积分变换习题解答2-4
复变函数积分变换复习题
复变函数及拉普拉斯变换复习题一、选择题 1.复数z=1625825-i 的辐角为（ ）02-4 A.arctan 12B.-arctan12 C.π-arctan 12D. π+arctan122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（ ） A.圆 B.直线C.椭圆D.双曲线3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（ ） A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（ ）A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π 5.复数e 3+i 所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（ ） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（ ） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（ ）A.211πin f a n ()!()()++B.2πi n f a !()C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（ ）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（ ） A.0 B.2πi C.2πD.-2π11.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（ ）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C +⎰12等于（ ）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.下列积分中，积分值不为零的是（ ） A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 14．复数方程z=2+θi e (θ为实参数，0≤θ<2π)所表示的曲线为（ ）04-4 A ．直线 B ．圆周 C ．椭圆D ．抛物线15．已知4z arg 2π=，则argz=（ ） A ．8πB ．4π C ．2πD ．π16．Re(cosi)= （ ） A ．2e e 1-+B ．2e e 1--C ．2e e 1+--D ．2e e 1--17．设f(z)=(1-z)e -z ，则)z (f '=（ ）A ．(1-z)e -zB ．(z -1)e -zC ．(2-z)e -zD ．(z -2)e -z18．设e z =i 31+，则Imz 为（ ）A ．ln2B ．32π C ．2k π,k=1,0±…D ．3π+2k π,k=0, 1±… 19．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C dz z zcos （ ） A ．i πB ．2i πC ．0D ．120．设C 为正向圆周|z -1|=1，则积分dz )1z (2z 3z 5C32⎰-+-等于（ ）A ．5i πB ．7i πC ．10i πD ．20i π21．设C 为正向圆周|ξ|=1.则当|z|>1时，f(z)==-ξ-ξξπ⎰C3)z )(2(d i21（ ）A ．0B ．1C ．3)2z (2-D ．3)2z (2--22．设z=3+4i,，则Re z 2=( )05-4 A ．-7B ．9C ．16D ．2523．下列复数中，使等式z1=-z 成立的是( ) A ．z=e 2πiB ．z=e πiC ．z=i2e π-D ．z=i 43e π24．设0<t ≤2π,则下列方程中表示圆周的是( ) A ．z=(1+i)tB ．z=e it +2iC ．z=t+tiD ．z=2cost+i3sint25．下列区域为有界单连通区域的是( ) A ．0<|z-i|<1B ．0<Imz<πC ．|z-3|+|z+3|<12D ．0<argz<43π26．若f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数，则f '(z)=( )A ．y u i x u ∂∂+∂∂B ．x v i y v ∂∂+∂∂C ．xv i x u ∂∂-∂∂ D ．xvi y v ∂∂-∂∂ 27．设f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=-0z ,ze 0z ,A 1z 在整个复平面上解析，则常数A=( )A ．0B ．e -1C ．1D ．e28．设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b 为( ) A ．a=-1,b=1 B ．a=1, b=1 C ．a=-1,b=-1D ．a=1,b=-129．设z 为复数，则e -iz =( ) A ．cosz+isinzB ．sinz+icoszC ．cosz-isinzD ．sinz-icosz 30．设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C 上连续，则下列式子错误．．的是( ) A ．⎰⎰=zCdz )z (f )z (g dz )z (f )z (gB ．⎰⎰--=CC ,dz )z (f dz )z (f 其中C －为C 的反向曲线C ．⎰⎰⎰±=±CCCdz )z (g dz )z (f dz ))z (g )z (f (D ．⎰⎰=CCdz )z (f 3dz )z (f 331．设C 为从-I 到I 的左半单位圆周，则⎰=Cdz |z |( )A ．iB ．2iC ．-iD ．-2i 32． 设C 为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为．．0的是( ) A ．⎰-C dz 1z zB ．⎰C 3zdz cos zC ．⎰C dz zz sinD ．⎰-C zdz 3z e 33．设D 是单连通区域，C 是D 内的正向简单闭曲线，则对D 内的任意解析函数f(z)恒有( )A ．f(z)=⎰ζ-ζζπC d z )(f i 21, z 在C 的外部 B ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 21，z 在C 的内部，n ≥2 C ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπC n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 D ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 34．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（ ）08-4 A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1D ．大于135．设2,3z w i z =+=,则（ ） A ．3arg π=w B ．6arg π=wC ．6arg π-=wD ．3arg π-=w36．=i 2ln （ ） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +37．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（ ）A ．i π6B ．i π4C ．i π2D ．038．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（ ） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2πD ．i e 22π-39．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（ ） A ．i e3π B ．e6πC ．ei π2D ．i e 3π 40．设z =1-i ,则Im(21z)=（ ）09-4 A ．-1 B ．-21 C ．21 D ．141．复数z =ii-+23的幅角主值是（ ） A ．0 B ．4π C ．2π D ．43π 42．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（ ）A ．1-2πiB ．)22(πn π-iC ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+43．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（ ） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =144．积分⎰=2i iπz dz e （ ）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2D ．π245．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（ ） A ．i π23- B ．i π3- C ．i π43 D ．i π2346．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（ ） A ．i π2- B ．i π- C ．i πD ．2i π47．拉普拉斯变换()[]()dt e t f t f L st ⎰=+∞-0中的f(t)的自变量的范围是 （ ）（A ）()+∞,0 （B ）[)+∞,0 （C ）()+∞∞-, （D ）()0,∞-48．拉普拉斯变换()()dt e t f s F st ⎰=+∞-0中的参数s 是 （ ）（A ） 实变数 （B ）虚变数 （C ）复变数 （D ）有理数49．若()[]()s F t f L =，那么()[]=-t f e L at （ ）（A ）()a s F - (B)()a s F + (C)()e s F as - (D)()a s F s+150．若t ≥0时函数f(t)有拉氏变换()[]1=t f L ，则 （ ）（A ）()()t u t f = （B ）()t t f = （C ）()()t t f δ= （D ）()1=t f 51．若()[]()s F t f L =，那么()[]=+a t f L （ ）（A ）()s F e as - （B ）()s F e as （C ）()a s F e as -- （D ）()a s F e as +52．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t f t L 1（ ）（A ）()s F '- （B ）()s F s 1（C ）()ds s F s ⎰+∞ （D ）()ds s F s ⎰053．若()[]()s F t f L =，那么()[]='t f L （ ）（A ）()s F ' （B ）()s sF （C ）()s F s ' （D ）()()0f s sF -54．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dt t f L t 0 （ ） （A ）()s F s 1（B ）()ds s F s ⎰+∞ （C ）()ds s F s ⎰0（D ）()s F s e -55．若()[]()s F t f L =，当0>a 时，那么()[]=at f L （ ）（A ）()s F a 1 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛a s F a 1 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛a s aF （D ）()a s F - 56．若()[]()s F t f L =，且()()000='=f f ，那么()[]=''t f L （ ）（A ）()s F s ' （B ）()s F '' （C ）()s F s 2 （D ）()s F s '2 二、填空题1.复数z=4+48i 的模|z|= .2.设z=(1+i)100，则Imz= .3.设z=e 2+i ，则argz= .4.f(z)=z 2的可导处为 . 5.方程lnz=π3i 的解为 . 6.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C +=⎰. 7.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.8.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 9．设i z 101103+-=，则=_z ____________.10．方程i z 31ln π+=的解为____________.11．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.12．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C 3_)(____________.13．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.14．复数1i --的指数形式为__________.15．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 16．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________.17．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-C zdz z e 12__________. 18.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.19.若cosz=0，则z=________.20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 21．在复数域内，方程cosz=0的全部解为 。
积分变换习题解答
⎧ 0, −∞ < t < −1 ⎪−1, −1 < t < 0 ⎪ （3） f ( t ) = ⎨ 0 < t <1 ⎪ 1, ⎪ ⎩ 0, 1 < t < +∞
解
（1）函数 f (t ) = ⎨
⎧1 − t 2 , | t |< 1 满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为 | t |> 1 ⎩ 0,
| t |< 1 | t |= 1 。 | t |> 1
习题二
1． 求矩形脉冲函数 f (t ) = ⎨
F (ω ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
⎧ A, 0 ≤ t ≤ τ 的傅氏变换。 其他 ⎩ 0,
+∞ τ − jωt − jω t = f t e dt ( ) ∫ −∞ ∫ 0 Ae dt
⎧sin t , | t |≤ π , （3） f (t ) = ⎨ 证明 ⎩ 0, | t |> π ,
∫
+∞
0
⎧π sin ωπ sin ωt ⎪ sin t , | t |≤ π dω = ⎨ 2 2 1− ω ⎪ | t |> π ⎩ 0,
e dt = 2 ∫ e
0 +∞ −βt
解 （1） F (t ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
−∞
1 2π
+∞ −∞
∫ ∫
−∞
+∞ −∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) e− jωτ dτ e jωt dω =
1 2π
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) (cos ωτ − jsin ωτ ) cos ωtdτ dω
积分变换习题解答
∫ ∫ ∫ ∫ 证 f (t) = 1
( ) +∞
+∞
f
τ
e− jωτ dτ ejωt dω =
1
+∞ +∞ f (τ ) (cosωτ − jsin ωτ ) cosωtdτ dω
2π −∞ −∞
2π −∞ −∞
∫ ∫ ∫ ∫ + 1
2π
+∞ +∞ f (τ ) (cosωτ − jsin ωτ ) jsin ωtdτ dω =
−∞
1+i 1−ω
+
e⎡⎣1−i(1+ω )⎤⎦t 0
−∞
1−i 1+ω
+
e⎡⎣−1+i(1−ω)⎤⎦t +∞
0
−1+ i 1− ω
+
e⎡⎣−1−i(1+ω )⎤⎦t +∞
0
−1− i 1+ ω
⎫ ⎪ ⎬ ⎪
⎩
⎭
=
1 2
⎡
⎢ ⎣
1+
1
i (1−ω
)
+
1−
1
i (1+ ω )
+
1−
1
i (1− ω )
+∞ +∞
f
t
e−iωt dteiωt dω = 1
+∞ 1 1− t 2 e−iωt dteiωt dω
2π −∞ −∞
2π −∞ −1
∫ ∫ ( ) ∫ = 1
π
+∞ −∞
1 1−t2
0
cosωtdteiωtdω = 1 π
+∞ −∞
积分变换课后题答案
第一章 傅里叶变换内容提要：一 傅里叶变换定义1定义2定义34傅里叶积分定理二 δ函数型序列的充分条件构成δ1.)(21)(,)(21)(,)()( 为傅里叶积分公式即称则若设：dw e dx e x f t f dw e w F t f dt e t f w F iwt iwx iwt iwt ⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡===ππ=)(t f [])(1-w F ℱ;)()()(21逆变换的傅里叶为Fourier w F dw e w F iwt ⎰+∞∞-=π=)(w F [])(t f ;)()()(变换的傅里叶为Fourier t f dt e t f iwt -+∞∞-⎰=ℱ .)(21)(,)(21)(,)()( 为傅里叶积分公式即称则若设：dw e dx e x f t f dw e w F t f dt e t f w F iwt iwx iwt iwt ⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡===ππ满足如下两个条件：若函数)(t f 限个极值点；类间断点，且至多有有上连续或有有限个第一在即条件上满足狄利克雷在实轴的任何有限区间],[)( ,)(],[)( )b a t f Dirichlet b a t f i .],[)( )的反常积分收敛在区间+∞-∞t f ii .)()(,)(21)]0()0([21)(dt e t f w F dw e w F t f t f t f iwtiwt -∞+∞-∞+∞-⎰⎰==-++其中且的傅里叶变换存在，则函数π函数列的该趋向下，，则在）（的某种趋向下，函数若在参数可积，且满足在实轴的任何有限区间设普通函数βεβϕβ++∞∞→==⎰0,1)()(-dt t f t f ).()( )0)(( ))(1()(1)(t t f t f t f δδβϕβϕβϕββ→>=即：型序列，构成一个型序列几个常用 2δ⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎩⎨⎧<<=. 0)0( 1)1(1)( . 0)10( 1)( )1其它，，则令其它，εεεεβεεt t f t f t t f ).()(lim 00t t δδδεεε=→+→+型序列，即时为当.)()1(1)(,1)(,)1(1)( )2(22-2πεεεεδπεw w f w dt t f t t f R +===+=⎰+∞∞构造：显然).()(lim 00w w R δδδεεε=→+→+即型序列，时为当.)cos(21sin )()(,sin ,sin )( )3(-⎰⎰-+∞∞=====RRIR dw wt t Rt Rt Rf t dt tt t tt f ππδππ构造：因为).()(lim t t R IR R δδδ=+∞→+∞→型序列，即时为当.2)1(1)(,2,2)( )4(2222-22πβββδππββw G t t ew f w dt eet f -∞+∞--====⎰构造：因为).()(lim 00w w G δδδβββ=→+→+型序列，即时为当函数的积分3δ).)(()()(lim )()()1-00-0处处无穷次可微，定义：t f dt t f t t dt t f t t ⎰⎰+∞∞→+∞∞-=-+εεδδ三 傅立叶变换的性质四 几个常用函数傅里叶变换对1.线性性质2.位移性质)( t f 若ℱ, )(w F 3.微分性质)( n1k ∑=t f C k k . )(1∑=nk k k w F C ℱ )( )1 a t f ±ℱ ;)( )(为实数a w F e iwa ±t iw et f 0)( )2±.)( )(00为实数w w w F ℱ)( t f k 若),,2,1( )(n k w F k =ℱ)( t f 若ℱ, )(w F )( )1 )(t fn ;)( )()(为自然数n w F iw n ℱ)()( )2t f -it n .)( )()(为自然数n w F n ℱ)( t f 若ℱ)(w F 4.积分性质 则ℱ []).(1)(w F iw t g =).( )10)((lim )(1lim )()(lim)()()2000-00-000t f t f dt t f dtt f t t dt t f t t t t =<<+==-=-+++→+→+∞∞→+∞∞⎰⎰⎰θεθεδδδεεεεε函数的筛选性质：2sin 2τw w E).2( 0),2( )()1⎪⎩⎪⎨⎧><=ττt t E t f ℱ)0( )0( 0)0( )()2>⎩⎨⎧<>=-ββt t e t f t 1iw+βℱ习题1.11. 求下列函数的Fourier 变换. （1）ℱ)]([t f =dt e A t i ⎰-τω0=0τωωt i e i A --=)1(ωτωi e i A --.(2) ℱ)]([t f =dt te e t i t⎰+∞∞---ωcos =dt te t i ⎰+∞+-0)1(cos ω+dt te t i ⎰∞--0)1(cos ω由201cos a a dt te at +=⎰+∞-，2001cos cos aa dt te dt te at at +==⎰⎰+∞-∞-， 可知：ℱ)]([t f =22)1(11)1(11ωωωωi i i i -+-++++=22424ωω-+.2. 求Fourier 逆变换. ℱ)]([1ωF -=ωπωωβd e et i ⎰+∞∞--21=ωωπωβωβd e d e it it ⎰⎰∞-++∞+-+0)(0)([21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-++∞++-++-010121)()(ωβωβββπit it e it e it=22221t +ββπ=)(22t +βπβ.3. ℱ)]([t f =⎰--⋅ππωdt e t t i sin=-⎰--ππωt d e t i cos =-⎰---⋅--⋅ππωωωππdt e t i te t i t i cos cos=()⎰-----ππωωωωπt d e i e e t i t i t i sin cos=⎰----⋅+-ππωωωωωdt te i i e e t i t i t i sin )(=⎰---+-ππωωωωdt teeeti ti ti sin 2ℱ)(1w iwπδ+)( )5t u )( )3t δℱ 1)( 2w πδ1)4ℱℱ)]([t f =1sin 22-ωωπi由ℱ)()]([1t f F =-ω可知下面的等式成立.4. 求下列函数的Fourier 积分。
积分变换课后习题答案
积分变换课后习题答案积分变换是数学分析中的一个重要概念，它涉及到对函数的积分进行变换以简化问题或求解特定的数学问题。
以下是一些积分变换课后习题的答案示例：1. 习题一：求函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( [0, 1] \) 上的定积分的傅里叶变换。
答案：首先计算 \( f(x) \) 在给定区间上的定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\]然后，根据傅里叶变换的定义，计算其傅里叶变换：\[F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i k x} dx\]由于 \( f(x) \) 只在 \( [0, 1] \) 上非零，我们可以将积分区间限制在这个区间内：\[F(k) = \int_{0}^{1} x^2 e^{-2\pi i k x} dx\]通过换元和积分计算，我们可以得到 \( F(k) \) 的表达式。
2. 习题二：证明拉普拉斯变换 \( \mathcal{L} \{t^n\} =\frac{n!}{s^{n+1}} \)，其中 \( n \) 是非负整数，\( s > 0 \)。
答案：根据拉普拉斯变换的定义：\[\mathcal{L} \{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t) dt\]对于 \( f(t) = t^n \)，我们有：\[\mathcal{L} \{t^n\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} t^n dt\]通过分部积分法，我们可以逐步计算这个积分，最终得到：\[\mathcal{L} \{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}\]3. 习题三：求函数 \( f(x) = e^{-x} \) 在 \( x > 0 \) 时的傅里叶变换。
积分变换习题解答2-5
2-51.求下列常系数微分方程的解：1）()2e ,00t y y y '-==；8）()()()331,0000y y y y y y y '''''''''+++====；12）()()()()()420,0000,01y y y y y y y ''''''''++=====；16）()π10sin 2,00,12y y t y y ⎛⎫''+=== ⎪⎝⎭。
