分枝定界搜索算法
分枝定界法
4
x1
x2 x1
16.5 4
x1 0, x2 0
结论1 ：（IP）的最优解一定在某个子问题中
2 ：子问题的可行域 父问题的可行域 子问题的最优解 ≤ 父问题的最优值
3 ：子问题中的整数解都是（IP）的可行解
二: 定界,以每个后继问题为一分枝标明求解结 果,在解的结果中,找出最优目标函数值最大者作 为新的上界.从已符合整数条件的各分支中,找出 目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界 为0.
x1 x2 x3 x4 x5 解
检 0 0 -20/3 0 -50/3 Z-440/3
x2 0
x1 1 x4 0
1 1/3 0
00
0
0 -1/3 1
-2/3 17/6 13 -10/3 5/3
L1最优解：x1 3，x2 17 6 , x3 0
x4
5 3
,
x5
0,
最优值：z1
440 3
求解子问题L3 :
x1 x2 x3
检 0 0 -20/3
x2 0 1 1/3 x1 1 0 0 x4 0 0 -1/3
x6 0 1 0
x4 x5
x6
0 -50/3 0
00 1
解 Z-440/3 17/6 3 5/3
2
最优解：
xx14
35，/ 2x，2 x52, x03,
11 4，x2 0，x4
3, 52，
z3 130 得下界
x5 14 , x6 0
z4
285 2
z3
L5
:x1 x3
2，x2 0，x4
分支定界算法
分支定界 (branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有孩子结点；2 ．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的孩子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式：1 ． FIFO(First In First Out) 分支定界算法：按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。
2 ．最小耗费或最大收益分支定界算法：在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。
如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。
又称分支定界搜索法。
过程系统综合的一类方法。
该法是将原始问题分解，产生一组子问题。
分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。
如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。
分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。
用该法寻求整数最优解的效率很高。
将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。
分支定界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。
在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。
分支定界算法实验报告
一、实验目的通过本次实验，掌握分支定界算法的基本原理，并学会在实际问题中运用分支定界法求解整数规划问题。
了解算法的搜索策略、分支与定界方法，以及剪枝技巧，从而提高解决实际问题的能力。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 运行环境：Python 3.8三、实验原理分支定界算法是一种用于求解整数规划问题的方法。
它通过构建一个搜索树，将问题分解为一系列子问题，并对这些子问题进行求解。
在搜索过程中，算法会根据子问题的上下界和当前最优解进行剪枝，以减少搜索空间，提高求解效率。
四、实验步骤1. 问题建模：根据实际问题，建立整数规划模型，并确定决策变量、目标函数和约束条件。
2. 分支策略：选择一个分支变量，按照该变量的取值范围进行分支。
例如，如果决策变量x只能取整数，则将x分别取上界和下界，得到两个子问题。
3. 定界策略：对每个子问题，求解其线性松弛问题的最优解，得到该子问题的上界和下界。
4. 剪枝策略：根据子问题的上下界和当前最优解，判断是否需要剪枝。
如果子问题的上界小于当前最优解，则可以剪枝。
5. 求解子问题：对需要求解的子问题，重复执行步骤2-4，直到找到最优解。
五、实验内容本次实验以背包问题为例，说明分支定界算法的求解过程。
背包问题：给定一组物品，每个物品具有重量和价值，背包的容量有限。
求解在不超过背包容量的情况下，如何选择物品，使得背包中的物品总价值最大。
模型：设背包容量为C，物品数量为n，决策变量为x_i（i=1,2,...,n），表示是否选择第i个物品。
