材料力学第七章弯曲剪应力

腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了 截面上的大部分弯矩。
对于标准工字钢梁：
t max
*
F SS zmax Izb
FS
b
Iz
/
S* Z max
在翼板上：
FN I
A* sⅠdA
My dA
I A* z
FN
M Iz
ydA
A*
M Iz
Sz*
FN II
A* (s Ⅱ)dA
(M dM )
即：M
dM Iz
S
* z
M Iz
S
* z
tbdx
t
S
* z
dM
Izb dx
结论：
t
FS
S
* z
Izb
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS
h2 (
y2)
I zb 2I z 4
6FS bh3
h 2 4
y2
S* z
A*
y* C
b
h
y
y
h 2
y
2
2
b 2
h2 4
y2
用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？
解：叠梁承载时，每
F
梁都有自己的中性层
L
FS
F
-FL
M
h 2
1.梁的最大正应力：
h 2
b
s max
1 2
M
max
W
其中：
W
b( h )2 2
bh2
6 24
s max
M max 2W
12FL bh2
s
F bh2 s
12l
F
2.当两梁用螺栓联为
h
一体时，中性轴只有
4m
解： FS max 40kN,
ql 2 M max 8 40 kN m
由正应力强度条件： s max
即40 103
p d 3 / 32
160106
A
M max [s ]
Wz
q 20 kN / m
得 d 137 mm
4m
由剪应力强度条件：40kN
Bd
t max
4 Fs max 3A
[t ]
即4 3
40103
pd2 /4
100106
得 d 26.1mm
所以
-40kN
•
40kN m
dmin 137 mm
例题 4-13
解: 1. 求tmax
梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，
Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm
Iz
bh3 12
b
F
S
h y
t
y
z
t max
t
t max
3 2
FS bh
2. 工字形截面梁 (1) 腹板上的切应力
t
FS
S
* z
Izd
其中
Sz*
b
h 2
2
h 2
y d
h 2
y
y
2
b
2
h
d 2
h 2
2
y
2
可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向 按二次抛物线规律变化。
(2) 在腹板与翼缘交界处：
mm
560 mm 2
21
mm 2
940 103 mm3
于是有：
ta
75 103 N 940 106 m3 65586 108 m4 12.5 103 m
8.6106 Pa 8.6 MPa
例题 4-13
腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。
tmax
例题 4-14
一简易吊车的示意图如图a所示，其中F=30 kN，跨 长 l=5 m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲
37.5 kN
m
例题 4-14
由型钢规格表查得20a号工字钢的Wz=237cm3。 梁的最大弯曲正应力为
s max
Mmax Wz
37.5 103 N m 237 106 m3
158106 Pa 158 MPa [s ]
例题 4-14
2. 校核切应力强度。 荷载移至紧靠支座A处(图d)时 梁的剪力为最大。此时的约束力FA≈F，相应的剪力 图如图e所示。FS,max=FA=30kN 对于20a号钢，由型钢规格表查得：
t
t
y
FNⅠ
FNII
z
y
A*
y
y A*
dFS
FNⅠ
y A*
FNII
FNI A* sⅠdA
A*
M y1 dA Iz
M Iz
A*
y1 dA
M Iz
Sz*
FNⅡ A* (s Ⅱ)dA
A*
(M
dM ) y1 dA Iz
M
dM Iz
A*
y1 dA
M
dM Iz
S* z
FN II FN I t bdx
A
y2 z2 d A
y2 d A
A
z2 d A
A
Iz Iy 2Iz
得出：
Iz
1 2
Ip
π
r03
从而有
t max
FS
S
* z
Iz 2
FS 2r02 π r03 2
FS 2 FS
r0 π
A
式中， A=2pr0 为整个环形截面的面积。
(4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲
时，其横截面上切应力的特征
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
N1
u
但是，如果从长为dx的梁段 中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如 图所示包含翼缘自由边在内的分离 体就会发现，由于横力弯曲情况下 梁的相邻横截面上的弯矩不相等， 故所示分离体前后两个同样大小的 部分横截面上弯曲正应力构成的合 力FN*1 FN*2
和 不相等，因而铅垂的纵截
Iz S*
z ,max
17.2cm,
d 7mm
例题 4-14
(e)
于是有
tmax
FS,max
Iz S*
z ,max
d
30103 N 17.2 102 m 7 103 m
24.9MPa [t ]
由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以 该梁是安全的。
例题 4-14
简支梁在移动荷载F作用下，全梁弯矩为最大时， F力的最不利位置，可用如上所述的由经验来判断。 也可用公式推导，即
处，其计算公式为
t max
FS
S
* z
Izd
FS
1 2
πd 4
2
πd 4 d
2d
3π
64
4FS 4FS
3
π 4
Hale Waihona Puke d23AII. 梁的切应力强度条件
图a所示受满布均布荷 载的简支梁，其最大弯矩 所在跨中截面上、下边缘 上的C点和D点处于单轴应 力状态(state of uniaxial stress) (图d及图e)，故根 据这些点对该梁进行强度 计算时其强度条件就是按 单轴应力状态建立的正应 力强度条件
规律变化的。
思考题: 试通过分析说明，图a中
所示上、下翼缘左半部分 和右半部分横截面上与腹 板横截面上的切应力指向 是正确的，即它们构成了 “切应力流”。
例题 4-13
由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求
梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹 板上a点处(图b)的切应力t a 。不计梁的自重。
t min
FS Izd
b
2
h
在中性轴处：
t max
FS
S
* z ,max
Izd
FS Izd
b
2
h
d 2
h 2
2
对于轧制的工字钢，上式中的 Iz就是型钢表 中给出的比值 ，此I值x 已把工字钢截S面z*,ma的x 翼缘厚 度变化和圆角等考虑S在x 内。
(3) 翼缘上的切应力
翼缘横截面上平行于 剪力FS的切应力在其上、 下边缘处为零(因为翼缘的 上、下表面无切应力)，可 见翼缘横截面上其它各处 平行于FS的切应力不可能 大，故不予考虑。分析表 明，工字形截面梁的腹板 承担了整个横截面上剪力 FS的90%以上。
S* z ,max
t
Izb
式中，[t ]为材料在横力弯曲时的许用切应力。
二.工字形截面梁的剪应力
翼缘
在腹板上：
b
hH
腹板
y
B
在翼缘上，有平行于FS的剪应力分量，分布情况 较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。
在翼缘上，还有垂直于FS方向的剪应力分量，它 与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。
力t 的大小和方向沿壁厚 无变
化； (2) 由于梁的内、外壁上无切
应力，故根据切应力互等定理 知，横截面上切应力的方向与 圆周相切；
(3) 根据与y轴的对称关系 可知：
(a) 横截面上与y轴相交的 各点处切应力为零；
(b) y轴两侧各点处的切应 力其大小及指向均与y轴对 称。
薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax
例题 4-13
解: 1. 求tmax
梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，
Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm