积分变换习题解答2-4
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2－4
1.求下列卷积：
3）m
t n t （,m n 为正整数）. 解：m
t ()()()00
d 1C d n
t
t
n
k
n
m
m
k n k k n k t t t ττττ
ττ-==⋅-=-∑⎰⎰
()()
1C d 1d C n
n
t t
k
k
k n k m k
m k k n k
n
n
k k t
t τ
τττ-++-===-=-⋅∑∑⎰
⎰
()()()11
00
1C 1C 11m k n k n
n
k
k k m n k n n
k k t t t m k m k ++-++==⋅=-⋅=-++++∑∑
)1!!1!m n m n t m n ++=++.
注:本小题可先用卷积定理求出m
t n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积结果.
6)sin kt ()sin 0kt k ≠.
解 ：sin kt ()()001sin sin sin d cos cos 2d 2t
t
kt k k t kt k kt τττττ⎡⎤=-=---⎣
⎦⎰⎰ ()()011cos cos 2d 224t
t kt k t t k k
ττ=-+--⎰ ()0sin 21
1sin cos cos 2422t
t k kt
t kt t kt k
k
τ-=-+
=-+
. 7) t sinh t
解 ：t sinh sinh t t = t ()0
sinh d t
t τττ=⋅-⎰
()()00
11e d e d 22t t t t ττ
ττττ-=
---⎰⎰ ()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττ
ττ---⎡⎤=
-+-=-++-=-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ 9)()u t a - ()()0f t a ≥ .
解：()u t a - ()()()(
)0
0,d d ,t
t a t a f t u a f t f t t a τττττ⎧<⎪
=-⋅-=⎨-≥⎪⎩⎰
⎰
.
10) ()δt a - ()()0f t a ≥. 解： 当t a <,()δt a - ()0f t =. 当t a ≥,
()δt a - ()()()0
δd t
f t a f t τττ=-⋅-⎰
()()()
()δd a
a f t f t f t a τττττ+∞
-∞
==-⋅-=-=-⎰.
2.设()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，利用卷积定理，证明:()()0d t F s f t t s
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L 证明：()()()()()1
f t u t f t u t F s s
⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅=⋅⎣⎦⎣⎦⎣
⎦L L L ， ()()()()()()000d d d t t t
f t u t u f t f t f t t τττττ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎰⎰⎰L L L L 3.利用卷积定理，证明:()2221
sin 2s a at a s t -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥+⎣⎦
L
. 证明 ：()()
2
2222
221
s
s F s s a s a s a =
=
⋅+++,由 1
1
222211
cos ,sin s at at s a s a a --⎡⎤
⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦
L
L 有
()()()1
011cos sin sin cos d t
f t F s at at a a t a a
τττ-⎡⎤==*=⋅-⎣⎦⎰L
()()()()0201sin sin 2d 2sin 1
sin 2d 224t t at a at a
t at a t a t a a ττττ⎡⎤=
+-⎣⎦=+--⎰⎰
()20sin 1sin cos 2242t t at t at
a t a a a τ⎡⎤=
+--=
⎢⎥⎣⎦