目标函数：最大化总价值V = Σ(v_i x_i)约束条件：- 背包容量约束：Σ(w_i x_i) ≤ C- 决策变量约束：x_i ∈ {0,1} (i=1,2,...,n)分支定界算法求解过程：1. 问题建模：根据背包问题的描述，建立整数规划模型。
2. 分支策略：选择重量最大的物品作为分支变量，将x_i分别取0和1，得到两个子问题。
分支定界法知识
分支定界(branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有子结点；2 ．在产生的子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
分支定界法本质还是一种枚举法，但是是隐枚举法。
它是整数规划领域中非常重要的一类算法思想。
是很多重要算法的源头。
它能解决的实际问题很多，最著名的一个应该就是求解背包问题。
定义分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。
这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。
算法步骤第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。
如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。
否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。
第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。
这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。
否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。
另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。
第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。
对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。
第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。
最短路径问题的分支定界算法
最短路径问题的分支定界算法最短路径问题是图论中的重要问题之一，它在许多实际应用中具有广泛的意义。
为了解决最短路径问题，我将介绍一种有效的算法——分支定界算法。
一、问题描述最短路径问题是要找到图中两个顶点之间的最短路径。
给定一个带权有向图，其中顶点表示路径上的地点，边表示路径的长度。
我们需要找到从起点到终点的最短路径。
二、分支定界算法原理分支定界算法是一种穷举搜索算法，通过分解问题的解空间，并确定每个子问题的解上下界，以逐步缩小搜索空间。
以下是分治定界算法的基本步骤：1. 初始化a. 定义一个队列，用于存放候选路径；b. 设置初始最短路径长度为正无穷；c. 将起点加入队列。
2. 分支定界a. 从队列中取出当前路径，并计算路径长度；b. 如果当前路径长度大于等于当前最短路径长度，则剪枝，继续下一个路径；c. 如果当前路径的终点是目标终点，则更新最短路径长度和最短路径，继续下一个路径；d. 否则，扩展当前路径，将其邻节点添加到队列中。
3. 终止条件a. 当队列为空时，终止搜索，得到最短路径。
三、算法实现以下是使用分支定界算法解决最短路径问题的伪代码：```初始化队列；初始化最短路径长度为正无穷；将起点加入队列；while (队列非空) {取出当前路径，并计算路径长度；if (当前路径长度大于等于当前最短路径长度) {剪枝，继续下一个路径；}if (当前路径的终点是目标终点) {更新最短路径长度和最短路径；继续下一个路径；}扩展当前路径，将其邻节点添加到队列中；}返回最短路径；```四、案例分析为了更好地理解分支定界算法的应用，我们以一个简单的案例来说明。
假设有一个城市地图，其中包含多个地点，我们需要找到从起点到终点的最短路径。
首先，我们将起点添加到队列，并初始化最短路径长度为正无穷。
然后，通过不断从队列中取出路径，并计算路径长度，进行分支定界操作。
在每一步分支定界操作中，我们根据当前路径长度与最短路径长度的比较，以及当前路径终点是否为目标终点，来进行剪枝或更新最短路径。
分枝定界法
2x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP4 : x1 ≥ 4，x2 ≤ 6，x1 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0 即x1 = 4, 可行域是一条线段
6
