流体力学第5章 平面势流理论
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.2.1 复速度和共轭复速度
平面势流的流动复势已知时，便可以对复势求导，
若复势
W(z)i
对 z 进行微分，得
y
dW iiuiv
u+iv v
dz x x y y
O
x
复势导数的实部是 轴向的速度分量 ，
导数的虚部是y轴向的速度分量 的负值，
u-iv
如图5.2所示。
图5.2 复速度
工程流体力学
dW u iv
x2 y2 4的环量和通过这一围线的流量。
【解】 平面势流具有叠加原理，将两个或更多的简单 平面势流叠加成复杂的平面势流，复杂流动的复势只须 将原先简单流动的复势简单地代数相加即可。
工程流体力学
（1）解析下式：W (z)2lnz 2lnz2ln(z3)
z3
对于2lnz ， 是源强度 m 4π 放置于（0,0）点的复势；
工程流体力学
2.源和汇
当将源或汇置于极坐标的原点时，复势
W(z)mlnrim
2π
2π
m (lnri)m (lnrlnei)
2π
2π
mlnrei mlnz
2π
2π
若源或汇置于复平面 z 0 处，则其复势
W(z)2m πln(zz0)
工程流体力学
3.环流
（1）点涡。点涡也称平面圆旋，是一团无限长的直圆 筒形流体，流体质点均绕本身的中心旋转，旋转的角速 度 ，大小是 ，方向是直圆筒轴线方向。涡束的半径
y
O
x
图5.6 绕 圆 柱 体 无 环 量 流 动
图5.6 绕圆柱体无环量流动
工程流体力学
（1）当均流叠加源流，会有半无限物体的流线形状， 如图5-7(a)所示。
（2）当均流叠加等强度源汇，会有绕朗金椭圆（如 图5.7(b)所示）和开尔文椭圆（如图5.7(c)所示）的流 线形状。
-m
U0
+m U0
工程流体力学
5.1 平面势流的复势
5.1.1 复势的定义
在平面势流中，同时存在着速度势 和流函数 ，
流速场在直角坐标系中有关系式
u x y
v －
y
x
工程流体力学
这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的，可以组 成一个解析复变函数
W(z)i
式中 z xiy, i 1
解析复变函数称为流动的复势。平面势流必然对 应一个确定的复势W(z)，而一个复势也代表一种平面 势流。
【解】有以下解析式：
W ( z ) ( A B i ) l n z A l n z B il n z
对于W 1(z)Alnz是强度为m2πA的源（汇）放置于 （0,0）点的复势；
对于W2(z)Bilnz，则是强度为 2πB的点涡放置于 （0,0）点的复势。（当B0时，点涡为顺时针方向 旋转，反之则为逆时针方向旋转）
pS,max p12U02
而上，下侧点 C 和 D 处 ( 900) 压强最小：
pS,min p32U02
定义压强因数：
Cp
ps p
12U02
14sin2
圆柱表面压强分布图5.10所示。
工程流体力学
Cp 1
III 实 测 (湍 流 ) 0
III
-1 II
II 实 测 (层 流 )
-2
I
I 理想流体
2 π r
2 π r c o s i s i n
M 1 2π z
工程流体力学
若偶极子放置在 z z0 处，且偶极子中源到汇的方向 同 x 轴，则复势
W(z) M 1 2π z z0
若偶极子中源到汇的方向与 x 轴成 角，则复势
M ei W(z)
2π z - ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
工程流体力学
5.2 复速度
2.复速度积分
在平面流场中取一封闭曲线l，复速度对闭合回路l 的积分为
ld W d z (z )d z ld W (z ) l(d id ) ld ild
物理意义是复速度沿封闭曲线l的积分，其实部等于沿该
曲线的速度环量
，虚部等于由内向外通过该封闭曲线
l
的体积流量 Q l。
工程流体力学
【例5.1】平面不可压缩流体势流，若流场的复势是 Waz2(a0)，在原点处压强为 p 0，试求：（1）上半 平面的速度分布；（2）绘制上半平面的流线图；（3） 沿x轴的压强分布。
