24隐枚举法(运筹学)ppt课件
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线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
最新高中信息技术--枚举算法精品ppt课件
高中信息技术--枚举算法
例1:一天小明回家看见妈妈好像有什么心事，于是小明关心地询问妈妈，怎么回 事？妈妈告诉小明，她不小心将单位的记录账目的单据碰到了污迹，现在很难 认出，这个数字是：113702?,怎么办？小明想了一想后，问妈妈这数有什么特点？ 妈妈说：“这数是144的整数倍”，马上，小明就帮助妈妈解决了这个问题。
、、、
i <=9
F
T
4650796
结束
4651706
4651716
千位数为1 ， 十位数从0——9一一枚举：
4651726
4651736 、、、
十位数从0—9 一一枚举
4651796
、、、、、、
千位数为9 ， 十位数从0——9一一枚 举：
4659706
4659716 4659726 4659736 、、、
4659796
j=j+1 Байду номын сангаас=i+1
提高题（模糊数据二）：模糊数字是465？7？6，它是144的
整数倍 。
开始
第二步：根据条件，找出真正的解
千位数为0 ， 十位数从0——9过一遍：
千位数为1 ， 十位数从0——9过一遍：
4650706
4650716 4650726 4650736 、、、
4650796 4651706
第二步：根据条件，检验出真正的解
开始
开始
i=0
i<=9 T
X=1137020+i
F 结束
F X mod 144=0
T
输出X
i=0
int(x/144)=x/144
i<=9 F T
或者
X=1137020+i
例1:一天小明回家看见妈妈好像有什么心事，于是小明关心地询问妈妈，怎么回 事？妈妈告诉小明，她不小心将单位的记录账目的单据碰到了污迹，现在很难 认出，这个数字是：113702?,怎么办？小明想了一想后，问妈妈这数有什么特点？ 妈妈说：“这数是144的整数倍”，马上，小明就帮助妈妈解决了这个问题。
、、、
i <=9
F
T
4650796
结束
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4651716
千位数为1 ， 十位数从0——9一一枚举：
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4651736 、、、
十位数从0—9 一一枚举
4651796
、、、、、、
千位数为9 ， 十位数从0——9一一枚 举：
4659706
4659716 4659726 4659736 、、、
4659796
j=j+1 Байду номын сангаас=i+1
提高题（模糊数据二）：模糊数字是465？7？6，它是144的
整数倍 。
开始
第二步：根据条件，找出真正的解
千位数为0 ， 十位数从0——9过一遍：
千位数为1 ， 十位数从0——9过一遍：
4650706
4650716 4650726 4650736 、、、
4650796 4651706
第二步：根据条件，检验出真正的解
开始
开始
i=0
i<=9 T
X=1137020+i
F 结束
F X mod 144=0
T
输出X
i=0
int(x/144)=x/144
i<=9 F T
或者
X=1137020+i
《数学]枚举法》PPT课件
![《数学]枚举法》PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/ec8c624a770bf78a6429545c.png)
*** × ** ----------
**** **** ---------*****
15
h
❖分析：实际上，只要知道乘数和被乘 数就可以写出乘法算式，所以我们可 以枚举乘数与被乘数的每一位。然后 再判断是不是满足条件即可。计算量 是45=1024，对于计算机来说，计算量 非常小。
16
h
例4 时钟问题（IOI94-4）
也叫局部枚举）
12
h
例2 谁是第几名
❖在某次数学竞赛中, A、B、C、D、E五名学生被取 为前五名。请据下列说法判断出他们的具体名次, 即谁是第几名？
❖条件1: 你如果认为A, B, C, D, E 就是这些人的 第一至第五名的名次排列, 便大错。因为:
没猜对任何一个优胜者的名次。
也没猜对任何一对名次相邻的学生。
▪ 来自若干个连续的段，每一个段中取一个分值； ▪ 每一个分值是所在段中最大的； ▪ 起点段和终点段任意，但途经段的分值和最大。
30
h
❖ 设Li为第I个段中的分值最大的段。即Li=Max{L1I， L2I，……，LMI}（1≦I≦N – 1）。例如对于样 例数据： L1=Max（-50，17，-42）=17； L2=Max（-47，-19，-3）=-3； L3=Max（36，-34，-43）=36； L4=Max（-30，-13，34）=34； L5=Max（-23，-8，-45）=-8；
