《高等工程数学》试题(2005年)

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《高等工程数学》科学出版社吴孟达版习题答案(1-8章)

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案：第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]Ta 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R 2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：T T T T 1234=[1,0,0,0],=[0,1,0,0],=[0,0,1,0],=[0,0,0,1]αααα和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：11234205612927331336112923x 112190018101373926x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦－－－－－1＝－－27－－6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。

2005年高考全国卷1理科数学(含答案)

2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第I 卷一、选择题：1．设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是（） A ． I S I ∩（S 2∪S 3）= B ．S 1⊆（ I S 2∩ I S 3）C ． I S I ∩ I S 2 ∩ I S 3=D ．S 1⊆（ I S 2∪ I S 3）2．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A ．8π2B ．8πC ．4π2D ．4π3．已知直线l 过点（－2，0），当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）A ．)22,22(-B ．)2,2(-C ．)42,42( D ．)81,81(-4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（）A ．32 B ．33C ．34 D ．23 5．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A ．23 B ．23 C ．26 D ．332 6．当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（）A ．2B ．32C ．4D ．347．设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：则a 的值为（）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使x x f 的0)(<取值范围是（）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a9．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||3,1x y x y 所表示的平面区域的面积为（）A ．2B ．23 C ．223 D ．210．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A ③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（） A ．①③ B ．②④ C ．①④D ．②③ 11．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对 12．复数=--ii 2123（）A ．iB ．i -C ．i -22D ．i +-22第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3．本卷共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．若正整数m 满足)3010.02.(lg ________,102105121≈=<<-m m m 则14．9)12(xx -的展开式中，常数项为 .（用数字作答）15．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m= .16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则①四边形BFD ′E 一定是平行四边形.②四边形BFD ′E 有可能是正方形.③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形. ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设函数)(),0)(2sin()(x f y x f =<<-+=ϕπϕπ图象的一条对称轴是直线.8π=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切.18．（本小题满分12分）已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面 ABCD ，且PA=AD=DE=21AB=1，M 是PB 的中点. （1）证明：面PAD ⊥面PCD ；（2）求AC 与PB 所成的角；（3）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小. 19．（本小题满分12分）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和S n >0（n=1，2，…）（1）求q 的取值范围；（2）设,2312++-=n n n a a b 记}{n b 的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小. 20．（本小题满分12分） 9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望.（精确到0.01） 21．（本小题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ，证明22μλ+为定值.22．（本小题满分12分）（1）设函数)10)(1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（2）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，求证.log log log log 222323222121n p p p p p p p p n n -≥++++2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）证明：,2|)432cos(2||))432(sin(|||≤-='-='ππx x y所以曲线)(x f y =的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线025=+-c y x 的斜率为225>，所以直线025=+-c y x 与函数)432sin(π-=x y 的图像不相切. 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分. 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE.510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ，在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM ⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅⋅>=<=⋅==PB AC PBAC PB AC PB AC PB AC 所以故（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.).32arccos(.32||||),cos(.54,530||,530||--=⋅=∴-=⋅==故所求的二面角为BN AN BNAN BN AN BN AN BN AN19．本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分. 解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得当;0,11>==na S q n 时),2,1(,011,01)1(,11 =>-->--=≠n qqq q a S q nn n 即时当上式等价于不等式组：),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n① 或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n②解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q<1. 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃-（Ⅱ）由得1223++-=n a n a a b .)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=于是)123(2--=-q q S S T n n n).2)(21(-+=q q S n.,0,2,21;,0,0221;,0,2211,,001,0n n n n n n n n n n n n n S T S T q q S T S T q q S T S T q q q q S ==-=-=<<-≠<<->>->-<<-><<->即时或当即时且当即时或当所以或且又因为 20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .87811=-3个坑都不需要补种的概率,670.0)87()81(303=⨯⨯ C恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C恰有2个坑需要补种的概率为,041.087)81(223=⨯⨯C3个坑都需要补种的概率为.002.0)87()81(0333=⨯⨯C补种费用ξ的分布为ξ的数学期望为75.3002.030041.020287.010670.00=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力，满分14分.（I ）解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a cba c a c x x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又（II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设 ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c ba b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.22．本小题主要考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.（Ⅰ）解：对函数)(x f 求导数：])1(log )1[()log ()(22'--+'='x x x x x f.2ln 12ln 1)1(log log 22-+--=x x ).1(log log 22x x --=于是.0)21(='f当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x <--='<时在区间)21,0(是减函数，当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x >--='>时在区间)1,21(是增函数.所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f ，（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.（i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.（ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数1,,,221221=+++k k p p p p p p 满足，则.log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++当1+=k n 时，若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p 满足令.,,,,222211221xp q x pq x p q p p p x k k k ===+++= 则k q q q 221,,, 为正数，且.1221=+++k q q q由归纳假定知.log log log 222222121k q q p p p q k k -≥+++kk k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++,log )()log 22x x k x x +-≥+ ①同理，由x p p p k k k -=++++++1122212 可得1122212212log log ++++++k k k k p p p p).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥ ②综合①、②两式11222222121log log log +++++k k p p p p p p).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x即当1+=k n 时命题也成立.根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立. 证法二：令函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )(22c x c x c x c x x x g ∈>--+=],log )1(log )1(log [)(222c cxc x c x c x c x g +--+=利用（Ⅰ）知，当.)(,)2(21取得最小值函数时即x g cx c x == 对任意都有,0,021>>x x2log 22log log 21221222121x x x x x x x x ++⋅≥+ ]1)()[log (21221-++=x x x x . ① 下面用数学归纳法证明结论.（i ）当n=1时，由（I ）知命题成立.（ii ）设当n=k 时命题成立，即若正数有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p11111122212212222121221221222222121log log log log .1,,,,1.log log log ++++++++++==++++=-≥+++--k k k k k k k k p p p p p p p p H p p p p p p k n k p p p p p p 令满足时当由①得到,1)()(],1)()[log (]1)()[log (11111121221212221221221=++++-++++-++≥++++++---k k k k k k p p p p p p p p p p p p H 因为由归纳法假设得到,)(log )()(log )(1111212221221221k p p p p p p p p k k k k -≥++++++++++-- ).1()(1121221+-=++++--≥+++k p p p p k H k k 即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立.。

