲ ) A .25 B .-25C .-32D .326.如图,在平面直角坐标系中,⊙M 与y 轴相切于原点O ,平行 于x 轴的直线交⊙M 于P ,Q 两点,点P 在点Q 的右方,若点P 的坐标是(-1,2),则点Q 的坐标是( ▲ ) A .(-4,2) B .(-4.5,2) C .(-5,2) D .(-5.5,2) 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置.......上) ab(第3题) B九年级数学试卷 第2页(共 10 页)7.3-的倒数是 ▲ ;3-的相反数是▲.8.分解因式:29x y y -= ▲ ;计算:=-+⎪⎭⎫⎝⎛--12313312▲ .9.2015年3月1日傅家边梅花节在南京溧水区举办,截止4月1日约有53000名游客前来欣赏梅花.将53000用科学计数法表示为 ▲ . 10.使式子1+x +1有意义的x 的取值范围是 ▲ .11.2015年南京3月份某周7天的最低气温分别是 -1℃,2℃, 3℃,2℃ ,0℃, -1℃,2℃.则这7天最低气温的众数是 ▲ ℃,中位数是 ▲ ℃. 12.反比例函数xky -=1与x y 2=的图象没有交点,则k 的取值范围为 ▲ . 13.圆锥的底面直径是6,母线长为5,则圆锥侧面展开图的圆心角是 ▲ 度.14.如图,AB 为O ⊙的直径,CD 为O ⊙的弦,25ACD =o∠,则BAD ∠的度数为 ▲ °.15.如图,正六边形ABCDEF 的边长为2 3 cm ,点P 为六边形内任一点.则点P 到各边距离之和为 ▲ cm .16.现有一张边长大于4cm 的正方形纸片,如图从距离正方形的四个顶点2cm 处,沿45°角画线,将正方形纸片分成5部分,则中间一块阴影部分的面积为 ▲ cm 2. 三、解答题(本大题共11小题,共88分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5+3x >18,x 3≤4-x -22. 并写出不等式组的整数解.18.(6分)化简232224a a a a a a ⎛⎫-÷⎪+--⎝⎭ 19.(8分)如图,在□ABCD 中,∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ,∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F .(第15题)(第14题)(第16题)九年级数学试卷 第3页(共 10 页)(1)求证:△ABE ≌△CDF ;(2)若AB =DB ,求证:四边形DFBE 是矩形.20.(8分)某鞋店有A 、B 、C 、D 四款运动鞋,元旦期间搞“买一送一”促销活动,求下列事件的概率:(1)小明确定购买A 款运动鞋,再从其余三款鞋中随机选取一款,恰好选中C 款; (2)随机选取两款不同的运动鞋,恰好选中A 、C 两款.21.(8分)为了解某校初二学生每周上网的时间,两位学生进行了抽样调查.小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间;小杰从全校400名初二学生中随机抽取了40名学生,调查了每周上网的时间.小丽与小杰整理各自样本数据,如下表所示.时间段 (小时/周)小丽抽样 人数小杰抽样 人数0~1 6 22 1~2 10 10 2~3 16 6 3~482(每组可含最低值,不含最高值)(1)你认为哪位同学抽取的样本不合理?请说明理由.(2)根据合理抽取的样本,把上图中的频数分布直方图补画完整;(3)专家建议每周上网2小时以上(含2小时)的同学应适当减少上网的时间,估计该校全体初二学生中有多少名同学应适当减少上网的时间?22.(8分)如图,跷跷板AB 的一端B 碰到地面时,AB 与地面的夹角为18°,且OA =OB =3m .ABC ADEF(第19题)九年级数学试卷 第4页(共 10 页)(1)求此时另一端A 离地面的距离(精确到0.1 m );(2)跷动AB ,使端点A 碰到地面,请画出点A 运动的路线(写出画法,并保留画图痕迹),并求出点A 运动路线的长.(参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)23.(8分)如图所示,某工人师傅要在一个面积为15m 2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面,且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m .求裁剪后剩下的阴影部分的面积.24.(8分)二次函数y =2x 2+bx +c 的图象经过点(2,1),(0,1). (1)求该二次函数的表达式及函数图象的顶点坐标和对称轴;(2)若点P 12,3(y a +),Q 22,4(y a +)在抛物线上,试判断y 1与y 2的大小.(写出判断的理由)25.(8分)如图①,一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地,B 、C 两地相距 150 千米,甲汽车从B 地乙汽车从C 地同时出发,沿公路匀速相向而行,分别驶往C 、B 两地.甲、乙ABO(第22题)18º九年级数学试卷 第5页(共 10 页)两车到A 地的距离y 1、y 2(千米)与行驶时间 x (时)的关系如图②所示.根据图象进行以下探究:(1)请在图①中标出 A 地的位置,并作简要的文字说明; (2)求图②中M 点的坐标,并解释该点的实际意义. (3)在图②中补全甲车的函数图象,求y 1与x 的函数关系式.26.(9分)已知,Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4, BC =3.以AC 上一点O 为圆心的⊙O 与BC 相切于点C ,与AC 相交于点D .(1)如图1,若⊙O 与AB 相切于点E ,求⊙O 的半径; (2)如图2,若⊙O 与AB 相交,且在AB 边上截得的弦FG=5,求⊙O 的半径.27.(11分)问题提出y (千米)x (时)乙甲图②图①B图1图2九年级数学试卷 第6页(共 10 页)把多边形的任一边向两方延长,如果其它各边都在延长线的同一旁,则这样的多边形为凸多边形.如平行四边形、梯形等都是凸多边形.我们教材中所说的多边形如没作特别说明,一般都是指凸多边形.把多边形的某些边向两方延长,其他各边有不在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凹多边形.凹多边形会有哪些性质呢? 初步认识如图(1),四边形ABCD 中,延长BC 到M ,则边AB 、CD 分别在直线BM 的两旁,所以四边形ABCD 就是一个凹四边形.请你画一个凹五边形.(不要说明)性质探究请你完成凹四边形一个性质的证明:如图(2),在凹四边形ABCD 中,求证:∠BCD =∠A +∠B +∠D . 类比学习我们以前曾研究过凸四边形的中点四边形问题,如图(3),在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,则四边形EFGH 是平行四边形.当四边形ABCD 满足一定条件时,四边形EFGH 还可能是矩形、菱形或正方形.如图(4),在凹四边形ABCD 中,AB =AD ,CB =CD ,E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,请判断四边形EFGH 的形状,并证明你的结论. 拓展延伸如图(5),在凹四边形ABCD 的边上求作一点P ,使得∠BPD =∠A +∠B +∠D .(不写作法、证明,保留作图痕迹)A BCMD(图1)A BCD(图2)A BCDEFG H(图3)(图4)EABC DFGH ABCD(图5)九年级数学试卷 第7页(共 10 页)2014~2015学年度第一次调研测试数学答案一、选择题(本大题共有6小题,每小题2分,共计12分.)1.A 2. C 3.C 4.B 5.D 6.A 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共计20分.)7.31-,3 8.()()33-+x x y ,39- ; 9.5.3×104 ; 10.x ≥-1 ; 11.2,2; 12.k >1 ; 13.216; 14.65; 15.18 ; 16.8.三、解答题(本大题共11小题,共计88分.)17.解: 解不等式①,得x >133;…………………………2分解不等式②,得x ≤6. …………………………4分 所以原不等式组的解集为133<x ≤6.…………………5分它的整数解为5,6. …………………………………6分 18.解法1:原式=()()()()22222223-+÷⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-a a a a a a a a a ………………2分 =()()()()aa a a a aa 22222822-+⨯-+-……………………………4分 = 4-a ………………………………………………………6分解法2:原式=()()222223-+÷⎪⎭⎫⎝⎛--+a a a a a a a ………………1分 =()()a a a a a a a222223-+⨯⎪⎭⎫⎝⎛--+………………2分 =()()221223+--a a …………………………4分 = 4-a ……………………………………………6分19.证明:(1)在□ABCD 中,AB =CD ,∠A =∠C .………………1分∵AB ∥CD ,∴∠ABD =∠CDB . ∵BE 平分∠ABD ,DF 平分∠CDB ,∴∠ABE =12∠ABD ,∠CDF =12∠CDB .∴∠ABE =∠CDF .………………………………………3分 在△ABE 和△CDF 中,∵∠A =∠C ,AB =CD ,∠ABE =∠CDF ,∴△ABE ≌△CDF . ………………………………………4分 (2)解法1:∵□ABCD 中,∴AD ∥BC ,AD =BC∵△ABE ≌△CDF . ∴AE =CF九年级数学试卷 第8页(共 10 页)∴DE =BF ,DE ∥BF∴四边形DFBE 是平行四边形…………………………………………6分 ∵AB =DB ,BE 平分∠ABD ,∴BE ⊥AD ,即∠DEB =90°.………7分 ∴四边形DFBE 是矩形. …………………………………………8分解法2:∵AB =DB ,BE 平分∠ABD ,∴BE ⊥AD ,即∠DEB =90°. ………5分∵AB =DB ,AB =CD ,∴DB =CD .∵DF 平分∠CDB ,∴DF ⊥BC ,即∠BFD =90°.……………………6分 在□ABCD 中,∵AD ∥BC ,∴∠EDF +∠DEB =180°.∴∠EDF =90°. ………………………………………………………7分 ∴四边形DFBE 是矩形. …………………………………………8分20. (1)因为选种B 、C 、D 三款运动鞋是等可能,所以选中C 款的概率是31…3分 (2)画树状图或列表正确……………………………………………………………6分 (只有部分正确给4分)因为选中(A B )、(A C )、(A D )、(B C )、(B D )、(C D )是等可能所以选中是(A C )的概率是61…………………………………………8分 21. (1)小丽;因为她没有从全校初二学生中随机进行抽查,不具有代表性.……3分(2)直方图正确. …………………………………………………………………5分 (4)该校全体初二学生中有80名同学应适当减少上网的时间 …………………8分 22.解:(1)过点A 作地面的垂线,垂足为C .…………………………1分在Rt △ABC 中,∠ABC =18°,∴AC =AB ·sin ∠ABC …………………………2分=6·sin18°≈6×0.31≈1.9. ………………………3分答:另一端A 离地面的距离约为1.9 m . …………4分 (2)画图正确;画法各1分…………………………6分画法:以点O 为圆心,OA 长为半径画弧,交地面于点D ,则⌒AD 就是端点A 运动的路线.端点A 运动路线的长为2×18×π×3180=3π5(m ).(公式正确1分)答:端点A 运动路线的长为3π5m .……………8分 23.解:设大正方形的边长x m ,则小正方形的边长为(x -1)m .……1分 根据题意得:x (2x -1)=15………………………………………………4分 解得:x 1=3,x 2=25(不合题意舍去) ……………………6分 小正方形的边长为(x -1)=3-1=2 ……………………7分裁剪后剩下的阴影部分的面积=15-22-32=2(m 2)答:裁剪后剩下的阴影部分的面积2m 2…………………………………8分 24.解:(1)根据题意,得8+2b +c =1且c =1,解得b =-4,所以该二次函数的表达式是y =2x 2-4x +1. …………2分AB O 18º C九年级数学试卷 第9页(共 10 页)将y =2x 2-4x +1配方得y =2(x -1)2 -1, ………………………3分 所以该二次函数图象的顶点坐标为(1,-1), ………………4分 对称轴为过点(1,-1)平行于y 轴的直线; ………………………5分 (或:对称轴为直线x=1)(2)∵4+a 2>3+a 2>1,……………………………………………………………6分∴P 、Q 都在对称轴的右边,………………………………………………7分 又∵2>0,函数的图象开口向上,在对称轴的右边y 随x 的增大而增大, ∴y 1<y 2(如直接代入计算出y 1与y 2,并比较大小正确参照给分)……8分 25.解: ⑴A 地位置如图所示.使点A 满足AB ∶AC =2∶3 . ……………… 2分(图大致正确1分,文字说明1分) ⑵乙车的速度150÷2=75千米/时,9075 1.2÷=,∴M (1.2,0) …………………3分 所以点 M 表示乙车 1.2 小时到达 A 地.… 4分 ⑶甲车的函数图象如图所示. ………… 6分当01x ≤≤时,16060y x =-+;…………7分当1 2.5x <≤时,16060y x =-. …………8分26.解:(1)连接OE ,因为⊙O 与AB 相切于点E ,所以OE ⊥AB设OE =x ,则CO =x ,AO =4-x 由Rt △AO E ∽Rt △ABC ,得ABAOBC OE =∴543x x -=,解得:x =23 ∴⊙O 的半径为23………………………………4分(2)过点O 作OH ⊥AB ,垂足为点H ,……………5分则H 为FG 的中点,FH=21FG =531……6分连接OF ,设OF =x ,则OA =4-x 由Rt △AOH ∽Rt △ABC 可得OH =5312x- 在Rt △OHF 中,据勾股定理得:OF 2=FH ∴x 2=(531)2+(5312x -)2……………8解得 x 1=74, x 2=254- (舍去) 图2 图1E九年级数学试卷 第10页(共 10 页)∴⊙O 的半径为74.…………………9分 27.答:初步认识:如图(图形正确即可…………………1分 性质探究:延长BC 交AD 于点E ∵∠BCD 是△CDE 的外角∴∠BCD =∠CED +∠D ……………………………………2分 同理,∠CED 是△ABE 的外角∴∠CED =∠A +∠B ………………………………………3分 ∴∠BCD =∠A +∠B +∠D …………………………………4分 (说明:连接AC ,利用外角来说明也可) 类比学习:证明:四边形EFGH 是矩形………………………………5分 连接AC ,BD ,交EH 于点M∵E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点 ∴EF =HG =AC 21,E F ∥HG ∥AC ∴四边形EFGH 是平行四边形,…………………………6分 ∵AB=AD ,BC=DC ,∴A 、C 在BD 的垂直平分线上,∴AM ⊥EH ,………………………………………………7分 已证E F ∥AC ,同理可证FG ∥BD ,∴∠EFG =90°∴□EFGH 是矩形 ………………………………………8分证明二:∵AB =AD ,CB =CD ,∴∠ABD =∠ADB ,∠CBD =∠∴∠ABC =∠ADC ,∴△ABC ≌△ADC 。