分析：解题步骤，首先取Laplace 变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取Laplace 逆变换得最后的解.解：1）方程两边取Laplace 变换，并结合初始条件可得()()21e 2t sY s Y s s ⎡⎤-==⎣⎦-L 即()()()1112121Y s s s s s ==-----. 从而方程的解为()()12e e t t y t Y s -⎡⎤==-⎣⎦L8）对方程两边取Laplace 变换，并结合初始条件，有()()()()32133s Y s s Y s sY s Y s s+++= 即()()()332113311Y s s s s s s s ==++++ 由留数计算法，由于10s =是()Y s 的一个一级极点，21s =-是()Y s 的一个三级极点，从而方程的解为()()()121Res e k st s s k f t Y s Y s =-=⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦∑L ()12232e 1d 1lim e 2!d 1stst s s s s s s s →=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+ ()2231e 2211lim 2st s s t st s →--+=+2111e 2t t t -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. 12）对方程两边取Laplace 变换，并结合初始条件，有()()()()()()()()()43220000220200s Y s s y s y sy y s Y s sy y Y s '''''''----+--+= 即()()22221111ss Y s s s s ==⋅+++ 从而方程的解为()()11cos sin sin 2y t Y s t t t t -⎡⎤==*=⎣⎦L . 16）对方程两边取Laplace 变换，并结合初始条件，有 ()()()()22200104s Y s sy y Y s s '--+=+ 即()()()()222020114y Y s s s s '=++++()222020113141y s s s '⎛⎫=-+ ⎪+++⎝⎭，从而 ()()()12010sin sin 20sin 33y t Y s t t y t -'⎡⎤==-+⎣⎦L . 为了确定()0y '，将条件π12y ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入上式可得()1703y '=-，所以方程的解为()10sin sin 23y t t t =- 2.求下列变系数微分方程的解：1）()()40,03,00ty y ty y y ''''++===；3）()()()2120,02ty t y t y y '''+-+-==；5）()()()()10,000,0ty n y y y y n ''''+-+===≥.解: 1）方程两边取Laplace 变换，有[]40ty y ty '''++=L即[][][]40ty y ty '''++=L L L ，亦即()()()()()()2d d 00040d d s Y s sy y sY s y Y s s s'⎡⎤⎡⎤---+--=⎣⎦⎣⎦ 从而()()2d 40d Y s sY s s ++= 2d d 04Y s s Y s +=+ 两边积分可得()211ln ln 42Y s c ++=或()Y s =取其逆变换，有()()02y t cJ t =欲求c ，可由条件()03y =得到，即()()0003y cJ c ===，所以方程的解为()()032y t J t =其中()()()2001!12kk k x J x k k ∞=-⎛⎫= ⎪Γ+⎝⎭∑称为零阶第一类Bessel 函数.3）方程两边取Laplace 变换，有[]()()2120ty t y t y '''⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦L L L()()()()()2d d 0020d d s Y s sy y sY s y s s'⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦ ()()()()d2020d sY s y Y s Y s s ⎡⎤---=⎣⎦整理化简后可得()()()()2d21416d s s Y s s Y s s ++++=即()()()2d46d 11Y s Y s s s s +=++这是一阶线性非齐次微分方程，这里()()()246,11P s Q s s s ==++所以()()()()d d e e d P s s P s sY s Q s s c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰()()24161d 1s s c s ⎡⎤=++⎣⎦+⎰()4211cs s =+++从而方程的解为()()132e e 3!t t cy t Y s t ---⎡⎤==+⎣⎦L ()312etc t -=+（1c 为任意常数）5）方程两边取Laplace 变换，有[]()[][]10ty n y y '''+--=L L L即()()()2d 00d s Y s sy y s'⎡⎤---+⎣⎦()()()()100n sY s y Y s ⎡⎤---=⎣⎦ 整理化简后可得()()()2d 11d Y s n ss Y s s -+=两边积分可得()()11ln n Y s s cs -+=-即()()1111e e n s s n cY s cs s ---++==从而方程的解为()(2nn y t ct J =（c 为任意常数）其中n J 称为n 阶第一类Bessel 函数。
复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 13i +解：()/31322cos /3sin /3i i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7) 11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值 (1) a ib +解：1ar 2ar 2222421ar 22421ar 2242 b b i ctg k i ctg k a a bi ctg abi ctg a a ib a b ea b ea b ea b e ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=+=+⎧+⎪=⎨⎪-+⎩(2)3i解：62263634632323322322i k i i i i k i e i i eee e iπππππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)ii解：()1/2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i e e ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=(1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=(1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题2
习题二1. 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44u iv x y +=+ 所以 54u x =,34v y =+ 5344,u v x y == 所以()()2253442uv +=即()()222253221u v +=，表示椭圆.2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ϕρ=或i w u v =+.（1）π02,4r θ<<=； （2）π02,04r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+所以22,2.u x y v xy =-=(1) 记e i w ϕρ=，则π02,4r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π04,.2ρϕ<<=(2) 记e i w ϕρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即π04,0.2ρϕ<<<<(3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-=即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3. 求下列极限.(1) 21lim 1z z →∞+; 解：令1z t=,则,0z t →∞→. 于是22201lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z→; 解：设z =x +y i ，则Re()i z x z x y=+有 000Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同所以极限不存在.（3） 2lim (1)z i z i z z →-+； 解：2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+.（4） 2122lim 1z zz z z z →+---. 解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+ 所以2112223lim lim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+.4. 讨论下列函数的连续性： (1) 22,0,()0,0;xy z x y f z z ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩ 解：因为220(,)(0,0)lim ()limz x y xy f z x y →→=+, 若令y =kx ,则222(,)(0,0)lim1x y xy k x y k →=++, 因为当k 取不同值时，f (z )的取值不同，所以f (z )在z =0处极限不存在. 从而f (z )在z =0处不连续，除z =0外连续. (2) 342,0,()0,0.x y z f z x y z ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩ 解：因为33422022x y x x y x y x y ≤≤=+, 所以342(,)(0,0)lim 0(0)x y x y f x y →==+ 所以f (z )在整个z 平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数.(1) 1()(1)n f z z -=- (n 为正整数)；解：因为n 为正整数，所以f (z )在整个z 平面上可导.1()(1)n f z n z -'=-. (2) 22()(1)(1)z f z z z +=++. 解：因为f (z )为有理函数，所以f (z )在2(1)(1)0z z ++=处不可导. 从而f (z )除1,i z z =-=±外可导.2222232222(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''+++-+++'=++-+++=++ (3) 38()57z f z z +=-. 解：f (z )除7=5z 外处处可导，且223(57)(38)561()(57)(57)z z f z z z --+'==---. (4) 2222()i x y x y f z x y x y +-=+++. 解：因为2222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i ()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z ++--+--+++=====+++. 所以f (z )除z =0外处处可导，且2(1i)()f z z+'=-.6. 试判断下列函数的可导性与解析性.(1) 22()i f z xy x y =+; 解：22(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微.22,2,2,y u v v y xy xy x x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 所以要使得u v x y ∂∂=∂∂， u v y x∂∂=-∂∂, 只有当z =0时,从而f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析.(2) 22()i f z x y =+.解：22(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.2,0,0,2u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 只有当z =0时,即(0,0)处有u v x y ∂∂=∂∂,u v y y∂∂=-∂∂. 所以f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析.(3) 33()23i f z x y =+;解：33(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.226,0,9,0u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂=时，才满足C-R 方程.从而f (z )0=处可导，在全平面不解析. (4) 2()f z z z =⋅.解：设i z x y =+，则23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-⋅+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+22223,2,2,3u u v v x y xy xy y x x y x y∂∂∂∂=+===+∂∂∂∂ 所以只有当z =0时才满足C-R 方程.从而f (z )在z =0处可导，处处不解析.7. 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1) ()0f z '=;证明：因为()0f z '=，所以0u u x y ∂∂==∂∂,0v v x y∂∂==∂∂. 所以u ,v 为常数，于是f (z )为常数.(2) ()f z 解析. 证明：设()i f z u v =-在D 内解析,则()u v u v x y x y∂∂-∂∂=⇒=-∂∂∂∂ ()u v v y x y∂-∂-∂==+∂∂∂ ,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ 而f (z )为解析函数，所以,u u u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 所以,,v v v v x x y y ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂即0u u v v x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂ 从而v 为常数，u 为常数，即f (z )为常数.(3) Re f (z )=常数.证明：因为Re f (z )为常数，即u =C 1,0u u x y ∂∂==∂∂ 因为f (z )解析，C-R 条件成立。