C
工程流体力学
y
即
A Bln rC
lneAlnrBC
x
lnrBeA C
Ψ c' φ c
也即
A
r C1e B
同理，等势线为
r
B
C2e A
图 5.5 平 面 涡 源 流
它们都是对数螺线，如图5.5所示。 图5.5 平面涡源流
工程流体力学
5.3 求解平面势流复势的方法
在许多情况下直接找流动的复势要比求解 和 来
vrS 0
vS 2U0sin
工程流体力学
如图5.9所示，在圆柱的前后驻点 A 和 B 上 ( 1800
和 0 0 ) 速度 v 0 ；在上下侧点 C 和 D 上 ( 900) ，速度
分别为 v m2U0，速度的大小是来流速度的两倍，是圆
柱面上最大速度点。
（2）圆柱体表面压强分布
U0
D
2U0
无穷远处来流压强为 p ，
则圆柱体表面上任意点的压强
A
B
p S 由拉格朗日方程求得：
p2U02 pS 2v2
C
2U0
图5.9 圆柱表面特殊点速度
其中
v 2U0sin
得
ps p1 2U02(14sin2)
工程流体力学
圆柱体表面的压强 p S 分布关于 x ，y 轴对称，前后驻点
A ，B 处 ( 180，0 0 0 ) 的压强最大 ：
z 2z z 2z 3
22πi104πi
故
z 2 0
Qz 2 4π
由于在 x2 y2 4区域内无点涡存在，故环流的强 度为零。由于在 x2 y2 4内有强度为 4 π 的源存在，故 体积流量为 4 π 。
工程流体力学
【例5.3】某一平面势流，其流动复势为一般的对数函 数W (z)(AB i)lnz（A，B为实常数）；试分解这种流 动为最简单的流动和绘制流动图形。
工程流体力学
由于速度势和流函数又满足柯西-黎曼 （Cauchy-Riemann）条件，因此也可以利用复变 函数这门数学工具求解平面势流。
在平面势流中通过速度势求得流速场，并可利 用伯努利方程求得压强场，从而沿物体表面积分 便得到流体与物体之间的作用力。平面势流理论 在工程实践中应用十分广泛，是理论流体动力学 的重要部分。
工程流体力学
5.1.2 几种简单的平面势流复势
1.均匀直线流动（均流）
当流动速度为U 0 ，方向同x轴方向一致时，复势
W ( z ) U 0 x iU 0 y U 0 ( x iy ) U 0 z
y
若均流的 uU0 cos，v U0 sin，
U0
如图5.1所示，则复势
W(z)U0eiz
O
x
图5.1 不同方向的均流
工程流体力学
第5章 平面势流理论
在不可压缩理想流体中，当流动无旋时， 称为势流，若又可简化为平面流动时，这种流 动称为二维势流，也称平面势流。在平面势流 中不仅存在速度势 ，同时存在流函数 。它们 均满足拉普拉斯方程，由于拉普拉斯方程是二 阶线性方程，可以应用叠加原理，利用已有的 一些解的叠加，以寻求满足给定边界条件和初 始条件下具有实际背景的许多问题的解答。
+m -m
U0
+m
(b)
(a)
(c)
图5.7 均流和源叠加（a）、均流和源、汇叠加（b）、（c）
当均流叠加偶极子组合，会有圆柱流线形成。它们 组合流场的复势为
工程流体力学
W (z)
W1 (z) W2 (z) U 0 z
M 2p
1 z
(M
0)
对于这个组合流场，只要选择适当的偶极子强度 M
和均流速度 U
-3
0
90°
180°
图5.10 圆 柱 体 表 面 压 强 分 布
图5.10 圆柱体表面压强分布
在前后驻点处 ( 1800， 0 0 ) ，C p 为最大值，即 C p 1 ； 在 900 处，C p 为最小值，即 C p 3 ；
在 300和 1500 处，C p 0 ，即该处的压强 p p0 。
得容易，本章简单介绍三种在一定条件下求解平面势流 复势的方法。
工程流体力学
5.3.1 奇点分布法
上面已经介绍了几种简单的平面势流并给出了它们 的复势，这几种简单流动称为流体力学奇点。所谓奇点 分布法：
1.绕圆柱无环量的流动
将无限长圆柱体放置在 均流中，就是绕圆柱体无环 量的流动，其流动图形如图 5.6所示。观察流线图谱可 发现以下现象：
在流场中，取一封闭的空间曲线 l，在l上取微分线段dl，如图5.3所
示 ，该处流体速度为v ，则定义
