【精品讲义】2016年竞赛与自主招生专题第一讲：集合与命题(教师版)(数理化网)
第一章-集合与命题
第一章 集合与命题 （一）集合的概念与运算 【集合的基本概念】❖ 知识点归纳 1. 集合的定义: 2. 集合的特征: 3. 集合的表示法: 4. 集合的分类: 5. 数集: 6. 集合的关系: 7. 集合的运算: 8. 集合的运算性质:❖ 例题讲解 例1(1) 已知集合{}3M x x n n ==∈Z ，，{}31N x x n n ==+∈Z ，，{}31P x x n n ==-∈Z ，，且a M ∈，b N ∈，c P ∈，设d a b c =-+，则( ).A. d M ∈B. d N ∈C. d P ∈D. 以上都不正确 (2) 若集合2442k k A x x k B x x k ⎧⎫⎧⎫ππππ==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，，，，则( ).A. A B =B. B ⊂≠AC. A ⊂≠BD.AB =∅例2 写出满足{},M a b ⊆的所有集合M .例3 已知集合{}2340A x x x x =--<∈R ，，求A N 的真子集的个数.例4 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2A B =，∁{}()1,9U A B =，∁{}4,6,8U A B =，求集合A 、B .(1) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(2) {}{}22(,)23(,)213A x y y x x x B x y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(3) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈Z Z ，，，.例6同时满足下列两个条件: ①{}1,2,3,4,5M ⊆，②若a M ∈，则6a M -∈，这样的集合M 有多少个? 写出这些 集合. 例7 已知集合{}{}222280320A x x x x B x x ax a x =--<∈=-+=∈R R ，，， (1) 实数a 在什么范围内取值时，B ⊂≠A ?(2) 实数a 在什么范围内取值时，AB =∅.❖ 回顾反思 1. 主要方法:① 解决集合问题，首先要分析集合中的元素是什么； ② 抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；③ 弄清集合元素的本质属性，正确进行“集合语言”和“文字语言”的相互转化； ④ 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识； ⑤ 借助数轴和文氏图进行求解. 2. 易错、易漏点:① 辨清: 子集、真子集、非空真子集的区别。
适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《1集合》
适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：课题集合与简易逻辑教学目的教学内容1.知识网络1、集合2、简易逻辑二、命题分析1．高考对集合的考查主要有两种形式：一种是考查集合的概念、集合之间的关系和运算；另一种是以集合为工具，考查对集合语言、集合思想的理解和运用，往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合在一起，体现出一种小题目综合化的命题趋势，预计2012年高考仍会采用选择题或填空题的方式进行考查，且难度不大．2．高考对常用逻辑用语的考查主要体现在以下三个方面：一是考查对四种命题之间关系的理解；二是考查对充分、必要条件的推理与判断；三是考查常用逻辑联结词及全称命题、特称命题的理解、掌握情况．命题时一般以基本概念为考查对象，综合三角、不等式、函数、数列、立体几何、解析几何中的相关知识进行考查，题型以选择、填空题为主打题型，预计2012年这里出解答题的可能性不大．三、复习建议1．重视对概念的理解，提高计算速度，强化书写的规范性，注意解题中Venn图或数轴的应用．提高以集合的概念、关系、运算等为考查对象的题目的得分率．2．重视与函数、方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、立体几何等各类知识的融汇贯通，可在一轮复习中，循序渐进地提高解这类题目的能力和水平．3．对于四种命题的复习，要注意结合实际问题，明确等价命题的意义，认真体会其中涉及的化归思想和等价转化思想．4．全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题的复习，要遵循新课标及考纲的要求，理解要到位、判断要准确，A ．M ＝NB ．M ⊂NC ．M ⊃ND ．M ⊆N [分析] 根据集合的表示法可先将集合化简，而后看其关系便可获解． [答案] A[解析] 由x ＝5－4a ＋a 2(a ∈R)，得x ＝(a －2)2＋1≥1，故M ＝{x |x ≥1}．由y ＝4a 2＋4a ＋2(a ∈R)，得y ＝(2a ＋1)2＋1≥1. 故N ＝{y |y ≥1}，故M ＝N .故选A.[点评] 一般地，对于两个或两个以上集合，要判断它们之间的关系，应先将集合进行化简，弄清每一个集合中的元素的个数或范围，然后判断集合间的关系.3.命题方向：集合的运算[例3] (2011·广东中山质检)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．[分析] 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，而后根据已知条件求参数． [解析] 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}． (1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3； 当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件； 综上，a 的值为－1或－3； (2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52a 2＝7，矛盾；综上，a 的取值范围是a ≤－3.[点评] (1)在解答过程中易出现求得a 值后不验证是否适合题意或在B ⊆A 中漏掉B ＝∅的情况，导致此种错误的原因是：没有熟练掌握集合的概念或集合与空集之间的关系；(2)解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类整合、数形结合思想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解．(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有关系 ． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的 ． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的 ．4．特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论． （三）基础自测1．(2010·江西文)对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“2ac >2bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 本题考查了充要条件的判定及不等式的性质，难度不大，2ac >2bc ⇒a >b (已认可2c >0)成立， 而a >b ⇒2ac >2bc ，∵c ＝0，不适合，故选B.2．(2010·天津理)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 [答案] B[解析] “若p 则q ”的否命题为“若¬p 则¬q ”，故选B.3．(2011·银川模拟)关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、p ：α<β，q ：tan α<tan β.[解析] (1)若a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝2＝r ，所以直线与圆相切．反之，若直线与圆相切，则|a ＋b |＝2，∴a ＋b ＝±2， 故p 是q 的充分不必要条件．(2)若|x |＝x ，则x 2＋x ＝x 2＋|x |≥0成立；反之，若x 2＋x ≥0，即x (x ＋1)≥0，则x ≥0或x ≤－1. 当x ≤－1时，|x |＝－x ≠x ， 因此，p 是q 的充分不必要条件． (3)∵l ∥α⇒ l ∥m ，但l ∥m ⇒l ∥α， ∴p 是q 的必要不充分条件．(4)∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时， 正切函数y ＝tan x 是单调递增的，∴当α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且α<β时，tan α<tan β，反之也成立． ∴p 是q 的充要条件．[点评] 充分条件与必要条件的判断方法有： 1．利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p ⇒ q ，且q ⇒ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A ⊂B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；。
【精品课件】2016年竞赛与自主招生专题第五讲：函数与方程(教师版)(数理化网)