习题2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题精析详解全国2 文

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国2文科卷）试题精析详解一、选择题（5分⨯12=60分）（1）函数f(x)=|sin x+cos x|的最小正周期是(A)4π (B) 2π(C) π (D)2π 见理1(2)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点.那么，正方体的过P 、Q 、R 截面图形是(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形见理2（3）函数y=x 2-1(x ≤0)的反函数是(A)y=1+x (x ≥-1) (B) y=-1+x (x ≥-1) (C) y=1+x (x ≥0) (D) y=-1+x (x ≥0)【思路点拨】本题考查反函数的求法.【正确解答】解法1：21y x x =-⇒=0x ≤得x =1y ≥-）所以反函数为1)y x =≥- 解法2：分析定义域和值域，用排除法.【解后反思】遇到反函数的选择题考查时，可根据互为反函数的性质，验证定义域和值域即可.（4）已知函数y=tan ωx 在(-2π,2π)内是减函数，则（A ）0<ω≤1 (B)-1≤ω<0 (C) ω≥1 (D) ω≤-1 见理4(5)抛物线x 2=4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【思路点拨】本题关键在于能由方程确定焦点坐标.【正确解答】抛物线的焦点为（0，1），A 点的横坐标为4±，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.【解后反思】对于抛物线22(0)y px p =>要理解它的一些重要几何性质：①p 的几何意义是焦点到准线的距离②焦点坐标是一次顶系数的14，只要概念清楚，本题易解. (6)双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（A ）y=±32x (B)y=±x 94 (C)y=±23x (D)y=±49x 【思路点拨】本题直接考查双曲线渐近线方程的定义. 【正确解答】y=±23x. 【解后反思】不要与椭圆基本方程混淆，双曲线a,b 大小关系不确定，一般地22221x y a b -=的渐近线方程是22220x y a b -=即b y x a =±. (7)如果数列{}n a 是等差数列，则（A ）a 1+a 8<a 4+a 5 (B) a 1+a 8=a 4+a 5 （C ）a 1+a 8>a 4+a 5 (D) a 1a 8=a 4a 5 见理11(8)(x-2y)10的展开式中x 6y 4项的系数是（A ）840 （B ）-840 （C ）210 （D ）-210 【思路点拨】本题考查二项式定理和二项展开式的性质，正确记住其通项公式是解好本题的关键.【正确解答】由二项式公式可知，10()x 的展开式的一般项为1010()t tt C x -，当6t =时，x 6y 4项的系数为6410(210C =.【解后反思】求二项式展开式的某一项系数是指除字母以外的数，一般采用通项公式确定r.（9）己知点A （3，1），B （0，0），C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有→BC =λ→CE ，其中λ等于（A ）2 （B ）21 （C ）-3 （D ）-31见理8（10）己知集合M={x|-4≤x ≤7},N={x|x 2-x-6>0},则M ∩N 为（A ）{x|-4≤x<-2或3<x ≤7} (B) {x|-4<x ≤-2或3≤x<7} (C) {x| x ≤-2或x>3} (D) {x| x<-2或x ≥3}【思路点拨】本题考查求不等式的解法和集合的运算，可利用数轴或文氏图进行集合的运算..【正确解答】{|47}M x x =-≤≤，{|23}N x x x =<->或，{|4237}M N x x x ∴=-≤<-<≤ 或.【解后反思】子集、补集、并集是集合的核心，是数学语言的充分体现，在解有关集合问题时，简化集合是上策，数形结合是良策.（11）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，-3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）.设开始时点P 的坐标为（-10,10）,则5秒后点P 的坐标为（A ）（-2，4）（B ）（-30，25）（C ）（10，-5）（D ）（5，-10）见理10（12）△ABC 的顶点B 的平面α内，A 、C 在α的同一侧，AB 、BC 与α所成的角分别是30°和45°.若AB=3，BC=42，AC=5，则AC 与α所成的角为（A ）60° （B ）45° （C ）30° （D ）15°【思路点拨】本题考查直线与平面所成角的概念和求法，考查空间想象能力，找出AC 在平面α内的射影是解决本题的关键.【正确解答】分别过点A 与点C 作平面α的射影，交点分别为D 、E ，过A 作AF CE ⊥于F ，则CAF ∠是所要求的夹角. 由题意知，3sin 302AD AB =⋅︒=，sin 454CE BC =⋅︒=，52CF CE AD =-=，因此1sin 2CF CAF AC ∠==，即30CAF ∠=︒. 【解后反思】思考2个问题：1.求△ABC 所在平面与平面α所成的二面角的大小； 2. A 、C 在α的两侧，如何求AC 与α所成的角. 二、填空题（4分⨯4= 16分）（13）在22738和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_________________.【思路点拨】本题考查等比数列的基本概念和基础知识. 【正确解答】设插入三个数为2,,a aq aq ，则aq 是22738和的等比中项，且0aq >，即3827366()21832aq aq ==⇒=∴= 2（aq ），所以，插入的三个数的乘积为218.【解后反思】要熟悉等差（等比）中项的性质，恰当地设项便于问题的解决.一般地，等差数列的连续三项可设为,2,3a d a d a d +++或,,a d a a d -+，等比数列的连续三项可设为2,,a aq aq 或,,aa aq q. （14）圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为_________________. 见理13(15)在数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_________________ 个. 见理15（16）下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边的三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是_____________________.（写出所有真命题的编号）见理15三．解答题(6小题，共74分)（17）（本小题满分12分）己知α为第二象限的角，sin α=53，β为第一象限的角，cos β=135，求tan （2α-β）的值. 【思路点拨】本题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力，考查条件和结论的差异，消除差异，达到转化. 【正确解答】解法1：tan 2tan tan(2)1tan 2tan αβαβαβ--=+，α为第二象限的角，3sin 5α=，所以4cos 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==-.所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， β为第一象限的角，5cos 13β=，所以12sin 13β==，12tan 5β=.所以241220475tan(2)24122531(1)75αβ---==+-⨯. 解法2：α为第二象限的角，3sin 5α=，所以4cos 5α==-，β为第一象限的角，5cos 13β=，所以12sin 13β==故 24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos 21sin 25αα=-=，204sin(2)sin 2cos cos 2sin 325αβαβαβ-=-=-，253cos(2)cos 2cos sin 2sin 325αβαβαβ-=+=-.所以 sin(2)204tan(2)cos(2)253αβαβαβ--==-.【解后反思】①熟练掌握同角三角函数的基本关系，②在求同角三角函数值时三角函数的符号必须由已知角的范围来确定. （18）（本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；（Ⅱ）本场比赛乙队以3：2取胜的概率. （精确到0.001）【思路点拨】见理19【正确解答】单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4. （1）记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ，则3()0.60.216P A ==，223()0.60.40.432P B C =⨯⨯=，所以，前三局比赛甲队领先的概率为()()0.648P A P B +=.（2）若本场比赛甲队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜所以，所求事件的概率为22230.40.60.40.138C ⨯⨯⨯=.【解后反思】见理19（19）（本小题满分12分）已经知{a n }是各项为不同的正数的等差数列lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列.又b n =na 21,n=1,2,3,……. 证明{b n }为等比数列；（Ⅱ）如果数列{b n }前3项的和等于247，求数列{a n }的首项a 1和公差d.. 【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识以及运用这些知识的能力，第（Ⅰ）问中要利用等差、等比的转化关系，并将数列问题转化为首项、公差处理是常规方法. 【正确解答】（1）证明：124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，2142lg lg lg a a a ∴=+，即2214a a a =⋅，又设等差数列{}n a 的公差为d ，则2111()(3)a d a a d +=+，这样 21d a d =，从而1()0d d a -=0d ≠ ，10d a ∴-=，12(21)2n n n a a d d =+-=，21112n n n b a d ==⋅. 这时，{}n b 是首项112b d =，公比为12的等比数列. （2）1221117(1)22424b b b d ++=++= ，3d ∴=，所以13a d == 【解后反思】在证明一个数列是等比数列时往往漏掉证明每一项为零，而导致出错；当项数较少求和时，可写这些所求的项，而不必用求和公式.（20）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；（Ⅱ）设AB=2BC ，求AC 与平面AEF 所成的角的大小. 见理20（21）（本小题满分12分）设α为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a.（Ⅰ）求f(x)的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点.【思路点拨】本题注意考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.【正确解答】（1）2()321f x x x '=--，若()0f x '=，则1,13x =- 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：所以()f x 的极大值是()327f a -=+，极小值是(1)1f a =-. （2）函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-.由此可知x 取足够大的正数时，有()0f x >，x 取足够小的负数时，有()0f x <，所以曲线()y f x =与x 轴至少有一个交点.结合()f x 的单调性可知：当()f x 的极大值5027a +<，即5(,)27a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点，它在(1,)+∞上；当()f x 的极小值10a ->时，即(1,)a ∈+∞上时，它的极大值也小于0，()y f x =与x 轴仅有一个交点，它在1(,)3-∞-上. 所以，当5(,)(1,)27a ∈-∞-+∞ 时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点. 【解后反思】1、求可导函数f(x)的极值的步骤:①求导函数()f x '，②求方程()0f x '=的根，③检验方程()0f x '=的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这一根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这一根处取得极小值.2、理解极值概念时要注意以下几点：①按定义极值的0x 是区间[],a b 内部的点，不会是端点；②若f(x)在(),a b 内有极值，那么f(x)在(),a b 绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值；③极值是一个函数在局部区域上的性质，极大值与极小值之间没有必然的大小关系，也就是说极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小④函数f(x) 在区间[],a b 上有极值的话，它的极值分布有规律，相邻两个极大值之间，必有一个极小值点，同样相邻两个极小值之间，必有一个极大值点，即f(x) 在区间[],a b 上的极小值点、极大值点是交替出现；⑤导数为零的点是该点成为极值点的必要不充分条件；⑥极值只能在函数不可导的点和导数为零的点取得.（22）（本小题满分14分）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆x 2+22y =1上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.己知→PF 与→FQ 共线，→MF 与→FN 共线，且→PF ²→MF =0.求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 见理22。