高等教育出版社积分变换第四版答案
a cos t d
0
b sin t d
0, t0 2) f t ; t e sin 2 t , t 0
2．求下列函数的 Fourier 积分：
1 t 2 , t 2 1 1） f t ; 2 0, t 1
1 a jb cos t j sin t d 2
由于 a a , b b , 所以
f t 1 1 a cos t d b sin td 2 2
f(t)的 Fourier 积分为
f (t ) =
1 j F e j t d F sin td 2π 0 π 0 2 1 cos sin td π0
f t0 0 f t0 0 2
其中 t -1，0，1（在间断点 t0 处，右边 f(t)应以
1-1
1． 试证：若
f t 满足 Fourier 积分定理中的条件，则有
f t
0
a cos t d
0
b sin t d
其中 a
1 1 f cos d , b f sin d . π π
2 2 0 4
4
π sin π sin t sin t , t π sin t , t π 3） f ( t ) ，证明： d 2 2 0 1 t π 0, 0, t π
t 证明：1）函数 f t e 为连续的偶函数，其 Fourier 变换为
《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部_习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根． 解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ． 9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换课后习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()R e in=，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++ ①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈C ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈C ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z=12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
积分变换复习题解答
积分变换复习题解答一、求下列函数的付氏变换1、设(),0,00,⎩⎨⎧<≥=-t t e t f t β求()[]()[]()[]t f F t f F t f F -+'',1,解：()()()2117152F f t j F f t j ωωβω---''==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()11415(1)11j j F f t eF f t ej ωωβω---⋅-+==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()1212151F f t F j ωβω----=-=⎡⎤⎣⎦-2、()()()()1151141722111122{[]}{}itj j F e u t F u t eF u t e j ωωωωωωωωπδωω-----⋅-⋅=+=+=+⎡⎤⎡⎤-=-==+⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2(1)11(1)j e j ωπδωω-+⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦3、[]()()112000sin F t j ωωδωωδωω-=+--⎡⎤⎣⎦4、()()()55114173351353j j F u t F u t e F u t e j ωωπδωω----⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=-==+⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦5、()()()()()1181721122d d d F tu t j F u t j F u t j j d d d j πδωπδωωωωωω--⎡⎤'===+=-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦6、()()()()()114118111j j j j F t eF t e j F t e j j e ωωωωδδωδωω---⋅---''-===⋅=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦7、()()()()1111111[11]cos F t t F t t t δδπδδππ-++-=++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦8、()110323itF e πδω-⎡⎤=-⎣⎦二、计算：1、()127sin sin 0332t t dt ππδ-+∞-∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2、128sin sin 42242t t dt ππππδ-+∞-∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰三、求卷积：1、设()(),0,00,,0,00,221⎩⎨⎧<≥=⎩⎨⎧<≥=--t t e t f t t e t f t t 求：()()t f t f 21*解：0t <时：12()()0f t f t *=0t ≥时：()()()22212120()()tttt tt t f t f t f f t d e ed ee d e e ττττττττ------*=-===-⎰⎰⎰212,0()()0,0t te e tf t f t t --⎧-≥∴*=⎨<⎩2、设()()212,0,0,0,00,0t t t t f t f t t t ≥⎧≥⎧==⎨⎨<<⎩⎩，求：()()t f t f 21* 解：0t <时：12()()0f t f t *=0t ≥时：()()()24121201()()12ttf t f t f f t d t d t ττττττ*=-=-=⎰⎰ 412,0()()120,0t t f t f t t ⎧≥⎪∴*=⎨⎪<⎩四、求下列函数的拉氏变换： 1、219126333222255[sin5][sin5]5(3)5ts s s s L e t L t s s ---=-=-===+-+ 2、()(1)1221[cos2][cos2]12t ts L et e L e t e s ---+=⋅=⋅++同上题3、()()()(){}22221521812422222222231442[2]1[2][]ss s d d d L t u t L u t e L u t e e ds ds ds s s s s -------⎧⎫⎛⎫-=--==⋅=++⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭4、()222511[521]2ts L e t t e s s sδ-+-++=+++- 5、[]272822211sin sin cos cos sin sin cos 444221121s s L t L t t L t t s s s πππ--⎡⎤-⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=-=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦6、(){}21312191271122[cos2]1[cos2]{[cos2]}2tts s s s d d d sL te t L e t L t ds dsds s -----=-=-⎧⎫=-=-=-⎨⎬+⎩⎭()22222123(1)225d s s s ds s s s ⎧⎫---=-=⎨⎬-+⎩⎭-+ 7、⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t L 2sin []21712822sin 2arctan arctan 2222ss s s sL t ds ds s π---+∞+∞+∞====-+⎰⎰ 8、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-tt tdt e L 023sin []()21621912622221113sin3sin323t s s L e t L t s ss s -----=+⎡⎤==⋅=⋅⎣⎦++9、20t t e e dt t --+∞-⎰21722000111ln ln 2122t ts L e e ds ds s s s --+∞+∞--+∞+⎛⎫⎡⎤=-=-== ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎰⎰10、设()5,122,24,0,4t f t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩试用单位阶跃函数及延迟了的单位阶跃函数表示()t f ，并求[])(t f L 。
复变函数与积分变换 第二章课后答案
e z sin z e z sin z 则 dz z 2i dz 2 z 2i z 4 z 3 z 2 i 1
2i
e 2i sin 2i e 2i sin 2i e 2i sin 2i e 2i sin( 2i ) 2i 2i 2i 2i 2i 2 2 sin 2i e 2i e 2i sin 2i cosh 2i . 2
i
i
i i
= 2 cos i .
7. 沿指定曲线的正向计算下列各积分： （1）
C
ez dz ， C ： z 2 1 ； z2 dz (a 0) ， C ： z a a ； z a2
2
（2）
C
（3）
C
eiz 3 dz ， C ： z 2i ； 2 z 1 2 f ( z) dz ， C ： z 1 ； f ( z ) 在 z 1 上解析, z0 1 ； z z0
z 0
0.
4
(8) f ( z ) 有四个奇点， 其中 z i在c 内，作互不相交互不包含且 在 C 内的小圆周 c1和c2 包含 i 与-i，则
c1
(z
2
1 dz 1 dz 2 4)( z i ) z i c2 ( z 4)( z i ) z i
(2) 由于被积函数在全平面上解析,利用柯西积分定理得
求积分
C
3 z 2 dz 0 .
2. 设 C 是由点 0 到点 3 的直线段与点 3 到点 3 i 的直线段组成的折线，
C
Re zdz ．
解 将 C 分为两段,从 z=0 到 z=3, c1 的方程为 z 3 x, 0 x 1,
(含答案)复变函数与积分变换习题解析2
习题2.11. 判断下列命题的真假，若真，给出证明；若假，请举例说明． （1）如果()f z 在0z 连续，那么0()f z '存在． （2）如果0()f z '存在，那么)(z f 在0z 解析． （3）如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 不可导． （4） 如果0z 是()f z和()g z 的一个奇点，那么0z 也是()()f z g z +和()()f z g z ⋅的奇点．（5）如果(,)u x y 和(,)v x y 可导，那么()(,)(,)f z u x y iv x y =+亦可导．2．应用导数定义讨论函数)Re()(z z f =的可导性，并说明其解析性．3．证明函数在0z =处不可导． 习题2.21. 设试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.（提示：沿抛物线x y =2趋向于原点）2. 判断下列函数在何处可导，何处解析，并在可导处求出其导数．（1）y ix xy z f222)(+=； （2）i y x y x z f 22332)(+-=； （3）=)(z f232z z -+； （4）22()2(1(2)f z x y i x y y =-+-+）. 3.（1 （2 （3）iy x z f 2)(+=； （4 4. （1）iz z z f 2)(3+=； （25. 讨论下列各函数的解析性．（1）3223()33f z x x yi xy y i =+--； （2 (0)z ≠； （3）1(33)x iy ω-=-； （4习题2.31. 证明下列u 或v 为某区域的调和函数，并求解析函数()f z u iv =+． （1）2(1)u x y =-； （2）3223u x x xy =-+；（3）323u x xy =-； （4）23v xy x =+；（5）x y x v 222+-=； （62. 求k 值使22ky x u +=为调和函数，并求满足1)(-=i f 的解析函数iv u z f +=)(．3. 设函数iv u z f +=)(是一个解析函数，且y x xy y x y x v u 22332233---+-=+，求iv u z f +=)(.4. 证明：如果函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，并满足下列条件之一，则)(z f 是常数.（1（2（3（4（5.5.（1（2）u -是v 的共轭调和函数.6. 如果iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明：（1（2习题2.41.（2 （3（4（5（6）()i Ln e ； （7）i 3； （8）i i )1(+；（9）1(34)i i ++； （10）)1sin(i +；（11）cos(5)i π+； （12）i ei cos 1++π.2（1 （2）0cos sin =+z z .3. （1 （2 （34．