2016 年竞赛与自主招生专题第五讲 函数与方程 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，有关函数的内容大约占20%—30%。
热点问题是方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。
而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。
一、知识精讲一．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有关公式1.一元二次方程的根：242b b ac x a--= 2.根与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a=g （韦达定理） 3.判别式：24b ac ∆=-．二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题1.函数不等式的恒成立问题：（1）不等式()f x m ≥在集合D 上恒成立⇔在集合D 上min ()f x m ≥．（2）不等式()f x n ≤在集合D 上恒成立⇔在集合D 上max ()f x n ≤．2.函数不等式的能成立问题：（1）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x m ≥成立⇔在集合D 上max ()f x m ≥．（2）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x n ≤成立⇔在集合D 上min ()f x n ≤．3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合D 上恰成立⇔该不等式的解集为D ．三．几个常见的函数方程1.正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.2.指数函数()x f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.3.对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. 方程的根与函数的零点：1.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点．2.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点3.零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =。
高中数学竞赛特级教师培训教材(49页)
高中数学竞赛培训教材编者：全国特级教师(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z 证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：（1）一切奇数属于M;（2）4k-2(k∈Z)不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。
3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)若A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素的确定例2．已知集合M＝{X，XY，lg(xy)}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，则(X＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于().分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。
自主招生数学讲义(上)
自主招生讲义（上）第一讲函数的性质 (3)一、知识要点 (3)二、热身练习 (6)三、真题讲解 (7)四、强化训练 (9)第二讲导数 (14)一、知识方法拓展 (14)二、热身练习 (16)三、真题精讲 (17)四、重点总结 (19)五、强化训练 (19)第三讲微积分初步 (30)一、知识方法拓展 (30)二、热身练习 (32)三、真题讲解 (33)四、重点总结 (36)五、强化训练 (36)六、参考答案 (41)第四讲方程与根 (44)一、知识方法拓展 (44)二、热身训练 (46)三、真题精讲 (48)四、重点总结 (50)五、强化训练 (50)第五讲基本不等式及其应用 (56)一、知识方法拓展 (56)二、热身练习： (57)三、精讲名题： (58)四、强化训练 (60)第六讲不等式的证明与应用 (63)一、知识方法拓展 (63)二、热身练习： (64)三、精解名题： (65)四、强化训练 (68)第七讲递推数列 (70)一、知识方法拓展 (70)二、热身练习 (73)三、真题精讲 (74)四、重点总结 (77)五、强化训练 (77)第八讲数列求和，极限和数学归纳法 (81)一、知识方法拓展 (81)二、热身练习 (82)三、真题精讲 (83)四、重点总结 (88)五、强化训练 (88)第一讲 函数的性质一、知识要点1、映射对于任意两个集合,A B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素,x 在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称:f A B →为一个映射，记作:,f A B →其中b 称为像，a 称为原像。
如果:f A B →是一个映射且对任意,,,x y A x y ∈≠都有()(),f x f y ≠则:f A B →是A 到B 上称之为单射.如果:f A B →是映射且对任意,y B ∈都有一个x A ∈使得(),f x y =则称:f A B →是A 到B 上的满射.如果既是单射又是满射，则:f A B →是A 到B 上叫做一一映射.如果是从集合A 到集合B 上的一一映射，并且对于B 中每一个元素b ，使b 在A 中的原像a 和它对应，这样所得的映射叫做:f A B →的逆映射，记作1:.f B A -→2、函数方程问题（1）代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数例.设220,,ab a b ≠≠求()1af x bf cx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的解. （【解析】分别用1,x x t t ==带入）（2）待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.例.已知()()1f x f x =是一次函数，()()()1n n f x f f x -=且()1010241023f x x =+，求()f x . （【解析】设()()0f x ax b a =+≠求解）3、函数对称性以及周期性1）已知函数()y f x =，若函数()y g x =图像与()y f x =图像关于：直线x a =对称，则()g x =()2f a x -；:f A B →:f A B →直线y b =对称，则()()2g x b f x =-；点(),a b 对称，则()()22g x b f a x =--。
2016年高考数学大一轮(人教A新课标)精讲课件：第1章 集合与常用逻辑用语 2
人教A数学 第二十页，编辑于星期五：二十三点 二十分。
第一章
2016年新课标高考·大一轮复习讲义
整合·主干知识
聚焦·热点题型
提升·学科素养
提能·课时冲关
充分条件、必要条件与充要条件的判断
[典例赏析2] (1)(2014·济南市高考模拟)设x∈R，则“x2－3x
＞0”是“x＞4”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
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3．充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p是q的__充__分_条件，q是p的__必__要_条件
p是q的__充__分_不__必__要__条件
p⇒q且q/⇒p
p是q的_必__要__不__充__分__条件
[答案] D
人教A数学 第十七页，编辑于星期五：二十三点 二十分。
第一章
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[名师讲坛] (1)熟悉概念是正确书写或判断命题 的四种形式真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题 同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当 一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价 命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．
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4．“x>2”是“1x<12”的________条件． 解析：①x>2⇒1x<12， ∴“x>2”是“1x<12”的充分条件． ②1x<12⇒x<0 或 x>2/⇒x>2. ∴“x>2”是“1x<12”的不必要条件．
高二“自主招生、竞赛及高考”讲义一(集合与组合)