LP1 LP3
max Z = 4 x1 + 3x2
LP5:X=(5,5),Z5=35 1.2 x1 + 0.8x2 ≤ 10
C o 3 4 5 10
B
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP1 : x1 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 max Z = 4 x1 + 3x2
LP1
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
LP2
C o 3 4 10
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP2 : x1 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0
x1
x2 ① ② 10 A
选择目标值最大的分枝 2进行分枝，增加约束 LP x2 ≤ 6及x2 ≥ 7，显然x2 ≥ 7不可行，得到线性规划
max Z = 4 x1 + 3x2
x2 ≥ 7不可行
B 6
LP1 LP3
1.2 x1 + 0.8x2 ≤ 10 2x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP3 : x1 ≥ 4，x2 ≤ 6 x1 , x2 ≥ 0
1.2x1 + 0.8x2 = 10
10 A B
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7
2x1 + 2.5x2 = 25
C o 10 x1
x2 ① ② 10 A
增加约束x1 ≤ 3及x1 ≥ 4得到两个线性规划
分支定界法——精选推荐
分⽀定界法分⽀定界法（branch and bound）是⼀种求解离散数据组合的最优化问题。
该算法执⾏的效率取决于你所找的问题解空间的上下界，如果找到⼀个很紧凑的上下界进⾏剪枝操作，该算法的执⾏效率会⾮常⾼，因此它是最有可能在多项式时间内求解NP问题的算法。
使⽤分⽀定界算法的⼀般步骤为：构造⼀棵搜索树，该搜索树指的是所有解空间，因此通过遍历该搜索树可以遍历到所有的解；构造问题解的上下界，上界⼀般为之前求出的最优解，下界为⽆约束条件下当前搜索路径的最优解，上下界的主要作⽤是对搜索树进⾏剪枝；通过回溯法遍历搜索树，并且不断更新上下界，如果当前解的下界已经超过上界，则进⾏剪枝；遍历结束时，所求的解为最优解。
接下来通过⼀个实例来讲解分⽀定界算法：某公司于⼄城市的销售点急需⼀批成品，该公司成品⽣产基地在甲城市。
甲城市与⼄城市之间共有 n 座城市，互相以公路连通。
甲城市、⼄城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵M1 给出。
每段公路均由地⽅政府收取不同额度的养路费等费⽤，具体数额由矩阵 M2 给出。
请给出在需付养路费总额不超过 1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到⼄城市的最短运送路线。
(题⽬来源：北航研究⽣算法课)⾸先构造⼀棵搜索树，该搜索树并不需要显⽰的构建，⽽是在搜索过程中所遵循的⼀种搜索规则。
对于上述问题，以甲城市为根节点构建⼆叉树，其它节点由剩余城市表⽰，树的左⼦树表⽰当前路径包含该⽗节点，树的右⼦树表⽰当前路径不包含该⽗节点。
如图所⽰该搜索路径所表⽰的实际路径为1-3-4，即路径中不包含城市2。
然后分析该问题解的上下界：搜索路径的上界为当前已经求出的满⾜条件的最短路径长度。
搜索路径的下界为当前路径长度与⽆约束条件下路径终点到城市⼄的最短路径长度之和。
若上界⼤于下界，则可以继续搜索；若上界⼩于下界，则表⽰⽆更优解，此时可进⾏剪枝操作。
其中⽆约束条件下的任意点到城市⼄的最短路径长度可以使⽤Dijkstra或Floyd算法预先求出。
第七章 分支限界法
旅行售货员问题
2. 问题分析
可能解空间： 可能解集合S={1,∏, 1} ∏是{2,3,……,n}的一个排列；
所以可能解的总数 |S| = (n-1)! (n-1)!。 当n=4时，其状态解空间一共有3!=6 条路径。
对此设计代价函数： 1）C(x)=从根到节点x的距离（x为叶子） 2）C(x)=x的子树中最小代价的叶子节点的代价（x为 内部节点）
生成问题状态的基本方法