3
h
枚举法的定义
❖所谓枚举法，指的是从可能的解的集 合中一一枚举各元素，用题目给定的 检验条件判定哪些是无用的，哪些是 有用的。能使命题成立的，即为解。
4
h
❖ 示例中的解变量有3个：A，B，C。其中 解变量A的可能取值范围A∈{1， … ，3}
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❖分析：实际上，只要知道乘数和被乘 数就可以写出乘法算式，所以我们可 以枚举乘数与被乘数的每一位。然后 再判断是不是满足条件即可。计算量 是45=1024，对于计算机来说，计算量 非常小。
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例4 时钟问题（IOI94-4）
也叫局部枚举）
12
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例2 谁是第几名
❖在某次数学竞赛中, A、B、C、D、E五名学生被取 为前五名。请据下列说法判断出他们的具体名次, 即谁是第几名？
❖条件1: 你如果认为A, B, C, D, E 就是这些人的 第一至第五名的名次排列, 便大错。因为:
没猜对任何一个优胜者的名次。
也没猜对任何一对名次相邻的学生。
▪ 来自若干个连续的段，每一个段中取一个分值； ▪ 每一个分值是所在段中最大的； ▪ 起点段和终点段任意，但途经段的分值和最大。
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❖ 设Li为第I个段中的分值最大的段。即Li=Max{L1I， L2I，……，LMI}（1≦I≦N – 1）。例如对于样 例数据： L1=Max（-50，17，-42）=17； L2=Max（-47，-19，-3）=-3； L3=Max（36，-34，-43）=36； L4=Max（-30，-13，34）=34； L5=Max（-23，-8，-45）=-8；
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枚举法的定义
❖所谓枚举法，指的是从可能的解的集 合中一一枚举各元素，用题目给定的 检验条件判定哪些是无用的，哪些是 有用的。能使命题成立的，即为解。
4
h
❖ 示例中的解变量有3个：A，B，C。其中 解变量A的可能取值范围A∈{1， … ，3}
运筹学ppt课件
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
0-1型整数规划的一般解法---隐枚举法解
若某人可做几件事，则将该人化作相同的几个“人”来接受指派，且费用系数取值 相同。
例如：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。
甲 15 20 10 9
乙
6
5
4
7
丙 10 13 16 17
15 20 10 9
6
5
4
7
10 13 16 17
10 13 16 17
指派问题与匈牙利法
4. 某事一定不能由某人做的指派问题
变，得到新的系数矩阵。
3 Ø0 2 4 Ø0 √
◎0 3 3 Ø0 5
√√
√
指派问题与匈牙利法
0Ø ◎0 3 0Ø 3
1
6
0◎ 2
Ø0
3 2 0Ø 0◎ 3
2
Ø0
2
◎0 4 4
3
◎0
0Ø 6
总费用为 =5+7+6+6+4=28
注：此问题有多个最优解
指派问题与匈牙利法
Ø0 Ø0 3 ◎0 3
3
◎0
选择直线外的最小元素 为1；直线外元素减1， 直线交点元素加1，其
4 1 ◎0 1 3
他保持不变。
4
Ø0
3
5
1
√
◎0 2 3 0Ø 5
√
指派问题与匈牙利法
1 ◎0 3 1 3 √
2
6
Ø0
3
0◎
√
l =m=4 < n=5
选择直线外最小元素为1， 直线外元素减1，直线交
4 2 ◎0 1 3 √ 点元素加1，其他保持不
指派问题与匈牙利法
用匈牙利法求出最优指派方案为：
例如：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。
甲 15 20 10 9
乙
6
5
4
7
丙 10 13 16 17
15 20 10 9
6
5
4
7
10 13 16 17
10 13 16 17
指派问题与匈牙利法
4. 某事一定不能由某人做的指派问题
变，得到新的系数矩阵。
3 Ø0 2 4 Ø0 √
◎0 3 3 Ø0 5
√√
√
指派问题与匈牙利法
0Ø ◎0 3 0Ø 3
1
6
0◎ 2
Ø0
3 2 0Ø 0◎ 3
2
Ø0
2
◎0 4 4
3
◎0
0Ø 6
总费用为 =5+7+6+6+4=28
注：此问题有多个最优解
指派问题与匈牙利法
Ø0 Ø0 3 ◎0 3
3
◎0
选择直线外的最小元素 为1；直线外元素减1， 直线交点元素加1，其
4 1 ◎0 1 3
他保持不变。
4
Ø0
3
5
1
√
◎0 2 3 0Ø 5
√
指派问题与匈牙利法
1 ◎0 3 1 3 √
2
6
Ø0
3
0◎
√
l =m=4 < n=5