集合与组合基本内容与方法：集合的结构问题，计数问题，构造问题；分类与染色法、映射与对应、容斥原理，补集与补形，归纳与递推；算两次原理， 极端原理，构造法，模型法例1、集合A 是集合{}1,2,3,,2012M = 的20元子集，且A 中的任两个元素之差为12的倍数，求这种子集A 的个数．解：对于,x y M ∈，若12()x y -，则称,x y 是同类的，于是当{}1,2,3,4,5,6,7,8n ∈时，n 的同类数有168个，对于其中每个n ，168元集合{}=12,0,1,2,,167n T x x n k k =+= 的任一个20元子集皆合条件，共得201688C ⋅个子集；当{}9,10,11,12n ∈时，n 的同类数有167个，对于其中每个n ，167元集合{}=12,0,1,2,,166n T x x n k k =+= 的任一个20元子集也合条件，共得201674C ⋅个子集；因此所求集合个数为202016816784C C ⋅+⋅．例2、试确定，有多少种不同的方法将集合{}1,2,3,4,5M =中的元素归入,,A B C 三个（有序）集合，使得满足：每个元素至少含于其中一个集合之中，这三个集合的交是空集，而其中任两个集合的交都不是空集？（即A B C =∅ ，而,,A B B C C A ≠∅≠∅≠∅ ） （2012，南昌市、山西预赛）解：如图考虑Wenn 图所分成的七个部分，分别用,.,,,,x u v w a b c ， 表示，现将M 的元素填入各个部分中，据题意知，x 处不能填数，而,,u v w 处必须填有数字，且所填元素互不相同（否则相同元素将归入x 区域中）；,,a b c 处可以填写或不填数字，不同的块中不再填有相同元素，（否则又将归入,,u v w 中）．今用u 表示u 处所填数字的个数，余类推．据对称性，不妨按u v w ≤≤情况列举，则有四种情况：(1)、(,,)(1,1,1)u v w =；(2)、(,,)(1,1,2)u v w =；(3)、(,,)(1,2,2)u v w =；(4)、(,,)(1,1,3)u v w =．对于(1)、从M 中各取一数分别置于,,u v w 格，有方法54360⋅⋅=种，剩下两数各随意放入,,a b c 格，方法数为23，于是得，对应于(1)的情况有609540⨯=种；对于(2)、,,u v w 中，含两个数的格有3种情况，对于其中任一情况，M 中取两数放入一格，另外两格各放一数，有21153260C C C =种，剩下一数放于,,a b c 格之一，放法数为3，c ba x wv u CB A于是得，对应于(2)的情况有3603540⨯⨯=种；对于(3)、,,u v w 中，含一个数的格有3种情况，对于其中任一情况，M 中取一数放入一格，另外取两数放于一格，剩下两数放于另一格，有125430C C =种，共得33090⨯=种情况； 对于(4)、,,u v w 中，含三个数的格有3种情况，对于其中任一情况，M 中取3个数放入一格，另外的两格各放一个数，有315220C C =种，共得32060⨯=种情况；合并得，总情况有54054090601230+++=种，每种情况都获得满足条件的三个集合,,A B C ，这样，本题答案为1230．例3、以任意方式，将{1,2,,9}M = 分拆成,A B 两个子集，证明：其中必有一个集，含有成等差数列的三个数．证：反证法，若有某一分法，使得,A B 两个子集之中任一个都不含等差的三数，为此，考查3,5,7三数，由于这三数成等差，故不能属于同一个集，必有一个集含有其中两数，设为A ，集B 含有另一数；若3,5A ∈，则1,4,7B ∈，矛盾！若5,7A ∈，则3,6,9B ∈，矛盾！若3,7,5A B ∈∈，则(1,9),(2,8),(4,6)中，每一对数至少有一数属于A ，这样得到A 的八种情况：(1,2,4,3,7),(1,2,6,3,7),(1,8,4,3,7),(1,8,6,3,7)，(9,2,4,3,7),(9,2,6,3,7),(9,8,4,3,7),(9,8,6,3,7)每一情况中都有成等差的三数，矛盾！例4、设M 为n 元集，若M 有k 个不同的子集12,,,k A A A ，满足：对于每个{},1,2,,i j k ∈ ，i j A A ≠∅ ，求正整数k 的最大值．解：正整数k 的最大值为12n -．()01、先证明，存在M 的12n -个子集，两两之交不空；设{}12,,,n M a a a = ，而1122,,,n A A A - 为集合{}121,,,n a a a - 的全部12n -个子集，令{}1,1,2,,2n i i n B A a i -== ，则M 的12n -个子集1122,,,n B B B - ，两两之交不空；()02、再证，对于M 的任何121n -+个子集，其中必有两个子集不相交．设1122,,,n B B B - 是M 的12n -个不同子集，其中每个皆含n a ；用i B 表示子集i B 在M 中的补集，1(\),1,2,,2n i i B M B i -== ，则对于任意i j ≠，,i j i j B B B B ≠≠，并且j i B B ≠，（因前者含n a 而后者不含），故1122,,,n B B B - ，1122,,,n B B B - 为M 的全部2n个不同子集，现将上述集合搭配成为12n -对：()()()11122122,,,,,,n n B B B B B B -- ； 任取M 的121n -+个子集，必有两个子集属于同一对，则这两个子集不相交．例5、将前九个正整数1,2,,9 分成三组，每组三个数，使得每组中的三数之和皆为质数；求出所有不同分法的种数．解：()1、由于在1,2,,9 中，三个不同的数之和介于6和24之间，其中的质数有7,11,13,17,19,23这六个数，今将这六数按被3除的余数情况分为两类：{}7,13,19A =，其中每个数被3除余1；{}11,17,23B =，其中每个数被3除余2；假若所分成的,,A B C 三组数对应的和,,a b c p p p 为互异质数，则因12945a b c p p p ++=+++= 被3整除，故三个和数,,a b c p p p 必为同一类数，因为A 类三数和713193945++=<，B 类三数和1117235145++=>，矛盾！ 故三个和数中必有两个相等．()02、据()01知，将45表成7,11,13,17,19,23中的三数和（其中有两数相等），只有四种情况：()119197++；()2171711++；()3131319++；()4111123++．由于在1,2,,9 中有5个奇数，故分成的三组中必有一组，三数全为奇数，另两组各有一个奇数．对于情形()1，和为7的组只有{}1,2,4，剩下六数3,5,6,7,8,9，分为和为19的两组，且其中一组全为奇数，只有唯一的分法：{}3,7,9与{}5,6,8；对于情形()2，若三奇数的组为{}1,7,9，则另两组为 {}{}4,5,8,2,3,6；或{}{}3,6,8,2,4,5；若三奇数的组为{}3,5,9，则另两组为 {}{}2,8,7,1,4,6，或{}{}4,6,7,1,2,8； 若三奇数的组为{}1,3,7，则另两组为 {}{}2,6,9,4,5,8；共得分法5种；对于情形()3，若三奇数的组为{}3,7,9，则另两组为 {}{}1,4,8,2,5,6；若三奇数的组为{}1,3,9，则另两组为 {}{}2,4,7,5,6,8或{}{}2,5,6,4,7,8； 若三奇数的组为{}1,5,7，则另两组为 {}{}3,4,6,2,8,9或{}{}2,3,8,4,6,9； 共得分法5种；对于情形()4，和为23的组只有{}6,8,9，则另两组为 {}{}1,3,7,2,4,5； 据以上，共计得到155112+++=种分法．例6、将数集},...,,{21n a a a A =中所有元素的算术平均值记为)(A P ， （其中na a a A P n+++=...)(21）. 若B 是A 的非空子集，且)()(A P B P =，则称B 是A的一个“均衡子集”．试求数集}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=M 的所有“均衡子集”的个数． 解：由于()5P M =，令{}{}54,3,2,1,0,1,2,3,4M x x M '=-∈=----，则()0P M '=, 依照此平移关系，M 和M '的均衡子集可一一对应．用()f k 表示M '的k 元均衡子集的个数，显然有(9)(1)1f f ==(M '的9元均衡子集只有M '，一元均衡子集只有{}0)．M '的二元均衡子集共四个，为{,},1,2,3,4i B i i i =-=, 因此(2)4f =． M '的三元均衡子集有两种情况：（1）含有元素0的为{0}{,0,},1,2,3,4i B i i i =-= , 共四个；（2）不含元素0的，由于等式312,413=+=+可表示为3120,3120-++=--=以及4130,4130-++=--=，得到4个均衡子集{3,1,2},{3,1,2},{4,1,3},{4,1,3}------，因此(3)448f =+=．M '的四元均衡子集有三种情况：（1）每两个二元均衡子集之并：,14i j B B i j ≤<≤ , 共6个集； （2）不含元素0的三元均衡子集与{}0的并集，共4个集；（3）以上两种情况之外者，由于等式1423+=+可表为14230--++=以及14230+--=得2个均衡子集{1,4,2,3}--与{1,4,2,3}--，因此()464212f =++=． 又注意到，除M '本身外，若B '是M '的均衡子集，当且仅当其补集''M C B 也是M '的均衡子集，二者一一对应. 因此(9)(),1,2,3,4f k f k k -==．从而M '的均衡子集个数为9411()(9)2()12(14812)51k k f k f f k ===+=++++=∑∑．即M 的均衡子集有51个．例7、某校有1200名新生，每人至少认识其中n 人，试求n 的最小值，使得其中必存在彼此认识的9个人.解：记这1200个人的集合为{}121200,,,M v v v = ，i v 所认识的人的集合记为, 1,2,,1200i A i = ，则i A n ≥，且 1,2,,1200i i v A i ∉= ，若12,v v 是M 中相识的两人，则有121221200A A A A A B n =+-≥- ， 当212001n -≥，则有312v A A ∈ ，且123,,v v v 两两相识，而()123123123321200A A A A A A A A A n =+-≥-⋅ .