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学自主招生考试数学试题-word版含解析知识讲解
华师一附中2015年高中招生考试数学测试题详解考试时间:80分钟 卷面满分:150分一.选择题(6分×6=36分)1,如果实数,,a b c 在数轴上的位置如图所示,2222a a b c ac a +-+可以化简为....A a b c B a b cC a b cD a b c--+-----+-【解析】由图知0b c a <<<,()222,2a a a a b a b c ac a c a a c ==-+=-+-+=-=-2222a a b c ac a +-+()()a a b a c a b c =-+++-=+-,选D .2.反比例函数4y x =-的图象与直线y kx b =-+交于()()1,,,1A m B n -两点,则△OAB 的面积为111513..4..222A B C D 【解析】(补形)()4.1,:-4,4;xy A m m m =--=-∴=Q 代入(),1:4B n n =-代入.故有A (-1,4),B (-4,1).作AE ⊥y 轴于E ,BD ⊥x 轴于D .可知: △AOE ≌△BOD .且11422AOE BOD S S ∆∆==⨯⨯=. 延长EA ,DB 交于C ,则四边形CDOE 是边长为4的正方形,且2416,CDOE S ==W △ABC 是腰长为3的等腰直角三角形,且219322ABC S ∆=⨯=.于是△OAB 的面积为915162222ABC S ∆=-⨯-= 3.设12,x x 是一元二次方程230x x +-=的两根,则3212415x x -+等于A.-4B.8C.6D.0【解析】(降次)由韦达定理:221212112211.3,3x x x x x x x x +=-⇒=--+=+=Q()()()2322212111111141534115341215x x x x x x x x x ∴-+=----+=--+++()2115344x x =-+--=-,故选A .4.已知,,ABC a b c ∆分别是的三边长,且满足44422222222a b c a c b c ++-+,则△ABC 是A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形注:原题条件不完整(是代数式而不是条件等式),故无法解出.为试卷完整起见,将原题条件调整为:已知,,ABC a b c ∆分别是的三边长,且满足444222222220a b c a c b c ++--=,则△ABC 是⋯.【解析】由条件得: 4442222442440,a b c a c b c ++--=()()222222222222220,22,a cbcc a b a b a b c -+-=∴===+=即或且.故△ABC 是等腰直角三角形,选B .5.在一节3数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40mm 的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板的 最小直径为(单位:mm )210.2517.100A B C D【解析】当3个正方形按如图排列时,其外接圆直径最小.显然,这个圆是等腰梯形ABCD 的外接圆O ,这里AB ∥CD 且CD =40,AB =80.设此等腰梯形的对称轴交AB 于M ,交CD 于N ,则MN =80. ∵AB >CD ,∴OM <ON .设OM =40-x ,ON =40+x ,圆半径为r . △AOM 中,()()22240401r x =+- △DON 中,()()22220402r x =++(1)-(2):1512001600,2x x -=∴=,代入(2)29025106256251725400,17.4442r r ⨯=+==∴= 故所求最小圆的直径为2257r =故选C .6.如图,△ABC 内接于圆O ,BC =36,∠A =60°,点D 为»BC 上一动点,BE ⊥直线OD 于E ,当点D 由B 点沿»BC运动到点C 时,点E 经过的路线长为 3.83.273.54A B C D ππ【解析】(轨迹法)如解图,连结OB ,分别在»BC 上取123,,,,,B D D D C 其中2OD BC ⊥,则相应的动点 依次为123,,,,.B E E E N12390BE O BE O BE O BNO ∠=∠=∠=∠=︒Q .故点E 的轨迹是OB为直径的优弧¼2BE N . 已知BC =36,∴2218.BE BOE =∆是含30°角的直角三角形,∴123OB =.设M 为OB 的中点(优弧圆心),连MN .则圆M 的半径MB =63注意到∠BOC =120°,∴∠BON =60°,∠BMN =120°, 优弧¼2BE N 之长为圆M 周长的¼222,26383.33BE Nl ππ∴=⨯⋅=,故选B . 二.填空题(7×7=49分)7.方程()31641x x x +=+的所有根的和为【解析1】3244160x x x --+=.根据广义韦达定理,此方程3根之和为4. 即123,1,4b x x x a b a ⎛⎫++=-==- ⎪⎝⎭这里 【解析2】由原方程得:()()()124220,4,2,x x x x x -+-=∴==-31232.4x x x x =++=.8.在5瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,随机地从这5瓶饮料中取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为【解析】(正繁则反)由于从这5瓶饮料中任取2瓶,没有过期饮料的概率为3,5故取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为32155-= 9.关于x 的方程211aa x =--无解,则a 的值是【解析】由原方程得:()()()2111a a x =--关于x 的方程(1)只有唯一解1x =,代入(1)得0a =,此时原方程无解; 又在方程(1)中令1,a =得0a =.矛盾.此时方程(1)无解,从而原方程无解. 故若原方程无解,则必01a =或.10.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶,1小时后,快车司机发现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回拿上文件(取文件时间不计)后再从甲地开往乙地,结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶速度为x (h ),两车之间的距离为y (km ),y 与x 的函数图象如图所示,则a =【解析】慢车12.5小时走完全程,()12.5100080x x km =⇒=设快车速度为t (h ) ∵1小时后两车相距800km ,即 1小时两车共行200km ,∴t =120km (h )∵a 小时后两车相遇,此时慢车走80akm ,快车走120(a -1)km ,故有:()()80120110002001120, 5.6a a a a h +-=⇒=∴=11.已知24,13,234a x y x ax ≥≤≤=-+当时函数的最小值为-23,则a =【解析】原式配方得:2392448y x a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,抛物线开口向上且对称轴为34x a =.当34,34a a ≥≥时,故当13x ≤≤时,y 随x 增大而减小.故当x =3时有:22333423945, 5.a a a ⨯-⋅+=-⇒=∴=12.如图,在单位为1的正方形的网格纸上,123345567A A A ,A A A ,A A A ,,∆∆∆L 都是斜边在x 轴上,且斜边长分别为2,4,6,⋯的等腰直角三角形.若123A A A ∆的顶点分别为()()()123A 2,0,A 1,-1,A 0,0,则依图中的规律,2015A 的坐标为【解析】注意到点13521,,,,n A A A A +L 全在x 轴上,设其横坐标依次为1352015,,,,x x x x L ..继续分析.点41A n +都在原点右边,其横坐标取正值,点41A n -都在原点左边(其中3A 为原点),其横坐标取0或负值(其中仅3A 横坐标为0).∵2015=4×504-1,故2015A 必在原点左边,其横坐标必为负值.易求()()34117421114310,021,0224,x x x x x x ⨯-⨯-⨯-====+-⨯==+-⨯=-L()201545041025031006x x ⨯-==+-⨯=-,故所求点A 的坐标为:()20151006,0A -.13.有一张矩形风景画,长为90cm ,宽为60cm ,现对该风景画进行装裱,得到一个新的矩形,要求其长,宽之比与原风景画的长,宽之比相同,且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的上,下边衬的宽都为a cm ,左,右边衬都为b cm ,那么ab =【解析】依题意有:9029032360260222a ab b +==⇒=+(据等比定理)故()231a b=又:()()1449026029060100a b ++=⨯⨯()120180454442a b ab ⇒++=⨯(1)代入(2):2260318065444603960.b b b b b ⋅++=⨯⇒+-=解得:()666b b ==-或舍,从而9,54a ab =∴=.三.解答题14.(14分)已知m ,n 是方程2310x x ++=的两根, (1)求162102553m m m m m-⎛⎫+-⋅- ⎪--⎝⎭的值; (233m n n m的值 【解析】(1)∵2310,m m ++=故()()()()551625162102255353m m m m m m m m m m m +-+--⎛⎫+-⋅-=⋅- ⎪-----⎝⎭ ()()2229223123203m m m m m m m m-++=--=-+-=-⋅=-. (2)m ,n 是方程2310x x ++=的两根,31m n mn +=-⎧∴⎨=⎩设33m n x n m =则33334422222m n m n m n x m n n m n m mn +=++⋅=+()()()2222222221,2229249mn x m nm n m n mn ⎡⎤=∴=+-+=+-=-=⎣⎦Q7,x ∴=即33m n n m15.(15分)如图,△ABC 中,AC =BC ,I 为△ABC 的内心,O 为BC 上一点,过B ,I 两点的圆O 交BC 于D 点,1tan ,6,3CBI AB ∠== (1)求线段BD 的长; (2)求线段BC 的长【解析】(1)如解图,I 为△ABC 内心,故BI 平分 ∠ABC .设∠ABI =∠CBI =α.连CI ,并延长交AB 于E ,∵CA =CB ,∴CE ⊥AB ,且 AE =BE =3.于是221IE=BE tan 31,31103BI α⋅=⨯==+=连DI ,∵BD 为圆O 的直径,∴∠BID =90°.于是101010tan 10393DI BI BD α=⋅==+=. (2)连OI ,∵OI =OB =53,∴∠DOI =2α,故OI ∥AB , △COI ∽△CBE ,5533,539353OI CO CO COBE CB CO CO =⇒=⇒=++2525515,121234CO BC ∴==+=.16.(18分)如图,四边形ABCD中,AD ∥BC ,∠BCD =90°,AD =6,BC =3,DE ⊥AB 于E ,AC 交DE 于F ,(1)求AE ·AB 的值; (2)若CD =4,求AFFC的值; (3)若CD =6,过A 点作 AM ∥CD ,交CE 的延长线于M , 求MEEC的值. 【解析】(1)如解图1,作AG ∥BC ,交 CB 延长线于G ,则四边形AGCD 为矩形. ∴GC =AD =6,但BC =3,∴GB =3.已知DE ⊥AB 于E ,∴△AGB ∽△DEA . 于是18.AB BGAB AE AD BG AD AE=⇒⋅=⋅= (2)延长AB ,DC 交于H .∵AD ∥BC ,且AD =2BC ,∴BC 为△AHD 的中位线,故 CH =DC =4.由勾股定理知AH =10,AB =BH =5.沿DE ,CB 交于T ,有△AED ∽△BTE .Rt △ADH 中,DE ⊥AH ,23618,105AD AE AH ∴=== 187555BE AB AE =-=-=.于是 775,186185BT BE BT AD AE =⇒==7716,3333BT CT ∴==+=由△AFD ∽△CFT ,知69168AF AD FC CT ===. (3)如解图3有35,AB BH ==6565555AE EH ==∴== ∵△AEM ∽△HEC ,651.2445ME AE EC EH ∴=== 17.(18分)二次函数242y x mx n =-+的图象与x 轴交于()()()1212,0,,A x B x o x x <两点,与y 轴交于c 点.