l v dl 为沿曲线l的速度环量，以 l
表示（简称环量）。
l
v dl
l
x
ludlvdywdz
z
v dl
l
O
y
图5.3 速度环量
工程流体力学
流动是势流，那么存在速度势 (x,y,z,t)
Γll xdx ydy zdzld
U0(1ar22)rcos
流线族
U0(1ar22 )rsin
y
U0(1ar22)rsinC
U0
x
如图5.8所示。
图5.8 均流叠加偶极流场
工程流体力学
W(z)
U0z
a2 z
（1）流场的速度分布：
vr r U0(1ar22)cos v rU0(1a r2 2)sin
设 S 点为圆柱表面上任意一点，则 rS a ，速度分布为
是 a，且是一个小量，因此也称它为点涡。点涡的强度
2πa2
式中 a——涡束的半径；
——内部流体质点旋转角速度大小； ——速度环量。
工程流体力学
（2）环流。由于圆旋的存在，则周围流体将引起一个
诱导速度场，也称为环流，该诱导速度场是平面势流。 若点涡的强度是 ，将它置于原点，点涡的旋转方向是 逆时针，则 0 ，若是顺时针，则 0 。其复势
的大小，使一条零流线与圆柱表面 (r
0
a)
正好重合即可。
首先引入 z rei，得
W(z)U0rei2M πrei
展开上式可得
U0rcos2M πrcos
U0rsin2M πrsin
工程流体力学
为确定零流线，令 ，r a，那么可得到零流线 与圆柱面 r a重合的条件为
M2πa2U0
流场的势函数和流函数分别为
dW
dz
通常称 d z 为复速度，称
复速度的模是速度的大小
dW dz
为共轭复速度。显然
dW u2 v2 U dz
复速度有可能写为
dW Uei dz
一旦得到复势，就可以得到流场的速度场
u
R
e
dW (z) dz
v
Im
dW (z) dz
工程流体力学
5.2.2 复速度的积分
1.速度环量
工程流体力学
流动图形的分析 ：
W ( z ) ( A B i ) l n z ( A B i ) l n r e i ( A l n r B ) i ( A B l n r )
故速度势函数 AlnrB
流函数
ABlnr
流场中速度分布
vr
r
A r
v
r
B r
v A2 B2 r
流线
工程流体力学
从压强分布图可以看出，压强在圆柱表面是对称于
x ，y 轴的，因而沿圆柱表面积分而得的合力必然等于零。
这一结论可以推广到任意形状的物体上去，故物体在理 想流体中作等速直线运动时，所受到的阻力等于零，这 就是著名的达朗贝尔佯缪。
【解】 （1）复速度
dW 2az2a(xiy)2axi2ay dz
则流场的速度分布
u 2ax
v
2
a
y
工程流体力学
（2）由复势
W a z 2 a ( x i y ) 2 a ( x 2 y 2 ) i2 a x y
得流函数 2axy
流线方程 常量，xyC ( y 0) 上半平面的流线图如图5.4所示。
W(z)i lnr
2π 2π
(ilnr)(lnri)
2π
2πi
ln z 2πi
点涡置于复平面处，则其复势
W(z)2πiln(zz0)
工程流体力学
4.偶极子
当等强度的源、汇（源至汇的方向为x方向）无限靠 近，并置于原点时，复势
W (z)McosiMsin
2π r 2π r
M 1 c o s i s i n M 1 ( c o s i s i n ) ( c o s i s i n )
（3）由于流动是无旋的， 按拉格朗日方程求压强分布
p V2 C
2 式中 V u2 v2 2ar；
r——原点到该点的距离。
y
O
x
图5.4 W = az 2的流线图
工程流体力学
当 r 0处，p p0，V 0，C p0，此时
p0
p4a2r2
2
即 pp02a2r2为平面中各点压强分布。
【例5.2】已知某一平面势流，其流动复势为W(z)2lnzz3， （1）试分解这种流动为最简单的流动；（2）求沿圆周
对于2lnz(3)，是汇强度m 4π放置于（3,0）点的复势。
（2）沿x2 y2 4圆周的环量和通过该围线的流量为
Γz2Rez2ddW z(z)dz
Qz2Im Z2ddW z(z)dz
dW dz
2 1z
z
1 3