当3212001n -⋅≥，则有4123v A A A ∈ ，且1234,,,v v v v 两两相识，而()123412341234431200A A A A A A A A A A A A n =+-≥-⋅ ，如此继续，得128,,,v v v 两两相识，而87788111871200i i i i i i A A A A A n ===⎛⎫=+-≥-⋅ ⎪⎝⎭.当8712001n -⋅≥，则有891, ii v A =∈且129,,,v v v 两两相识,而由8712001n -⋅≥，得7120018n ⋅+≥，n 为整数，则1051n ≥. 再说明1051n =是最小的；若1050n =，我们可构造一种情形，使得M 中不存在相互认识的9个人．为此，将1200个人均分为128,,,B B B 等8组，每组150个人，令同组的人互不相识，而异组的任两人皆相识，则M 中任一人v 所认识的人的个数皆为()71501050d v =⨯=，从M 中任取9个人，必有两个人属于这8组中的同一个组，于是这两人互不相识，因此M 中不存在相互认识的9个人.从而n 的最小值为1051.例8、设{}1,2,2013M = ，求最小的正整数n ，使得对于集合M 的任一个n 元子集A ，其中必有两数之差，或者为12，或者为21．解：由于122133+=，先考虑基本集{}1,2,,33E = ，我们来证明，从E 中取出一个k 元子集B ，使得B 中任两数之差，既不等于12，也不等于21，则k 的最大值是15．由于(12,21)3=，构作三个圈，将数1,2,,33 分别放置于圈上，使得圈上任何相邻两数之差，要么是12，要么是22，有如下放法：每个圈上有11个数，为使取出的数不相邻，则每个圈中至多可取出5个数，共计在E 中至多可取15个数（如果从E 中取出的数多于15个，则其中必有某圈取出的数多于5个，于是其中有两数在该圈相邻，其差要么是12，要么是22，不合条件），并且我们可以在每个圈各任取5个互不相邻的数，共15个数，满足条件． 设在E 中取出的15个数为1215,,,a a a ；现将M 中的数按从小到大顺序分成61段，每段33个数：1,2,,33,34,35,,66,67,68,,99,,1981,1982,,2013 ；记{}331,332,,3333,0,1,2,,60k M k k k k =+++= ，则60kk M M==；据“差”的平移不变性知，为使两数之差，既不等于12，也不等于21，则每一段至多能取15个数，注意20133361=⨯，从M 中任取15611916⨯+=个数，则必有某段至少取出了16个数，其中必有两数之差为12或者22，因此最小的n 满足：916n ≤． 再证916就是n 的最小值．当915n ≤时，我们可以给出M 的n 元子集C ，使得C 任两数之差既不等于12，也不等于21；对于E 中取出的15个数的集合{}01215,,,C a a a = ，取{}121533,33,,33,0,1,2,,60k C k a k a k a k =+++= ，令60k k C C == ，则915C =，对于C 中任两数,x y ，若,x y 取自同一个k C ，显然这两数之差既不等于12，也不等于21； 若,x y 分别取自不相邻的两个k C ，j C ，则33x y ->；若,x y 分别取自相邻的两个k C ，1k C +，设33,33(1)i j x k a y k a =+=++，假若12y x -=，即33()12j i a a +-=，得21i j a a -=，这与1215,,,a a a 的选择矛盾！若21y x -=，得12i j a a -=，也与1215,,,a a a 的选择矛盾；因此C 中任两数之差既不等于12，也不等于21；而C 的任何子集当然也具有此性质． 因此最小的n 值为916．例9、设{}1,2,,2013M = 是前2013个正整数组成的集合，{}1230,,,A a a a = 是M 的一个30元子集，若A 中的元素两两互质，证明A 中至少有一半元素是质数．证：先证明，A 中16个元素中必有一个是质数．为此，任取16个元素，不妨设为1216,,,a a a ，若其中没有质数，则它们中至多一个为1，其余15个皆为合数，设1215,,,a a a 都是合数，则每个数皆可分解成至少两个质因数的乘积，若i p 是i a 的最小质315276183092133122421426517298203211232210311972816425131因数，则i i p a ≤，1,2,,15i = ，由于A 中的数两两互质，则1215,,,p p p 互不相同，而将全体质数自小到大排列，第15个质数是47，所以，若1p 是1215,,,p p p 中的最大数，即有147p ≥，于是2211472011a p ≥≥>，即1a M ∉，矛盾!因此1215,,,a a a 中必有质数．不妨设1a 为质数；今从集A 中去掉1a ，在剩下的29个元素中，再次进行同样的讨论，可知其中的16个元素中也必有一个是质数，设为2a ，如此下去，这样的手续可以连续进行15次，每次都可从A 中取到一个新的质数，因此A 中至少有15个质数．例10、某班共有学生33人，教师问每个学生，班上还有多少个人与其同名和还有多少个人与其同姓，结果发现，答案是从0到10的所有整数． 证明：该班必有两名学生既同名且同姓．证：如果某个学生回答班上还有i 个学生与之同名，j 个学生与之同姓，那么该班上采用他这个名字的学生共有1i +人，而采用他这个姓氏的学生共有1j +人；现将班上的学生这样分类：如果一个名字同时被k 个人采用，则将这k 个人一齐归入集合k A 1,2,,11k = ；而当一个姓氏同时被k 个人采用，则将这k 个人一齐归入集合k B ，1,2,,11k = ；（注意：如果姓王的学生和姓李的学生都有k 个人，那么他们都在k B 中．） 于是，对于每个k ，,k k A B 中的元素个数都是k 的倍数；每个人恰属于两个集合（按名字的集和按姓氏的集），并且对于每个k ，,k k A B 至少有一个不是空集（因为从0到10的所有整数都有人回答）； 所以，11111123366kkk k A B==+=⨯=∑∑．（这是因为，33人，每人在A 集系列和B 集系列各出现一次）．又因为 121166233+++==⨯ ，这就表明，对于每个{}1,2,,11k ∈ ，k A 和k B 当中都有一个是空集，而另一个恰有k 个元素．（从而相应的集只含有一个“姓”或只含一个“名”）． 现对于11k =，不妨设11A 非空，而11B 是空集，11A 中的这11个人（即同名字的11个人）要分布于另外的10个“姓氏”集合1210,,,B B B 中，必有两个人在同一个集，于是这两个人不仅同名，而且同姓．例11、求所有的正整数n ，使得集合{}1,2,,4M n = 可以分拆成n 个四元子集：1nk k M M == ，对于每个集合{},,,k k k k k M a b c d =，1,2,,k n = ， 而,,,k k k k a b c d 四数，其中的一数等于另外三数的算术平均．（2010北大夏季）解：不妨设，每个子集中，k d 是,,k k k a b c 的算术平均，3k k kk a b c d ++=，则有4k k k k k a b c d d +++=，所以，124(41)4()1242n n n d d d n ++++=+++= ，因此，2n ．另一方面，当2n 时，集M 确有满足条件的划分， 为此，记2n m =，{}1,2,,8M m =11m k k A -== ，其中{}81,82,,88k k kA k k k M M '=+++= ， {}{}81,83,88,84,,,k k k k k M k k k k a b c d =++++=， {}{}82,86,87,85,,,kk k k k M k k k k a b c d '''''=++++=， 则在k M 中有(81)(83)(88)843k k k k ++++++=，而在k M '中有(82)(86)(87)853k k k k ++++++=．例12、在1,2,,2012 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？ （2012北京大学）解：首先，可以取671个数{}1,4,7,,2008,2011 （或者{}2,5,8,,2009,2012 ），其中任两数之和不能被3整除，而其差是3的倍数；其次，将M 中的数自小到大按每三数一段，共分为671段：1,2,3,4,5,6,7,8,9,,2008,2009,2010,2011,2012 ；从中任取672个数，必有两数,x y 取自同一段，则1x y -=或2，注意x y -与x y +同奇偶，于是()()x y x y -+．因此k 的最大值为671.（注）：（2008江西预赛填空题）从前2008个正整数构成的集{}1,2,,2008M = 中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为 ． （答案：670.）例13、如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数，则称m 为“六合数”．求小于2012的非负整数中“六合数”的个数．（2012东南赛）解法一 易知，一个非负整数为“六合数”当且仅当它末位数字是偶数且各位数字之和是6的倍数．为方便起见，将{0,1,,2011}M = 中每个数都写成四位数abcd 的形式（当不足四位数时，在最高数位前补上若干个数字“0”，使之恰含有四个数字），并用()f k 表示M 中末位数字为k 的“六合数”的个数，其中{0,2,4,6,8}k ∈．对N n ∈，将满足x y n +=且,{0,1,,9}x y ∈ 的(,)x y 的组数记为n p ，显然1,0,1,,9;19,10,11,,18;0,19.n n n p n n n +=⎧⎪=-=⎨⎪≥⎩先考虑一切小于2000的“六合数”abck ．若0k =，则当0a =时，0,6,12,18b c +=；当1a =时，5,11,17b c +=，故06121851117(0)()()161632f p p p p p p p =++++++=+=．