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(重庆卷.文)-推荐下载

率
Pn
(k)

C
k n
P
k
(1

P)nk
第一部分（选择题共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．圆 (x 2)2 y 2 5 关于原点（0，0）对称的圆的方程为
）
A． (x 2)2 y 2 5
b2 4
2b
4

4
4
4 b2
(0 b 4) (b 4)
解：由题意可设 x=2cosα,y=bsinα,则 x2+2y=4cos2α+2bsinα=-4sin2α+2bsinα+4
=-2(sin2α-bsinα-2)=-2(sinα-
b
2
10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所
） A．5
B．7
解： x3 的项的系数为 Cn3 23 ,x 的项的系数为 Cn1 2 ,由题意得 Cn3 23 =8 Cn1 2 解之得 n=5,选(A)
一了
9．若动点 (x, y) 在曲线 x2 y 2 1(b 0) 上变化，则 x 2 2 y 的最大值为
）
A．
b2
C．

③存在直线 l ，直线 m ，使得 l // m ；
④存在异面直线 l、m，使得 l //,l // , m //, m // .
其中，可以判定 α 与 β 平行的条件有
A．1 个
解：命题①③是真命题,选(B)
B．2 个
8．若 (1 2x)n 展开式中含 x3 的项的系数等于含 x 的项的系数的 8 倍，则 n 等于（

05年高数真题

专升本高等数学一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

1、lim sin x xx→05等于（）A 0B 15C 1D 52、设y x=+-33，则y '等于（）A --34xB --32xC 34x -D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（）A －2B －1C 0D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（）A （－1，－1）B （0，0）C （1，1）D （2，8） 5、sin xdx ⎰等于（）A cos xB -cos xC cos x C +D -+cos x C 6、11201+⎰x dx 等于（）A 0B π4C π2D π 7、设0()()xt x e t dt φ=+⎰，则φ'()x 等于（）A 0B e x x+22C e x x +D e x+18、设函数z e x y=+，则∂∂zx等于（） A ex y+ B yex y+ C xex y+ D ()x y ex y++9、设函数z x y =2，则∂∂∂2zx y等于（）A x y +B xC yD 2x 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（） A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。

把答案填写在题中横线上。

11、lim()x x x →-+=132____________________。

12、lim()x xx→∞-=13____________________。

13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。

14、设函数y ex=2，则y "()0=____________________。

全国2005年1月高等教育自学考试高等数学(工专)试题课程代码00022

浙00022# 高等数学（工专）试题第 1 页（共 5 页）全国2005年1月高等教育自学考试高等数学（工专）试题课程代码：00022一、单项选择题（本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