(1)若AB =2,且抛物线的顶点在直线y =-x -2上,试确定m ,n 的值;(2)在(1)中,若点P 为直线BC 下方抛物线上一点,当△PBC 的面积最大时,求P 点坐标;(3)是否存在整数m ,n ,使得1212,12,x x <<<<同时成立?请证明你的结论. 【解析】(1)()2212121AB=2244x x x x x x ⇒-=⇒+-=.由韦达定理:121224m x x n x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故有:()2414m n -=抛物线的顶点为24,44m n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入y =-x -2:()2242224444n m m m mn -=--⇒=--代入(1): 20,8,4mm -=∴=从而12n =. (2)在(1)的条件下,有:241612y x x =-+此抛物线的顶点为(2,-4),交x 轴于A (1,0),B (3,0),交y 轴于C (0,12)易求直线BC 的解析式为412y x =-+.为使△PBC 面积最大,只需点P 与直线BC 距离最远.设过P 且平行于BC 的直线解析式为4y x b =-+,代入抛物线解析式;22416124412120.x x x b x x b -+=-+⇒-+-=()14416120912,3b b b ∆=--=⇒=-∴=令.此时有33,43 3.22x y ==-⨯+=-即所求点的坐标为3,32P ⎛⎫-⎪⎝⎭. (3)(反证法)假如存在这样的整数m ,n ,使得方程2420x mx n -+=之2根满足121,2x x <<.那么:()122<<4,4<8,,5,6,7;12mx x m m m +=∴<∴=为整数()121<<4,416,,5,6,7,,15;24nx x n n n =∴<<∴=L 为整数()224160,34m m n n ∆=->∴<方程之2根为:x ==由()221481642444m m m m m n n m >⇒->-+>-⇒>-由()2228464164165m m n m m n m <⇒<-⇒-<-+⇒>-当m =5时,2m -4=6>4m -16=4,根据(3),(4),取2m -4<24m n <,即1664n <<,无整数解,舍去;当m =6时, 2m -4=8=4m -16, 根据(3),(4),取2m -4<24m n <,即89,n <<无整数解,舍去;当m =7时, 2m -4=10<4m -16=12. 根据(5),(4),取2416,4m m n -<<即112124n <<无整数解,舍去.据上分析,不存在整数m ,n ,使得1212,12,x x <<<<同时成立.。
湖北省武汉市华中师大一附中高考数学5月适应性试卷 文
湖北省武汉市华中师大一附中2015届高考数学适应性试卷(文科)(5月份)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1 C.D.22.(5分)已知集合M={x|x2﹣5x<0},N={x|p<x<6},若M∩N={|2<x<q},则p+q等于()A.6 B.7 C.8 D.93.(5分)下列说法中不正确的是()A.若命题p:∃x0∈R,使得x02﹣x0+1<0,则¬p:∀x∈R,都有x2﹣x+1≥0.B.存在无数个α、β∈R,使得等式sin(α﹣β)=sinαcosβ+cosαsinβ成立C.命题“在△ABC中,若sinA=sinB,则A=B”的逆否命题是真命题D.“p∧q为真”是“p∨q为真”的必要不充分条件4.(5分)在等比数列{a n}中,公比q>1,a1+a m=17,a2a m﹣1=16,前m项和S m=31,则项数m等于()A.4 B.5 C.6 D.75.(5分)已知函数f(x)=sinx+λcos x的图象的一个对称中心是点(,0),则函数g(x)=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线()A.x=B.x=C.x=D.x=﹣6.(5分)已知直线3x+4y﹣15=0与圆x2+y2=25交于A、B两点,点C在圆O上,且S△ABC=8,则满足条件的点C的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个7.(5分)某几何体的三视图如图所示,当xy最大时,该几何体的体积为()A.2B.4C.8D.168.(5分)在平面直角坐标系xoy中,点M(x,y)的坐标满足不等式组,已知N(1,﹣1)且•的最小值为﹣1,则实数m=()A.0 B.2 C.5 D.69.(5分)已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1,y1)∈M,都存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={(x,y)|y=};②M={(x,y)|y=log2x};③M={(x,y)|y=e x﹣2};④M={(x,y)|y=sinx+1};其中是“垂直对点集”的序号是()A.①④B.②③C.③④D.②④10.(5分)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.11.(5分)要从已编号1~360的360件产品中随机抽取30件进行检验,用系统抽样的方法抽出样本.若在抽出的样本中有一个编号为105,则在抽出的样本中最小的编号为.12.(5分)已知向量为单位向量,且=﹣,向量与+共线,则|+|的最小值为.13.(5分)若执行如图所示的程序框图后,输出的结果是﹣29,则判断框中的整数k的值是.14.(5分)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M,则满足∠AMB<90°的概率为.15.(5分)已知f(x)=,若f(a)>f(﹣a),则实数a的取值范围是.16.(5分)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,抛物线的准线与双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A、B两点.若△AFB为直角三角形,则双曲线的离心率为.17.(5分)已知f(x)=min{2,|x﹣2|},其中min{a,b}=,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3.(1)m的取值范围是;(2)当x1x2x3取最大值时,m=.三、解答题:本大题5小题,共65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列.(1)若=﹣,b=,求a+c的值;(2)求2sinA﹣sinC的取值范围.19.(12分)已知各项均不相等的等差数列{a n}的前五项和S5=20,且a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n为数列{}的前n项和,若存在n∈N*,使得T n﹣λa n+1≥0成立.求实数λ的取值范围.20.(13分)在三棱锥P﹣ABC中,△PAB是等边三角形,PA⊥AC,PB⊥BC.(1)证明:AB⊥PC;(2)若PC=2,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P﹣ABC的体积.21.(14分)已知函数f(x)=﹣lnx,g(x)=e x﹣1+a﹣lnx,其中e=2.71828…,a∈R.(1)求f(x)的零点;(2)求g(x)的极值;(3)如果s,t,r满足|s﹣r|<|t﹣r|,那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时,试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx,并说明理由.22.(14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点(﹣1,),右顶点为A,经过点F的动直线l与椭圆交于B,C两点.(1)求椭圆方程;(2)记△AOB和△AOC的面积分别为S1和S2,求|S1﹣S2|的最大值;(3)在x轴上是否存在一点T,使得点B关于x轴的对称点落在直线TC上?若存在,则求出T点坐标;若不存在,请说明理由.湖北省武汉市华中师大一附中2015届高考数学适应性试卷(文科)(5月份)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设a是实数,且是实数,则a=()A.B.1 C.D.2考点:复数代数形式的混合运算.分析:复数分母实数化,化简为a+bi(a、b∈R)的形式,虚部等于0,可求得结果.解答:解.设a是实数,=是实数,则a=1,故选B.点评:本题考查复数代数形式的运算,复数的分类,是基础题.2.(5分)已知集合M={x|x2﹣5x<0},N={x|p<x<6},若M∩N={|2<x<q},则p+q等于()A.6 B.7 C.8 D.9考点:交集及其运算;一元二次不等式的解法.专题:常规题型;计算题.分析:求出集合M中不等式的解集,确定出M,根据M与N的交集即可确定p与q的值,进而确定出p+q的值.解答:解:由集合M中的不等式得:0<x<5,即M={x|0<x<5},∵N={x|p<x<6},M∩N={|2<x<q},∴p=2,q=5,则p+q=7.故选B.点评:此题考查了交集及其运算,以及一元二次不等式的解法,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.3.(5分)下列说法中不正确的是()A.若命题p:∃x0∈R,使得x02﹣x0+1<0,则¬p:∀x∈R,都有x2﹣x+1≥0.B.存在无数个α、β∈R,使得等式sin(α﹣β)=sinαcosβ+cosαsinβ成立C.命题“在△ABC中,若sinA=sinB,则A=B”的逆否命题是真命题D.“p∧q为真”是“p∨q为真”的必要不充分条件考点:命题的真假判断与应用.专题:简易逻辑.分析:(A)利用命题否定定义即可判断出正误;(B)利用正弦的和差公式验证即可.(C)有原命题的真假判断逆否命题的真假.(D)利用联接词的真假判断来判断.解答:解:(A)命题p:∃x0∈R,使得x02﹣x0+1<0,则¬p:∀x∈R,均有x2﹣x+1≥0,正确;(B)sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ.可得sinβcosα=0,所以只要β=kπ,α任意,或者α=2kπ+,β任意.故B正确.(C)“在△ABC中,若sinA=sinB,则A=B”为假命题,则其逆否命题为假命题.故C错误.(D)p∧q为真,则p,q均为真命题,p∨q为真,则p,q至少一个为真,所以“p∧q为真”是“p∨q为真”的必要不充分条件为真命题.故D正确.故选:C点评:本题主要考查存在性命题的否定、正弦和差公式、原命题与逆否命题的真假判断、联接词的真假判断等知识点,考查范围大,是2015届高考常考题型.4.(5分)在等比数列{a n}中,公比q>1,a1+a m=17,a2a m﹣1=16,前m项和S m=31,则项数m等于()A.4 B.5 C.6 D.7考点:等比数列的性质.专题:计算题;等差数列与等比数列.分析:利用等比数列的性质,结合公比q>1,a1+a m=17,a2a m﹣1=16,求出a1=1,a m=16,利用前m项和S m=31,求出q,即可求出m.解答:解:∵等比数列{a n}中,公比q>1,a1+a m=17,a2a m﹣1=16,∴a1+a m=17,a1a m=16,∴a1=1,a m=16,∵S m=31,∴=31,∴q=2,∴2m﹣1=16,∴m=5,故选:B.点评:本题考查等比数列的通项与求和,考查学生的计算能力,比较基础.5.(5分)已知函数f(x)=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点(,0),则函数g(x)=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线()A.x=B.x=C.x=D.x=﹣考点:两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性.专题:三角函数的求值.分析:由对称中心可得λ=﹣,代入g(x)由三角函数公式化简可得g(x)=﹣sin (2x+),令2x+=kπ+解x可得对称轴,对照选项可得.解答:解:∵f(x)=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点(,0),∴f()=sin+λcos=+λ=0,解得λ=﹣,∴g(x)=﹣sinxcosx+sin2x=sin2x+=﹣sin(2x+),令2x+=kπ+可得x=+,k∈Z,∴函数的对称轴为x=+,k∈Z,结合四个选项可知,当k=﹣1时x=﹣符合题意,故选:D点评:本题考查两角和与差的三角函数,涉及三角函数对称性,属中档题.6.(5分)已知直线3x+4y﹣15=0与圆x2+y2=25交于A、B两点,点C在圆O上,且S△ABC=8,则满足条件的点C的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个考点:直线与圆相交的性质.专题:直线与圆.分析:由条件求得半径为5,弦心距等于3、点C到弦的距离为2,从而得出结论.解答:解:圆心(0,0)到直线3x+4y﹣15=0的距离为d==3,圆的半径为r=5,故弦长AB=8.再由S△ABC=8,可得点C到直线3x+4y﹣15=0的距离为2,再根据点C在圆O上,可得满足条件的点C的个数为3,故选:C.点评:本题主要考查直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式的应用,求得弦心距等于3、点C到直线3x+4y﹣15=0的距离为2,是解题的关键,属于基础题.7.(5分)某几何体的三视图如图所示,当xy最大时,该几何体的体积为()A.2B.4C.8D.16考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:空间位置关系与距离.分析:首先,根据三视图,得到该几何体的具体的结构特征,然后,建立关系式:,然后,求解当xy最大时,该几何体的具体的结构,从而求解其体积.解答:解:由三视图,得该几何体为三棱锥,有,∴x2+y2=128,∵xy≤,当且仅当x=y=8时,等号成立,此时,V=××2×6×8=16,故选:D.点评:本题重点考查了三视图、几何体的体积计算等知识,属于中档题.8.(5分)在平面直角坐标系xoy中,点M(x,y)的坐标满足不等式组,已知N(1,﹣1)且•的最小值为﹣1,则实数m=()A.0 B.2 C.5 D.6考点:简单线性规划.