若2k =，则当0a =时，4,10,16b c +=；当1a =时，3,9,15b c +=，故410163915(2)()()171835f p p p p p p =+++++=+=．若4k =，则当0a =时，2,8,14b c +=；当1a =时，1,7,13b c +=，故28141713(4)()()171633f p p p p p p =+++++=+=．当6,8k =时，与0,2k =的情形类似，有(6)(0)32,(8)(2)35f f f f ====．因此，小于2000的“六合数”有(0)(2)(4)(6)(8)167f f f f f ++++=个．再注意到2000至2011中恰好有一个“六合数”2004，所以所求“六合数”的个数为1671168+=．解法二 对非负整数n ，令()S n 为其各位数字之和．先将小于2000的非负整数中所有6的倍数（共334个）配成如下167对：(0,1998),(6,1992),(12,1986),,(996,1002) ．对上述每对数(,)x y ，设12341234,x a a a a y bb b b ==（约定当x 或y 不足四位数时，在最高数位前补上若干个数字“0”，使之恰含有四个数字），则112233441000()100()10()()1998a b a b a b a b x y +++++++=+=．因,x y 为偶数，故44,8a b ≤，因此441618a b +≤<，只能448a b +=；又由331819a b +≤<知，只能339a b +=；类似得229a b +=；最后必有111a b +=．故11223344()()()()()()199827S x S y a b a b a b a b +=+++++++=+++=，从而(),()S x S y 中有且仅有一个6的倍数（这是因为,x y 均被3整除，所以()S x 与()S y 均被3整除），故,x y 有且仅有一个是“六合数”．从而，小于2000的“六合数”共有167个，又2000至2011中恰好有一个“六合数”2004，所以所求“六合数”的个数为1671168+=．例14、对于由前2n 个正整数构成的集合{1,2,,2}M n = ，若能将其元素适当划分，排成两个n 项的数列：1212(,,,),(,,,)n n A a a a B b b b == ，使得,1,2,,k k a b k k n -== ，则称M 为一个友谊集，而数列,A B 称为M 的一种友谊排列，例如(3,10,7,9,6)A =和(2,8,4,5,1)B =便是集合{1,2,,10}M = 的一种友谊排列，或记为3,10,7,9,62,8,4,5,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 0(1)、证明：若{1,2,,2}M n = 为一个友谊集，则存在偶数种友谊排列； 0(2)、确定集合1{1,2,,8}M = 及2{1,2,,10}M = 的全体友谊排列．0(1)、证明：设1212(,,,),(,,,)n n A a a a B b b b == 是M 的一种友谊排列，即有,1,2,,k k a b k k n -== ，且1212{,,,,,,,}{1,2,,2}n n a a a b b b n =，称数列A 为甲型的，而数列B 为乙型的；作数列：12121212(,,)(21,21,,21)(,,)(21,21,,21)n n n n A a a a n b n b n b B b b b n a n a n a ''''==+-+-+-''''==+-+-+-则,1,2,,k k a b k k n ''-== ，且1212{,,,,,,,}{1,2,,2}n n a a a b b b n ''''''= ，因此，数列,A B ''也是M 的一种友谊排列；再证A A '≠，事实上，假若A A '=，即,1,2,,k k a a k n '== ，则由22221a a n b '==+-，得2221a b n +=+，而222a b -=，相加得2223a n =+，矛盾！故甲型数列A 与甲型数列A '一一对应；并且当数列A 跑遍M 的所有甲型数列时，数列A '也跑遍M 的所有甲型数列.注意到数列A 的第二项2a 与数列A '的第二项2a '一奇一偶，现让A 取遍使其第二项2a 为奇数的甲型数列，则A '取遍使其第二项2a 为偶数的甲型数列，且二者一一对应，因此M 的甲型数列有偶数个；由于当甲型数列确定后，相应的乙型数列便唯一确定，因此M 的友谊排列有偶数种.0(2)、解：当{1,2,,8}M = 时，设其友谊排列为12341234,,,,,,a a a a b b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中 ,1,2,3,4k k a b k k -==，则44411110k k k k k a b k ===-==∑∑∑，所以444111210k kk k k k a bb ===+=+∑∑∑，即12341282()10b b b b +++=++++ ，所以123413b b b b +++= ……①显然有 1B ∈而8A ∈，于是由①得，1234{,,,}B b b b b =只有三种情况：{1,2,3,7},{1,2,4,6},{1,3,4,5}B =．0(1)、若{1,2,3,7}B =，则{4,5,6,8}A =，由于14i i a b ≤-≤，于是A 中的元素8只能与B 中的元素7搭配，而A 中的元素6只能与B 中的元素2或3搭配，因此只有两种排列：18,4,6,57,2,3,1T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 28,5,4,67,3,1,2T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；0(2)、若{1,2,4,6}B =，则{3,5,7,8}A =，A 中的元素7,8只能与B 中的元素4或6搭配，也只有两种排列：33,8,7,52,6,4,1T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 47,3,5,86,1,2,4T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 0(3)、若{1,3,4,5}B =，则{2,6,7,8}A =，A 中的元素2只能与B 中的元素1搭配，8只能与4或5搭配，只有两种排列： 52,7,6,81,5,3,4T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 62,6,8,71,4,5,3T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 因此，当{1,2,,8}M = 时，总共有6种友谊排列．当{1,2,,10}M = 时，用类似的方法可得，此时共有10种友谊排列：12344,10,9,5,79,5,4,10,710,7,4,6,810,4,8,7,6,,,3,8,6,1,28,3,1,6,29,5,1,2,39,2,5,3,1T T T T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦；56789,3,7,6,103,10,7,9,62,6,10,9,82,9,6,8,10,,,8,1,4,2,52,8,4,5,11,4,7,5,31,7,3,4,5T T T T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦9108,3,5,10,93,8,10,5,9,7,1,2,6,42,6,7,1,4T T ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 例15、12个赌徒每日聚赌一次，每次4人一桌，共设三桌；若其中任两人都至少同桌一次，问赌博至少持续了多少天？解：至少持续了五天.先说明，5天已够.记12个人为1,2,,12 ，将其两两搭配，记()1,2a =，()()()()()3,4, 5,6, 7,8, 9,10, 11,12b c d e f =====.先作模式搭配，安排如下：（一） ab cd ef ； （二） ac be df ； （三） ad bf ce ； （四） ae bd cf ； （五） af bc de . 即： （一） ()()()1,2,3,4 5,6,7,8 9,10,11,12； （二） ()()()1,2,5,6 3,4,9,10 7,8,11,12； （三） ()()()1,2,7,8 3,4,11,12 5,6,9,10； （四） ()()()1,2,9,10 3,4,7,8 5,6,11,12； （五） ()()()1,2,11,12 3,4,5,6 7,8,9,10。
高中数学竞赛辅导第1讲 集合(教师版)
且 A B ，则实数 a 的取值范围是
.
【解析】易得 A x 0＜x＜1 ，因为 A B ，所以 B x a＜x＜1 ，故 a ≤0 .
【针对练习 3】 （2016 年贵州预赛）若集合 A
x x2 x 12 ≤ 0
，B
x
x x
11＜0
，
C x x∈ A,且x∈ B ，则集合 C
小于 B 中的最小数，则这样的集合对(A,B)的个数是
．
【简解】当 A {1}时， B 中最小元素分别为 2,3, ,8 ，符合条件的集合 B 共有 27 1 127 个；
当 A 中最大数为 2 时，符合条件的集合 B 共有 2(26 1) 126 个；
当 A 中最大数为 3 时，符合条件的集合 B 共有 22(25 1) 124 个；
则 UA
.
【答案】{1，5，7}.
【针对练习 2】已知全集U A B x∈N x ≤10 ，且 A U B 1,3,5,7,9 ，
则集合 B
.
【答案】 B 0,2,4,6,8,10 ．
三、借助数轴
【典例 3】（2013 年贵州预赛）已知集合 A x log2 x＜log3 x ，B x x2 ax a＜x ，