证明：（1）121212sin()sin cos cos sin z z z z z z +=+，212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z -=+；2）1cos sin 22=+z z ； （3（4 （55．证明：（1）122=-z sh z ch ； （2）z ch z sh z ch 222=+；（3）cos sin shz shx y ichx y =+，cos sin chz chx y ishx y =+；（4）212121)(shz chz chz shz z z sh +=+，212121)(shz shz chz chz z z ch +=+.复 习 题 二一、单项选择题1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.D 10.C 11.C 12.B一、单项选择题1. ）. D.z sin2. 下列说法正确的是（ ）.A.函数的连续点一定不是奇点B.可微的点一定不是奇点C.)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内无奇点D.不存在处处不可导的函数3. 下列说法错误的是（ ）. A.如果)(z f 在点0z 解析，则)(z f 在点0z 可导B.如果0z 是)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在C.如果)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在D 内解析D.如果)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 连续 4. 下列说法正确的是（ ）.A.iv u z f +=)(在区域D内解析，则v u ,都是调和函数B.如果v u ,都是区域D 内的调和函数，则iv u +是D 内的解析函数C.如果v u ,满足C-R 方程，则v u ,都是调和函数D.iv u +是解析函数的充要条件是v u ,都是调和函数5. 设函数iv u z f +=)(解析，则下列命题中错误的是（ ）.A.v u ,均为调和函数B.v 是u 的共轭调和函数C.u 是v 的共轭调和函数D.u -是v 的共轭调和函数6. 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，下列等式中错误的是（ ）.7. 设在区域D 内v 为u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（ ）. A.iu v - B.iu v + C.iv u - D.x x iv u -8. 函数z z z f Im )(2=在0=z 处的导数（ ）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于 -1 D. 不存在9. 下列数中为实数的是（ ）.A. 3)1(i -B. i sinC. LniD. i e π-310. 下列函数中是解析函数的是（ ）.A.xyi y x 222--B.xyi x +2 C. )2()1(222x x y i y x +-+- D. 33iy x + 11. 设z z f cos )(=，则下列命题中，不正确的是（ ）. A. )(z f 在复平面上处处解析 B. )(z f 以π2为周期12. 设Lnz =ω是对数函数，则下列命题正确的是（ ）.A. nLnz Lnz n =B. 2121Lnz Lnz z Lnz +=因为x z =是实常数，所以x Lnx Lnz ln ==二、填空题 在区域D 内三、计算题1. 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出其导数.（1）zzezf z sincos)(+-=；（2（3（4（5（62..（1（3（53. 试证下列函数为调和函数，并求出相应的解析函数ivuzf+=)(.（1）xu=；（2）xyu=；（3）3223236yxyyxxu+--=；（4（5）yev x sin2=；（64. 已知22yxvu-=-，试确定解析函数ivuzf+=)(.5. 函数yxv+=是yxu+=的共轭调和函数吗？为什么？6.（1（2）ie43+；（3）Lni；（4（5（6）i-13；（7（8四、证明题1. 若函数),(yxu和),(yxv都具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，现令xyvus-=，yxvut+=，则2. 设)(zf与)(zg都在，0()0g z'≠，证明第二章习题、复习题参考答案习题2.11.（1）假（2）假（3）假（4）假（5）假2. 函数)Re()(zzf=处处不可导，处处不解析.习题2.22.（1）在0z =处可导，处处不解析，导数(0)0f '=；（2）在点)0,0(和处可导，处处不解析，导数0)0(='f ，（3）处处可导， （44.（1（25.（1（3.习题2.31.（1）ci iz z z f ++=22)(； （2）ci z z z f +-=32)(； （3）=)(z f 3z ci +； （4）=)(z f 23z iz c ++；（5）c iz iz z f ++=2)(2； （62.1k =-；2()f z z =．3.c y y x y v c x xy x u --+-=+--=23,232323,c i z z z f )1(2)(3-+-=. 习题2.41.（1 （2 （3）k )1(-)(Z k ∈； （（5（6（7）3ln 2i k e e π-)(Zk ∈； （9 （ （2.（1 （23.（1）正确； （2）正确； （3）正确.复习题二二、填空题2.0；3.c uv +2(c 为实常数)；4.3,1,3-==-=n m l ；5.i +1；6.常数；8.ic ixy y x ++-222或ic z +2(c 为常数)；9.i -； 10.πk e 2-),2,1,0( ±±=k .三、计算题1.（1（2（3（4（5（6z z z f cot csc )(-='.2.（1）在复平面内处处不可导，处处不解析；（2）在0=z 处可导，但在复平面内处处不解析，0)0(='f ；（3）在复平面内处处不可导，处处不解析；6.（1）4e -； （2）)4sin 4(cos 3i e +； （3（4（6 （7。
数理方程参考答案4第四章 积分变换法
若 在 点连续，则
1
定义
设函数 f ( x) 在 (−∞, +∞) 上的任意有限区间上满足狄利克雷条件，在 (−∞, +∞) 上绝
对可积，则称广义积分
为
的傅里叶变换，或者称为 定义 称
的像函数。通常记为
，或
。
为
的傅里叶逆变换，或者称为 傅里叶变换及其逆变换的基本性质
的像原函数。记为
.
性质 1（线性性质） 傅里叶变换及其逆变换都是线性变换，即
其中 ， 是任意常数。 性质 2（相似性质） 对于任意实常数 ，有 . 性质 3（位移性质）对于任意实常数 ，有 , 性质 4（微分性质）设 ， 的傅里叶变换存在，则 . 一般地，若 , ,…, 的傅里叶变换存在，则 . 性质 5（乘多项式性质）设 的傅里叶变换存在，则
2
.
. 性质 6 (积分性质) . 性质 7 (对称性质) . 定义 于所有的 设函数 和 是 上定义的函数。 如果广义积分 对
2 ∂ 2u 2 ∂ u a − = 0 (−∞ < x < +∞, t > 0), ∂t 2 ∂x 2 ∂u u| ψ ( x). ( x), = = t =0 ϕ ∂t t =0
的解为
二维拉普拉斯方程的边值问题
∂ 2u ∂ 2u = 0 ( −∞ < x < +∞, y > 0), ∂x 2 + ∂ y2 u | = f ( x ), x =0 u = 0. |xlim |→+∞ 的解为
2
s2
例3 解
求函数 F ( p ) = 因为
p 的拉普拉斯逆变换 p − 2 p +5
（含答案）复变函数与积分变换习题解析2
（含答案）复变函数与积分变换习题解析2习题2.11. 判断下列命题的真假，若真，给出证明；若假，请举例说明．（1）如果()f z 在0z 连续，那么0()f z '存在．（2）如果0()f z '存在，那么)(z f 在0z 解析．（3）如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 不可导．（4）如果0z 是()f z和()g z 的⼀个奇点，那么0z 也是()()f z g z +和()()f z g z ?的奇点．（5）如果(,)u x y 和(,)v x y 可导，那么()(,)(,)f z u x y iv x y =+亦可导．2．应⽤导数定义讨论函数)Re()(z z f =的可导性，并说明其解析性．3．证明函数在0z =处不可导．习题2.21. 设试证)(z f 在原点满⾜柯西-黎曼⽅程，但却不可导.（提⽰：沿抛物线x y =2趋向于原点）2. 判断下列函数在何处可导，何处解析，并在可导处求出其导数．（1）y ix xy z f222)(+=；（2）i y x y x z f 22332)(+-=；（3）=)(z f232z z -+；（4）22()2(1(2)f z x y i x y y =-+-+）. 3.（1 （2 （3）iy x z f 2)(+=；（4 4. （1）iz z z f 2)(3+=；（25. 讨论下列各函数的解析性．（1）3223()33f z x x yi xy y i =+--；（2 (0)z ≠；（3）1(33)x iy ω-=-；（4习题2.31. 证明下列u 或v 为某区域的调和函数，并求解析函数()f z u iv =+．（1）2(1)u x y =-；（2）3223u x x xy =-+；（3）323u x xy =-；（4）23v xy x =+；（5）x y x v 222+-=；（62. 求k 值使22ky x u +=为调和函数，并求满⾜1)(-=i f 的解析函数iv u z f +=)(．3. 设函数iv u z f +=)(是⼀个解析函数，且y x xy y x y x v u 22332233---+-=+，求iv u z f +=)(.4. 证明：如果函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，并满⾜下列条件之⼀，则)(z f 是常数.（1（2（3（4（5.5.（1（2）u -是v 的共轭调和函数.6. 如果iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明：（1（2习题2.41.（2 （3（4（5（6）()i Ln e ；（7）i 3；（8）i i )1(+；（9）1(34)i i ++；（10）)1sin(i +；（11）cos(5)i π+；（12）i ei cos 1++π.2（1 （2）0cos sin =+z z .3. （1 （2 （34．证明：（1）121212sin()sin cos cos sin z z z z z z +=+，212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z -=+；2）1cos sin 22=+z z ；（3（4 （55．证明：（1）122=-z sh z ch ；（2）z ch z sh z ch 222=+；（3）cos sin shz shx y ichx y =+，cos sin chz chx y ishx y =+；（4）212121)(shz chz chz shz z z sh +=+，212121)(shz shz chz chz z z ch +=+.复习题⼆⼀、单项选择题1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.D 10.C 11.C 12.B⼀、单项选择题1. ）. D.z sin2. 下列说法正确的是（）.A.函数的连续点⼀定不是奇点B.可微的点⼀定不是奇点C.)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内⽆奇点D.不存在处处不可导的函数3. 下列说法错误的是（）. A.如果)(z f 在点0z 解析，则)(z f 在点0z 可导B.如果0z 是)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在C.如果)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在D 内解析D.如果)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 连续 4. 下列说法正确的是（）.A.iv u z f +=)(在区域D内解析，则v u ,都是调和函数B.如果v u ,都是区域D 内的调和函数，则iv u +是D 内的解析函数C.如果v u ,满⾜C-R ⽅程，则v u ,都是调和函数D.iv u +是解析函数的充要条件是v u ,都是调和函数5. 设函数iv u z f +=)(解析，则下列命题中错误的是（）.A.v u ,均为调和函数B.v 是u 的共轭调和函数C.u 是v 的共轭调和函数D.u -是v 的共轭调和函数6. 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，下列等式中错误的是（）.7. 设在区域D 内v 为u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（）. A.iu v - B.iu v + C.iv u - D.x x iv u -8. 函数z z z f Im )(2=在0=z 处的导数（）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于 -1 D. 不存在9. 下列数中为实数的是（）.A. 3)1(i -B. i sinC. LniD. i e π-310. 