连续型随机变量及其概率分布
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x 0
– 若x1< x2，有f (x1)< f (x2)
F(x)右连续
分布函数与密度函数的几何含义
f ( x)
Pr( a X b)
f ( x)
f ( x )dx
a
b
F(x)
F (b) F ( a )
x
几种重要的连续型随机变量
• 均匀分布 • 指数分布 • 伽玛分布
则称X服从参数为l 的指数分布，记作X~E(l) • 其分布函数为：
x0 0 F ( x) 1 e lx x0
指数分布的应用
• 常用于描述两次事件在特定的时间间隔内 发生的概率，如
– 电子元件的寿命 – 病人候诊的时间 – 机器发生两次故障的间隔 – 银行自动提款机支付一次现金所花费的时间
均匀分布
• 一个质点在某个区间作均匀运动，以等可 能性落在区间内的任意一点 • 定义：如果随机变量X 的概率密度函数为：
1 , a xb f ( x) b a 0 otherwise
则称X服从 [a，b] 区间上的均匀分布，记作 X ~U[a，b]
分布函数
xa 0 xa f (t )dt , a xb b a xb 1
指数分布与泊松分布
• 泊松分布中随机变量X描述的是在一段时间中事件 发生的次数(离散)，指数分布描述的则是两次事件 发生之间的时间间隔(连续)
• 两种分布有同样的参数，但参数的表述形式有所 不同
泊松分布随机变量 一段时间内机器发生故障的次数 一段时间内商店接待的顾客人数 指数分布随机变量 机器使用至发生故障之间的时间 两位顾客到达一商店间隔的时间
练习
• 秒表最小刻度值为0.01秒。若计时精度是取 最近的刻度值，求使用该表计时产生的随 机误差X 的概率密度函数f (x) ，并计算误差 的绝对值不超过0.004秒的概率。
指数分布
• 定义：如果随机变量X 的概率密度函数为： l e lx x0 l 0
f ( x) 0 otherwise
F ( x)
x
图示
f (x)
a F (x) 1
b
x
a
b
x
例5.38
• 某人要搭乘一列6：00发出的火车，他打算 乘出租车于5：40出发到火车站，从他家乘 汽车 到火车站，在最顺利的情况下要10分 钟，在交通最拥挤时要50分钟，到火车站 后上火车要5分钟。假定从他家到火车站汽 车行驶时间X在[10，50]区间上服从均匀分 布，问此人能赶上火车的概率。
• 其中参数l 表示在单位时间内，事件发生的 次数
图形
pdf
cdf
Expondist函数
• 语法：Expondist(x, lambda, cumulative)
– x：函数的数值；Lambda：参数值l； – Expondist(10,0.2,TRUE) = 0.864665，是一个概率 分布值 – Expondist(10,0.2,FALSE) = 0.027067 ，是一个概 率密度值
– 对应于离散型随机变量， f (x)为X的概率质量 (mass)函数， pmf
说明
• 讨论连续型随机变量落如某一区间的概率 时，不必区分是否包括区间端点 • 随机变量落入某一区间(a，b)的概率等于曲 线 y = f (x)在区间(a，b)上的面积 • 概率密度函数y = f (x)满足概率的基本性质
• 对于任意实数x1< x2，随机点落入(x1, x2)上 的概率为：
Pr( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
分布函数的特性
• 如果将X看作是数轴上的随机点的坐标，那 么F(x)在x处的函数值就表示点X落入区间 (-∞, x)上的概率 • 对于连续型随机变量X，分布函数F(x)与密 度函数 f (x) 有如下关系： x
F ( x ) Pr( X x ) Pr( X x )
– F(x)是f(x)的可变上限积分函数 – F(x)的取值随x的不同而不同
f (t )dt
百度文库
F′(x)
• 在 f (x)的连续点处，有 f (x) = F′(x) • 在可导处x0
F ( x0 x ) F ( x0 ) F ( x0 ) lim x 0 x Pr( x0 X x0 x ) lim x 0 x f ( x0 )
连续型随机变量及其概率分布
第九讲
大纲
• 什么是连续型随机变量 • 主要连续型随机变量及其分布介绍
– 均匀分布 – 指数分布 – 伽玛分布
概率密度函数
• 对于离散型随机变量我们可以用一系列等 式来描述其概率分布的情况 • 而对于连续型的随机变量，由于变量的可 能取值是某一区间内的所有值，这时我们 考察事件X = x的概率显然没有什么意义， 而必须了解事件a b的概率 • 为此，引进概率密度函数的概念
这就是概 率密度
f ( x0 ) x Pr( x0 X x0 x )
分布函数的性质
• 0≤ F(x) ≤1 • F(x)是非减函数 • xlim F ( x) 0, xlim F ( x) 1 • F(x)右连续
– 对于连续型随机变量， F(x)处处连续 – 对于离散型型随机变量， F(x) = Pr(X ≤ x) – lim F ( x x ) F ( x )
– 非负性 f ( x) 0 – 正则性 f ( x )dx 1
这两条性质是判定函数 f (x) 是否为随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件
概率分布函数
• 设X是一连续型随机变量，则函数 F(x) = Pr(X ≤ x)称作X的概率分布函数
– 与我们前面学的次数或频率累积分布曲线相似 – 也称作累积分布函数，cdf – 对于离散型随机变量，定义同样成立
概率密度函数的定义
• 对于随机变量X，如果存在非负可积函数 f (x)，使对任意实数a，b ，(a b)，都有：
P(a X b) f ( x)dx F (b) F (a)
b a