扩展结点: 扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点: 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称 做活结点 死结点: 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R 产生了它的一个儿子C 就把C当做新的扩展结点。 产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成 对子树C 为根的子树）的穷尽搜索之后， 对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成 扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 宽度优先的问题状态生成法： 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点 之前， 之前，它一直是扩展结点 回溯法：每当出现死节点就进行回溯， 回溯法：每当出现死节点就进行回溯，通过继续扩展父节 点产生新的活节点，直至找到最优解。 点产生新的活节点，直至找到最优解。 分支限界法：每个活节点有且只有一次机会变成扩展节点、 分支限界法：每个活节点有且只有一次机会变成扩展节点、 当一个节点变为扩展节点时，则生成所有的子节点（ 当一个节点变为扩展节点时，则生成所有的子节点（分 支）。
剪枝操作。根据约束条件、目标函数的界来设计剪枝操 作。 优先队列。设计待检测结点的优先级。 2．分枝限界法的基本思想 树的优先队列优先搜索 + 剪枝
分支定界算法解决最短路径问题
分支定界算法解决最短路径问题分支定界算法是一种常用的解决最短路径问题的方法。
该算法通过不断分支和界定，逐步缩小搜索空间，最终找到最短路径。
本文将介绍分支定界算法的原理、应用以及一些优化技巧。
一、算法原理分支定界算法通过将问题分解为一系列子问题，并对每个子问题进行搜索和剪枝操作，来减小问题的规模。
其基本步骤如下：1. 确定问题的模型：将最短路径问题转化为图论问题，即从起点到终点寻找一条路径，使得路径上的总权重最小。
2. 初始化条件：设定起点和终点，初始化最短路径长度为无穷大。
3. 构建搜索树：从起点开始，依次向下搜索，每次扩展一个节点，并计算当前路径的总权重。
4. 剪枝操作：根据问题的性质，在搜索过程中，剪去不可能产生最优解的路径，减少搜索的时间和空间开销。
5. 更新最短路径：在搜索过程中，记录当前最短路径的长度，并更新最优解。
6. 终止条件：当搜索到达终点或者搜索树为空时，终止搜索，并输出最短路径长度。
二、算法应用分支定界算法在实际问题中有着广泛的应用，其中最短路径问题是其中一个重要的领域。
例如，在交通规划中，分支定界算法可以用于寻找最短路径，以帮助司机选择最优的行驶路线。
在物流配送中，也可以使用分支定界算法来规划货物的最短路径，以减少成本和时间。
此外，在电路布线、网络路由等领域，分支定界算法也有着应用。
三、算法优化为了提高分支定界算法的效率和精确度，可以采取一些优化技巧：1. 启发式搜索：引入启发式函数来指导搜索的方向，选择有可能导致更短路径的节点进行扩展，在一定程度上减少搜索空间。
2. 剪枝策略：根据问题的特点，设计合适的剪枝策略，避免无效搜索和重复计算。
3. 并行计算：利用多线程或分布式计算的方法，同时搜索多个子问题，加速算法的执行速度。
4. 动态规划：在一些具有重叠子问题性质的问题中，可以使用动态规划技术，避免重复计算，减少时间和空间开销。
四、总结分支定界算法是解决最短路径问题的一种有效方法，通过不断分支和界定，可以高效地找到最短路径。
分支定界例子
分支定界例子分支定界是一种在搜索或优化问题中使用的算法技术。
它通过将问题空间划分为若干个子空间，并使用界限函数来确定哪些子空间有可能包含最优解。
通过逐步缩小搜索范围，分支定界算法能够高效地找到问题的最优解或接近最优解。
下面是一些使用分支定界算法的例子：1. 背包问题：给定一组物品，每个物品有重量和价值，和一个背包的容量。
目标是找到一组物品，使得它们的总重量不超过背包的容量，并且总价值最大。
分支定界算法可以通过计算每个子问题的上界（当前最优解的价值加上剩余物品的最大价值）来确定是否需要进一步探索该子问题。
2. 旅行商问题：给定一组城市和它们之间的距离，旅行商要找到一条最短的路径，使得他可以从一个城市出发，经过每个城市一次，最后回到出发城市。
分支定界算法可以通过计算当前路径的总距离，并与已知最短路径进行比较，来决定是否需要继续探索该路径。
3. 图的最大团问题：给定一个无向图，最大团问题要求找到一个完全子图，使得子图中的每两个顶点之间都有边相连，并且该子图的顶点数最大。
分支定界算法可以通过计算当前子图的顶点数，并与已知最大团的顶点数进行比较，来决定是否继续扩展该子图。
4. 线性规划问题：线性规划是一种数学优化问题，目标是找到一组变量的取值，使得线性目标函数在一组线性约束条件下取得最大或最小值。
分支定界算法可以通过计算当前解的目标函数值，并与已知最优解进行比较，来决定是否需要进一步搜索该解空间。
5. 任务分配问题：给定一组任务和一组工人，每个任务有不同的工作量，每个工人有不同的能力。
任务分配问题要求将任务分配给工人，使得总工作量最小。
分支定界算法可以通过计算当前任务分配的总工作量，并与已知最优解进行比较，来决定是否需要继续搜索该任务分配方案。