工程流体力学
按留数定理
dd W z2 ( 1 d z 1d z)
z 2d z
平面势流的流动复势已知时，便可以对复势求导，
若复势
W(z)i
对 z 进行微分，得
y
dW iiuiv
u+iv v
dz x x y y
O
x
复势导数的实部是 轴向的速度分量 ，
导数的虚部是y轴向的速度分量 的负值，
u-iv
如图5.2所示。
图5.2 复速度
工程流体力学
dW u iv
x2 y2 4的环量和通过这一围线的流量。
【解】 平面势流具有叠加原理，将两个或更多的简单 平面势流叠加成复杂的平面势流，复杂流动的复势只须 将原先简单流动的复势简单地代数相加即可。
工程流体力学
（1）解析下式：W (z)2lnz 2lnz2ln(z3)
z3
对于2lnz ， 是源强度 m 4π 放置于（0,0）点的复势；
工程流体力学
2.源和汇
当将源或汇置于极坐标的原点时，复势
W(z)mlnrim
2π
2π
m (lnri)m (lnrlnei)
2π
2π
mlnrei mlnz
2π
2π
若源或汇置于复平面 z 0 处，则其复势
W(z)2m πln(zz0)
工程流体力学
3.环流
（1）点涡。点涡也称平面圆旋，是一团无限长的直圆 筒形流体，流体质点均绕本身的中心旋转，旋转的角速 度 ，大小是 ，方向是直圆筒轴线方向。涡束的半径
y
O
x
图5.6 绕 圆 柱 体 无 环 量 流 动
图5.6 绕圆柱体无环量流动
工程流体力学
（1）当均流叠加源流，会有半无限物体的流线形状， 如图5-7(a)所示。
（2）当均流叠加等强度源汇，会有绕朗金椭圆（如 图5.7(b)所示）和开尔文椭圆（如图5.7(c)所示）的流 线形状。
-m
U0
+m U0
工程流体力学
5.1 平面势流的复势
5.1.1 复势的定义
在平面势流中，同时存在着速度势 和流函数 ，
流速场在直角坐标系中有关系式
u x y
v －
y
x
工程流体力学
这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的，可以组 成一个解析复变函数
W(z)i
式中 z xiy, i 1
解析复变函数称为流动的复势。平面势流必然对 应一个确定的复势W(z)，而一个复势也代表一种平面 势流。
【解】有以下解析式：
W ( z ) ( A B i ) l n z A l n z B il n z
对于W 1(z)Alnz是强度为m2πA的源（汇）放置于 （0,0）点的复势；
对于W2(z)Bilnz，则是强度为 2πB的点涡放置于 （0,0）点的复势。（当B0时，点涡为顺时针方向 旋转，反之则为逆时针方向旋转）
pS,max p12U02
而上，下侧点 C 和 D 处 ( 900) 压强最小：
pS,min p32U02
定义压强因数：
Cp
ps p
12U02
14sin2
圆柱表面压强分布图5.10所示。
工程流体力学
Cp 1
III 实 测 (湍 流 ) 0
III
-1 II
II 实 测 (层 流 )
-2
I
I 理想流体
2 π r
2 π r c o s i s i n
M 1 2π z
工程流体力学
若偶极子放置在 z z0 处，且偶极子中源到汇的方向 同 x 轴，则复势
W(z) M 1 2π z z0
若偶极子中源到汇的方向与 x 轴成 角，则复势
M ei W(z)
2π z - ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
工程流体力学
5.2 复速度
2.复速度积分
在平面流场中取一封闭曲线l，复速度对闭合回路l 的积分为
ld W d z (z )d z ld W (z ) l(d id ) ld ild
物理意义是复速度沿封闭曲线l的积分，其实部等于沿该
曲线的速度环量
，虚部等于由内向外通过该封闭曲线
l
的体积流量 Q l。
工程流体力学
【例5.1】平面不可压缩流体势流，若流场的复势是 Waz2(a0)，在原点处压强为 p 0，试求：（1）上半 平面的速度分布；（2）绘制上半平面的流线图；（3） 沿x轴的压强分布。
C
工程流体力学
y
即
A Bln rC
lneAlnrBC