.
【解析】易得 A B 15 ，故所求和为(3 6 27)(0 5 30)15 225 ．
【针对练习 1-4】（2019 年重庆预赛）设 A 为三元集合（三个不同实数组成的集合），
集合 B x y x∈A,x y .若 B log2 6,log2 10,log2 15 ，则集合 A
素之积的值为0 ．
2016年竞赛与自主招生专题第一讲：集合与命题(教师版)
2016 年竞赛与自主招生专题第一部分 近年来自主招生数学试卷解读从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
总的来说，函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。
应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约60%左右。
2、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主.探究和阅读材料，对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。
自主招生中，有不少试题都来源于这些材料。
3、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。
4、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。
高频考点一览：不等式 均值不等式与柯西不等式的综合运用，凸函数的性质，证明不等式的常用方法杂题 常见的组合数学问题（组合计算、组合构造、博弈问题、染色问题） 解析几何 解析几何的基本运算、取值范围与最值问题以及探索性问题 平面几何 平面几何的基本计算和证明、三角形五心问题、图形变换 函数 函数的奇偶性、周期性、单调性的证明与应用三角函数 一些具有技巧性的三角变换，三角恒等式和简单的三角不等式问题 立体几何 复杂的空间几何构型，空间范围内的旋转对称等变换问题 排列组合 比较具有技巧性的排列组合问题和一些复杂的概率问题 方程和多项式 高次方程，无理方程的技巧性处理，一些简单的多项式知识 数列非等比等差数列的递推公式、通项公式、求和公式的常见解法一、 试题特点分析：1. 突出对思维能力的考查。
【2014年北约】已知()01,2,...,i x i n >=11.ni i x ==∏求证：))1221.nni i x =≥∏【解析】不等式；柯西不等式或AM GM -平均不等式. 法一：AM GM -不等式.调和平均值()22nnn n i nii in H G x x =≤=+⎛⎫+∏∑≤nin≤⎛⎫∑ni⎛⎫≤∑ni⎛⎫≤∑1n ni inn⎛⎫≤+=∑∑，即)1+≤))1nniix≤∏法二：由11.niix==∏及要证的结论分析，由柯西不等式得))211iixx⎫≥⎪⎭，从而可设1iiyx=，且1111.n nii i iyx====∏∏从而本题也即证))11.n niiy=≥∏从而))211n nii ixx⎫≥⎪⎭∏，即))21n niiix y≥∏，假设原式不成立，即))11,n niix=<∏则))11.n niiy=<∏从而))21n ni iix y<∏，矛盾.得证.2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。
高中数学：第一章：集合(竞赛精讲)
第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念,也是高中数学的起始单元,是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中,很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础,也是支撑现代数学大厦的基石之一,本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.§1.1 集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体,称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集φ.4. 集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集差集：记A 、B 是两个集合,则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作B A \.即A x B A ∈={\且}B x ∉.2.集合的运算性质(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律);(3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律);(5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律);(7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律)(8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a 的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( )A.5B.4C.25D.10【解】0)1(2≥+x ,x x x -≥++∴12,且012>++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008y x +的值.〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】B A = ,⎩⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x .B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy又由A ∈1及B A =,得.1B ∈所以⎩⎨⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==11y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾!所以,1-=y x 代入得:++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21, *)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-. 当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++∈R }, {(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是．【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集,N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =,代入方程|1|x y ++=, 得 2420x x --=,解出得2x = 所以,当211a <=-时, MN =∅． ………… ③ 令 2y =,代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =．所以,当3a > 时, M N =∅． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知,当13a ≤≤,即[13a ∈ 时, M N ≠∅．故填[1+.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意. 综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系.〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性. 【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍,若按每横排4人编队,最后差3人；若按每横排3人编队,最后差2人；若按每横排2人编队,最后差1人,求这支游行队伍的人数最少是多少？〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数,那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队,最后差3人”,从它的反面去考虑,可理解为多1人,同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”,显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地,即15-n 是12的倍数,再由总人数不少于1000人的条件,即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ,则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1,即15-n 是4、3、2的公倍数,于是可令)(1215+∈=-N m m n ,由此可得：5112+=m n ①要使游行队伍人数最少,则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数,应为 2.于是可令)(25+∈+=N p q m ,由此可得：512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ,25605+≥p n ② 所以10002560≥+p ,4116≥p . 