6. 棋盘覆盖问题：给定一个大小为2^n x 2^n的棋盘和一个特殊方块，棋盘覆盖问题要求用特殊方块覆盖棋盘上除一个方块外的所有方块，且每个特殊方块都恰好覆盖2个方块。
cartographer 分支定界法
cartographer 分支定界法Cartographer是一种分支定界法（Branch and Bound）算法，用于解决寻找最优解的问题。
它可以应用于许多领域，如地图制作、路径规划、图像处理等。
我们来了解一下什么是分支定界法。
分支定界法是一种穷举搜索的算法，通过逐步扩展解空间，剪枝无效分支，最终找到最优解。
该算法通常适用于问题的解空间非常大的情况下，可以通过剪枝操作减少搜索空间，提高计算效率。
在地图制作中，Cartographer可以用来解决路径规划问题。
假设我们想要从起点A到达终点B，同时希望走最短的路径。
利用Cartographer算法，我们可以将地图抽象成一个图，其中每个节点表示一个地点，每条边表示两个地点之间的道路。
我们将起点A作为初始节点加入解空间。
然后，根据当前节点的邻居节点，生成新的解空间。
这些邻居节点可以看作是从当前节点出发的所有可能路径。
然后，我们计算每个邻居节点的路径长度，并将其加入解空间。
在生成新的解空间后，我们需要进行剪枝操作。
剪枝操作的目的是排除掉一些明显不可能达到最优解的路径。
例如，如果当前节点到终点的路径长度已经大于已知的最短路径长度，那么我们可以直接剪枝，不再搜索这条路径。
通过不断生成新的解空间、剪枝操作，我们可以逐步缩小搜索空间，最终找到最优解，即从起点A到达终点B的最短路径。
除了路径规划，Cartographer还可以用于其他地图相关的问题。
例如，在室内定位中，我们可以利用Cartographer算法来估计用户的位置。
通过将建筑物抽象成一个图，其中每个节点表示一个位置，每条边表示两个位置之间的可达性，我们可以利用Cartographer 算法来寻找用户所在的位置。
Cartographer还可以应用于图像处理领域。
例如，在图像分割中，我们可以将图像抽象成一个图，其中每个节点表示一个像素，每条边表示两个像素之间的相似性。
通过Cartographer算法，我们可以找到图像中不同区域的边界，从而实现图像分割的目标。
平行机排序问题的分支定界法
平行机排序问题的分支定界法平行机排序问题是一种重要的计算问题，其解决方案需要采用高效的算法。
其中，分支定界法是一种有效的算法，它可以在较短的时间内求出精确的解。
本文将介绍分支定界法在解决平行机排序问题中的应用。
首先，我们需要了解什么是平行机排序问题。
平行机排序问题是指将m个长度为n的无序数列分别在m台相同的并行计算机上排序的问题。
解决这个问题的目的是将n个数据分配到m个处理器上，使得每个处理器处理相同数量的数据并且每个处理器所处理的数据之间不重叠。
这个问题的解决方案直接影响着计算机并行运算的效率。
接下来，我们来了解一下分支定界法的基本原理。
分支定界法是一种搜索算法，它通过确定搜索空间的界限，缩小搜索范围来寻求最优解。
具体地，它通过分别计算每个分支节点的界限，并将它们压入一个优先队列中，然后不断地从队列中取出界限最小的节点进行搜索。
这种方法的优势在于，它可以避免遍历整个搜索空间，从而减少搜索时间。
在采用分支定界法解决平行机排序问题时，我们需要采取以下步骤：1. 设定一个节点表示的状态为：第index台机器已经处理完前k个任务的状态。
2. 计算当前节点的上、下界限。
上限为该节点状态下的最大已经处理完的任务，下限为该节点状态下的最小就能得到最优解的任务。
3. 将上、下界限压入优先队列中，并在队列中不断寻找下一个最优解。
4. 每找到一个新节点，都需要计算其上、下界限，并将这些界限压入优先队列中。
5. 当找到一个整个搜索空间中的最优解或队列为空时，搜索过程结束。
在实际应用中，分支定界法能够通过合理的界限计算和优化，以较高的效率求解平行机排序问题。
这种方法的最大优势在于，可以通过委托各个处理器计算各自的界限，大大减少了计算时间和工作量。
综上所述，采用分支定界法解决平行机排序问题，可以通过压缩搜索空间、优化界限计算等方法实现高效的计算并行，从而实现高效的求解。
当然，这种方法仍需要针对具体的问题进行优化和调整，以发挥出最大的效益。
分支定界算法
分支定界算法
分支定界算法是一种全局最优解的搜索算法，它通过对搜索空间的分割和剪枝来求解最优解。
它是一种分支限定法，可以在多种优化问题中应用，用于求解最优解，如最大化目标函数、最小化目标函数等。
分支定界算法的基本思想是：在搜索空间中选择一个基本变量（未知变量），然后根据某种启发式规则，将它分成两个子空间，从而有效地减少搜索空间。
接着，对子空间中的每一个变量尝试求解，最终求得一个最优解。
分支定界法的优点在于可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。
分支定界法常用于解决复杂的优化问题，如最优路径搜索、最优调度等。