x
lnrBeA C
Ψ c' φ c
也即
A
r C1e B
同理，等势线为
r
B
C2e A
图 5.5 平 面 涡 源 流
它们都是对数螺线，如图5.5所示。 图5.5 平面涡源流
工程流体力学
5.3 求解平面势流复势的方法
在许多情况下直接找流动的复势要比求解 和 来
vrS 0
vS 2U0sin
工程流体力学
如图5.9所示，在圆柱的前后驻点 A 和 B 上 ( 1800
和 0 0 ) 速度 v 0 ；在上下侧点 C 和 D 上 ( 900) ，速度
分别为 v m2U0，速度的大小是来流速度的两倍，是圆
柱面上最大速度点。
（2）圆柱体表面压强分布
U0
D
2U0
无穷远处来流压强为 p ，
则圆柱体表面上任意点的压强
A
B
p S 由拉格朗日方程求得：
p2U02 pS 2v2
C
2U0
图5.9 圆柱表面特殊点速度
其中
v 2U0sin
得
ps p1 2U02(14sin2)
工程流体力学
圆柱体表面的压强 p S 分布关于 x ，y 轴对称，前后驻点
A ，B 处 ( 180，0 0 0 ) 的压强最大 ：
z 2z z 2z 3
22πi104πi
故
z 2 0
Qz 2 4π
由于在 x2 y2 4区域内无点涡存在，故环流的强 度为零。由于在 x2 y2 4内有强度为 4 π 的源存在，故 体积流量为 4 π 。
工程流体力学
【例5.3】某一平面势流，其流动复势为一般的对数函 数W (z)(AB i)lnz（A，B为实常数）；试分解这种流 动为最简单的流动和绘制流动图形。
工程流体力学
由于速度势和流函数又满足柯西-黎曼 （Cauchy-Riemann）条件，因此也可以利用复变 函数这门数学工具求解平面势流。
在平面势流中通过速度势求得流速场，并可利 用伯努利方程求得压强场，从而沿物体表面积分 便得到流体与物体之间的作用力。平面势流理论 在工程实践中应用十分广泛，是理论流体动力学 的重要部分。
工程流体力学
5.1.2 几种简单的平面势流复势
1.均匀直线流动（均流）
当流动速度为U 0 ，方向同x轴方向一致时，复势
W ( z ) U 0 x iU 0 y U 0 ( x iy ) U 0 z
y
若均流的 uU0 cos，v U0 sin，
U0
如图5.1所示，则复势
W(z)U0eiz
O
x
图5.1 不同方向的均流
工程流体力学
第5章 平面势流理论
在不可压缩理想流体中，当流动无旋时， 称为势流，若又可简化为平面流动时，这种流 动称为二维势流，也称平面势流。在平面势流 中不仅存在速度势 ，同时存在流函数 。它们 均满足拉普拉斯方程，由于拉普拉斯方程是二 阶线性方程，可以应用叠加原理，利用已有的 一些解的叠加，以寻求满足给定边界条件和初 始条件下具有实际背景的许多问题的解答。
+m -m
U0
+m
(b)
(a)
(c)
图5.7 均流和源叠加（a）、均流和源、汇叠加（b）、（c）
当均流叠加偶极子组合，会有圆柱流线形成。它们 组合流场的复势为
工程流体力学
W (z)
W1 (z) W2 (z) U 0 z
M 2p
1 z
(M
0)
对于这个组合流场，只要选择适当的偶极子强度 M
和均流速度 U
-3
0
90°
180°
图5.10 圆 柱 体 表 面 压 强 分 布
图5.10 圆柱体表面压强分布
在前后驻点处 ( 1800， 0 0 ) ，C p 为最大值，即 C p 1 ； 在 900 处，C p 为最小值，即 C p 3 ；
在 300和 1500 处，C p 0 ，即该处的压强 p p0 。
得容易，本章简单介绍三种在一定条件下求解平面势流 复势的方法。
工程流体力学
5.3.1 奇点分布法
上面已经介绍了几种简单的平面势流并给出了它们 的复势，这几种简单流动称为流体力学奇点。所谓奇点 分布法：
1.绕圆柱无环量的流动
将无限长圆柱体放置在 均流中，就是绕圆柱体无环 量的流动，其流动图形如图 5.6所示。观察流线图谱可 发现以下现象：
在流场中，取一封闭的空间曲线 l，在l上取微分线段dl，如图5.3所
示 ，该处流体速度为v ，则定义
l v dl 为沿曲线l的速度环量，以 l
表示（简称环量）。
l