（一）（每小题1分，共20分） 1.函数f(x)=2x1x 1--的定义域是（） A.)1,1(-B.(]1,1-C.[)(]1,0,0,1-D.)1,0(),0,1(-2.函数f(x)=cos 2x 的周期是（） A.2π B.π C.2πD.4π3.函数f(x)=xsinx+2x 2是（） A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.有界函数4.=∞→x1sinx lim x （）A.0B.1C.∞D.不存在 5.曲线y=sinx 在原点(0,0)的切线方程为（） A.y=0 B.y=-x C.y=xD.x=06.设y=f(e 2x),则y '=（） A.)e (f x 2' B.x 2x 2e )e (f ' C.)e (f 2x 2'D.x 2x 2e )e (f 2'7.设=⎩⎨⎧==π=4t dxdy ,t2cos y t sin x 则（）A.22-B.2-C.2D.22浙00022# 高等数学（工专）试题第 2 页（共 5 页）8.函数y=e x -x-1单调增加的区间是（） A.[)+∞-,1 B.()+∞∞-, C.(]0,∞-D.[)+∞,09.曲线y=lnx （） A.有1个拐点B.有两条渐近线C.无拐点D.无渐近线 10.曲线y=e 2(x+1)（）A.只有水平渐近线，它是y=0B.无渐近线C.有垂直渐近线D.有水平渐近线，它是x=-111.⎰=+dx x1x 2（）A.C x 12++-B.C x 12++C.ln(1+x 2)+CD.C )x 1(232++12.设函数f(x)在区间I 连续,那么f(x)在区间I 的原函数（） A.不一定存在 B.有有限个存在 C.有唯一的一个存在 D.有无穷多个存在 13.下列广义积分中发散的是（） A.dx ex-+∞⎰B.dx x 1120+⎰+∞C.dxx11⎰+∞D.dxx11⎰14.平面2x+3y-z+2=0与xoy 坐标平面的交线是（） A.2x+3y+2=0B.⎩⎨⎧==++0z 02y 3x 2 C.⎩⎨⎧==+-0x 02z y 3 D.⎩⎨⎧==+-0y 02z x 2 15.设f(x,y)=x+y 22yx+-,则=')4,3(f x（） A.52B.51C.52-D.53-浙00022# 高等数学（工专）试题第 3 页（共 5 页）16.设f(x,y)=xarctgy,则f(x 2+y 2,xy)=（） A.xyarctg(x 2+y 2)B.(x 2+y 2)arctgxyC.x 2arctgy 2D.xyarctgxy17.设函数f(x,y)在区域(σ)连续,则下面四个不等式中正确的是（） A.⎰⎰⎰⎰σσσ≥σ)()(d |)y ,x (f |d )y ,x (fB.⎰⎰⎰⎰σσσ≥σ)()(d |)y ,x (f |d )y ,x (fC.⎰⎰⎰⎰σσσ≤σ)()(d |)y ,x (f |d )y ,x (fD.⎰⎰⎰⎰σσσ>σ)()(d |)y ,x (f |d )y ,x (f18.下列方程所表示的曲面中是圆锥面的为（） A.x 2+y 2-z 2=0 B.x 2+y 2-z=0 C.x 2+y 2+4z 2=1D.x 2+y 2-z 2=119.微分方程是4422yxy x dxdy +=（）A.非齐次方程B.一阶非齐次方程C.一阶线性方程D.齐次方程20.级数∑∞=+0n n2|)x |1(1的收敛区间为（） A.),0(),0,(+∞-∞ B.(-1,1 ) C.)0,(-∞D.),0(+∞(二)(每小题2分,共20分)21.设f(x)=⎩⎨⎧≤<-≤≤2x 1,x 21x 0,x 2 ,则f(x)（）A.在x=1间断B.在区间[0,2]上连续C.在区间[0,2]上间断D.在区间[0,2]上无界22.设C 为任意常数,则=-xdx arcsin x122（）A.d(arcsinx)B.)C x 1(d 2+-C.)x 1(d 2-D.d[(arcsinx)2+C]23.设y=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则y (4)=（） A.4!B.24a 4C.a 4D.0浙00022# 高等数学（工专）试题第 4 页（共 5 页）24.=+∞→2x xx ln lim （）A.1B.2C.0D.∞25.⎰=dx e 2x x （） A.C2ln 1e2xx++ B.2x e x+C C.2ln 1e2xx +D.2x e x26.=⎰→xdt t cos limx2x （）A.∞B.-1C.0D.127.若直线n3z 32y 21x 4k z 22y 11x -=-=--=-=-与直线垂直相交,则其中的常数k 和n 分别是（） A.k=3,n=-2 B.k=3,n=2 C.k=2,n=-3D.k=2,n=328.累次积分⎰⎰10xx2dydx )y ,x (f 交换积分顺序后是（）A.⎰⎰10yydx dy)y ,x (f B.⎰⎰10yy2d x d y)y ,x (f C.⎰⎰1yydx dy )y ,x (fD.⎰⎰10yy2dxdy)y ,x (f29.微分方程0y 3y 2y =+'+''的通解为（） A.)x 2si nC x 2c o sC (e y 21x +=-B.)x si n C x c o s C (e y 21x +=-C.)x 2sin C x 2cos C (e y 21x +=D.)x 2cosC x 2sinC (e y 21x 2+=30.幂级数∑∞=1n n!n x n 2的收敛半径为（）A.R=1B.R=2C.R=+∞D.R=0二、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 31.求).x13x11(lim 31x ---→浙00022# 高等数学（工专）试题第 5 页（共 5 页）32.设f(x)=⎩⎨⎧≥<0x ,x 0x ,x sin ,求).0(f '33.求.dx )x 1(x 13⎰+34.计算.dx xex2ln 0-⎰35.判定级数∑∞=1n 5nn 2cos 的敛散性.36.设z=usinv,u=xy,v=x 2+y 2,求.yz xz ∂∂∂∂和37.求微分方程(x 2+y 2)dx-xydy=0的通解.三、应用和证明题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）38.求函数f(x,y)=4(x-y)-x 2-y 2的极值.39.求曲面z=x 2+y 2与平面z=1所围的空间立体的体积V . 40.证明:当x>1时,e x>e ·x.。

05高数(上)试题及答案

华东交通大学2005—2006学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

专业班级学号学生签名：试卷编号：（ A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》课程 (工科本科05级) 课程类别：必闭卷（√）考试时间：2006.1.9题号一二三四五总分计分人签名1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3题分 10 10 6 6 6 6 6 6 6 6 8 8 8 8 100得分考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题(每题2分，共10分)3 )1(1.310lim-==-→a e ax xx 则，2 4 32 .22-=⎩⎨⎧-=-=t dx dyt t y t x 则，设21 ]2 1[12 .32=-+-=ξ理的上满足拉格朗日中值定，在区间函数x x y1.4 0=⎰∞+-dx e x113211 1342)1 2 1( .5+=-=--⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-=-z y x tz t y t x 为平行的直线对称式方程且与直线，，过点二、选择题(每题 2分，共10分). )( )( )( )( )(11 1 1.2低阶无穷小高阶无穷小，同阶不等价无穷小，等价无穷小，的是时，当D C B A B x x x --→.tan )( tan )( sec )( sec )( )( cos ln 2.22x D x C x B x A A y x y ，，，则，设--=''=得分评阅人得分评阅人).1 1( )( )1 0( )( ) 1( )( ) ( )( )( 3.22，，，，，，，的单调增区间是函数-∞+∞+-∞=-D C B A D xe y x.ln )( ln )( 1 )( 1 )( ) ()(ln )( .4222C x D C x C C x B C x A A dx xx f e x f x +-++-+='=⎰-，，，则，设.1 )( 1 )( 1 )( 1 )( )( 01 .5222222222222222222222222=-+=-+=+-=+-⎪⎩⎪⎨⎧==-c z a z x D c z a y x C c z x a x B c z y a x A C oz y c z a x ，，，面方程为轴旋转所形成的旋转曲绕双曲线三、计算题(每题 6分，共48分))ln 11(.1lim1xx x x --→)1(6 21)2(4 1ln ln)1(5 111 2 ln )1(1ln limlimlim1211'='-+='+=-+-=→→→分分分分原式解：x x x x xx x xx x x x x x xn n n n 2arcsin)11sin 1(.22lim-+∞→)2(6 41)2(4 )11sin 1(21 2 )11sin 1(2arcsin1sin 2222limlim'='++⋅=++=∞→∞→分分分原式解：nn n n n n nn n n 或用第一个重要极限得分评阅人得分评阅人dy x y y x y xy 求，确定设方程 )(cos .33=-=)2(6 sin 34 3sin )1(6 sin 3 )1(5 )1(4 sin 3 3 3sin 22222'++-=--=+'++-='''='++-='⇒-'⋅-='+分解出分或两边取微分得分分所以分分求导得两边对解：dx y x yx dy dx x ydy xdy ydx dx yx yx dx y dy yx yx y x y y y x y x 处的连续与可导在点，，讨论00 001sin )( 4.2=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f)4(6 )0( )1(2 0)( 1 )0(01sin )0( )2(6 0)( )1(4 0)( )1(3 0 )1(2 1sin 1 0)0()()0( 2000limlim limlim'''=⇒==='=⇒'=∴'='=--='→→→→分下面解题同分处连续在分或分处连续在分处可导在分分分解：f x x f f x x f x x f x x f x x x f x f f x x x xdxx x ⎰2cot 5.)2(6 2sin ln cot )2(4 2cot cot )1(2 cot 1 )1(csc cot 2222'+-+-='-+-='--=-=⎰⎰⎰⎰⎰分分分分解：C x x x x xdx x x x xdx x d x dx x x dx x x注：缺C 扣1分得分评阅人得分评阅人得分评阅人dxx x )cos 2(.631+-⎰)1(6 3sin 1sin 3 )2(5 sin sin )2(21)2(21)2(3 cos cos )2()2( 1 cos 2 32213222123 221322 13 1 31 '--='-+-+--='-++-+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分分分原式解：ππππx xx x xdx xdx dxx dx x dx x dx x.)( )2( )( )1( 2 3 32 .7c b a a c b j i c k j i b k j i a ⨯+⋅-=+-=+-=；求，，，设)1(6 }2 4 ,8{ )1(6 248 )1(5 021443)( )1(4 443 )2( )1(3 }3 9 6,{ )1(3 396)( 2 303)2()1(11 )1( '-='-+='--=⨯+∴'+-=+'-='+-=⋅∴=⨯+-⨯-+⨯=⋅分，或分分分分，或分分解：k j i kj i c b a k j i b a k j i a c b c b.0101)2 1 3( .8方程的平面且通过直线，，求过点⎩⎨⎧=++-=--+-z y x z y x)2(6 03332 )1(4 5 )1(3 0)1213(1213 )2 1 3( 2 0)1(1'=++-'-=⇒'=+--+-++-=++-+--+分故所求平面方程为分分得：，，由平面过点分设所求平面方程为：解：z y x z y x z y x λλλ )2(6 03332 0)0(6)1(6)0(4 )2(4 }6 6 4{}2 0 3{}2 2 0{ 2 22100 '=++-=-+---'-=-⨯--=--=--=-分即，故所求平面方程为分，，，，，，所求平面的法向量为：分为：所给直线的对称式方程或z y x z y x n z y x四、综合应用题(每题 8分，共24分)1500 1.3，设仓库容积是的平顶仓库，欲建一座底面是正方形m 得分评阅人得分评阅人得分评阅人得分评阅人。