分析:作出不等式组对应的平面区域,利用向量数量积的定义将目标函数进行化简,结合z 的几何意义进行求解即可.解答:解:∵的最小值为﹣1,∴x﹣y的最小值为﹣1,设z=x﹣y,解:作作出不等式组对应的平面区域如图:由z=x﹣y,得y=x﹣z表示,斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线,∵x﹣y的最小值为﹣1,∴作出直线x﹣y=﹣1,则直线x﹣y=﹣1与y=2x﹣1相交于A,此时A为一个边界点,由,解得,即A(2,3),此时A也在直线x+y=m上,则m=2+3=5,即直线为x+y=5,平移直线y=x﹣z,当直线y=x﹣z经过点A时,直线y=x﹣z的截距最大,此时z最小,此时z min=2﹣3=﹣1,满足条件.故m=5,故选:C.点评:本题主要考查线性规划的基本应用,利用z的几何意义以及向量数量积将目标函数进行化简是解决本题的关键.,注意利用数形结合来解决.9.(5分)已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1,y1)∈M,都存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={(x,y)|y=};②M={(x,y)|y=log2x};③M={(x,y)|y=e x﹣2};④M={(x,y)|y=sinx+1};其中是“垂直对点集”的序号是()A.①④B.②③C.③④D.②④考点:命题的真假判断与应用.专题:函数的性质及应用;推理和证明.分析:由题意可得:集合M是“垂直对点集”,即满足:曲线y=f(x)上过任意一点与原点的直线,都存在过另一点与原点的直线与之垂直.解答:解:由题意可得:集合M是“垂直对点集”,即满足:曲线y=f(x)上过任意一点与原点的直线,都存在过另一点与原点的直线与之垂直.①M={(x,y)|y=},假设集合M是“垂直对点集”,则存在两点(x1,),(x2,),满足•=﹣1,化为=﹣1,无解,因此假设不成立,即集合M不是“垂直对点集”,②M={(x,y)|y=log2x},(x>0),取(1,0),则不存在点(x2,log2x2)(x2>0),满足1×x2+0=0,因此集合M不是“垂直对点集”;对于③M={(x,y)|y=e x﹣2},其图象过点(0,﹣1),且向右向上无限延展,向左向下无限延展,所以,据图可知,在图象上任取一点A,连OA,过原点作OA的垂线OB必与y=e x﹣2的图象相交,即一定存在点B,使得OB⊥OA成立,故M={(x,y)|y=e x﹣2}是“垂直对点集”.对于④M={(x,y)|y=sinx+1},画出函数图象,在图象上任取一点A,连OA,过原点作直线OA的垂线OB,因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展,且与x轴相切,因此直线OB 总会与y=sinx+1的图象相交.所以M={(x,y)|y=sinx+1}是“垂直对点集”,故④符合;综上可得:只有③④是“垂直对点集”.故选:C点评:本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值考点:函数在某点取得极值的条件;导数的运算.专题:压轴题;导数的综合应用.分析:令F(x)=x2f(x),利用导数的运算法则,确定f′(x)=,再构造新函数,确定函数的单调性,即可求得结论.解答:解:∵函数f(x)满足,∴令F(x)=x2f(x),则F′(x)=,F(2)=4•f(2)=.由,得f′(x)=,令φ(x)=e x﹣2F(x),则φ′(x)=e x﹣2F′(x)=.∴φ(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,∴φ(x)的最小值为φ(2)=e2﹣2F(2)=0.∴φ(x)≥0.又x>0,∴f′(x)≥0.∴f(x)在(0,+∞)单调递增.∴f(x)既无极大值也无极小值.故选D.点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查学生分析解决问题的能力,难度较大.二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.11.(5分)要从已编号1~360的360件产品中随机抽取30件进行检验,用系统抽样的方法抽出样本.若在抽出的样本中有一个编号为105,则在抽出的样本中最小的编号为9.考点:系统抽样方法.专题:概率与统计.分析:根据系统抽样的定义先求出样本间隔,然后进行求解.解答:解:样本间隔为360÷30=12,若在抽出的样本中有一个编号为105,则105÷12=8…9,则第一个编号为9,故答案为:9点评:本题主要考查系统抽样的应用,根据条件求出第一个编号是解决本题的关键.12.(5分)已知向量为单位向量,且=﹣,向量与+共线,则|+|的最小值为.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:向量为单位向量,且=﹣,可得=120°.不妨取=(1,0),=.由向量与+共线,可得=.再利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出.解答:解:∵向量为单位向量,且=﹣,∴1×1×=﹣,∴=120°.不妨取=(1,0),=.∴=.∵向量与+共线,∴=.∴=.∴|+|==,当且仅当时取等号.∴|+|的最小值为.故答案为:.点评:本题考查了数量积定义及其运算性质、二次函数的单调性,考查了计算能力,属于中档题.13.(5分)若执行如图所示的程序框图后,输出的结果是﹣29,则判断框中的整数k的值是5.考点:程序框图.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n的值,当n=5时应该不满足条件5<k,输出S的值为﹣29,从而可得判断框中的整数k的值是5.解答:解:模拟执行程序框图,可得n=1,S=1满足条件n<k,S=﹣1,n=2满足条件n<k,S=﹣5,n=3满足条件n<k,S=﹣13,n=4满足条件n<k,S=﹣29,n=5由题意,此时应该不满足条件5<k,输出S的值为﹣29,则判断框中的整数k的值是5,故答案为:5.点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.14.(5分)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M,则满足∠AMB<90°的概率为.考点:几何概型.专题:概率与统计.分析:利用已知条件推出满足题目条件的图形面积,利用几何概型求解即可.解答:解:在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M,则满足∠AMB>90°的M所在区域如图阴影部分,是以1为半径的半圆以及内部部分,满足几何概型,=∠AMB<90°的概率为:.故答案为:.点评:本题考查几何概型的求法,考查计算能力.15.(5分)已知f(x)=,若f(a)>f(﹣a),则实数a的取值范围是(﹣1,0)∪(1,+∞).考点:分段函数的应用.专题:函数的性质及应用.分析:由已知中函数的解析式,先分析出函数为奇函数,进而将f(a)>f(﹣a)转化为f(a)>0,分类讨论可得满足条件的实数a的取值范围.解答:解:∵f(x)=,∴当x>0时,﹣x<0,f(﹣x)=﹣lnx=﹣f(x),当x<0时,﹣x>0,f(﹣x)=ln(﹣x)=﹣f(x),即f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,若f(a)>f(﹣a)时,f(a)>0,当a>0时,lna>0,a>1,当a<0时,﹣ln(﹣a)>0,即ln(﹣a)<0,即0<﹣a<1,即﹣1<a<0.综上实数a的取值范围是(﹣1,0)∪(1,+∞).故答案为:(﹣1,0)∪(1,+∞)点评:本题考查的知识点是分段函数的应用,其中分析出函数为奇函数,进而将f(a)>f (﹣a)转化为f(a)>0,是解答的关键.16.(5分)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,抛物线的准线与双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A、B两点.若△AFB为直角三角形,则双曲线的离心率为.考点:抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由已知条件推导出A,B两点的纵坐标,△AFB为直角三角形,=p,由此能求出双曲线的离心率.解答:解:∵双曲线﹣=1(a>0,b>0),∴双曲线的渐近线方程是y=±x,抛物线y2=2px的焦点坐标(),又∵抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣,∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px的准线分别交于A,B两点,∴A,B两点的纵坐标分别是y=和y=﹣,∵△AFB为直角三角形,∴=p,即b=2a,c2﹣a2=4a2,∴e=.故答案为:.点评:本题考查抛物线解得性质以及双曲线的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.17.(5分)已知f(x)=min{2,|x﹣2|},其中min{a,b}=,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3.(1)m的取值范围是;(2)当x1x2x3取最大值时,m=.考点:函数的最值及其几何意义.专题:函数的性质及应用.分析:由f(x)表达式作出函数f(x)的图象,由图象可求得符合条件的m的取值范围,不妨设0<x1<x2<2<x3,通过解方程可用m将x1,x2,x3分别表示出来,利用基本不等式即可求得x1•x2•x3取最大值时m的值.解答:解:(1)由函数y=f(x)的图象可知m的最大值为A点纵坐标,解方程:2=2﹣x,即4x=4﹣4x+x2,解得x=4﹣2,∴|4﹣2﹣2|=2﹣2,∴m的取值范围是:;(2)不妨设0<x1<x2<2<x3,则由2=m得x 1=,由|x2﹣2|=2﹣x2=m,得x2=2﹣m,且2﹣m>0,由|x3﹣2|=x3﹣2=m,得x3=m+2,且m+2>0,∴x1•x2•x3=•(2﹣m)•(2+m)=•m2•(4﹣m2)≤•=,当且仅当m2=4﹣m2.即m=时取得等号,∴x1•x2•x3取最大值时,m=;故答案为:,.点评:本题考查函数与方程的综合运用,考查基本不等式在求函数最值中的应用,考查数形结合思想,考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力,注意解题方法的积累,属于难题.三、解答题:本大题5小题,共65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列.(1)若=﹣,b=,求a+c的值;(2)求2sinA﹣sinC的取值范围.考点:余弦定理的应用;数列的应用;向量在几何中的应用.专题:计算题.分析:(1)通过A,B,C成等差数列,求得B的值,通过已知的向量积求得ac的值,代入余弦定理即可求出a+c.(2)通过两角和公式对2sinA﹣sinC,再根据C的范围和余弦函数的单调性求出2sinA﹣sinC 的取值范围.解答:解:(1)∵A,B,C成等差数列,∴B=.∵•=﹣,∴accos(π﹣B)=﹣,∴ac=,即ac=3.∵b=,b2=a2+c2﹣2accosB,∴a2+c2﹣ac=3,即(a+c)2﹣3ac=3.∴(a+c)2=12,所以a+c=2.(2)2sinA﹣sinC=2sin(﹣C)﹣sinC=2(cosC+sinC)﹣sinC=cosC.∵0<C<,∴cosC∈(﹣,).∴2sinA﹣sinC的取值范围是(﹣,).点评:本题主要考查了余弦定理的应用.解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质.19.(12分)已知各项均不相等的等差数列{a n}的前五项和S5=20,且a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n为数列{}的前n项和,若存在n∈N*,使得T n﹣λa n+1≥0成立.求实数λ的取值范围.考点:数列的求和.专题:等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.分析:(1)设数列{a n}的公差为d,运用等差数列的求和公式和等比数列的性质,解方程可得a1=2,d=1,再由等差数列的通项即可得到;(2)运用裂项相消求和,求得T n,再由参数分离和基本不等式即可得到所求范围.解答:解:(1)设数列{a n}的公差为d,由已知得即为,即,由d≠0,即有,故a n=2+n﹣1=n+1;(2)==﹣∴=﹣=,∵存在n∈N*,使得T n﹣λa n+1≥0成立,∴存在n∈N*,使得﹣λ(n+2)≥0成立,即λ≤有解,即有λ≤[]max,而=≤=,n=2时取等号∴.点评:本题考查等差数列的通项和求和公式的运用,同时考查等比数列的性质,以及数列的求和方法:裂项相消求和,运用参数分离和基本不等式是解题的关键.20.(13分)在三棱锥P﹣ABC中,△PAB是等边三角形,PA⊥AC,PB⊥BC.(1)证明:AB⊥PC;(2)若PC=2,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P﹣ABC的体积.考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离.分析:(1)求出AC和BC,取AB中点M,连结PM,CM,说明AB⊥PM,AB⊥MC,证明AB⊥平面PMC,然后证明AB⊥PC.(2)在平面PAC内作AD⊥PC,垂足为D,连结BD,证明ABD为等腰直角三角形,设AB=PA=PB=a,求解a,然后求解底面面积以及体积即可.解答:解:(1)证明:在Rt△PAC和Rt△PBC中取AB中点M,连结PM,CM,则AB⊥PM,AB⊥MC,∴AB⊥平面PMC,而PC⊂平面PMC,∴AB⊥PC…(6分)(2)在平面PAC内作AD⊥PC,垂足为D,连结BD∵平面PAC⊥平面PBC,∴AD⊥平面PBC,又BD⊂平面PBC,∴AD⊥BD,又Rt△PAC≌RtPBC,∴AD=BD,∴△ABD为等腰直角三角形…(9分)设AB=PA=PB=a,则在Rt△PAC中:由PA•AC=PC•AD,得,解得…(11分)∴,∴.…(13分)点评:本题考查几何体的体积的求法,直线与平面垂直的判定与性质的应用,考查空间想象能力以及计算能力.21.(14分)已知函数f(x)=﹣lnx,g(x)=e x﹣1+a﹣lnx,其中e=2.71828…,a∈R.