它可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。
虽然分支定界法可以有效地解决复杂的优化问题，但它也存在一定的局限性。
首先，搜索空间的大小会影响求解的效率，如果搜索空间太大，分支定界法就不能有效地求解最优解；其次，分支定界法要求基本变量的取值范围可以被明确定义，否则难以进行搜索；最后，分支定界法对于高维变量的搜索也不太友好。
分支定界法是一种有效的搜索算法，可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率，广泛应用于多种优化问题中，而且它还有一定的局限性。
分枝定界最小值
分枝定界最小值分枝定界是一种常用的优化算法，用于求解最小值问题。
它通过不断地将问题划分成更小的子问题，并根据一些特定的条件，选择性地深入某些子问题，从而达到减少计算量的目的。
本文将通过介绍分枝定界的基本原理和应用场景，来详细解析这一算法的实现过程和优势。
一、分枝定界的基本原理分枝定界的基本原理是将原始问题不断地划分成更小的子问题，直到找到最优解或者确定无解为止。
具体来说，该算法通过以下步骤来实现：1. 初始化：设置初始界限，确定搜索范围。
2. 分枝：将问题划分成更小的子问题，每个子问题都是原问题的一个可能解。
3. 限界：根据问题的约束条件和界限条件，判断每个子问题的可行性和优劣，将不符合条件的子问题进行剪枝。
4. 更新界限：根据已知的最优解和剪枝操作，更新界限，缩小搜索空间。
5. 重复分枝和限界操作，直到找到最优解或者确定无解。
二、分枝定界的应用场景分枝定界算法可以应用于多种最小值问题的求解，例如：1. 旅行商问题：寻找经过多个城市的最短路径。
2. 背包问题：在给定的物品集合中，选择一些物品放入背包，使得物品的总价值最大，同时不超过背包的容量限制。
3. 作业调度问题：给定多个作业的执行时间和机器的可用时间，将作业分配到机器上，使得完成所有作业的时间最短。
三、分枝定界的优势分枝定界算法具有以下优势：1. 高效性：通过不断地剪枝操作，可以大大减少搜索空间，减少计算量，提高算法的效率。
2. 可行性保证：分枝定界算法能够确保找到问题的最优解或者确定无解，具有一定的可行性保证。
3. 灵活性：分枝定界算法可以根据具体问题的特点和约束条件进行灵活调整，适用于多种不同的最小值问题。
四、分枝定界的实现过程分枝定界的实现过程可以分为以下几个步骤：1. 确定问题的目标函数和约束条件。
2. 初始化界限和搜索空间。
3. 通过分枝操作生成子问题，并计算子问题的界限。
4. 根据界限条件和约束条件，进行剪枝操作，排除不符合条件的子问题。
分支界定搜索算法
x1 x 2 x3 x 4 x5
xx 1 2x 3x4
xx 4
x1 x4 x2x4
x3x4
x3x5 xxx 125
x4x5
x4x5
x1x3 x2x3 xx 1 2
xx x1x5 xx 2 5 x3x5 34
图7-6 分枝定界搜索算法示意图
现假设自底向上，再由上向下的搜索方式从最右节点开始在树的 每个节点评估特征，进行特征选择。设初始叶节点的J为 J 0 （为x4 x5 的准则函数），在每个节点处，将节点的准则函数值和目前最优特征 集的J值进行比较，如果节点准则函数值大于J 0 ，则还有发现更佳特 征集的机会，而且必须继续沿着最右边的未勘探分枝搜索。如果到达 了树底的叶节点且相应准则值大于 J 0 ，则此节点定义了当前新的最 佳特征集，而 J 0 则作相应更新。 另一方面，如果在某节点的准则函数值小于 J 0 ，则以此节点为 起始点的分支就不需勘探。因为根据单调性，再往下的特征组合将导 致准则函数值的进一步减小。如此按这一规律，由底向上，再自上而 下，从右向左搜索全树，可获得最佳的二特征组合。此搜索算法特别 快捷有效。
x
（1） （2）
x
x
（j ）
x
（D ）
（7- 2- 47）
其准则函数
J （x ） （j ） 应满足
J （x ） J （x ） （1） （2）
J （x ） （D ）
( 7- 2- 48)
这点由构造特征评判准则的定义可得到保证。
为引出分枝定界搜索算法的基本观点，考虑从5个特征中挑选2 个特征值的问题。特征中所有可能组合如图7-6所示的树表示，顶称 为根节点，底称为叶节点，中间称枝节点，供有D-d+1层。
分支定界法详解
分⽀定界法详解1、概念：分⽀定界算法(Branch and bound，简称为BB、B&B, or BnB)始终围绕着⼀颗搜索树进⾏的，我们将原问题看作搜索树的根节点，从这⾥出发，分⽀的含义就是将⼤的问题分割成⼩的问题。
⼤问题可以看成是搜索树的⽗节点，那么从⼤问题分割出来的⼩问题就是⽗节点的⼦节点了。
分⽀的过程就是不断给树增加⼦节点的过程。
⽽定界就是在分⽀的过程中检查⼦问题的上下界，如果⼦问题不能产⽣⼀⽐当前最优解还要优的解，那么砍掉这⼀⽀。
直到所有⼦问题都不能产⽣⼀个更优的解时，算法结束。
2、例⼦：⽤BB算法求解下⾯的整数规划模型因为求解的是最⼤化问题，我们不妨设当前的最优解BestV为-INF，表⽰负⽆穷。