v dl
l
x
ludlvdywdz
z
v dl
l
O
y
图5.3 速度环量
工程流体力学
流动是势流，那么存在速度势 (x,y,z,t)
Γll xdx ydy zdzld
U0(1ar22)rcos
流线族
U0(1ar22 )rsin
y
U0(1ar22)rsinC
U0
x
如图5.8所示。
图5.8 均流叠加偶极流场
工程流体力学
W(z)
U0z
a2 z
（1）流场的速度分布：
vr r U0(1ar22)cos v rU0(1a r2 2)sin
设 S 点为圆柱表面上任意一点，则 rS a ，速度分布为
是 a，且是一个小量，因此也称它为点涡。点涡的强度
2πa2
式中 a——涡束的半径；
——内部流体质点旋转角速度大小； ——速度环量。
工程流体力学
（2）环流。由于圆旋的存在，则周围流体将引起一个
诱导速度场，也称为环流，该诱导速度场是平面势流。 若点涡的强度是 ，将它置于原点，点涡的旋转方向是 逆时针，则 0 ，若是顺时针，则 0 。其复势
的大小，使一条零流线与圆柱表面 (r
0
a)
正好重合即可。
首先引入 z rei，得
W(z)U0rei2M πrei
展开上式可得
U0rcos2M πrcos
U0rsin2M πrsin
工程流体力学
为确定零流线，令 ，r a，那么可得到零流线 与圆柱面 r a重合的条件为
M2πa2U0
流场的势函数和流函数分别为
dW
dz
通常称 d z 为复速度，称
复速度的模是速度的大小
dW dz
为共轭复速度。显然
dW u2 v2 U dz
复速度有可能写为
dW Uei dz
一旦得到复势，就可以得到流场的速度场
u
R
e
dW (z) dz
v
Im
dW (z) dz
工程流体力学
5.2.2 复速度的积分
1.速度环量
工程流体力学
流动图形的分析 ：
W ( z ) ( A B i ) l n z ( A B i ) l n r e i ( A l n r B ) i ( A B l n r )
故速度势函数 AlnrB
流函数
ABlnr
流场中速度分布
vr
r
A r
v
r
B r
v A2 B2 r
流线
工程流体力学
从压强分布图可以看出，压强在圆柱表面是对称于
x ，y 轴的，因而沿圆柱表面积分而得的合力必然等于零。
这一结论可以推广到任意形状的物体上去，故物体在理 想流体中作等速直线运动时，所受到的阻力等于零，这 就是著名的达朗贝尔佯缪。
【解】 （1）复速度
dW 2az2a(xiy)2axi2ay dz
则流场的速度分布
u 2ax
v
2
a
y
工程流体力学
（2）由复势
W a z 2 a ( x i y ) 2 a ( x 2 y 2 ) i2 a x y
得流函数 2axy
流线方程 常量，xyC ( y 0) 上半平面的流线图如图5.4所示。
W(z)i lnr
2π 2π
(ilnr)(lnri)
2π
2πi
ln z 2πi
点涡置于复平面处，则其复势
W(z)2πiln(zz0)
工程流体力学
4.偶极子
当等强度的源、汇（源至汇的方向为x方向）无限靠 近，并置于原点时，复势
W (z)McosiMsin
2π r 2π r
M 1 c o s i s i n M 1 ( c o s i s i n ) ( c o s i s i n )
（3）由于流动是无旋的， 按拉格朗日方程求压强分布
p V2 C
2 式中 V u2 v2 2ar；
r——原点到该点的距离。
y
O
x
图5.4 W = az 2的流线图
工程流体力学
当 r 0处，p p0，V 0，C p0，此时
p0
p4a2r2
2
即 pp02a2r2为平面中各点压强分布。
【例5.2】已知某一平面势流，其流动复势为W(z)2lnzz3， （1）试分解这种流动为最简单的流动；（2）求沿圆周
对于2lnz(3)，是汇强度m 4π放置于（3,0）点的复势。
（2）沿x2 y2 4圆周的环量和通过该围线的流量为
Γz2Rez2ddW z(z)dz
Qz2Im Z2ddW z(z)dz
dW dz
2 1z
z
1 3
工程流体力学
按留数定理
dd W z2 ( 1 d z 1d z)
z 2d z