2005高考全国卷Ⅰ数学(理)试题

2005高考全国卷Ⅰ数学（理）试题（河北、河南等地区用）2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3到10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径kn kkn n P P C k P --=)1()(一．选择题（1）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（）（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ））（221S C S C S I I ⋂⊆ （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ））（221S C S C S I I ⋃⊆（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（3）已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242- （D ）），（8181-（4）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（）（A ）32 （B ）33（C ）34（D ）23（5）已知双曲线)0( 1222>=-a yax 的一条准线与抛物线x y62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（）（A ）23（B ）23 （C ）26 （D ）332（6）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin82cos 1)(2++=的最小值为（）（A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）34（7）设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一则a 的值为（A ）1（B ）1-（C ）251-- （D ）251+-（8）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xxa a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（）（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log+∞a（9）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（）（A ）2 （B ）23 （C ）223 （D ）2（10）在ABC ∆中，已知C B A sin 2tan=+，给出以下四个论断：①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（A ）①③（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③（11）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）（A ）18对（B ）24对（C ）30对（D ）36对（12）复数ii 2123--=（）（A ）i （B ）i - （C ）i -22 （D ）i +-22第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

哈尔滨工程大学2005级高等数学期末试题

证：存在点使。
哈尔滨工程大学试卷
考试科目:《高等数学》（上）（05级期末考试2006年1月6日）
题号
一
二
三
四
五
六
总分
分数
评卷人
一选择题(3分×5=15分)
1.已知存在，且，则等于。
（A）（B）（C）（D）
2.设，则为。
3.设在处连续，又，则。
(A) 是函数的极大值点
(B) 是函数的极小值点
(C) 是曲线的拐点
(D) 既不是函数的极值点，也不是曲线的拐点
4.设二阶可导，且为偶函数，，
则。
(A) (B) (C) (D)
5. ,则。
二填空题(3分×5=15分)
1.若要，则的值为。
2.对函数 ,规定 ( ),则在处连续。
3.设，则。
4.设，则。
5.直线与轴所在直线的夹角为。
三简单计算题(8分×7=56分)
1.设 ,求。
2.用微分法则求由方程确定的隐函数的导数。
3.求
4.计算不定积分
5.计算不定积分
6.求常数的值，使。
7.求过点且与直线和都相交的直线方程。
四应用题(10分)
1.半径为R(米)的半球形水池，里面充满水，问将池中的水全部吸出，需要做多少功？

武汉理工大学高数A上 2005级 B卷及答案

武汉理工大学高数A 上 2005级 B 卷及答案一填空题（每小题3分，共15分）1 xx y -+=1211的间断点是（）。

2 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠-++=-1111)(12x x e bax x x f x 连续，则)(),(==b a 。

3 函数]2,1[)1ln(2-∈+=x x y 的最大值为（）、最小值为（）。

4 已知21)(x e f x +=，则)()(='e f 。

5 曲线3x y =的凸区间为（）。

二选择填空（每小题3分，共15分）1 设)(x f 在),(∞+-∞上连续，⎰-=22)()(x dt t x tf x F ，则=')1(F （）A ⎰1)(2dx x f B )0(f C )0(2f D ⎰1)(dx x f2 下列各极限正确的是（）14212lim 0arctan 12lim 111sin lim 3lim 1103010=+-=++=∞=→∞→→→x x x x x xx D x x x C xx B A3 x e y -=在),(+∞-∞内是（）A 单调增加且凹B 单调减少且凹C 单调减少且凸D 单调增加且凸4 下列各函数在区间]1,1[-上满足罗尔定理条件的是（） A x e x y )1(2-=； B 41x y =；C 32x y =D xxe y =5 曲线⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=0)(3x x x x x f 拐点的坐标是（）A （1，1）B （0，0）C （-1，1）D （0，1）三求下列各极限（每小题7分，共14分）1 30sin lim x xx x -→2 xx x x b a 10)2(lim +→ 四求下列各函数的导数（每小题7分，共21分） 1 设x xe y =，求y '、)0(,)(n y y '' )3(≥n 。

