信噪比最大的最佳线性滤波器

信噪比最大的最佳线性滤波器

⏹最佳线性滤波器的推导

⏹最佳线性滤波器的性质

102030405060708090100-0.500.511.50102030405060708090100

-0.50

0.5

1

1.5

高信

噪比 低信

噪比

How to increase SNR?

信噪比：输出端信号在t=t 0时的瞬时功率与噪声的平均功率之比 s t d E n t 20

0020()[()]h (t ) X (t )=s (t )+n (t )

Y (t )=s 0(t )+n 0(t ) 确知信号 零均值平稳随机过程

信噪比最大

01()()()2j t s t H S e d ∞ω-∞

=ωωωπ⎰220

1[()]()()2n E n t H G d ∞-∞=ωωωπ⎰输出噪声功率为: 最大

)]([)(2002

00t n E t s d =h (t ) X (t )=s (t )+n (t )

Y (t )=s 0(t )+n 0(t ) 输出信号为:

分析思路：利用许瓦兹不等式 222()()|()||()|A B d A d B d ∞

∞∞-∞-∞-∞≤⎰⎰⎰ωωωωωωω()*()A cB ω=ω等号成立的条件 0202()()12()()j t n S H e d d G H d ∞ω-∞

∞-∞ωωω

=πωωω⎰⎰022()()()()12()()j t n n n S G H e d G G H d ∞ω-∞∞-∞ωωωωω=πωωω⎰⎰0**()()()()()/()

j t n n A H G e cB cS G ωω=ωω=ω=ωω0)

()()(*t j n e G S c H ωωωω-⋅=

002

02

2

22()()()()12()()()()()()12()()j t n n n j t n n n S G H e d G d G H d S d G H e d G G H d ∞ω-∞∞

-∞∞∞ω-∞-∞∞-∞ωωωωω=πωωωωωωωωω≤πωωω⎰⎰⎰⎰⎰

2

1()2()n S d G ∞-∞ω=ωπω⎰2()12()n S d G ∞-∞ω=ωπω⎰0max d =

2

()12()n S d G ∞-∞ω=ωπω⎰0max d 0)

()()(*

t j n e G S c H ωωωω-⋅=最佳滤波器：

最大输出信噪比：

最佳滤波器:

()()()

n S H c G ωω=⋅ω（1）幅频特性

: 0arg ()arg ()H S t ω=-ω-ω（

2）相频特性: 0)()()(*t j n e G S c H ωωωω-⋅=抑制噪声,增强信号

0)(arg )(arg t S H ωωω--=000[arg ()arg ()]()1()()()21()()21()()2j t j S S t t j t t s t S H e d S H e d S H e d ∞ω-∞∞ω-ω-ω+ω-∞

∞ω--∞

=ωωωπ=ωωωπ=ωωωπ⎰⎰⎰0arg ()arg ()H S t ω=-ω-ω（2）相频特性:

✓抵消输入信号相角argS(ω)的作用； ✓输出信号s 0(t)的全部频率分量的相位在t=t 0时刻相同，达到了相位相同、幅度相加的目的。

(3) 输出信号在t=t 0达到最大 000()*2

2()1()()()21()()/()2()()/()22()

j t j t t n j t t n n s t S H e d S cS e G d S c

c S e G

d d G ∞ω-∞∞

ω--∞∞

∞ω--∞-∞=ωωω

π=ωωωω

πω=ωωω≤ω

ππω⎰⎰⎰⎰(4) 最大信噪比

0max cd =2

max ()

1

2()o n S d d G ∞-∞ω=ω

πω⎰

本节小结：

⏹最佳滤波器的推导

0*()()/()

j t n H cS e G -ωω=ωω⏹最佳滤波器的性质

幅频特性：抑制噪声、增强信号；

相频特性：补偿掉输入信号的相移、调节相移达到幅度同相相加。噪声是功率相加； t 0时刻输出信号最大。 022()()12()()j t n S H e d G H d ∞ω-∞

∞-∞ωωω

=πωωω

⎰⎰s t d E n t =200020()[()]