(1)求f(x)的零点;(2)求g(x)的极值;(3)如果s,t,r满足|s﹣r|<|t﹣r|,那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时,试比较和e x﹣1+a哪个更靠近lnx,并说明理由.考点:利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用.专题:综合题;导数的综合应用.分析:(1)求出函数的导数,得到当0<x≤e时,f(x)≥0;当x>e时,f(x)<0,即可求f(x)的零点;(2)求出函数的导数,确定x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)递减,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)递增,即可求g(x)的极值;(3)当1≤x≤e时,推出|f(x)|<|g(x)|,说明比e x﹣1+a更靠近lnx.当x>e时,通过作差,构造新函数,利用二次求导,判断函数的单调性,证明比e x﹣1+a更靠近lnx.解答:解:(1)∵f(x)=﹣lnx,∴f′(x)=﹣﹣,∴f(x)=﹣lnx在(0,+∞)上是减函数,又f(e)=0∴当0<x≤e时,f(x)≥0;当x>e时,f(x)<0.∴x=e是f(x)的唯一零点.…(3分)(2)∵g(x)=e x﹣1+a﹣lnx,∴,g″(x)=e x﹣1+>0,∴g'(x)在(0,+∞)上为增函数,又g'(1)=0,∴x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)递减,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)递增∴x=1为g(x)的极小值点,极小值为g(1)=a+1,g(x)无极大值.…(6分)(3)当1≤x≤e时,|f(x)|﹣|g(x)|=﹣e x﹣1﹣a设m(x)=﹣e x﹣1﹣a,则,∴m(x)在[1,+∞)上为减函数∴m(x)≤m(1)=e﹣1﹣a,∵a≥2,∴m(x)<0,∴|f(x)|<|g(x)|,∴比e x﹣1+a更靠近lnx…(9分)当x>e时,设n(x)=2lnx﹣e x﹣1﹣a,则,n″(x)=﹣<0∴n'(x)在(e,+∞)上为减函数,∴,∴n(x)在(e,+∞)上为减函数,∴n(x)<n(e)=2﹣a﹣e e﹣1<0,∴|f(x)|<|g(x)|∴比e x﹣1+a更靠近lnx…(12分)综上,在a≥2,x≥1时,比e x﹣1+a更靠近lnx.…(14分)点评:本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况.本小题主要考查考生分类讨论思想的应用,对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.22.(14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),且过点(﹣1,),右顶点为A,经过点F的动直线l与椭圆交于B,C两点.(1)求椭圆方程;(2)记△AOB和△AOC的面积分别为S1和S2,求|S1﹣S2|的最大值;(3)在x轴上是否存在一点T,使得点B关于x轴的对称点落在直线TC上?若存在,则求出T点坐标;若不存在,请说明理由.考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)利用焦点为F(1,0),且过点(﹣1,),列出方程,然后求解椭圆方程.(2)设直线l方程为:x=my+1.与椭圆联立,设B(x1,y1),C(x2,y2),(y1>0,y2<0),利用韦达定理,通过当m=0时,显然|S1﹣S2|=0;当m≠0时,,求解|S1﹣S2|的最大值.(3)假设在x轴上存在一点T(t,0)满足已知条件,利用k TB=﹣k TC,求出t﹒说明存在点T (4,0)满足条件.解答:解:(1)由已知得,解得,∴椭圆方程为:…(3分)(2)设直线l方程为:x=my+1.联立C得(3m2+4)y2+6my﹣9=0设B(x1,y1),C(x2,y2),(y1>0,y2<0),则当m=0时,显然|S1﹣S2|=0;当m≠0时,==当且仅当,即时取等号综合得时,|S1﹣S2|的最大值为.…(8分)(3)假设在x轴上存在一点T(t,0)满足已知条件,则k TB=﹣k TC即⇒y1(my2+1﹣t)+y2(my1+1﹣t)=0⇒2my1y2+(1﹣t)(y1+y2)=0整理得:(4﹣t)•m=0,∵m任意,∴t=4﹒故存在点T(4,0)满足条件﹒…(14分)点评:本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆方程的求法,存在性问题的处理方法,韦达定理以及基本不等式的应用,考查计算能力.- 21 -。
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三5月适应性考试数学(文)试卷(扫描版)
华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试数学(文)试题 答案及评分标准华中师大一附中高三年级数学组提供2015.5 一、选择题 1-5 ABDBD 6-10 CDCCD二、填空题11.9 12. 23 13. 5 14.8-1π 15. ()()+∞-,10,1 16.5 17 .()232,0-; 2三、解答题18.解:(1)∵A ,B ,C 成等差数列,∴3π=B ,又∵23-=⋅BA CB ,∴23=⋅BC BA , ∴23cos =B ac ,∴2321=ac ,即3=ac ∵3=b ,B ac c a b cos 2222-+=,∴322=-+ac c a ,即33)(2=-+ac c a ∴12)(2=+c a ,32=+c a ………………………………………………6分(2)C C C C C C C A cos 3sin )sin 21cos 23(2sin )32sin(2sin sin 2=-+=--=-π ∵320π<<C ,∴)3,23(cos 3-∈C ∴C A sin sin 2-的取值范围是)3,23(-. ……………………………12分19.解:(1)设{}n a 的公差为d ,由已知得12111545202(2)(6)a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 即121242a d d a d+=⎧⎪⎨=⎪⎩,110,2d d a =⎧≠∴⎨=⎩,故*1()n a n n N =+∈ …………………………5分 (2)11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++111111233412n T n n ∴=-+-++-++ 11222(2)n n n =-=++ ………………………………………………7分∵存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立 ∴存在*n N ∈,使得(2)02(2)n n n λ-+≥+成立即22(2)n n λ≤+有解 ………………………………………………9分max 2{}2(2)n n λ∴≤+ 而21142(2)162(4)n n n n=≤+++,2=n 时取等号 116λ∴≤. ………………………………………………12分20.解:(1)在Rt PAC Rt PBC ∆∆和中AC BC ==,PA PB AC BC =∴=取AB 中点M ,连结,PM CM ,则,AB PM AB MC ⊥⊥AB ∴⊥平面PMC ,而PC ⊂平面PMCAB PC ∴⊥ ………………………………………………6分 (2)在平面PAC 内作AD PC ⊥,垂足为D ,连结BD∵平面PAC ⊥平面,PBC AD ∴⊥平面PBC ,又BD ⊂平面PBCAD BD ∴⊥,又Rt PAC RtPBC ∆≅,AD BD ABD ∴=∴∆为等腰直角三角形…………………………………………9分 设AB PA PB a ===,则AD = 在Rt PAC ∆中:由AD PC AC PA ⋅=⋅得a a a 22242⨯=-⋅,解得a =………………………………………………11分 21)22(21212==⋅=∴∆a BD AD S ABD ∴312213131=⨯⨯=⋅=∆-PC S V ABD ABC P . …………………………………………13A P C B M D分21.解:(1) x x e x f ln )(-=,∴01)('2<--=x xe xf , ∴)(x f 在),0(+∞上是减函数,又0)(=e f∴当e x ≤<0时,0)(≥x f ;当e x >时,0)(<x f . ∴e x =是)(x f 的唯一零点. ……………………………………………3分(2)∵x a e x g x ln )(1-+=-,∴x e x g x 1)('1-=-,01)("21>+=-xe x g x ∴)('x g 在),0(+∞上为增函数,又0)1('=g ,∴)1,0(∈x 时,0)('<x g ,)(x g 递减,当),1(+∞∈x 时,0)('>x g ,)(x g 递增 ∴1=x 为)(x g 的极小值点,极小值为1)1(+=a g ,)(x g 无极大值.………………………………………6分(3)当e x ≤≤1时,a e x e x g x f x g x f x --=-=--1)()(|)(||)(| 设a e x e x m x --=-1)(,则0)('12<--=-x e xe x m ,∴)(x m 在),1[+∞上为减函数 ∴a e m x m --=≤1)1()(,∵2≥a ,∴0)(<x m ,∴|)(||)(|x g x f <, ∴xe 比a e x +-1更靠近x ln …………………………………9分 当e x >时,a e x a e x x e x g xf xg x f x x --<--+-=--=---11ln 2ln 2)()(|)(||)(| 设a e x x n x --=-1ln 2)(,则12)('--=x e x x n ,02)("12<--=-x e xx n ∴)(x n '在),(+∞e 上为减函数,∴02)()(1<-='<'-e e ee n x n , ∴)(x n 在),(+∞e 上为减函数,∴02)()(1<--=<-e e a e n x n ,∴|)(||)(|x g xf < ∴xe 比a e x +-1更靠近x ln ………………………………………12分 综上,在2≥a ,1≥x 时,x e 比a e x +-1更靠近x ln . …………………………14分 22.解:(1)由已知得222219141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为:22143x y += (3)(2)设直线l 方程为:1x my =+ 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=设112212(,),(,),(0,0)B x y C x y y y ><,则12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ 当0=m 时,显然021=-S S ;当0≠m 时,)(2212212121y y S S -⋅⋅-⋅⋅=-436221+=+=m m y y 234326436=⋅≤+=m m m m 当且仅当m m 43=,即332±=m 时取等号 综合得332±=m 时,21S S -的最大值为23. ……………………………8分 (3)假设在x 轴上存在一点(,0)T t 满足已知条件,则TB TC k k =-即12122112()()0y y y x t y x t x t x t=-⇒-+-=--1221(1)(1)0y my t y my t ⇒+-++-= 12122(1)()0my y t y y ⇒+-+=0436)1(439222=+-⋅-++-⋅⇒m m t m m 整理得:0)4(=⋅-m t ,m 任意,4=∴t ﹒故存在点(4,0)T 满足条件﹒………………………………………………14分。
【精品】华师一附中高中招生考试试题及解析
华师一附中2015年高中招生考试试题及解析华师一附中2015年高中招生考试数学测试题详解考试时间:80分钟 卷面满分:150分一.选择题(6分×6=36分)1,如果实数,,a b c 在数轴上的位置如图所示,2222a a b c ac a ++-+....A a b c B a b cC a b cD a b c--+-----+-【解析】由图知0b c a <<<,()222,2a a a a b a b c ac a c a a c ==-+=-+-+=-=-2222a a b c ac a +-+()()a a b a c a b c =-+++-=+-,选D .2.反比例函数4y x=-的图象与直线y kx b =-+交于()()1,,,1A m B n -两点,则△OAB 的面积为111513..4..222A B C D 【解析】(补形)()4.1,:-4,4;xy A m m m =--=-∴=代入(),1:4B n n =-代入.故有A (-1,4),B (-4,1). 作AE ⊥y 轴于E ,BD ⊥x 轴于D .可知:△AOE ≌△BOD .且11422AOE BOD S S ∆∆==⨯⨯=.延长EA ,DB 交于C ,则四边形CDOE 是边长为 4的正方形,且2416,CDOES==△ABC 是腰长为3的等腰直角三角形,且219322ABC S ∆=⨯=.于是△OAB 的面积为915162222ABC S ∆=-⨯-= 3.设12,x x 是一元二次方程230x x +-=的两根,则3212415x x -+等于A.-4B.8C.6D.0【解析】(降次)由韦达定理:221212112211.3,3x x x x x x x x +=-⇒=--+=+=()()()2322212111111141534115341215x x x x x x x x x ∴-+=----+=--+++()2115344x x =-+--=-,故选A .4.已知,,ABC a b c ∆分别是的三边长,且满足44422222222a b c a c b c ++-+,则△ABC 是 A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形注:原题条件不完整(是代数式而不是条件等式),故无法解出.为试卷完整起见,将原题条件调整为: 已知,,ABC a b c ∆分别是的三边长,且满足444222222220a b c a c b c ++--=,则△ABC 是⋯. 