2 设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，求)0(y ''。

05年《高等数学》试题及答案

2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号一二三四五六总分核分人分数一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为（）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是（） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是（）A. xB.2xC. x 2D. 22x解： ⇒-x e x~12~12x ex -,应选B.4.=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→121lim n n n （） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则常数=a （） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 得分评卷人6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim0=--→h f h f h ,则=')1(f （）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为（）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （）A. 1)]([+n x f nB. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='',⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f C.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( ) A.增加,曲线)(x f y =为凹的 B.减少,曲线)(x f y =为凹的 C.增加,曲线)(x f y =为凸的 D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B. 11.曲线xe y 1-= （） A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C. 12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （） A.t a b 2sin B.ta b32sin -C.t a b 2cos D.t t a b22cos sin - 解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta b t a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx ex f xx11)(，则=)(x f （）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是（）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aadx x f )( （）A.0B.⎰adx x f 0)(2 C.⎰--aadx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaa aa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （）A.C x x +-2sin 2121 B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21 解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是（）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰a x dt t f )(是)(x f -的一个原函数D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰ba dx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是（） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行解：n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x z ∂∂和yz ∂∂存在是它在该点处可微的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln= ，则=)2,1(dz （） A.dx x y 2 B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 21+ 解：dy ydx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln-=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是（） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是（） A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dyC.⎰⎰422),(xdx y x f dy D. ⎰⎰402),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A. 25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (ardr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f d C.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θc o s 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，则=+⎰Ldy x xydx 22（）A. -1B.1C. 2D. -1 解：L ：,2⎩⎨⎧==xy x x x 从0变到1 ,14222104131332===+=+⎰⎰⎰xdx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是（）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n nnC ．∑∞=-121)1(n n n D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B. 28. 下列命题正确的是（） A ．若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数)(212n n n v u+∑∞=收敛C ．若正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n nn vu 收敛，则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n n v都收敛解：正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=12n nu与∑∞=12n nv收敛，而)(2)(222n n n n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛，应选C 。

2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(计数原理、二项式定理)

解法 2：共有 7 个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；
四面体的四条高的四个中垂面，选(D)
【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,
在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的
5
放入④两种放法。综上所述:共有 A44 2 48 种放法.故选 B.
P
1
4
A 5
23 8
D 7
B6 C
9．(2005 江西文)将 9 个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数
为
（）
A．70
B．140
C．280
D．840
【思路点拨】本题涉及组合的平均分组问题.
【正确解答】要使甲、乙分在同一组，即将剩下的 7 人分成三组，其中两组有三个人，一组只有一
B．96
C．72
D．144
解：本题主要关键是抓连续编号的 2 张电影票的情况,可分四种情况：
情况一：连续的编号的电影票为 1,2;3,4;5,6,这时分法种数为 C42P32P22
情况二：连续的编号的电影票为 1,2；4,5,这时分法种数为 C42P22P22
情况三：连续的编号的电影票为 2,3;4,5;这时分法种数为 C42P22P22
D．1 项
【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.
【正确解答】 (
x 3 x )12 的展开式为 C1t2 (
x )t ( 3
x )12t
Байду номын сангаас
C1t2
x
t 2
12t 3
C1t2

2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(集合)

2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全（集合）一、选择题：1．(2005北京文、理)设全集U =R ，集合M ={x |x >1}，P ={x |x 2>1}，则下列关系中正确的是A ．M=PB ．P MC ．M P （D ）M P R=【答案】C【详解】{|1P x x =>或1}x <-{|1}M x x =>易得M P【名师指津】集合与集合之间关系的题目经常借助图象来观察.2．(2005福建文)已知集合∈≤-=x x x P ,1|1|||R|，Q P N x x Q 则},|{∈=等于（）A ．PB ．QC ．{1，2}D ．{0，1，2}解：∵P=[0,2],{|},Q x x N P Q =∈∴ ={0,1,2},选(D)3.(2005广东)若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N =（B ）A ．{3}B ．{0}C ．{0，2}D ．{0，3}解:∵由2||≤x ，得22≤≤-x ，由032=-x x ，得30==x x 或，∴M ∩N }0{=，故选B ．4．(2005湖北文、理)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6解：集合P 中和集合Q 中各选一个元素可组成的组合数为11339C C ⋅=其对应的和有一个重复：0+6=1+5,故P+Q 中的元素有8个,选(B)5．(2005湖南文)设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（C U A）∩B=（）A．{0}B．{－2，－1}C．{1，2}D．{0，1，2}[评述]:本题考查集合有关概念，补集，交集等知识点。

【思路点拨】本题涉及集合的简单运算.【正确解答】由题意得：{}{}2,1)(,2,1=⋂=B CuA CuA 则,故选C.【解后反思】这是一道考查集合的简单题目,可用画出它的韦恩图,用数形结合的方法解答.6.(2005江苏)设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3}（B ）{1,2,4}（C ）{2,3,4}（D ）{1,2,3,4}答案：D[评述]：本题考查交集、并集等相关知识。

2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(解析几何初步)

A．0
B．－8
C．2
D．10
【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系.
【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有
4m m2
2
，得
m
8
.选
B.
解法 2：直线 2x+y-1=0 的一个方向向量为 a =(1,-2), AB (m 2, 4 m) ,由 AB ∥ a
即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)
2005 年全国各地高考数学试题及解答分类大全
（解析几何初步）
一、选择题：
1、(2005 春招北京文)直线 x 3y 2 0 被圆 (x 1)2 y2 1 所截得的线段的长为（ C ）
A．1
B． 2
C． 3
D．2
2. (2005 北京文)从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0 作两条切线，则这两条切
0 x 3, 0 y 4 ，则 AB 直线方程为 4x 3y 12 0 .
点 P 到 AC、BC 的距离乘积 xy x( 4 x 4) 4 (x 3) 2 3 3
3
32
所以最大值为 3.
解法 2：P 到 BC 的距离为 d1,P 到 AC 的距离为 d2,则三角形的面积得 3d1+4d2=12,∴3d1 4d2≤
【名师指津】
以数形结合的思想解决此类题,抓图中直角三角形中边角关系.
3．(2005 北京理)从原点向圆 x 2 y 2 12 y 27 0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为
（）
A．π B．2π C．4π D．6π 【答案】B 【详解】
将圆的方程配方得： x2 ( y 6)2 9 圆心在 (0, 6) 半径为 3,如图：在图中 RtPAO 中, OP 6 2PA ,从而得到 AOP 30o , 即 AOB 60o. 可求 BPA 120o. P 的周长为 2 3 6 劣弧长为周长的 1 ,可求得劣弧长为 2 .

2004～2005学年第一学期《高等数学》期末考试试题B卷(.