下列函数中是解析函数的是（）.A.xyi y x 222--B.xyi x +2 C. )2()1(222x x y i y x +-+- D. 33iy x + 11. 设z z f cos )(=，则下列命题中，不正确的是（）. A. )(z f 在复平⾯上处处解析 B. )(z f 以π2为周期12. 设Lnz =ω是对数函数，则下列命题正确的是（）.A. nLnz Lnz n =B. 2121Lnz Lnz z Lnz +=因为x z =是实常数，所以x Lnx Lnz ln ==⼆、填空题在区域D 内三、计算题1. 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出其导数.（1）zzezf z sincos)(+-=；（2（3（4（5（62..（1（3（53. 试证下列函数为调和函数，并求出相应的解析函数ivu)(.（1）xu=；（2）xy u=；（3）3223236yxyyxxu+--=；（4（5）yev x sin2=；（64. 已知22y=-，试确定解析函数ivuzf+=)(.5. 函数yxv+=是yxu+=的共轭调和函数吗？为什么？6.（1（2）ie43+；（3）Lni；（4（5（6）i-13；（7（8四、证明题1. 若函数xu和),(yxv都具有⼆阶连续偏导数，且满⾜拉普拉斯⽅程，现令x yvus-=，yxvut+=，则2. 设)(zf与)(zg都在，0()0g z'≠，证明第⼆章习题、复习题参考答案习题2.11.（1）假（2）假（3）假（4）假（5）假2. 函数)zf=处处不可导，处处不解析.习题2.22.（1）在0z =处可导，处处不解析，导数(0)0f '=；（2）在点)0,0(和处可导，处处不解析，导数0)0(='f ，（3）处处可导，（44.（1（25.（1（3.习题2.31.（1）ci iz z z f ++=22)(；（2）ci z z z f +-=32)(；（3）=)(z f 3z ci +；（4）=)(z f 23z iz c ++；（5）c iz iz z f ++=2)(2；（62.1k =-；2()f z z =．3.c y y x y v c x xy x u --+-=+--=23,232323,c i z z z f )1(2)(3-+-=. 习题2.41.（1 （2 （3）k )1(-)(Z k ∈；（（5（6（7）3ln 2i k e e π-)(Zk ∈；（9 （（2.（1 （23.（1）正确；（2）正确；（3）正确.复习题⼆⼆、填空题2.0；3.c uv +2(c 为实常数)；4.3,1,3-==-=n m l ；5.i +1；6.常数；8.ic ixy y x ++-222或ic z +2(c 为常数)；9.i -； 10.πk e 2-),2,1,0(Λ±±=k .三、计算题1.（1（2（3（4（5（6z z z f cot csc )(-='.2.（1）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；（2）在0=z 处可导，但在复平⾯内处处不解析，0)0(='f ；（3）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；6.（1）4e -；（2）)4sin 4(cos 3i e +；（3（4（6 （7。
积分变换课后答案之欧阳语创编
111．2． 试证：若()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰阐发：由Fourier 积分的单数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier 积分的单数形式，有由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 2．求下列函数的Fourier 积分：1）()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩; 2) ()0,0;e sin 2,0tt f t t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 3)()0,11,101,010,1t t f t t t ⎧-∞<<-⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩阐发：由Fourier 积分的单数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.解：1）函数()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为连续的偶函数，其Fourier 变换为122330sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(偶函数)f(t)的Fourier 积分为2)所给函数为连续函数，其Fourier 变换为()224252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω⎡⎤--⎛⎫⎣⎦=+=⎪-+-+--+⎝⎭（实部为偶函数，虚数为奇函数） f (t)的Fourier 变换为这里用到奇偶函数的积分性质.3）所给函数有间断点1，0，1且f(t)= f(t)是奇函数，其Fourier 变换为12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω-=-⋅=⎰（奇函数）f(t)的Fourier 积分为 其中t ≠1，0，1（在间断点0t 处，右边f(t)应以()()00002f t f t ++-取代）.3．求下列函数的Fourier 变换，并推证下列积分结果： 1）()e (0),t f t ββ-=>证明：22cos πd e ;02tt βωωβωβ-+∞=+⎰2）()e cos tf t t -=，证明：242πcos d e cos ;042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）sin ,π()0,πt t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，证明：2πsin ,πsin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω⎧≤+∞⎪=⎨-⎪>⎩⎰ 证明：1）函数()e t f t β-=为连续的偶函数，其Fourier 变换为再由Fourier 变换得 即2）函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数，其Fourier 变换为 再由Fourier 变换公式得 即242πcos d e cos 042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）给出的函数为奇函数，其Fourier 变换为 故4.求函数()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.解：根据Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有 根据Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有121．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解：2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰，()()j 1e d 2πtf t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则（令u ω-=）()j 1e d 2πutF u u -∞=+∞⎰ （换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πt F f t ωωω+∞=-=--∞⎰所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则（令t u -=）()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰（换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰ 所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证 解：由Fourier 正弦变换公式，有 由Fourier 正弦逆变换公式，有 由此，那时0t α=>，可得5．设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ，试证明：1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-. 证明： 在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且辨别为()f t 的实部与虚部. 因此其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰， ()a 1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式辨别为所以反之，若已知()()F F ωω-=，则有此即标明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，肯定有亦即标明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式辨别为所以反之，若已知()()F F ωω-=-，则有此即标明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，肯定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰，亦即标明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=，求该函数()f t .解：sin ()F ωωω=为连续的偶函数，由公式有但由于那时0a > 那时0a <那时0a =，sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩，，，7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier 变换.解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9．求函数()()()1δδδδ222a a t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解 ：cos cos 2a a ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由即得12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于故()()()()()πjδ5δ5δ5δ522f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F .14.证明：若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F，其中()t ϕ为一实数，则其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明：因为()()j j ee d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()()()()j j j j 1e ee d cos e d cos 22t t t t F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解 ：02π,T ω=()1,00,ht t Tf t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他1－31．若1122()[()],()[()],F f t F f t ωω== F F ,αβ是常数，证明（线性性质）：阐发：根据Fourier 变换的界说很容易证明. 证明：根据Fourier 变换与逆变换的公式辨别有 6．若()[()]F f t ω= F，证明（翻转性质）：()[()]F f t ω-=- F 阐发：根据Fourier 变换的界说，再进行变量代换即可证明.证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞-=-⎰Fj e d （令t u -=）()()u f u u ω+∞---∞=⎰j ed（换u 为t ）()()t f t t ω+∞---∞=⎰j e d 9．设函数()1,10,1t f t t ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，利用对称性质，证明：π ,1sin .0,1t t ωω⎧<⎪⎡⎤=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞=⎰Fj e d 11t t ω--=⎰j e d由对称性质：()[()]f t F ω= F ，则()[()]2,F t f ω=-F π有12．利用能量积分()()2212f t t F ωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰⎰d d π，求下列积分的值：1）21cos xx x+∞-∞-⎰d ； 2）42sin x x x +∞-∞⎰d ； 3）()2211x x +∞-∞+⎰d ；4）()2221x x x +∞-∞+⎰d .