【解析】由条件得: 4442222442440,a b c a c b c ++--=()()222222222222220,22,a c b c c a b a b a b c -+-=∴===+=即或且.故△ABC 是等腰直角三角形,选B .5.在一节3数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40mm 的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板的 最小直径为(单位:mm ).802.4010.2517.100A B C D【解析】当3个正方形按如图排列时,其外接圆直径 最小.显然,这个圆是等腰梯形ABCD 的外接圆O ,这里AB ∥CD 且CD =40,AB =80.设此等腰梯形的对称轴交AB 于M ,交CD 于N ,则MN =80. ∵AB >CD ,∴OM <ON .设OM =40-x ,ON =40+x ,圆半径为r . △AOM 中,()()22240401r x =+- △DON 中,()()22220402r x =++(1)-(2):1512001600,2x x -=∴=,代入(2) 29025106256251725400,17.4442r r ⨯=+==∴=故所求最小圆的直径为27r =故选C .6.如图,△ABC 内接于圆O ,BC =36,∠A =60°,点D 为BC 上一动点,BE ⊥直线OD 于E ,当点D 由B 点沿BC 运动到点C 时,点E 经过的路线长为.123.83.273.54A B C D ππ【解析】(轨迹法)如解图,连结OB ,分别在BC 上取123,,,,,B D D D C 其中2OD BC ⊥,则相应的动点依次为123,,,,.B E E E N12390BE O BE O BE O BNO ∠=∠=∠=∠=︒.故点E 的轨迹是OB为直径的优弧2BE N .已知BC =36,∴2218.BE BOE =∆是含30°角的直角三角形,∴123OB =.设M 为OB 的中点(优弧圆心),连MN .则圆M 的半径MB =3注意到∠BOC =120°,∴∠BON =60°,∠BMN =120°, 优弧2BE N 之长为圆M 周长的222,26383.33BE N l ππ∴=⨯⋅=,故选B .二.填空题(7×7=49分)7.方程()31641x x x +=+的所有根的和为【解析1】3244160x x x --+=.根据广义韦达定理,此方程3根之和为4.即123,1,4b x x x a b a ⎛⎫++=-==- ⎪⎝⎭这里【解析2】由原方程得:()()()124220,4,2,x x x x x -+-=∴==-31232.4x x x x =++=.8.在5瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,随机地从这5瓶饮料中取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为【解析】(正繁则反)由于从这5瓶饮料中任取2瓶,没有过期饮料的概率为3,5故取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为32155-= 9.关于x 的方程211aa x =--无解,则a 的值是【解析】由原方程得:()()()2111a a x =--关于x 的方程(1)只有唯一解1x =,代入(1)得0a =,此时原方程无解;又在方程(1)中令1,a =得0a =.矛盾.此时方程(1)无解,从而原方程无解. 故若原方程无解,则必01a =或.10.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶,1小时后,快车司机发现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回拿上文件(取文件时间不计)后再从甲地开往乙地,结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶速度为x (h ),两车之间的距离为y (km ),y 与x 的函数图象如图所示,则a =【解析】慢车12.5小时走完全程,()12.5100080x x km =⇒= 设快车速度为t (h ) ∵1小时后两车相距800km ,即 1小时两车共行200km ,∴t =120km (h )∵a 小时后两车相遇,此时慢车走80akm ,快车走120(a -1)km ,故有:()()80120110002001120, 5.6a a a a h +-=⇒=∴=11.已知24,13,234a x y x ax ≥≤≤=-+当时函数的最小值为-23,则a =【解析】原式配方得:2392448y x a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,抛物线开口向上且对称轴为34x a =.当34,34a a ≥≥时,故当13x ≤≤时,y 随x 增大而减小.故当x =3时有:22333423945, 5.a a a ⨯-⋅+=-⇒=∴=12.如图,在单位为1的正方形的网格纸上,123345567A A A ,A A A ,A A A ,,∆∆∆都是斜边在x轴上,且斜边长分别为2,4,6,⋯的等腰直角三角形.若123A A A ∆的顶点分别为()()()123A 2,0,A 1,-1,A 0,0,则依图中的规律,2015A 的坐标为【解析】注意到点13521,,,,n A A A A +全在x 轴上,设其横坐标依次为1352015,,,,x x x x ..继续分析.点41A n +都在原点右边,其横坐标取正值,点41A n -都在原点左边(其中3A 为原点),其横坐标取0或负值(其中仅3A 横坐标为0).∵2015=4×504-1,故2015A 必在原点左边,其横坐标必为负值. 易求()()34117421114310,021,0224,x x x x x x ⨯-⨯-⨯-====+-⨯==+-⨯=-()201545041025031006x x ⨯-==+-⨯=-,故所求点A 的坐标为:()20151006,0A -.13.有一张矩形风景画,长为90cm ,宽为60cm ,现对该风景画进行装裱,得到一个新的矩形,要求其长,宽之比与原风景画的长,宽之比相同,且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的上,下边衬的宽都为a cm ,左,右边衬都为b cm ,那么ab =【解析】依题意有:9029032360260222a ab b +==⇒=+(据等比定理)故()231a b=又:()()1449026029060100a b ++=⨯⨯()120180454442a b ab ⇒++=⨯(1)代入(2):2260318065444603960.b b b b b ⋅++=⨯⇒+-= 解得:()666b b ==-或舍,从而9,54a ab =∴=. 三.解答题14.(14分)已知m ,n 是方程2310x x ++=的两根,(1)求162102553m m m m m -⎛⎫+-⋅- ⎪--⎝⎭的值; (233m n n m【解析】(1)∵2310,m m ++=故()()()()551625162102255353m m m m m m m m m m m +-+--⎛⎫+-⋅-=⋅- ⎪-----⎝⎭()()2229223123203m m m m m m m m-++=--=-+-=-⋅=-. (2)m ,n 是方程2310x x ++=的两根,31m n mn +=-⎧∴⎨=⎩设33m n x n m =则33334422222m n m n m n x m n n m n m mn +=++⋅=+()()()2222222221,2229249mn x m nm n m n mn ⎡⎤=∴=+-+=+-=-=⎣⎦7,x ∴=即33m n n m15.(15分)如图,△ABC 中,AC =BC ,I 为△ABC 的内心,O 为BC 上一点,过B ,I 两点的圆O 交BC 于D点,1tan ,6,3CBI AB ∠==(1)求线段BD 的长; (2)求线段BC 的长【解析】(1)如解图,I 为△ABC 内心,故BI 平分 ∠ABC .设∠ABI =∠CBI =α.连CI ,并延长交AB 于E ,∵CA =CB ,∴CE ⊥AB ,且AE =BE =3.于是221IE=BE tan 31,31103BI α⋅=⨯==+=连DI ,∵BD 为圆O 的直径,∴∠BID =90°.于是101010tan 10393DI BI BD α=⋅==+=. (2)连OI ,∵OI =OB =53,∴∠DOI =2α,故OI ∥AB ,△COI ∽△CBE ,5533,539353OI CO CO COBE CB CO CO =⇒=⇒=++2525515,121234CO BC ∴==+=.16.(18分)如图,四边形ABCD中,AD ∥BC ,∠BCD =90°,AD =6,BC =3,DE ⊥AB 于E ,AC 交DE 于F ,(1)求AE ·AB 的值; (2)若CD =4,求AFFC的值; (3)若CD =6,过A 点作 AM ∥CD ,交CE 的延长线于M , 求MEEC的值. 【解析】(1)如解图1,作AG ∥BC ,交 CB 延长线于G ,则四边形AGCD 为矩形. ∴GC =AD =6,但BC =3,∴GB =3.已知DE ⊥AB 于E ,∴△AGB ∽△DEA . 于是18.AB BGAB AE AD BG AD AE=⇒⋅=⋅= (2)延长AB ,DC 交于H .∵AD ∥BC ,且 AD =2BC ,∴BC 为△A HD 的中位线,故 CH =DC =4.由勾股定理知AH =10,AB =BH =5.沿DE ,CB 交于T ,有△AED ∽△BTE .Rt △ADH 中,DE ⊥AH ,23618,105AD AE AH ∴=== 187555BE AB AE =-=-=.于是 775,186185BT BE BT AD AE =⇒==7716,3333BT CT ∴==+=由△AFD ∽△CFT ,知691638AF AD FC CT ===. (3)如解图3有35,AB BH ==6565555AE EH ==∴==∵△AEM ∽△HEC ,651.2445ME AE EC EH ∴===17.(18分)二次函数242y x mx n =-+的图象与x 轴交于()()()1212,0,,A x B x o x x <两点,与y 轴交于c 点.(1)若AB =2,且抛物线的顶点在直线y =-x -2上,试确定m ,n 的值;(2)在(1)中,若点P 为直线BC 下方抛物线上一点,当△PBC 的面积最大时,求P 点坐标; (3)是否存在整数m ,n ,使得1212,12,x x <<<<同时成立?请证明你的结论. 【解析】(1)()2212121AB=2244x x x x x x ⇒-=⇒+-=.由韦达定理:121224m x x nx x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故有:()2414m n -=抛物线的顶点为24,44m n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入y =-x -2:()2242224444n m m m mn -=--⇒=--代入(1):20,8,4mm -=∴=从而12n =. (2)在(1)的条件下,有:241612y x x =-+此抛物线的顶点为(2,-4),交x 轴于A (1,0),B (3,0),交y 轴于C (0,12)易求直线BC 的解析式为412y x =-+.为使△PBC 面积最大,只需点P 与直线BC 距离最远.设过P 且平行于BC 的直线解析式为4y x b =-+,代入抛物线解析式;22416124412120.x x x b x x b -+=-+⇒-+-=()14416120912,3b b b ∆=--=⇒=-∴=令.此时有33,43 3.22x y ==-⨯+=-即所求点的坐标为3,32P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)(反证法)假如存在这样的整数m ,n ,使得方程2420x mx n -+=之2根满足121,2x x <<.那么:()122<<4,4<8,,5,6,7;12mx x m m m +=∴<∴=为整数 ()121<<4,416,,5,6,7,,15;24nx x n n n =∴<<∴=为整数()224160,34m m n n ∆=->∴<方程之2根为:x ==由()221481642444m m m m m n n m ->⇒->⇒-+>-⇒>-由()22284641641654m m m n m m n m +<⇒<-⇒-<-+⇒>-当m =5时,2m -4=6>4m -16=4,根据(3),(4),取2m -4<24m n <,即1664n <<,无整数解,舍去;当m =6时, 2m -4=8=4m -16, 根据(3),(4),取2m -4<24m n <,即89,n <<无整数解,舍去;当m =7时, 2m -4=10<4m -16=12. 根据(5),(4),取2416,4m m n -<<即112124n <<无整数解,舍去.据上分析,不存在整数m ,n ,使得1212,12,x x <<<<同时成立.。
华师一分配生数学试卷2015年
A. M (45,18)
第一行
1
第二行
3
第三行
7
第四行 13
…
B. M (45, 27)
5
9
11
15 17 19
…
C. M (46,19)
D. M (46, 27)
数学填空题:
6.
(1)2015
tan 30
(3.14
π)0
1 2
1
________.
7. 某商品先按批发价 a 元提高 x% 零售,后又按零售价降低 x% 出售,如果最后的单价是 0.99a 元,则 x ________.
数学选择题:
1. 已知
1 x x2
1 x ,则 x 的取值范围是( x
A. x 0
B. x 0
) C. x 0
D. 0 x 1
2. 在平面直角坐标系中,已知 A(1,0) , B(2015,0) ,点 P 是该平面直角坐标系内的一个动
点,则使 APB 30 的点 P 有( )
A.0 个
摸出一个然后放回,再从袋中随机地摸出一个,则两次取得的小球标号的和等于 4 的概
率为 3 . 16
9. 如图,AB 是 O 的直径,点 C 在 O 上,CD 与 O 相切, AD ∥ BC ,连结 OD、AC,
若 tan B
5 2
,
OD
3
6 ,则 O 的半径为________.
D
C
A
O
B
10.已知 (| x 2 | | x 1|)(| y 2 | | y 2 |)(| z 2 | | z 3 |) 60 ,则 x 2 y 3z 的最大值是 ________.