2004~2005学年第一学期《高等数学》期末考试试题B 卷答案一、填空题(4×4分1、32−x ; 2、31−; 3、4; 4、(xf x c +; 5、2222sin 1cos x x x + 二、单项选择题(5×3分1、C;2、D;3、A;4、C;5、B三、试解下列各题解:1、0000→→→→x 2、66sin 31ln(2lim sin 20lim 31(lim 00e e e x x x x x x x x x ===+→→+→ 3、xdx dx x x x x x erc dy arctan 11tan 22=⎦⎤⎢⎣⎡+−++= 4、两边对x 求导(10x y dy dy e y x dx dx++−−= x y x y dy e y dx x e ++−=−5、22sin dx t t dt =−222222(cos 2sin cos 2sin dy t t t t dt t tdt =−−=−2222sin 2sin dy t t t dx t t == dy d dt dx = 22212sin d y dx t t =− 6、2c ==+ 7、22204 4044sin sin sin 111x x xx x x dx dx dx e e e ππππ−−−−−−=++++∫∫∫ 220404sin sin 11x t x t dxx t dt e e ππ−−=−++∫∫ 22444004sin 1sin (1cos 221xx dx xdx x dx e ππππ−−==−+∫∫∫ 40111(sin 2(2228x x ππ=−=− 8、2201arctan(1arctan (1td t ′∫+− ∫+−−−=2122121(arctan 1(21dt tt t t 125/2arctan −+=u四、解:例如广义积分∫10d 1x x 收敛时,但广义积分∫10d 1x x 发散。

2005年全国Ⅱ高考试题(理)

2005年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=- 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为A ．0B ．－8C ．2D ．103．在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是A ．－14B ．14C ．－28D ．284．设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V5．22112lim()3243x x x x x →--+-+＝A ．12-B ．12C ．16-D ．166．若ln 22a =，ln 33b =，ln 55c =，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<7．设02x π≤≤sin cos x x =-，则A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤ 8．22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅+＝A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．129．已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅= ，则点M 到x 轴的距离为A ．43B ．53C D 10．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A ．2B ．12C ．2D 111．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面共有A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：1E D B +=，则A B ⨯＝ A ．6EB ．72C ．5FD ．0B第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．已知复数032Z i =+，复数Z 满足03Z Z Z =+，则复数Z ＝．14．已知向量(,12)OA k = ，(4,5)OB = ，(,10)OC k =-，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝15．高l 为平面上过(0,1)的直线，l的斜率可能地取-，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ＝．16．已知在△ABC 中，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（2）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率．18．（本小题满分12分）在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．（1）证明AB ⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．V DABC19．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且3cos 4B =．（1）求cot cot A B +的值；（2）设32BA BC ⋅= ，求a c +的值．20．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列1a ，3a ，1k a ，2k a ，……，n k a ，……成等比数列，求数列{}n k 的通项n k ．21．（本小题满分12分）设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线．（1）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；（2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．22．（本小题满分14分）已知函数()2472x f x x-=-，[]01x ∈，．（1）求()f x 的单调区间和值域；（2）设1a ≥，函数()[]223201g x x a x a x =--∈，，，若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．2005年全国高考数学试卷三（四川理）(必修+选修II)第一卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知α为第三象限的角，则2α所在的象限是( ) A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C 第一或第三象限 D 第二或第四象限解：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈,∴3224k k k Z παπππ+<<+∈,可知2α在第二象限或第四象限,选(D) 2、已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则的值为 ( ) A 0 B 8- C 2 D 10解：直线2x+y-1=0的一个方向向量为a =(1,-2),(2,4)AB m m =+- ,由AB a即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)3、若()()811x x -+的展开式中5x 的系数是( )A 14-B 14C 28-D 28解：(x+1)8展开式中x 4,x 5的系数分别为48C ,58C ,∴(x-1)(x+1)8展开式中x 5的系数为 458814C C -=,选(B)4、设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，P Q 、分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为( )A16V B 14V C 13V D 12V解：如图，1111111113A ABCB A BC B AC Q ABC A B C V V V V ----===111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+,∵AF=QC 1,∴APQC 1,APQC 都是平行四边形, ∴111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+=12(11B CQA B PCA V V --+) =1111223ABC A B C V -⋅=11113ABC A B C V -,选(C) 5、22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-=⎪-+-+⎝⎭ ( )A 12-B 12C 16-D 16解：22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-=⎪-+-+⎝⎭112lim (1)(2)(1)(3)x x x x x →⎛⎫-= ⎪----⎝⎭11(1)11limlim (1)(2)(3)(2)(3)2x x x x x x x x →→---==------,选(A)6、若ln 2ln 3ln 5235a b c ===，，，则( ) A a b c << B c b a << C c a b << D b a c <<解：由题意得a=ln,b=ln ,c=ln ∵62353153525105(5)(2)2(2)(3)3=<==<=,∴c<a<b,选(C)7、设02x π≤<sin cos x x =-，则（）A 0x π≤≤ B744x ππ≤≤C 544x ππ≤≤D 322x ππ≤≤sin cos x x -得|sinx-cosx|=sinx-cosx,又02x π≤<, ∴544x ππ≤≤,选(C) 8、22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+ ( )A tan αB tan 2αC 1 D12解：22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+222sin 2cos tan 22cos cos 2ααααα⋅=,选(B) 9、已知双曲线2212y x -=的焦点为12F F 、，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅= ，则点M 到x 轴的距离为（）A43 B 53 C D 解：由120MF MF ⋅= ,得MF 1⊥MF 2,不妨设M(x,y)上在双曲线右支上，且在x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵得x 2=53,y 2=23,由此可知M 点到x选(C) 10、设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）AB C 2 D 1解：由题意可得22b c a=,∵b 2=a 2-c 2e=c a ,得e 2+2e-1=0,∵e>1,解得1,选(D) 11、不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A 3个B 4个C 6个D 7个解：共有7个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选(D) 12、计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则（）A 6EB 72C 5FD B0解：∵A=10,B=11,又A ×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A ×B=6E,∴选(A) 二、填空题：本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上． 13、已知复数：032z i =+，复数z 满足003z z z z ⋅=+，则复数z =解：设z=a+bi,由(3+2i)(a+bi)=3(a+bi)+3+2i,得3a-2b=3a+3,2a+3b=3b+2,∴a=1,b=32-, ∴z=1-32i 14、已知向量()12OA k = ，，()45OB = ，，()10OC k =-，，且A 、B 、C 三点共线，则k = 解：(4,7),(2,2)AB k AC k =--=-- ,由题意得(4-k)(-2)-2k ×7=0,解得k=23-15、设l 为平面上过点()01，的直线，l 的斜率等可能地取022--，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ= ．解：随机变量可能的取值为x 1=13,x 2=12,x 3=23,x 4=1,它们的概率分别为p 1=27,p 2=27,p 3=27, p 4=17,∴随机变量ζ的数学期望E ζ=211122117372737⋅+⋅+⋅+⋅=4716、已知在ABC ∆中，09034ACB BC AC ∠===，，，P 是AB 上的点，则点P 到AC BC 、的距离乘积的最大值是解：P 到BC 的距离为d 1,P 到AC 的距离为d 2,则三角形的面积得3d 1+4d 2=12,∴3d 1⋅4d 2≤2212()6362==,∴d 1d 2的最大值为3,这时3d 1+4d 2=12, 3d 1=4d 2得d 1=2,d 2=32三、解答题：本大题共6个小题，共74分． 17、（本小题满分12分）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125 （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率 18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD （Ⅰ）证明AB ⊥平面V AD（Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小 19、（本小题满分12分）ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知a b c 、、成等比数列，且3cos 4B =（Ⅰ）求cot cot A C +的值（Ⅱ）设32BA BC ⋅= ，求a c +的值．20（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列13a a 、、1k a 、2......n k k a a 、、成等比数列，求数列{}n a 的通项n k21、（本小题满分12分）设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线．（Ⅰ）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；（Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围． 22、（本小题满分14分）已知函数()2472x f x x-=-，[]01x ∈，（Ⅰ）求()f x 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1a ≥，函数()[]223201g x x a x a x =--∈，，，若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围2005年全国高考数学试卷三（四川理）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．13．312i -14．23- 15．4716．3 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．17．解：（Ⅰ）求已知得()()()0.05P A B P A P B ⋅=⋅= ()()()0.1P A C P A P C ⋅=⋅= ()()()0.125P B C P B P C ⋅=⋅=解得：()0.2P A =，()0.25P B =，()0.5P C =所以甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5（Ⅱ）记A 的对立事件为A ，B 的对立事件为B ，C 的对立事件为C ，则：()0.8P A =，()0.75P B =，()0.5P C =于是()()()()()110.7P A B C P A B C P A P B P C ++=-⋅⋅=-⋅⋅= 所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.718．方法一：（Ⅰ）证明：AB ADAB AB ABCD AD VAD ABCD ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪=⋂⎭平面VAD 平面ABCD平面VAD 平面平面平面（Ⅱ）解：取VD 的中点E ，连结AE ，BE ∵V AD 是正三角形 ∴AE ⊥VD ，AF=2AD ∵AB ⊥平面VAD ∴AB ⊥AE 又由三垂线定理知BE ⊥VD因此，AEB ∠是所求二面角的平面角于是，tan AB AEB AE ∠==即得所求二面角的大小为arctan3方法二：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系．（Ⅰ）证明：不妨设()100A ，，，则()110B ，，，102V ⎛ ⎝⎭()101002AB VA ⎛==- ⎝⎭ ，，，，，由0AB VA ⋅=，得AB VA ⊥又AB AD ⊥，因而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA VD ，都垂直．∴AB ⊥平面VAD （Ⅱ）解：设E 为DV中点，则104E ⎛ ⎝⎭331010442EA EB DV ⎛⎛⎛=== ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，由0EB DV ⋅=，得EB DV ⊥，又EA DV ⊥因此，AEB ∠是所求二面角的平面角．∵cos 7EA EB EA EB EA EB⋅==⋅，∴解得所求二面角的大小为arc19．解：（Ⅰ）由3cos 4B =得sin B ==由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =于是11cot cot tan tan A C A C +=+ cos cos sin sin A CA C=+ cos sin cos sin sin sin A C C AA C+=()2sin sin A C B+=2sin sin BB =1sin B==（Ⅱ）由32BA BC ⋅= 得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b =由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+=∴ 3a c +=20．解：依题设得()11n a a n d =+-，2214a a a =∴()()21113a d a a d +=+，整理得21d a d = ∵0d ≠ ∴1d a = 得n a nd =所以，由已知得123n d d k d k d k d ，，，，...，...是等比数列由0d ≠，所以数列1，123n k k k ，，，...，...也是等比数列，首项为1，公比为331q ==，由此得19k = 等比数列{}n a 的首项19k =，公比3q =，所以()1193123....n n n k q n -+=⨯==，，，即得到数列{}n a 的通项为13n n k +=21．解：（Ⅰ）F l FA FB A B ∈⇔=⇔、两点到抛物线的准线的距离相等， ∵抛物线的准线是x 轴的平行线，1200y y ≥≥，，依题意12y y ，不同时为0∴上述条件等价于()()22121212120y y x x x x x x =⇔=⇔+-=∵12x x ≠∴上述条件等价于120x x +=即当且仅当120x x +=时，l 经过抛物线的焦点F ．（Ⅱ）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为2y x b =+；过点A B 、的直线方程可写为12y x m =-+，所以12x x 、满足方程21202x x m +-=得1214x x +=-A B 、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式1804m ∆=+ ，即132m -设AB 的中点N 的坐标为()00x y ，，则()0121128x x x =+=-，0011216y x m m =-+=+ 由N l ∈，得11164m b +=-+，于是551916163232b m =+-= 即得l 在y 轴上截距的取值范围为932⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，22．解：对函数()f x 求导，得()()2241672x x fx x -+-=-，()()()221272x x x --=-- 令()0fx =，解得112x =或272x = 当x 变化时，()fx ，、()f x 的变化情况如下表：所以，当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()f x 是减函数；当112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()f x 是增函数；当()01x ∈，时，()f x 的值域为[]43--，（Ⅱ）对函数()g x 求导，得()()223g x x a =-，因此1a ≥，当()01x ∈，时， ()()2310g x a -≤ ，因此当()01x ∈，时，()g x 为减函数，从而当[]01x ∈，时有 ()()()10g x g g ∈⎡⎤⎣⎦，又()21123g a a =--，()02g a =-，即当[]1x ∈0，时有()21232g x a a a ⎡⎤∈---⎣⎦，任给[]11x ∈0，，()[]143f x ∈--，，存在[]001x ∈，使得()()01g x f x =，则[]2123243a a a ⎡⎤---⊃--⎣⎦，，即212341232a a a ⎧--≤-⎨-≥-⎩（）（）解1（）式得 1a ≥或53a ≤- 解2（）式得 32a ≤又1a ≥，故：a 的取值范围为312a ≤≤。