解：1）2222sin 1cos 2xxx x x x +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d（令2xt =）2sin t t t +∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰d 2）()22422sin 1cos sin x x xx x x x+∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d 3）()22221111x t t x +∞+∞-∞-∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭+⎰⎰d d 221121t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰F d π，其中 从而4）()()2222221111x x x x x x +∞+∞-∞-∞+-=++⎰⎰d d ()2221111x x x x +∞+∞-∞-∞=-++⎰⎰d d 1－41.证明下列各式：2）()1f t ()()()()()23123f t f t f t f t f t ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦；6）()()()()()()121212d dd;d d d f t f t f tf t f t f t t t t ⎡⎤==⎣⎦ 10)()()()d t f t u t f ττ-∞=⎰阐发：根据卷积的界说证明. 证明： 2)()()()123f t f t f t ⎡⎤⎣⎦()()()123d f f t f t ττττ+∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰6）()()()()1212d d d d d f t f t f f t tt τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰()()()()1212ddd d d f f t f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=⋅-=⎣⎦⎰,()()()()1212d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.10)()()()()d f t u t f u t τττ+∞-∞=-⎰()1,0,t u t t τττ⎛⎫⎧<⎪-= ⎪⎨ ⎪>⎪⎩⎝⎭()d t f ττ-∞=⎰. 2．若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==，求()()12f t f t .注意：不克不及随意调换()1f t 和()2f t 的位置. 解：由()()1e ,0e0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩，()()2sin ,0sin 0,0t t f t tu t t >⎧==⎨<⎩，所以 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰要确定()()210f f t ττ-≠的区间，采取解不等式组的办法.因为()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必须满足00t ττ>⎧⎨->⎩, 即tττ>⎧⎨<⎩, 因此 （分部积分法）()2e sin cos e 10tt ατααττα-⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ 4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F ，证明: 证明:()()()()121211d 2π2πF F F u F u u ωωω+∞-∞=⋅-⎰ 5.求下列函数的Fourier 变换： 1）()()0sin f t t u t ω=⋅； 2）()()0e sin t f t t u t βω-=⋅； 5）()()0j 0e t f t u t t ω=-；解: 1）已知()()1πδj u t ωω⎡⎤=+⎣⎦F,又()()()()()00j j 01sin e e 2jtt f t t u t u t u t ωωω-=⋅=-. 由位移性质有()()000220πδδ2j ωωωωωωω⎡⎤=--+-⎣⎦-. 2）由Fourier 变换的界说，有5）利用位移性质及()u t 的Fourier 变换，有再由象函数的位移性质，有7．已知某信号的相关函数()21e 4a R ττ-=，求它的能量谱密度()S ω，其中0a >.解 由界说知9．求函数()()()e ,0t f t u t αα-=>的能量谱密度. 解: 因为()()e ,0e 0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩, 那时0τ>，()()0f t f t τ+≠的区间为()0,+∞，所以 那时0τ<，()()0f t f t τ+≠的区间为(),τ-+∞，所以 因此，()1e 2R αττα-=，现在可以求得()f t 的能量谱密度，即1－51．求微分方程()()(),()x t x t t t δ'+=-∞<<+∞的解. 阐发：求解微分、积分方程的步调：1）对微分、积分方程取Fourier 变换得象函数的代数方程；2）解代数方程得象函数；3）取Fourier 逆变换得象原函数（方程的解）. 解：设()(),x t X ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，得 即其逆变换为()0,0.e ,0tt x t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 4．求解下列积分方程：1）()()()222210;y a b t b t aτττ+∞-∞=<<+-+⎰d 2）()222t t y τττ+∞----∞=⎰e d πe.解：1）利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然，方程的左端是未知函数()y t 与221t a +的卷积，即()221y t t a +.设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，有即 易知：220cos 2tt βωωβωβ+∞-=+⎰πd e ，有即所以()()22b b a a a b Y b aωωωω----==πee πe由上可知222201cos π2d e a t t t a t a a ωω+∞-⎡⎤=⎢⎦=⎥++⎣⎰F ，()()22--a b a b t b a =⎡⎤+⎣⎦π.2）设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，同理可得利用钟形脉冲函数的Fourier 变换224e eπt A A ωβββ--⎡⎤=⎣⎦F 及由Fourier 变换的界说可求得：222e t βββω-⎡⎤=⎣⎦+F ，从而即 从而()()222-1-122y t ωωω--⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πe πj e F F， 其中，记()22ef t ω-⎡⎤=⎣⎦F ，则()22t f t -=，上式中第二项可利用微分性质()()()()2222f t f t ωωω-''⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F j j e ，则因此()22222t t y t --=-π22221t t -⎫=-⎪⎭e .5.求下列微分方程的解()x t ：其中()(),f t h t 为已知函数，,,a b c 均为已知常数.解：设()()()()()(),,.f t F h t H x t X ωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦F F F 对方程两边取Fourier 变换，可得 即 从而2－11．求下列函数的Laplace 变换，并给出其收敛域，再用查表的办法来验证结果.1)()sin 2tf t =.阐发：用Laplace 变换的界说解题. 解：j j 22001sin sin d d 222j e e e st s t s t t t t t ⎛⎫⎛⎫+∞+∞--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭-⎰⎰L()21112Re()0j j 2j 4122s s s s ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦>.2)()2e t f t -=.解：()()d d Re()e e ee t t st s t t t s s >-22220012+∞+∞----+⎡⎤===⎣⎦+⎰⎰L . 3)()2f t t =. 解：2220000112e d d(e )2e d e st stst st t t t t s s t tt -+∞+∞+∞--+∞-⎡⎤⎡⎤==-=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰L ∣()022300222d(e )e e d Re()0st st st t t t s s s s+∞+∞--+∞-⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∣ >.4)()sin cos f t t t =. 解：[]0sin cos sin cos e d st t t t t t +∞-=⎰L22121244s s =⋅=++. 7)()2cos f t t =. 解 ：22001cos 2cos cos e d e d 2ststt t t t t +∞+∞--+⎡⎤==⎣⎦⎰⎰L()2211112242j 2j 4s s s s s s ⎡⎤+=++=⎢⎥-++⎣⎦. 2．求下列函数的Laplace 变换： 1)()3,021,2 4.0,4t f t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩解： ()()24002d 3d d e e e stststf t f t t t t +∞---⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰L2)()π3,2.πcos ,2t f t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩解：()()π2π02e d 3e d cos e d stst stf t f t t t t t +∞+∞---⎡⎤==+⎣⎦⎰⎰⎰L()()()()ππj j πππ222222313111e e Re()02j j 1e e e s s s ss s s s s s s -+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+-=--> ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭3) ()()2e 5δt f t t =+解：()()()()220005δe d d 5δe d e et s tst st f t t t t t t +∞+∞+∞---⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L()0115e 5Re()222st t s s s -==+=+>--∣. 4)()()()cos δsin f t t t t u t =⋅-⋅ 解：()()()∣∣∣j j j 000011cos e e d 12j 2j j j e e ees t j s tttststt t t s s --++∞+∞+∞---=⎡⎤⎢⎥=--=-+-+⎢⎥⎣⎦⎰()222111111Re()2j j j 11s s s s s s⎛⎫=---=-= ⎪+-++⎝⎭>0. 2－21．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++.解:由[]2132!1232132mm m t s ss s s t t +⎡⎤⎡⎤==++=++⎣⎦⎣⎦及有L L L . 2)()1e t f t t =-.解 ：[]()()1111,e e t tt t t s ss s --⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦222+1-1L L,L 1-.3)()()21e t f t t =-. 解：5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有: 6) ()5sin23cos2f t t t =- 解:已知[][]2222sin ,cos st t s s ωωωωω==++L L ,则 8)()4e cos4t f t t -=.解: 由[]2cos 416t s +s=L 及位移性质有 42cos 4416e ts t s -⎡⎤=⎣⎦++4（＋）L . 3．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的微分性质）:特别地，()()tf t F s '⎡⎤=-⎣⎦L ，或()()11f t F s t-'⎡⎤=-⎣⎦L ，并利用此结论计算下列各式：1）()3e sin2t f t t t -=，求()F s . 解：()()()322sin 224ett s s ωωω-===++22+3+3L,2)()30e sin 2d tt f t t t t -=⎰，求()F s .解：()0332112sin 2d sin 234e e t tt t t t s ss --⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦++⎰L L ,3)()1ln1s F s s +=-，求()f t . 