• 则称X为连续型的随机变量，并称f (x)为X的 概率密度函数(probability density function, pdf)
– 若x1< x2，有f (x1)< f (x2)
F(x)右连续
分布函数与密度函数的几何含义
f ( x)
Pr( a X b)
f ( x)
f ( x )dx
a
b
F(x)
F (b) F ( a )
x
几种重要的连续型随机变量
• 均匀分布 • 指数分布 • 伽玛分布
则称X服从参数为l 的指数分布，记作X~E(l) • 其分布函数为：
x0 0 F ( x) 1 e lx x0
指数分布的应用
• 常用于描述两次事件在特定的时间间隔内 发生的概率，如
– 电子元件的寿命 – 病人候诊的时间 – 机器发生两次故障的间隔 – 银行自动提款机支付一次现金所花费的时间
均匀分布
• 一个质点在某个区间作均匀运动，以等可 能性落在区间内的任意一点 • 定义：如果随机变量X 的概率密度函数为：
1 , a xb f ( x) b a 0 otherwise
则称X服从 [a，b] 区间上的均匀分布，记作 X ~U[a，b]
分布函数
xa 0 xa f (t )dt , a xb b a xb 1
指数分布与泊松分布
• 泊松分布中随机变量X描述的是在一段时间中事件 发生的次数(离散)，指数分布描述的则是两次事件 发生之间的时间间隔(连续)
• 两种分布有同样的参数，但参数的表述形式有所 不同
泊松分布随机变量 一段时间内机器发生故障的次数 一段时间内商店接待的顾客人数 指数分布随机变量 机器使用至发生故障之间的时间 两位顾客到达一商店间隔的时间
练习
• 秒表最小刻度值为0.01秒。若计时精度是取 最近的刻度值，求使用该表计时产生的随 机误差X 的概率密度函数f (x) ，并计算误差 的绝对值不超过0.004秒的概率。
指数分布
• 定义：如果随机变量X 的概率密度函数为： l e lx x0 l 0
f ( x) 0 otherwise
F ( x)
x
图示
f (x)
a F (x) 1
b
x
a
b
x
例5.38
• 某人要搭乘一列6：00发出的火车，他打算 乘出租车于5：40出发到火车站，从他家乘 汽车 到火车站，在最顺利的情况下要10分 钟，在交通最拥挤时要50分钟，到火车站 后上火车要5分钟。假定从他家到火车站汽 车行驶时间X在[10，50]区间上服从均匀分 布，问此人能赶上火车的概率。
• 其中参数l 表示在单位时间内，事件发生的 次数
图形
cdf
Expondist函数
• 语法：Expondist(x, lambda, cumulative)
– x：函数的数值；Lambda：参数值l； – Expondist(10,0.2,TRUE) = 0.864665，是一个概率 分布值 – Expondist(10,0.2,FALSE) = 0.027067 ，是一个概 率密度值
– 对应于离散型随机变量， f (x)为X的概率质量 (mass)函数， pmf
说明
• 讨论连续型随机变量落如某一区间的概率 时，不必区分是否包括区间端点 • 随机变量落入某一区间(a，b)的概率等于曲 线 y = f (x)在区间(a，b)上的面积 • 概率密度函数y = f (x)满足概率的基本性质
• 对于任意实数x1< x2，随机点落入(x1, x2)上 的概率为：
Pr( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
分布函数的特性
• 如果将X看作是数轴上的随机点的坐标，那 么F(x)在x处的函数值就表示点X落入区间 (-∞, x)上的概率 • 对于连续型随机变量X，分布函数F(x)与密 度函数 f (x) 有如下关系： x
F ( x ) Pr( X x ) Pr( X x )
– F(x)是f(x)的可变上限积分函数 – F(x)的取值随x的不同而不同
f (t )dt
百度文库
F′(x)
• 在 f (x)的连续点处，有 f (x) = F′(x) • 在可导处x0
F ( x0 x ) F ( x0 ) F ( x0 ) lim x 0 x Pr( x0 X x0 x ) lim x 0 x f ( x0 )
连续型随机变量及其概率分布
第九讲
大纲
• 什么是连续型随机变量 • 主要连续型随机变量及其分布介绍
– 均匀分布 – 指数分布 – 伽玛分布
概率密度函数
• 对于离散型随机变量我们可以用一系列等 式来描述其概率分布的情况 • 而对于连续型的随机变量，由于变量的可 能取值是某一区间内的所有值，这时我们 考察事件X = x的概率显然没有什么意义， 而必须了解事件a b的概率 • 为此，引进概率密度函数的概念
这就是概 率密度
f ( x0 ) x Pr( x0 X x0 x )
分布函数的性质
• 0≤ F(x) ≤1 • F(x)是非减函数 • xlim F ( x) 0, xlim F ( x) 1 • F(x)右连续
– 对于连续型随机变量， F(x)处处连续 – 对于离散型型随机变量， F(x) = Pr(X ≤ x) – lim F ( x x ) F ( x )
– 非负性 f ( x) 0 – 正则性 f ( x )dx 1
这两条性质是判定函数 f (x) 是否为随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件
概率分布函数
• 设X是一连续型随机变量，则函数 F(x) = Pr(X ≤ x)称作X的概率分布函数
– 与我们前面学的次数或频率累积分布曲线相似 – 也称作累积分布函数，cdf – 对于离散型随机变量，定义同样成立
概率密度函数的定义
• 对于随机变量X，如果存在非负可积函数 f (x)，使对任意实数a，b ，(a b)，都有：
P(a X b) f ( x)dx F (b) F (a)
b a
• 则称X为连续型的随机变量，并称f (x)为X的 概率密度函数(probability density function, pdf)