2005高等数学II试题

一、填空题：(20分)1．曲线t z t y t x 2,sin ,cos ===在4π=t 处的法平面方徎为________。

2．点(1,2,1)到平面1022=++z y x 的距离为_______。

3．设平面过点)2,1,1(),2,2,2(),1,1,1(----.则平面方程为________。

4．已知x y z arctan =,则yx z∂∂∂2=________。

5．交换积分⎰⎰1),(y ydx y x f dy 的积分次序为___________。

6．设∑：2222a z y x =++．则dS z ⎰⎰∑2=_________ 。

7．函数u=ln(x 2+y 2+z 2), 则div(grad u)= 。

8．设函数f (x )是以π2为周期，f (x )=2x x +(-ππ≤<x )，f (x)的Fourier 级数为)sin cos (210∑+∞=++n n n nx b nx a a ，则b 3= 。

9．设函数f (x )是以π2为周期的奇函数，它的Fourier 级数为)sin cos (210∑+∞=++n n n nx b nx a a ，则级数∑∞=0n n a = 。

10．下列四个命题：（1）.若级数∑∞=12004n na发散，则级数∑∞=12005n na也发散；（2）.若级数∑∞=12005n na发散，则级数∑∞=12006n na也发散；（3）.若级数∑∞=12004n na收敛，则级数∑∞=12005n na也收敛；（4）.若级数∑∞=12005n na收敛，则级数∑∞=12006n na也收敛。

上述正确的命题是______。

二. （8分）求函数y y y x y x f -+=32),(的极值，并指出是极大值，还是极小值。

三. （8分）求级数∑∞=-11n n nx 的收敛域和它的和函数。

四. （8分）计算⎰Lds y ，其中L 是抛物线2x y =上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。