1.⾸先从主问题分出两⽀⼦问题：通过线性松弛求得两个⼦问题的upper bound为Z_LP1 = 12.75，Z_LP2 = 12.2。
由于Z_LP1 和Z_LP2都⼤于BestV=-INF，说明这两⽀有搞头，继续往下。
2.3.从节点1和节点2两个⼦问题再次分⽀，得到如下结果：⼦问题3已经不可⾏，⽆需再理。
⼦问题4通过线性松弛得到最优解为10，刚好也符合原问题0的所有约束，在该⽀找到⼀个可⾏解，更新BestV = 10。
⼦问题5通过线性松弛得到upper bound为11.87>当前的BestV = 10，因此⼦问题5还有戏，待下⼀次分⽀。
⽽⼦问题6得到upper bound为9<当前的BestV = 10，那么从该⽀下去找到的解也不会变得更好，所以剪掉！4.对节点5进⾏分⽀，得到：⼦问题7不可⾏，⽆需再理。
⼦问题8得到⼀个满⾜原问题0所有约束的解，但是⽬标值为4<当前的BestV=10，所以不更新BestV，同时该⽀下去也不能得到更好的解了。
6.此时，所有的分⽀遍历都完成，我们最终找到了最优解。
3、算法过程（以最⼩化问题minimize f(x)为例）1、使⽤启发式，找到优化问题的解决⽅案xh。
分支定界法原理简介
分支定界法原理简介分支定界法是一种广义搜索算法，人工使用非常繁琐，但由于计算机的运算速度快的特点，这种算法十分适合计算机进行。
分支定界法是计算机最擅长的广义搜索穷举算法。
基本思想：1. 松弛模型的最优解要优于其相应的整数规划的解由于松弛模型可行解的区域（多边形）包含了对应的整数规划的可行解的集合（多边形内的整数点），因而松弛模型的解要优于整数规划的解。
这就是说，如果问题是求最大值的，则松弛模型最优解对应的目标函数值必大于或等于整数规划最优解对应的目标函数值；如果问题是求最小值的，则松弛模型的最优解对应的目标函数值必小于或等于整数规划最优解对应的目标函数值。
由此可以推出：2. 松弛模型的最优解如果是整数解，则必然也是整数规划的最优解。
3. 松弛模型的最优解如果不是整数解，则如果问题是求最大值的，松弛模型最优解的目标函数值是整数规划最优解目标函数值的一个上界；如果问题是求最小值的，则松弛模型最优解的目标函数值是整数规划最优解目标函数值的一个下界。
我们用例子来说明用分支定界法求解整数规划的步骤。
例 求下面整数规划的最优解1212121212max 4090s.t. 975672070 ,0x ,Z x x x x x x x x x =++≤+≤≥为整数解 从上述各约束条件可见，是一个可行解，对应的松弛模型目标函数值。
本问题是一个求最大值的问题，因而整数规划最优解的目标函数的下界可以取为0，即取整数规划模型最优值的下界(0,0)0Z =0Z =。
先考虑此整数规划问题的线性松弛模型0：其解为 松弛模型0 0123564.811.82Z x x ===由于松弛模型解的目标函数值是整数规划模型最优值的一个上界，可以取此处的0Z 为整数规划模型最优值的一个上界356Z =。
由于该松弛模型解不是整数解，分原问题为和两个子模型：子模型1和子模型2。
14x ≤15x ≥子模型1子模型2 14≤x 15≥x1123494.002.10Z x x ===2123495.001.57Z x x ===子模型1的形式： 121212112max 4090s.t. 975672070 4x ,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≤≥子模型2的形式：121212112max 4090s.t. 975672070 5x ,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≥≥所求整数规划模型的最优值不会超过这两个子模型的最优值中大的那个，即349。
分支限界算法
基本思想：分枝定界法是一个用途十分广泛的算法，运用这种算法的技巧性很强，不同类型的问题解法也各不相同。
分支定界法的基本思想是对有约束条件的最优化问题的所有可行解（数目有限）空间进行搜索。
该算法在具体执行时，把全部可行的解空间不断分割为越来越小的子集（称为分支），并为每个子集内的解的值计算一个下界或上界（称为定界）。
在每次分支后，对凡是界限超出已知可行解值那些子集不再做进一步分支。
这样，解的许多子集（即搜索树上的许多结点）就可以不予考虑了，从而缩小了搜索范围。
这一过程一直进行到找出可行解为止，该可行解的值不大于任何子集的界限。
因此这种算法一般可以求得最优解。
将问题分枝为子问题并对这些子问题定界的步骤称为分枝定界法。
分枝节点的选择：对搜索树上的某些点必须作出分枝决策，即凡是界限小于迄今为止所有可行解最小下界的任何子集（节点），都有可能作为分枝的选择对象（对求最小值问题而言）。
怎样选择搜索树上的节点作为下次分枝的节点呢？有两个原则：1）从最小下界分枝（优先队列式分枝限界法）：每次算完界限后，把搜索树上当前所有叶节点的界限进行比较。
找出限界最小的节点，此结点即为下次分枝的结点。
·优点：检查子问题较少，能较快地求得最佳解；·缺点：要存储很多叶节点的界限及对应的耗费矩阵，花费很多内存空间。
2）从最新产生的最小下界分枝（队列式（FIFO）分枝限界法）：从最新产生的各子集中按顺序选择各结点进行分枝，对于下届比上届还大的节点不进行分枝。
优点：节省了空间；缺点：需要较多的分枝运算，耗费的时间较多。
这两个原则更进一步说明了，在算法设计中的时空转换概念。
分枝定界法已经成功地应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、货郎担问题、选址问题、背包问题以及可行解的数目为有限的许多其它问题。
对于不同的问题，分枝与界限的步骤和内容可能不同，但基本原理是一样的。
分枝界限法是组合优化问题的有效求解方法，其步骤如下所述：步骤一：如果问题的目标为最小化，则设定目前最优解的值Z=∞步骤二：根据分枝法则（Branching rule），从尚未被洞悉（Fathomed）节点（局部解）中选择一个节点，并在此节点的下一阶层中分为几个新的节点。
运筹学分枝树的生成原理
运筹学分枝树的生成原理运筹学中的分枝定界法是一种高效的搜索算法，用于解决组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
分枝定界法通过建立和维护一个分枝树来搜索最优解。
分枝定界法的基本原理是将问题的解空间划分成一个个子问题，并利用剪枝策略将非最优解节点及其子树舍弃，从而减少搜索空间，提高算法的效率。
而分枝树是分枝定界法的核心数据结构，它是一个有根的树，树的每个节点代表一个子问题。
分枝树的生成原理如下：1. 初始化根节点：将原问题作为根节点，设定一个初始上界，即当前最优解的上界。
2. 选择分支节点：从根节点开始，选择一个未被加入分枝树的节点作为当前节点。
3. 分枝操作：对当前节点进行分枝操作，即将问题划分成几个较小的子问题。
这个过程可以根据具体问题的性质进行设计。
4. 估价函数计算：对于每个子问题，计算一个估价函数值，该值用于判断子问题的解是否可行以及是否值得进一步扩展。
这个估价函数通常是问题相关的，可以根据问题的特点进行设计。
5. 更新上界：如果某个子问题的估价函数值已经超过了当前最优解的上界，那么这个子问题可以被剪枝，舍弃。
6. 扩展节点：对于不被剪枝的子问题，将其作为新的节点加入分枝树，继续执行步骤2-5。
7. 更新最优解：如果某个子问题的解满足问题目标函数的要求，并且它的目标函数值优于当前最优解的上界，那么更新当前最优解。
8. 结束条件：当分枝树上的所有节点都被处理完毕，或者当前最优解的上界不再被更新时，算法终止。
通过以上的步骤，分枝定界法可以得到一个最优解，同时也可以得到一些次优解。
需要注意的是，分枝定界法中的分枝策略和估价函数的选择对算法的性能和效率有着重要影响。
好的分枝策略可以减少搜索空间，快速找到最优解；而有效的估价函数可以准确评估子问题的解的优劣，提高剪枝效果。
综上所述，运筹学中的分枝定界法通过建立和维护一个分枝树来搜索最优解，通过分枝、剪枝和更新最优解等操作来减少搜索空间，提高求解效率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分枝定界搜索算法
通过穷举法搜索进行的特征选择会导致计算量过高，而在分枝定界搜索算法帮助下，有可能不需要显示评估所有d 个特征的可能组合而确定最优特征集。
此算法的应用需假定特征选择准则满足单调性。
用()j x 表示含有j 个特征的候选特征集，单调性指的是对于具有下列嵌套关系的特征集()j x
()()()()12j D x x x x ⊂⊂⊂⊂ 其准则函数()()j J x 应满足
()()()()()()12D J x J x J x ≤≤≤
这点由构造特征评判准则的定义可得到保证。
为引出分枝定界搜索算法的基本观点，考虑从5个特征中挑选2个特征值的问题。
特征中所有可能组合如下图的树表示，顶称为根节点，底称为叶节点，中间称为枝节点，共有1D d -+层。
图 分枝定界搜索算法示意图
现假设自底向上，再由上向下的搜索方式从最右节点开始在树的每个节点评估特征，进行特征选择。
设初始叶节点的J 为0J （为45x x
的准则函数），在每个节点处，将节点的准则函数值和目前最优特征集的J 值进行比较，如果节点准则函数值大于0J ，则还有发现更佳特征集的机会，而且必须继续沿着最右边的未勘探分枝搜索。
如果到达了树底的叶节点且相应准则值大于0J ，则此结点定义了当前新的最佳特征集，而0J 则作为相应更新。
另一方面，如果在某节点的准则函数值小于0J ，则以此节点为起始点的分支就不需勘探。
因为根据单调性，再往下的特征组合将导致准则函数值的进一步减小。
如此按这一规律，由底向上，再自上而下，从右向左搜索全树，可获得最佳的二特征组合。
此搜索算法特别快捷有效。
12x 13235x 45342414251535。