选择直线外最小元素为1， 直线外元素减1，直线交
4 2 ◎0 1 3 √ 点元素加1，其他保持不
指派问题与匈牙利法
用匈牙利法求出最优指派方案为：
第二章 算法实例(枚举算法)ppt课件
检验可用分支结构实现。
检验
Y 是数学作业吗 N
放在左边
放在右边
9
若一个三位数X=100a+10b+c（a、b、c都是个位数），满足 a3+b3+c3=X,则X称为水仙花数，请设计算法，找出所有的水
仙花数。
研究范围
100 <= X <= 999
列举 分别得到三位数的百位a、十位b、个位c
检验
a3+b3+c3=X
请设计一个算法，输出所 有可能的分组方案。
22
开始 A=1
A<=14 N Y
B=1
B<=10 N Y
A*4+B*6=50 N Y
输出A,B B=B+1
A=A+1
结束
作业：
P25 1、2、3题
23
分析：
千位数和十位数 上的数字只能是 0-9中的一个。
i
j
10407
10417
10427
10437
10447
12
例1：涂抹数字
一张单据上有一个5位数的编码，其千位数和百位数已经变得
模糊不请。但是知道这个5位数是57或67的倍数。现在要设计
一个算法，输出所有满足这些条件的5位数，并统计这样的数
的个数。
No.1
47
分析:
范围：首先，千位数和百位数
可以填上00，01，02，……97，98，
99；得到10047，10147，……19947。建一个循环变量为j，从0到99的一个循环，
10
开始
X=100
X<=999
N
Y
a分=i别nt得(X到/三10位0) 数c的=X百%位1a0、
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》ppt
常规应用题的解法—— 枚举法
知识要点
我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣 题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。我们 可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把 问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数， 最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
余下的人还有4，8，12，16，20，24，28. 第三次站出来的人有4，12，20，28. 第四次站出来的人是8，24。 第五次只有16号，也是最后一个。 答：到第5次这些人全部都站出来了，最后站出来的人
应是第16号。 LOGO
总结：
本题应用了排除法，通过 列举每次变化后的数，最 后余下的数就是我们要找 的数。
LOGO
1.枚举法在数字组合中的应用。
按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。
【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数， 分别是哪几个数？
【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。 第一类：百位上为1的有：123 132 第二类：百位上为2的有：213 231 第三类：百位上为3的有：312 321
LOGO
巩固练习
1、从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地 有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有 几条路可走？
2、有7张卡片上写着数字2，3，4，5，6，7， 8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数 的个数是多少？
3、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙。 但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就 能配好全部的钥匙和锁？
复又不遗漏。 3．排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。
二、枚举的方法常用的有： 1、列表枚举。如我们第6讲中解决鸡兔同笼问题时采用 的列表法，就是采用列表枚举的方法。 2、画图枚举，为了更清楚地表示出所有可能的情形。用 画树图枚举法，能做到形象直观，条理分明，简炼易懂。 特别适用于找出所有的情形或结果。
知识要点
我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣 题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。我们 可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把 问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数， 最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
余下的人还有4，8，12，16，20，24，28. 第三次站出来的人有4，12，20，28. 第四次站出来的人是8，24。 第五次只有16号，也是最后一个。 答：到第5次这些人全部都站出来了，最后站出来的人
应是第16号。 LOGO
总结：
本题应用了排除法，通过 列举每次变化后的数，最 后余下的数就是我们要找 的数。
LOGO
1.枚举法在数字组合中的应用。
按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。
【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数， 分别是哪几个数？
【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。 第一类：百位上为1的有：123 132 第二类：百位上为2的有：213 231 第三类：百位上为3的有：312 321
LOGO
巩固练习
1、从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地 有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有 几条路可走？
2、有7张卡片上写着数字2，3，4，5，6，7， 8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数 的个数是多少？
3、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙。 但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就 能配好全部的钥匙和锁？
复又不遗漏。 3．排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。
二、枚举的方法常用的有： 1、列表枚举。如我们第6讲中解决鸡兔同笼问题时采用 的列表法，就是采用列表枚举的方法。 2、画图枚举，为了更清楚地表示出所有可能的情形。用 画树图枚举法，能做到形象直观，条理分明，简炼易懂。 特别适用于找出所有的情形或结果。
高中信息技术选修1《枚举算法》(共22张PPT)
提高任务：
如何统计 一共有多 少个可能 解？
得到可能的解
701778 711788 721798
虽然一共只得到3个可能解,其实并没有关 系，银行允许三次密码输错，福尔摩斯一定能 够取出里面钱，开心的度过美好的生日。
课堂练习
选择题
• 下列关于枚举算法的说法正确的是 （C ）
A.枚举算法是根据公式进行求解的 B.只要找到一个符合条件的解，枚举算法就结束 C.枚举算法可能也会找不到符合条件的解 D.枚举算法一般不包含选择结构
案情2
原来是福尔摩斯的好兄弟华生医生准备的厚礼。 可是，这钱却不能用真是让人不舒服。
正当福尔摩斯恼火的时候，只见便条的反面还写 着一段话：
1.密码6位，2,5位未知。 7X17Y8
2.既能被7整除，也能被11整除 3.小福，看你的了！嘻嘻
假如你是福尔摩斯
• 利用枚举算法思想解决问题：
1.确定范围
若科技是属于人工智能的 人类与人工智能对抗是 没有任何意义的
• 这种算法就叫做“枚举算法”，又称为“穷举法”。
méi
一一列举，逐个检验
流循程环图表结示 构嵌套选择结构
开始
开始
剩余钥匙>0？ N
Y 拿一个钥匙
剩余喜糖>0？
N
Y 拿一颗喜糖
N 能否打开？ Y
标记这个钥匙
N 是否喜欢？
Y 增加一颗喜糖
输出做标记的钥匙
结束
输出喜糖数目 结束
枚举算法的设计步骤
01
• 利用枚举算法思想解决问题：
1.确定范围 2.明确检验条件
3.选择控制方式
4.编程求解
20到29之间 被3除2，被5除3
有一个未知量 需要一层循环结构
隐枚举法的定义
隐枚举法
一种特殊的分支定界法.对0-1规划问题.利用变量只能取0或1的两个值的特性，进行分支定界，以达到隐枚举的目的.基本思路是：通过变量的变换，使目标函数中的系数全为非正.首先令全部变量取0，因为目标函数的系数全非正，所以此解相应的目标函数值s=0就是上界.若可行，则此解为最优解，计算终止.否则，有选择地指定其中某个变量为0或1，并把它们固定下来(称为固定变量)，将问题分解成两个子问题.然后，分别对它们进行检验，即对未被固定取值的变量(称为自由变量)，令其全部为0，检查它们与固定变量所组成的解是否可行.若可行，则此解就是目前最好的可行解(不一定是最优解)，不再分支，其相应的目标函数值就是原问题的一个下界;否则，在余下的自由变量中，继续上面的过程.经过检验，或者停止分支，修改下界，或者有选择地将某个自由变量转为固定变量，指定其为0或1，把子问题再分支.如此进行下去，直到全部子问题停止分支，或没有自由变量为止，而以其中最大的下界值所对应的可行解为最优解.。