2015华师一附中自主招生考试
2015年华师一附中自主招生考试考试时间:80分钟卷面满分:150分一、选择题(本大题共有6小题,每小题6分,共36分)1.如果实数a,b,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式2222a ac c b a a +-++-可以化简为 ( ) A.c b a +-- B.c b a -- C.c b a --- D.c b a -+2.如图,反比例函数xy 4=的图像与直线b kx y +=交于A(-1,m),B(n ,1)两点,则ABC ∆的面积为() A. 512 B. 4 C. 215 D. 2133.设21,x x 是一元二次方程032=-+x x 的两根,则1542231+-x x 等于()A. -4B. 8C. 6D. 04.已知c b a ,,分别是ABC ∆的三边长,且满足22224442222c b c a c b a +=++,则ABC ∆是()A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形5.在一节数学实践活动课上,老师拿出三个边长都是40mm 的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠的放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板最小直径为(单位:mm )()A. 280B. 1040C.1725D. 1006.如图,ABC ∆为圆O 的内接三角形,BC=36,60=∠A ,点D 是弧BC 上一动点,⊥BE 直线OD于E ,当点D 由B 点沿弧BC 运动到点C 时,点E 经过的路径长为()A. π312B. π38C. 327D. 54二、填空题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 7.方程)1(4163+=+x x x 的所有根的和为。
8.在5瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,随机的从这5瓶饮料中取2瓶,取到至少有一瓶过保质期的概率为。
9.关于x 的方程112-=-a x a无解,则a 的值为。
10.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出,分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶,行驶1小时后,快车司机发现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回出发地,拿上文件后(取文件时间不计)立即再从甲地开往乙地,结果快车先到达乙地,慢车继续行驶到甲地,设慢车行驶时间为x (h ),两车之间的距离为y (km ),y 与x 的函数图像如图所示,则a=。
2015年初中毕业班学业水平考试暨高中招生模拟测试数学附答案
2015年初中毕业班学业水平考试暨高中招生模拟测试数学 全卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页.满分120分,考试时间共120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、座位号、报名号(考号)写在答题卡上,并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内.同时在答题卡背面第3页顶端用2B 铅笔涂好自己的座位号.2.第Ⅰ卷每小题选出的答案不能答在试卷上,必须用2B 铅笔在答题卡上把对应题目....的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦净后,再选涂其它答案.第Ⅱ卷必须用0.5mm 黑色墨水签字笔书写在答题卡上的指定位置.不在指定区域作答的将无效.3.考试结束,监考人员只将答题卡收回.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题:(每题3分,共30分)1、9的算术平方根是( )A .±3B .-3C .3D .±812、下列各式计算正确的是( )A .222)(x y x y -=- B .32-x x x = C .235()x x = D .54x x x ÷=3、右图是由四个相同的小长方体组成的立体图形,这个立体图形的正视图是( )4、下列说法正确的是 ( )A .为了了解我市今年夏季冷饮市场冰淇淋的质量,可采用普查的调查方式B .打开电视机,正在播广告是必然事件C .销售某种鞋,销售商最感兴趣的是所销售的鞋的尺码的平均数D .当我市考查人口年龄结构时,符合这一条件的所有资阳市的公民的年龄就是一个样本5、如图1,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=32°,则∠2的度数是( );A .32°B .58°C .68°D .60° 6、一件商品的原价是100元,经过两次提价后的价格为121元,如果每次提价的百分率都是x ,根据题意,下面列出的方程正确的是( )A .100(1)121x +=B .100(1)121x -=图数学第1页C .2100(1)121x +=D .2100(1)121x -=7、如图2,A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a 、b ,下列式子成立的是( )A .ab >0B .a +b <0C .(b ﹣1)(a +1)>0D .(b ﹣1)(a ﹣1)>08、如图3,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠BAC =60°,若⊙O 的半径0C 为2,则弦BC 的长为( )A .1 BC .2 D.9、如图4,△ABD 是等边三角形,以AD 为边向外作△ADE ,使∠AED=30°,且AE =3,DE =2,连接BE ,则BE 的长为( )A .4 BC .5 D10、如图5,二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且对称轴为直线x =1,点B 坐标为(-1,0).则下面的四个结论:①2a +b =0;②8a +c <0;③abc >0;④当y <0时,x <-1或x >2,⑤对任意实数m ,()m am b a b +≤+.其中正确的结论有( )个A .2B .3C .4D .5第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项:1.请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡相应区域作答,超出答案区域的答案无效.2.试卷中标“▲”及方框处是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答的内容或问题.请注意准确理解题意、明确题目要求,规范地表达、工整地书写解题过程或结果.二、填空题:(每题3分,共18分)11、PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物,0.0000025米用科学记数图 2 图3法表示应为 米;12、有一组数据:5、2、6、5、4,它们的中位数是 ;13、已知:P A 、PB 与⊙O 相切于A 点、B 点,OA =1,P A =3,则图6中阴影部分的面积是 (结果保留π);14、若关于x 的一元二次方程2(1)320m x x -+-=总有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 ;15、如图7所示,在三角形ABC 中,点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ,BE 与DE 交于点O .若△ADE 的面积为2,则四边形BOGC 的面积为 ;16、如图8,()111P ,x y ,()222P ,x y ,……()P ,n n n x y 在函数()10y x x =>的图象上,△11POA 、△212P A A 、△323P A A 、……△1n n n P A A -都是等腰直角三角形,斜边1OA 、12A A 、23A A 、,……1n n A A -都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数),则点n P 的坐标是 .(用含n 的式子表示).三、解答题:(共72分)17、(7分)解方程:11322x x x-+=-- ;18、(8分)某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动,活动结束后,初三(2)班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调查(要求每位同学只选自己最认可的一项观点),并制成了如图9所示的扇形统计图.(1)该班学生选择“和谐”观点的有 人,在扇形统计图中,“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是 度.(2)如果该校有1500名初三学生,利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有 人. 图6 图7 图8 图9(3)如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查,求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率(用树状图或列表法分析解答)19.(8分)关于x 的不等式组23(2)24x a x x -≥-⎧⎨-<⎩ (1)若2a =.求这个不等式组的解集.(2)若这个不等式组的整数解有3个,求a 的取值范围.20、(8分)如图10,在⊙O 中,AB =AC ,BD 为直径,弦AD 与BC 相交于点E ,延长DA 到F ,使∠ABF =∠ABC .(1)求证:BF 是⊙O 的切线;(2)若AD=8,tan ∠ABF =34,求DE 的长.21、(9分)如图11,在平面直角坐标系中,直线l 与x 轴相交于点M (3,0),与y 轴相交于点N (0,-4),反比例函数k y x =(x >0)的图象经过线 段MN 的中点A ,(1)求直线l 和反比例函数的解析式;(2)在函数k y x=(x >0)的图象上取异于点A 的一点B , 作BC ⊥x 轴于点C ,连接OB 交直线l 于点P .若△ONP 的 面积是△OBC 面积的3倍,求点P 的坐标.图10图1122、(9分)如图12,一艘船以每小时60海里的速度自A向正北方向航行,船在A处时,灯塔S在船的北偏东30°,航行1小时后到B处,此时灯塔S在船的北偏东75°,(运算结果保留根号)(1)求船在B处时与灯塔S的距离;(2)若船从B处继续向正北方向航行,问经过多长时间船与灯塔S的距离最近.23、(11分)如图13所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD 边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.(1)求证:∠APB=∠BPH;(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.24、(12分)如图14-1,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A在y轴正半轴上,二次函数y=ax2+16x+c的图象F交x轴于B、C两点,交y轴于M点,其中B(﹣3,0),M(0,﹣1).已知AM=BC.(1)求二次函数的解析式;(2)证明:在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形,并请求出直线BD的解析式;(3)在(2)的条件下,设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点,AC、BD相交于N.①若直线l⊥BD,如图1,试求11BP BQ的值;图12图13②若l为满足条件的任意直线,如图14-2.①中的结论还成立吗?若成立,证明你的猜想;若不成立,请举出反例。
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2华师一附中 2015 年高中招生考试数学测试题详解考试时间 :80 分钟 卷面满分 :150 分一.选择题( 6 分×6=36 分)2221, 如果实数 a,b, c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式aa b c2ac a可以化简为A. a b cB.a b cC. a b cD.a b c【解析】由图知b c a 0 ,故a2a a, ab a b , c22ac a2c a a ca 2a bc242ac a 2a ab a ca b c ,选 D .2. 反比例函数 y的图象与直线 ykx b 交于 A x 1,m , B n,1两点 ,则△ OAB 的面积为A.11B.4C.15 D. 13 222【解析】(补形)xy 4.A 1, m 代入:-m 4, m 4;B n,1 代入:n4 .故有 A (- 1,4),B (- 4,1) .作 AE ⊥y 轴于 E,BD ⊥ x 轴于 D .可知:△AOE ≌△ BOD .且 S AOE S BOD1 1 42 .2延长 EA,DB 交于 C,则四边形 CDOE 是边长为4 的正方形 ,且 S CDOE416, △ ABC 是腰长为 3 的等腰直角三角形 ,且S ABC1 329 .22于是△ OAB 的面积为S ABC16 2 29 15 223. 设 x , x 是一元二次方程 x2x 3 0 的两根 ,则 x34x215 等于1212A. - 4B.8C.6D.0【解析】(降次)由韦达定理: x x 1 x 1 x . x2 x 3, x2 x 31 2 1 2 1 1 2 2x3 4x2 15 x 3 x 24 1 x 15 3x x2 4 1 2x x2 151 2 1 1 1 1 1 1 15 x2 x 3 4 4 ,故选 A.1 14 4 4 2 2 2 24. 已知a, b,c分别是ABC 的三边长,且满足2a2b c 2 a c 2b c ,则△ABC 是A. 等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形注: 原题条件不完整(是代数式而不是条件等式),故无法解出.为试卷完整起见,将原题条件调整为:已知a,b,c分别是ABC 的三边长, 且满足2a 42b 4 c42a 2c22b 2c20 , 则△ABC 是?.【解析】由条件得: 4a 44b 42c44a 2c24b 2c2 0,即2a 2 c22b 2 c20, c2 2 a22b 2, 或a b且a 2 b2c2 .故△ABC 是等腰直角三角形,选B.5. 在一节 3 数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40mm 的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住, 这样的圆形硬纸板的最小直径为(单位:mm)A.80 2B.40 10C.25 17D.100【解析】当 3 个正方形按如图排列时,其外接圆直径最小.显然,这个圆是等腰梯形ABCD 的外接圆O,这里AB∥CD 且CD =40,AB =80.设此等腰梯形的对称轴交AB 于M,交CD 于N,则MN =80.∵AB >CD ,∴OM<ON.设OM=40 -x,ON=40+ x,圆半径为r .△AOM 中, r 2△DON 中, r 2402202240 x 1240 x 2(1)-(2):1200 160 x0, x 15,代入(2)22 2r 2 400 9025 10625 625 17 , r 2517.4 4 4 2故所求最小圆的直径为2r 25 7 ,故选C.6. 如图,△ABC 内接于圆O,BC=36, ∠A=60 °,点D 为BC 上一动点,BE⊥直线OD 于E,当点D 由B 点沿BC 运动到点 C 时,点E 经过的路线长为A.12 3B.8 3C.27 3D.54【解析】(轨迹法)如解图,连结OB,分别在BC 上取B, D1 , D2 , D3 , C, 其中OD2BC ,则相应的动点依次为B, E1 , E2 , E3 , N .BE1O BE2O BE3O BNO 90 .故点E 的轨迹是OB为直径的优弧BE2 N .已知BC=36, ∴BE218. BOE 2 是含30°角的直角三角形,∴OB 12 3 .设M 为OB 的中点(优弧圆心),连MN .则圆M 的半径MB= 6 3 .注意到∠ BOC=120°,∴∠ BON =60°,∠BMN =120°, 优弧BE2N 之长为圆M 周长的2, l3 BE2 N 22 63 8 3 . ,故选B. 3二.填空题(7×7=49 分)7. 方程x3 16 4x x 1 的所有根的和为【解析1】x3 4 x2 4 x 16 0 .根据广义韦达定理,此方程 3 根之和为 4.即x1 x2 x3b, 这里aa1,b 4【解析2】由原方程得: x 4x 2 x 2 0, x14, x22,x3 2.x1 x2 x3 4 .8. 在5 瓶饮料中,有2 瓶已过了保质期,随机地从这 5 瓶饮料中取 2 瓶,取到至少有 1 瓶过保质期饮料的概率为【解析】(正繁则反)由于从这5 瓶饮料中任取 2 瓶,没有过期饮料的概率为3 , 故取 2 瓶,取到至少有 1 瓶过保质期饮料的概率为 513 2 5 5 2 a9. 关于 x 的方程 a 1 无解,则 a 的值是x 1【解析】由原方程得 : 2a a 1 x 1 1关于 x 的方程( 1)只有唯一解 x 1 ,代入( 1)得 a 0 ,此时原方程无解 ;又在方程( 1)中令 a 1, 得 a 0 .矛盾.此时方程( 1)无解 ,从而原方程无解 . 故若原方程无解 ,则必 a0或1 .10. 一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地 ,两车同时出发 ,分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶 ,1 小时后 ,快车司机发现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回拿上文件(取文件时间不计)后再从甲地开往乙地 ,结果快车先到达乙地 .慢车继续行驶到甲地 .设慢车行驶速度为 x ( h ),两车之间的距离为 y ( km ) ,y 与 x 的函数图象如图所示 ,则 a 【解析】慢车 12.5 小时走完全程 ,12.5x 1000 x 80 km设快车速度为 t ( h )∵ 1 小时后两车相距 800km,即1 小时两车共行 200km,∴ t=120km (h )∵ a 小时后两车相遇 ,此时慢车走 80akm,快车走 120( a-1) km,故有 :80a 120 a 1 1000200a 1120, a 5.6 h11. 已知 a4,当1 x 3时,函数 y 22 x3ax 4 的最小值为- 23,则 a =【解析】 原式配方得 : y22 x3 a4 9a ,抛物线开口向上且对称轴为x 3 a .当 a 4时, 3 a 43 ,故当 1 x4 843 时,y 随 x 增大而减小 .故当 x=3 时有:2 323a 3 423 9a 45, a 5.12. 如 图 , 在 单 位 为 1 的 正 方 形 的 网 格 纸上 , A 1A 2 A 3, A 3 A 4A 5 , A 5A 6 A 7 ,, 都是斜边在x轴上 ,且斜边长分别为2,4,6,? 的等腰直角三角形. 若A 1A 2A 3 的顶点分别为 A 1 2,0 ,A 2 1,-1 ,A 30,0 ,则依图中的规律 , A 2015 的坐标为【解析】注意到点A 1 , A 3 , A 5, , A 2 n 1 全在 x 轴上 ,设其横坐标依次为 x 1 , x 3 , x 5 ,, x 2015 ..继续分析 .点 A 4 n 1 都在原点右边 ,其横坐标取正值 ,点 A 4 n 1 都在原点左边(其中A 3 为原点) ,其横坐标取 0 或负值(其中仅 A 3 横坐标为 0) .∵ 2015=4×504- 1,故 A 2015 必在原点左边 ,其横坐标必为负值 .易求 x 3x 4 1 1 0, x 7 x 4 2 1 02 1, x 11 x 43 10 2 2 4,x 2015x 4 504 1 0 2 5031006,故所求点 A 的坐标为 : A 20151006,0 .13. 有一张矩形风景画 ,长为 90cm,宽为 60cm,现对该风景画进行装裱 ,得到一个新的矩形 ,要求其长 ,宽之比与原风景画的长 ,宽之比相同 ,且面积比原风景画的面积大 44%.若装裱后的上,下边衬的宽都为 a cm,左 ,右边衬都为b cm,那么 ab【解析】依题意有 :90 2 a 60 2b90 3 2a 6022b3 (据等比定理)2故 2a又: 3b 90 2a 160 2b90 60144 100120a 180b 4ab 54 442( 1)代入( 2): 60 3b 180b 6b254 44 b260b 396 0.解得: b 6或b 66 舍 ,从而 a 9, ab 54 .33 三.解答题14.( 14 分)已知 m,n 是方程x23 x1 0 的两根 ,( 1)求 m 5162m 10 2 的值 ;5 m 3 m m( 2)求mn的值n m【解析】( 1)∵ 2m3m 1 0, 故m 516 2m 10 2 m 5 m 5 16 2 m 52 5 m3 mmm 5m 3m2 m292 2 m23m 1 2 m 320 .m 3mmm( 2) m,n 是方程 x23 x 1 0 的两根 ,m n 3mn 1m3n3m3n3m3n3m4n4设 x, 则 x2nm2 2 nmn m mn m 2n 2mn 1, x2m2n2 2m 2n 2222m n2mn29 249x 7,即 mn3=7.nm15.( 15 分)如图 ,△ ABC 中,AC=BC,I 为△ ABC 的内心 ,O 为 BC 上一点 ,过 B,I 两点的圆 O交 BC 于 D 点, tan CBI1, AB 6, 3( 1)求线段 BD 的长 ;( 2)求线段 BC 的长【解析】( 1)如解图 ,I 为△ ABC 内心,故 BI 平分∠ABC .设∠ ABI =∠ CBI =α.连 CI ,并延长交 AB 于 E,∵ CA=CB,∴ CE ⊥ AB,且AE=BE=3.于是 IE=BE tan31 1, B I3321210 .连 DI ,∵ BD 为圆 O 的直径 ,∴∠ BID =90°.于是2310 10 10 DI BI tan , BD 10 .3 9 3(2)连OI ,∵OI =OB= 5,∴∠ DOI =2α,故OI ∥AB, 3△COI ∽△CBE,OI COBE CB 53 CO3 CO 535 3CO,9 3CO 5CO 25, B C 25 5 15 .12 12 3 416.(18 分)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD =90°,AD =6,BC=3,DE ⊥AB 于E,AC 交DE 于F,(1)求AE·AB 的值;(2)若CD =4,求AFFC的值;(3)若CD =6,过A 点作MEAM∥CD ,交CE 的延长线于M , 求EC的值.【解析】(1)如解图1,作AG∥BC ,交CB 延长线于G,则四边形AGCD 为矩形.∴GC=AD=6, 但BC=3,∴GB=3.已知DE⊥AB 于E,∴△ AGB∽△ DEA.于是AB BGAB AE AD BGAD AE18. (2)延长AB ,DC 交于H.∵AD ∥BC,且AD =2BC,∴BC 为△ AHD 的中位线,故CH =DC =4. 由勾股定理知AH =10,AB=BH =5.沿DE ,CB 交于T,有△ AED∽△ BTE.Rt△ADH 中,DE ⊥AH, AE2AD 36 18,BE AB AEAH18 75 .于是5 510 5BT BE BT 75 7 7 7 16AD AE, BT6 18 185,CT 33 3 3由△ AFD ∽△ CFT ,知AF AD FCCT6 9.16 3 8( 3)如解图 3 有 ABBH 3 5,AE36 6, EH 6 56 246 5 555∵△ AEM ∽△ HEC ,ME AE ECEH6 5 1 .24 4517. ( 18分 ) 二 次 函 数 y 4 x22 m x n 的 图 象 与 x 轴 交 于A x 1,0 ,B x 2 ,o 两点 x 1 x 2 ,与 y 轴交于 c 点.( 1)若 AB=2,且抛物线的顶点在直线y=- x - 2 上,试确定 m,n 的值 ;( 2)在( 1)中 ,若点 P 为直线 BC 下方抛物线上一点 ,当△ PBC 的面积最大时 ,求 P 点坐标;( 3)是否存在整数 m,n,使得 1 x 12,1 x 22, 同时成立 ?请证明你的结论 .【解析】( 1) AB=2x 1 x 2x 2 x 12m2 m2x 2x 14 x 2 x 14 .由韦达定理 :x 1 x 2,故有 :n 44n 4 1抛物线的顶点为m 4n m 2, ,代入 y=-x - 2:4 44n m 2m m2m 2n2 2 代入( 1):4 4442m 0, m 48, 从而 n 12 .( 2)在( 1)的条件下 ,有: y24 x16x 12此抛物线的顶点为( 2,- 4),交 x 轴于 A ( 1,0) ,B ( 3,0) ,交 y 轴于 C(0,12)易求直线 BC 的解析式为 y4 x 12 .为使△ PBC 面积最大 ,只需点 P 与直线 BC 距离最远 .2设过P 且平行于BC 的直线解析式为y 4 x b ,代入抛物线解析式;4 x216x 12 4 x b 4 x212x 12 b 0.令144 16 12 b 0 9 12 b, b 3 .此时有x 3, y 433 3.即所求点的坐标为2 2 P3, 3 .2(3)(反证法)假如存在这样的整数m,n, 使得方程4x22mx n 0 之 2 根满足1 x , x2 .那么: 2< x x m<4, 4< m8, m为整数, m 5,6,7; 11 2 1 221<x1x2n<4, 44n 16, n为整数, nm25,6,7, ,15; 24m216n 0, n 34方程之 2 根为: x2m4m2 16n m m2 4n8 4由m m2 4n1 m 44m2 4n m28m 16 m24n n 2m 4 4由m m2 4n24m2 4 n8 m m2 4n 64 16m m2n 4m 16 5m2当m=5 时,2m-4=6>4 m-16=4,根据(3),(4),取2m-4< n ,即46 n 614,无整数解,舍去;m2当m=6 时, 2m-4=8=4 m-16, 根据(3),(4),取2m-4< n ,即48 n 9, 无整数解,舍去;2当 m=7 时, 2m - 4=10<4 m -16=12. 根据( 5)(,4),取 4m 16 n m, 即 12 4n 12 14无整数解 ,舍去 .据上分析 ,不存在整数 m,n,使得 1 x 1 2,1 x 22, 同时成立 .。
华一2015年真题
华师一附中2015年高中招生考试数学测试题详解考试时间:80分钟卷面满分:150分一.选择题(6分'6=36分)1,如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式4^~\n + b\ + >Jc2-2ac + a2可以化简为A.—a—b + cB.a—h—cC.-a-h-cD.a+b-c1题图【解析】由图知b<c<a<0.故= \a\ = —a,\a + h\ = —(a+b^y/c2—2ac + a2 =\c — a\ = a= -a + (a + b^ + (a—c) = a+b-c,选Z).2.反比例函数y = -~的图象与直线y = -kx + b交于两点,x则△Q48的面积为11 u 15 八13A —BA C.— D.—2 2 2【解析】(补形).'xy =代入:如=-4,.•.小=4;8(〃,1)代入:〃=-4.故有A(-1,4) 3(-4,1)•作AEA.y轴于E£D丄x轴于。
可知:心OE#2OD.旦S*E =S^D = ?xlx4 = 2 .延长EAQB交于C,则四边形CDOE是边长为4的正方形,且5-lCDOf =42=16, AJ5C是腰长为3的等腰直角三角形,且c 1 <95皿=于3 =-■9 15于是△Q48 的面积为S^BC = 16—2x2 ——=—3.设是一元二次方程x2+x-3 = 0的两根测、一4工;+15等于A.-4B.8C.6D.0【解析】(降次)由韦达定理:X] +工2 =—1=>工1 =一1一工2—《+工1 =3,城+*2 =3「.X:—4工;+15 =玉(3一工1)一4(一1一工1)2 + 15 = 3工]一工:一4(1 + 2.%+X《)+15=-5(蚌+X[ -3)-4 = -4,故选44.己知缶汾别是AABC的三边长,且满足2/ + 2胪+c4-2a2c2 + 2b2c2测△如C是A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形注:原題条件不完整(是代数式而不是条件等式).故无法解出.为试卷完整起见.将原題条件调整为:已知别是AABC 的三边长,且满足2a4+2b4 +c4-2a2c2-2b2c2 =0.^ABC【解析】由条件得:4/ + 4胪+2c A-4a2c2-4b2c2= 0,即(2/ -子)2 +^2h2 -c2)~ = 0,/.c2 = 2a1 =2b\或a = b且〃+b2 =c2.故^ABC是等腰直角三角形站B.5.在一节3数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40〃m的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住, 这样的圆形硬纸板的最小直径为(单位:mm)J.80V2 B.40 而C25 而 0.100【解析】当3个正方形按如图排列时,其外接圆直径最小.显然,这个圆是等腰梯形ABCD的外接圆Q这里AB//CD且C2?=40J5=80.5题解图设此等腰梯形的对称轴交AB于交CD于M则"V=80.,:AACD,:.OM<ON.设。