取17=p 代入②式,得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解,对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语,可以根据补集思想方法,从词义气反面（反义词）考虑,对原命题做部分或全部的否定,用这种方法转化命题,常常能起到化繁为简、化难为易的作用,使之寻求到解题思想或方法,实现解题的目的.【例12】设n N ∈且n ≥15,B A ,都是{1,2,3,…,n }真子集,A B φ=,且A B ={1,2,3,…,n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设,{1,2,3,…,n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一.假设结论不真,则存在如题设的{1,2,3,…,n }的真子集B A ,,使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ,则3∉A ,否则1+3=22,与假设矛盾,所以3∈B .同样6∉B ,所以6∈A ,这时10∉A ,,即10∈B .因n ≥15,而15或者在A 中,或者在B 中,但当15∈A 时,因1∈A ,1+15=24,矛盾；当15∈B 时,因10∈B ,于是有10+15=25,仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合,而集合又是数学的基础.因此,深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛) 设在xOy 平面上,20x y ≤<,10≤≤x 所围成图形的面积为31,则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为( ) A.31 B.32 C.1 D.34 2. (2006年陕西预赛)b a ,为实数,集合M=x x f a P ab →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于( )A.1-B.0C.1D.1± 3. (2004年全国联赛)已知M={}32|),(22=+y x y x ,N={}b mx y y x +=|),(,若对于所有的R m ∈,均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A ．[26,26-] B.（26,26-）C.（332,332-） D.[332,332-] 4. (2005年全国联赛) 记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T },4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++=i T a a a a a M i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列,则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ 5. 集合A,B 的并集A∪B={a 1,a 2,a 3},当且仅当A≠B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的个数有( )A.27B.28.C.26D.256.设A={n |100≤n ≤600,n ∈N },则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.7. 已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .8. 设M={1,2,3,…,1995},A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A,则A 中元素的个数最多是_______________.9. (2006年集训试题)设n 是正整数,集合M={1,2,…,2n }．求最小的正整数k ,使得对于M 的任何一个k 元子集,其中必有4个互不相同的元素之和等于10. 设A ＝{a |a ＝22x y -,,x y Z ∈},求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)； ⑵42 ()k A k Z -∉∈.11.（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭,21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅,求实数a 的取值范围．12. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数,有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ,y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.(B 组)1. 设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ,b ∈S ,则a +b ∈S ,S ab ∈；②对任一个有理数r ,三个关系r ∈S ,－r ∈S ,r ＝0有且仅有一个成立.证明：S 是由全体正有理数组成的集合.2．321,,S S S 为非空集合,对于1,2,3的任意一个排列k j i ,,,若j i S y S x ∈∈,,则k S y x ∈-（1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问（1）当a 取何值时,C B A )(为含有两个元素的集合？（2）当a 取何值时,C B A )(为含有三个元素的集合？4．已知{}22(,)4470,,A x y x y x y x y R =++++=∈, {}(,)10,,B x y xy x y R ==-∈.⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A 与B 的距离定义;⑵依据⑴中的定义求出A 与B 的距离.5.设集合=P ｛不小于３的正整数｝,定义Ｐ上的函数如下：若P n ∈,定义)(n f 为不是n 的约数的最小正整数,例如5)12(,2)7(==f f .记函数f 的值域为Ｍ.证明：.99,19M M ∉∈6．为了搞好学校的工作,全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议,且任何两个班级都至少有一条建议相同,但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个.【参考答案】A 组1.解： N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称,由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得.为此,只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意可得,N M 的图形在第一象限的面积为A ＝613121=-.因此N M 的图形面积为32. 所以选B.2.解:由M=P,从而1,0==a a b ,即0,1==b a ,故.1=+b a 从而选C. 3. 解：M N ≠∅相当于点（0,b ）在椭圆2223x y +=上或它的内部221,322b b ∴≤∴-≤≤.故选A. 4.解: 用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数,将集合M 中的每个数乘以47,得 32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈=M '中的最大数为107]2400[]6666[=.在十进制数中,从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400－2004=396.而=10]396[7]1104[将此数除以47,便得M 中的数.74707171432+++故选C. 5.解：A=φ时,有1种可能；A 为一元集时,B 必须含有其余2元,共有6种可能；A 为二元集时,B 必须含有另一元.共有12种可能；A 为三元集时,B 可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.从而选A.6．解：被7除余2的数可写为7k +2. 由100≤7k +2≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使7k +2能被57整除,则可设7k +2=57n . 即57256227778n n n n k n -+--===+.即n －2应为7的倍数. 设n =7m +2代入,得k =57m +16. ∴14≤57m +16≤85. ∴m =0,1.于是所求的个数为85－(14－1)－2=70． ７．解：依题意可得{13}A x x =<<,设1()2x f x a -=+,2()2(7)5g x x a x =-++要使A B ⊆,只需()f x ,()g x 在(1,3)上的图象均在x 轴的下方,则(1)0f ≤,(3)0f ≤, (1)0g ≤,(3)0g ≤,由此可解得结果.8．解：由于1995=15⨯133,所以,只要n >133,就有15n >1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了15⨯9=135, … 15⨯133=1995. 故9至133的整数都不能再取,还可取1至8这8个数,即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870.另一方面,把k 与15k 配对,（k 不是15的倍数,且1≤k ≤133）共得133—8=125对,每对数中至多能取1个数为A 的元素,这说明所求数≤1870,综上可知应填1870.9.