解:()1ln,1s F s s +=-()(),F s f t ⎡⎤=⎣⎦令-1L故 ()()-12sinh t F s f t t⎡⎤==⎣⎦L . 4．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的积分性质）:()()d s f t F s s t ∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L ，或()()1d s f t t F s s ∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L并利用此结论计算下列各式：1)()sin ktf t t=，求()F s . 解: ()2222sin kkkt s s kωωω===++L , 2)()3e sin 2t t f t t-=，求()F s .解:()()322e sin 234t t s -=++L ,2－31．设()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为c ），且()()()()1212,f t f t F s F s ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦L L ，则乘积()()12f t f t ⋅的Laplace 变换一定存在，且 其中(),Re .c s c ββ>>+证明： 已知()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件且其增长指数均为c ，由Laplace 变换存在定理知()()12f t f t ⋅也满足Laplace 变换存在定理的条件且标明()()12f t f t ⋅的增长指数为2c .因此()()12f t f t ⋅的Laplace 变换在半平面()Re 2s c >上一定存在，且右端积分在()()Re s c c ββ≥+>上绝对且一致收敛，并且在()Re 2s c >的半平面内，()F s 为解析函数.根据()()11F f t s ⎡⎤=⎣⎦L ，则()1f t 的Laplace 反演积分公式为 从而（交换积分次第）()()()1j 0j 2e 12πj d d s q t F q f t t q ββ++∞-∞∞--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 2．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）；并用另一种办法加以验证.1）()221F s s a =+. 2）()()()sF s s a s b =--. 3）()()()2s cF s s a s b +=++. 10）()()()2214sF s s s =++.解： 1）12211sin at s a a-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L . 2）()()1sa b s a s b a b s a s b ⎛⎫=- ⎪-----⎝⎭, 3）()()()()()222111s cc a b c F s s a s b b a s a s b b a s b +--⎡⎤==-+⋅⎢⎥++-⎣⎦++-+,故10）由()()()2222131414ss s s s s F s s ⎛⎫=⎪++++⎝⎭＝－，有 ()()()11cos cos 23f t F s t t -⎡⎤==-⎣⎦L.3．求下列函数的Laplace 逆变换： 1）()()2214F s s=+.6）()221ln s F s s -=.13）()221e sF s s-+=.解 ： 1）用留数计算法，由于122j,2j s s ==-均为()F s 的二级极点， 所以6）令()()()22212ln ,ln 1s F s F s s s s -'==-,()()()()112e e 211t t F s tf t s s s-'=+-=+-=-+-L L , ()()21212ln 1cosh s f t t s t -⎛⎫-==- ⎪⎝⎭L. 13）2211122221e 1e s s ss s s -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LLL ()()()21,222,02t t t t u t t t ⎧->⎪=+--=⎨≤<⎪⎩.2－41.求下列卷积：3）m t n t （,m n 为正整数）. 解：mt()()()0d 1C d nttnknm mk n k k n k t t t ττττττ-==⋅-=-∑⎰⎰()1!!1!m n m n t m n ++=++.注:本小题可先用卷积定理求出m t n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积6)sin kt ()sin 0kt k ≠. 解：sin kt ()()001sin sin sin d cos cos 2d 2ttkt k k t kt k kt τττττ⎡⎤=-=---⎣⎦⎰⎰ ()0sin 211sin cos cos 2422tt k ktt kt t kt kkτ-=-+=-+. 7) t sinh t解 ：t sinh sinh t t =t ()0sinh d tt τττ=⋅-⎰()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττττ---⎡⎤=-+-=-++-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 9)()u t a -()()0f t a ≥ .解：()u t a -()()()()00,d d ,tt a t a f t u a f t f t t a τττττ⎧<⎪=-⋅-=⎨-≥⎪⎩⎰⎰.10)()δt a -()()0f t a ≥. 解： 当t a <,()δt a -()0f t =. 当t a ≥,()()()()δd aa f t f t f t a τττττ+∞-∞==-⋅-=-=-⎰.2.设()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，利用卷积定理，证明:()()0d t F s f t t s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L 证明：()()()()()1f t u t f t u t F s s⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦LL L ， ()()()()()()000d d d t t tf t u t u f t f t f t t τττττ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L L L L 3.利用卷积定理，证明:()2221sin 2s a at a s t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥+⎣⎦L. 证明 ：()()22222221ss F s s a s a sa==⋅+++,由有251.求下列常系数微分方程的解： 1）()2e ,00t y y y '-==；8）()()()331,0000y y y y y y y '''''''''+++====； 12）()()()()()420,0000,01y y y y y y y ''''''''++=====； 16）()π10sin 2,00,12y y t y y ⎛⎫''+===⎪⎝⎭。
复变函数 积分变换——课后答案
ln 1 z 1
( )
+
b ．lim lim 1 ，故z 0 为可去奇点。
z→0 z→0 1+
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习题五解答
1、下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。
z − z −
( 1)( 1) z z
( −1)( +1)
∞ z n+1 ( ) ∞ n
1 z
（4 ） ； （5） ； （6）e − ；
n +1 z n +1
n 0 n 0
3 sin z
a. z 0 为sin z 为的一级零点；而z 0 为z 的三级零点。故z 0 为 的二级极点。
z z z z 2 z 1
（7）因e −1 z∑ z(1+ + +) ，故z 0 为z (e −1) 的三级零点，因而是 2 z
1
ln(z +1) z
(2k+1)π
1+z (k 0,±1,±2,) 1+e
（5）由1+z 0 得z ±i 为 的一级零点，由1+e 0得z 2k +1 i 为
( ) 2 2 ( )
z (z +1)
其奇点，z 0 为一级极点，而z ±i 为其二级极点。
3
z
n 0 (n +1) ! 2 3! z (e −1)
的三级极点，而z 2kπi,(k ±1,±2,) 均为一级极点。
1 sin z 1
（1） ； （2 ） ； （3） ；
复变函数与积分变换课后习题答案详解
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+=2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++== ()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==．∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
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m
t n （ m , n 为正整数）. 为正整数）
解： t m
t n = ∫ τ m ⋅ ( t − τ ) dτ = ∫ τ m ∑ ( −1) ( Ck t n− kτ k )dτ n
t n t n k 0 0 k=0
=∫
t n
0
f (t ) = L
−1
1 1 t F ( s ) = cos at ∗ sin at = ∫ sin aτ ⋅ cos a ( t − τ ) dτ a a 0
1 t sin at + sin ( 2aτ − at ) dτ 2a ∫0 t sin at 1 t = + 2 ∫ sin a ( 2τ − t ) d ( a ( 2τ − t ) ) 2a 4a 0 = = t sin at 1 t t sin at + − 2 cos a ( 2τ − t ) = 2a 2a 4a 0
−1
s = t sin at . 2 ( s 2 + a 2 ) 2a
证明 ： F ( s ) =
(s
2
+ a2 )
−1
s
2
=
s 1 ⋅ 2 ,由 2 s + a s + a2
2
L
有
−1
s s 2 + a 2 = cos at , L
1 1 s 2 + a 2 = a sin at
( m + k + 1)
= m ! n ! t m + n +1 ( m + n + 1) ! .
注:本小题可先用卷积定理求出 t 本小题可先用卷积定理求出 换求出卷积结果. 换求出卷积结果. 6) sin kt
m
t n 的 Laplace 变换,再由 Laplace 逆变 变换,
sin kt ( k ≠ 0 ) .
τ =a
= f (t − a) .
t F ( s) 利用卷积定理，证明: 2.设 L f ( t ) = F ( s ) ，利用卷积定理，证明: L ∫ f ( t ) dt = 0 s
证明： 证明： L f ( t ) L f (t)
1 u ( t ) = L f ( t ) ⋅ L u ( t ) = F ( s ) ⋅ ， s
sin ( 2τ − t ) k 1 = − t cos kt + 2 4k 7) t 解 ：t sin ht
t
1 sin kt = − t cos kt + . 0 2 2k
t
sinht = sinht t = ∫ sinhτ ⋅ ( −τ ∫ 0 e ( t − τ ) d τ − 2 ∫0 e ( t − τ ) d τ 2 t t 1 t 1 t 1 ( t − τ ) d(eτ ) + ∫0 ( t − τ ) d(e−τ ) = −2t + e−τ + ( −e−τ ) = sinht − t 2 ∫0 2 2 0 0
t
解 ：sin kt sin kt = ∫ sin kτ sin k ( t − τ ) dτ = −
0
1 t cos kt − cos ( 2kτ − kt ) dτ 2 ∫0
1 1 t cos k ( 2τ − t ) d ( 2τ − t ) k = − t cos kt + 2 4 k ∫0
=
9) u ( t − a ) 解： u ( t − a )
f ( t ) ( a ≥ 0) .
0, t<a t f ( t ) = ∫ u (τ − a ) ⋅ f ( t − τ ) dτ = t . 0 f ( t − τ ) dτ , t ≥ a ∫a
10) 10) δ ( t − a )
∑ ( −1) Ckn t n− kτ m + k dτ = ∑ ( −1)
k k =0 k =0
n
k
∫τ
0
t
m+k
k dτ ⋅ Cn t n − k
= ∑ ( −1) ⋅
k k =0
n
n t m + k +1 ⋅ t n− k k k k C n = t m + n + 1 ∑ ( −1 ) C n m + k +1 k =0
f ( t ) ( a ≥ 0) . f (t ) = 0 .
解： 当 t < a , δ ( t − a ) 当t ≥ a ,
δ(t − a)
f ( t ) = ∫ δ (τ − a ) ⋅ f ( t − τ ) dτ
t 0
=∫
+∞
−∞
δ (τ − a ) ⋅ f ( t − τ ) dτ = f ( t − τ )
t t t u ( t ) = L ∫ u (τ ) ⋅ f ( t − τ ) dτ = L ∫ f ( t − τ ) dτ = L ∫ f ( t ) dt 0 0 0
3.利用卷积定理，证明: L 利用卷积定理，证明: