材料力学弯曲刚度

EI
对于等截面梁，弯曲刚度为常量时
积分一次： ddw xl MEIxdxC
（转角方程）
积分二次： w M E (x)Id x d xC xD（挠度方程）
式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
3. 小挠度微分方程积分常数的确定 ——梁的约束条件（边界条件和连续性条件）
■ 挠曲线 ：梁变形后的轴线。
挠度方程：ww(x) 转角方程：(x)
注意：当变形保持在弹性范围内，挠曲线为连续光滑曲线。
2. 挠度与转角的关系
tanwdw A
dx
w
挠曲线
转角
C
B
x
C'
挠度w
B'
A
挠曲线 w
6.1 梁的变形与位移
tanwdw
dx
在小变形条件下，挠度曲 线较为平坦。
即很小，因而上式中tan。
例题2
积分后，得
E Id d 2 x w 2 1 M 1x 4 3F P x 0 x4 l
E Id d 2 x w 2 2 ＝ － M 2 x － 4 3 F P x ＋ F P x － 4 l 4 l x l
EI18 3FPx2 C1
EI1 w 8 1FPx3C1xD 1
3
11q4l
wCi1wCi38E 4 I,
B
3
Bi
i1
11ql3 48EI
处理具体问题时的注意点
讨论：叠加法应用于多个荷载作用的情形的解题步骤 ● 将其分解为各种荷载单独作用的情形 ● 由挠度表分别查得各种情形下的挠度和转角 ● 将所得结果叠加
思考题4
二梁的受力(包括荷载与约束力)是否相同？ 二梁的弯矩是否相同？ 二梁的变形是否相同？ 二梁的位移是否相同？ 位移不仅与变形有关，而且与约束有关。
wmax
wB
ql4 8EI
max
B
ql3 6EI
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题2
简支梁受力如图所示。
FP、EI、l均为已知。
求：加力点B的挠度和
支承A、C处的转角。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题2
解：1．确定梁约束力
首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。
E I8 6 4 128
算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为
wB
3 FPl3 256EI
A
7 128
FPl 2 EI
B
－ 5 128
FPl2 EI
处理具体问题时的注意点
dd2xw2 ME(xI)
讨论：积分法步骤总结
确定约束力 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程并积分 利用约束条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
6.1 梁的变形与位移
1. 基本概念
■ 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 （向右为正） ，横截面的铅垂对称轴为 w 轴（向下为 正） ， x w 平面为纵向对称面。
■ 度量梁变形
后横截面位置改
A
变，即位移，有
三个基本量。
w
B x
B'
6.1 梁的变形与位移
挠度deflection（ w）：横截面形心 C （即轴线上的点）
M
dx2 EI
w
d2w
M0, dx2 0
w
M0, dd2xw2 0
因此, M 与 w的正负号正好相反，所以
dd2xw2 ME(xI) （小挠度微分方程）
近似原因：（1） 略去了剪力的影响；（2）小挠度略去了 w2 项。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
2. 小挠度微分方程的积分
d2wM(x)
dx2
E2 I8 3F Px21 2F P x4 l 2C 2
E2 I w 8 1F Px31 6F P x4 l 3C 2xD 2
4． 利用约束条件和连续性条件确定积分常数
x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0
x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
D1＝D2 =0
C1＝C2 1728FPl2
的铅垂位移。
转角slope（）：变形后的横截面相对于变形前位置绕中
性轴转过的角度。
转角
A
C
B
x
挠度w
C'
w B'
6.1 梁的变形与位移
转角
A
C
B
x
挠度w
C'
w B'
轴向位移（ u ）：横截面形心沿水平方向的位移。
在小变形情形下，上述位移中，轴向位移u与挠 度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。
6.1 梁的变形与位移
第6章 弯曲刚度
各种车辆中用于 减振的板簧，都是 采用厚度不大的板 条叠合而成。
可以承受很大的力而不发生破坏 能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和 冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。 利用弯曲变形（刚度问题）
第6章 弯曲刚度
静不定梁
F
A
B
1/2L
1/2L
1 FL 32
(+) 9 FL 512
d2w
dx2
3
1
d
w
2
2
M x
EI
dx
小挠度情形下
2
dw2
1
dx
d2w Mx
dx2 EI
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与 w坐标的取向有关。
本书规定的坐标系为： x 轴水平向右为正, w 轴竖直 向下为正。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
o
x
M
M
o
M
x d2w M
重要的方法：叠加法（superposition method） 应用叠加原理及常见静定梁在简单荷载作用下
的挠度和转角，得到常见静定梁在复杂荷载作用下 的挠度与转角。
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
第6章 弯曲刚度
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
1. 叠加法前提
★ 在小变形，服从胡克定律的前提下 挠度、转角与荷载均为一次线性关系
实用的工具：挠度表（P157） 为方便工程计算，已将各种支承条件下的静定
梁，在各种典型荷载作用下的挠度和转角表达式一 一列出，并形成手册。
例题1
E Iw 'E I1qlx3C
6
EIw1qlx4CxD
24
C ql3 , 6
D ql3 24
5． 确定挠度与转角方程
w24 q E I lx44l3xl4
6q EIlx3l3
6． 确定最大挠度与最大转角
从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最
大值。 于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：
例题3
2.由挠度表查得三种情形下C
截面的挠度和B 截面的转角。
5 ql 4
w C 1 384
, EI
wC2
1 48
ql 4 ,
EI
w C3
1 16
ql 4 EI
B1
1 24
ql 3 , EI
B2
1 16
ql 3 ,
EI
B3
1 3
ql 3 EI
,
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
例题3
3. 应用叠加法，将简单荷载 作用时的结果分别叠加。
3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
E Id d 2 x w 2 1 M 1x 4 3F P x 0 x4 l
E Id d 2 x w 2 2 ＝ － M 2 x － 4 3 F P x ＋ F P x － 4 l 4 l x l
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
写出下图的边界条件、连续性条件：
F
A
C
a
b
l
x0,wA0
xl,wB0
xa， CC
xa， w Cw C
D
h
B
F EA
A
C
a
bB
l
x0,wA0
xa， C C
xa， w Cw C
xl,w B lBD FEBAy h
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
4. 梁的连续光滑挠曲线的绘制 由M的方向确定轴线的凹凸性。 由约束性质及连续光滑性确定挠度曲线的大致
2
E Iw 'E I1qlx3C
6
EIw1qlx4CxD
24
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题1
O
x
w
E Iw 'E I1qlx3C
6
EIw1qlx4CxD
24
4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为： x0， w0 x0，=dw0
dx
C
ql3 ,
6
ql3 D
24
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
×
×
√
×
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
5、积分法求解小挠度微分方程举例
例题1
左端固定、右端自由的 悬臂梁承受均布荷载。均布 荷载集度为q ，梁的弯曲刚度
为EI 、长度为l。q、EI 、l 均
已知。
求：梁的挠度与转角方程， 以及最大挠度和最大转角。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题1
O
x w
1. 小挠度微分方程
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 1 M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数 。细长
梁可以略去剪力对梁的位移的影响, 则
力学中的曲率公式
1
x
Mx
EI
d2w
1
dx2
数学中的曲率公式
x
3
1
d
w
2
2
dx
-y
中性层曲率中心
y d
A' A'
O'
y O'
z dx
x
变形后
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
梁的边界条件
①在固定端处：
x 0 , A w A 0 , w 0
A
Bx
w
②在固定铰支座和滚动铰支座处：
A
w
l
x0, w A0;
B x
xl, w B0.
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
梁的连续性条件
①在集中力作用处：
P
A
C
B
wC wC
C
Cwenku.baidu.com
M
A C
②在中间铰处： B
a
l
wC wC
练习
解： 2. 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为
AB段
M 1x3 4FPx 0x4 l
BC段
M 2x 3 4F P x － F P x － 4 l 4 l x l
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题2
M 1x3 4FPx 0x4 l M 2x 3 4F P x － F P x － 4 l 4 l x l
2. 第一类叠加法
——应用于多个荷载作用的情形
例题3
简支梁受力如
图所示，q、l、EI
均为已知。
求：C截面的挠 度wC ；B截面的转
角B。
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
例题3
解：1.将梁上的荷载变 为三种简单的情形。
w Cw C 1w C 2w C 3
BB 1B2B3
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
形状及位置。
思考题1
弯矩？
约束？
连续光滑？
试根据连续光滑性质以及
约束条件，画出梁的挠度曲线 的大致形状。
×
×
×
√
思考题2
弯矩？
约束？
连续光滑？
试根据连续光滑性质以
及约束条件，画出梁的挠度 曲线的大致形状。
×
×
×
√
思考题3
弯矩？
约束？
连续光滑？
试根据连续光滑性质
以及约束条件，画出梁的 挠度曲线的大致形状。
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题2
5．确定转角方程和挠度方程以及指 定横截面的挠度与转角
将所得的积分常数代入后,得 到梁的转角和挠度方程为：
AB段 BC段
xE FP I8 3x212 78l2
xE F P I8 3x21 2x4 l212 78l2
wxFP1x37l2x
EI 8 128
w xF P 1x31 xl 37l2x
Nanjing University of Technology
材料力学 (6)
材料力学
第6章 弯曲刚度
第6章 弯曲刚度
工程中的弯曲变形问题
限制弯曲变形 （刚度问题）
第6章 弯曲刚度
机械传动机构中的齿轮 轴，当变形过大时(图中虚 线所示)，两齿轮的啮合处 也将产生较大的变形。
影响两个齿轮之间的啮合 加大齿轮磨损，产生很大的噪声 机床主轴的挠度过大会影响加工精度； 限制弯曲变形（刚度问题）
思考题5
FP
A
B
C BC段梁均视为
刚体。
BC段有没有变形？有没有位移？没有变形 为什么会有位移？
总体变形是微段变形累加的结果。
有位移不一定有变形。
6.3 叠加法确定梁的挠度与转角
3. 第二类叠加法 ——应用于间断性分布荷载作用的情形
例题4
悬臂梁受力如图所
示，q、l、EI均为已知。
于是有
转角
C
Bx
w 挠度
C'
B'
挠度与转角的相互关系
w dw
dx
6.1 梁的变形与位移
■ 挠度和转角符号的规定 挠度：向下为正，向上为负。 转角：顺时针转为正，逆时针转为负。
A 挠曲线
w
转角
C
B
x
C'
w 挠度
B'
第6章 弯曲刚度
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
(+) 9 FL 512
求解静不定问题 建立补充方程 利用弯曲变形（求解静不定问题）
第6章 弯曲刚度
6.1 梁的变形与位移 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角 6.4 梁的刚度问题 6.5 提高梁刚度的措施 6.6 简单的静不定梁
第6章 弯曲刚度
6.1 梁的变形与位移
x
M(x)
FQ(x)
解：1．建立Oxw坐标系
2．建立梁的弯矩方程
M (x ) 1 q l x2
2 3． 建立微分方程并积分
0 x l
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得
EIw"M1qlx2
2
d2wM(x) dx2 EI
6.2 梁的小挠度微分方程及其积分
例题1
O
x
积分后，得到
w
EIw"M1qlx2