解：考虑M 的n +2元子集P={n －l,n ,n +1,…,2n }．P 中任何4个不同元素之和不小于(n －1)+n +( n +1)+( n +2)=4 n +2,所以k ≥n +3．将M 的元配为n 对,B i =(i ,2 n +1－i ),1≤i ≤n ． 对M 的任一n +3元子集A,必有三对123,,i i i B B B 同属于A(i 1、I 2、I 3两两不同)．又将M 的元配为n －1对,C I (i ,2n －i ),1≤i ≤n －1．对M 的任一n +3元子集A,必有一对4i C 同属于A,这一对4i C 必与123,,i i i B B B 中至少一个无公共元素,这4个元素互不相同,且和为2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数k = n +310．10.解: ⑴∵k ,1k -∈Z 且21k -＝22(1)k k --,∴21k -∈A ；⑵假设42 ()k A k Z -∈∈,则存在,x y Z ∈,使42k -＝22x y -即()()2(21)x y x y k -+=- (*) 由于x y -与x y +具有相同的奇偶性,所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数,另一方面,（*）式右边只能被4除余2的数,故（*）式不能成立.由此,42()k A k Z -∉∈.11.解：{}13A x x =-≤<,()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时,{}03B x a x a =<<<,由AB ≠∅得03a <<； 当0a <时,{}30B x a x a =<<<,由A B ≠∅得1a >-； 当0a =时,{}20B x x =<=∅,与AB ≠∅不符． 综上所述,()()1,00,3a ∈-．12．解：由④若x ,y ∈P ,则x ＋y ∈P 可知,若x ∈P ,则)( N k P kx ∈∈（1）由①可设x ,y ∈P ,且x ＞0,y ＜0,则－y x ＝|y |x (|y |∈N )故x y ,－y x ∈P ,由④,0＝(－y x )+x y ∈P .（2）2∉P .若2∈P ,则P 中的负数全为偶数,不然的话,当－（12+k ）∈P （N k ∈）时,－1＝（－12-k ）＋k 2∈P ,与③矛盾.于是,由②知P 中必有正奇数.设),( 12,2N n m P n m ∈∈--,我们取适当正整数q ,使12|2|->-⋅n m q ,则负奇数P n qm ∈-+-)12(2.前后矛盾B 组1．证明：设任意的r ∈Q ,r ≠0,由②知r ∈S ,或－r ∈S 之一成立.再由①,若r ∈S ,则S r ∈2；若－r ∈S ,则S r r r ∈-⋅-=)()(2.总之,S r ∈2.取r =1,则1∈S .再由①,2=1+1∈S ,3=1+2∈S ,…,可知全体正整数都属于S .设S q p ∈,,由①S pq ∈,又由前证知S q ∈21,所以21qpq q p ⋅=∈S .因此,S 含有全体正有理数.再由①知,0及全体负有理数不属于S .即S 是由全体正有理数组成的集合.2．证明：（1）若j i S y S x ∈∈,,则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,,所以每个集合中均有非负元素.当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立.否则,设321,,S S S 中的最小正元素为a ,不妨设1S a ∈,设b 为32,S S 中最小的非负元素,不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S .若b ＞0,则0≤b －a ＜b ,与b 的取法矛盾.所以b =0.任取,1S x ∈因0∈2S ,故x －0＝x ∈3S .所以⊆1S 3S ,同理3S 1S ⊆.所以1S =3S .（２）可能.例如1S =2S ={奇数},3S ={偶数}显然满足条件,1S 和2S 与3S 都无公共元素.3．解：C B A )(=)()(C B C A .C A 与C B 分别为方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=+=+1122y x y ax （Ⅱ）⎩⎨⎧=+=+1122y x ay x 的解集.由（Ⅰ）解得（y x ,）=（0,1）=（212a a +,2211aa +-）；由（Ⅱ）解得 （y x ,）=（1,0）,（2211a a +-,212a a +） （1）使C B A )(恰有两个元素的情况只有两种可能： ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+111012222a a a a ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+011112222aa a a 由①解得a =0；由②解得a =1.故a =0或1时,C B A )(恰有两个元素.（2）使C B A )(恰有三个元素的情况是：212a a +=2211aa +- 解得21±-=a ,故当21±-=a 时,C B A )(恰有三个元素.4．解: (1)设1212,min P A P B d P P ∈∈=(即集合A 中的点与集合B 中的点的距离的最小值), 则称d 为A 与B 的距离.⑵解法一：∵A 中点的集合为圆22(2)(2)1,x y +++=圆心为(2,2)M --,令(,)P x y 是双曲线上的任一点,则2MP =22(2)(2)x y +++=224()8x y x y ++++=2()24()x y xy x y +-+++8=2()4()28x y x y ++++令t x y =+,则2MP =22428(2)24t t t ++=++当2t =-时,即102xy x y =-⎧⎨+=-⎩有解,∴min 26MP =∴261d =- 解法二：如图,P 是双曲线上的任一点, Q 为圆22(2)(2)1x y +++=上任一点,圆心为M .显然,P M MP +Q Q ≥(当P M 、Q 、三点共线时取等号)∴min 1d MP =-.5．解：记!18=n 时,由于1,2,……18都是n 的约数,故此时.19)(=n f 从而.19M ∈若存在P n ∈,使99)(=n f ,则对于小于99的正整数k ,均有n k |,从而n n |11,|9,但是1)11,9(=,由整数理论中的性质9×11=99是n 的一个约数,这是一个矛盾！从而.99M ∉6．证明：假设该校共有m 个班级,他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
最新高中数学竞赛特级教师培训教材(49页)
高中数学竞赛培训教材编者：全国特级教师(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z 证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：（1）一切奇数属于M;（2）4k-2(k∈Z)不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。
3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:AB;(2)若A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素的确定例2．已知集合M ＝{X ，XY ，lg(xy)}，S ＝{0，∣X ∣，Y}，且M ＝S ，则(X ＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于( ).分析：解题的关键在于求出X 和Y 的值，而X 和Y 分别是集合M 与S 中的元素。
2016届高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合
[题点发散 1] 已知集合 A＝{xy|y＝x2－2x，x∈R} ，B＝{y|y＝
－x2＋2x＋6，x∈R}，求 A∩B.
解：因 A 中元素是函数自变量，则 A＝R， 而 B＝{y|y≤7}，则 A∩B＝{y|y≤7}．
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基础盘查二 集合间的基本关系 (一)循纲忆知 1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
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(二)小题查验 1．判断正误
(1)若 A＝B，则 A⊆B
(√ )
(2)若 A B，则 A⊆B 且 A≠B
[题点发散 2] 已知集合 A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2 ＋2x＋6，x∈R}，若集合 A、B 中元素都为整数，求 A∩B.
解：A∩B⊆{y|－1≤y≤7}，又因为 y∈Z， 故 A∩B＝{－1，0,1,2,3,4,5,6,7}．
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2．集合的运算性质 (1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B； (2)A∩A＝A，A∩∅＝∅； (3)A∪A＝A，A∪∅＝A； (4)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. [提醒] Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补 运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还 是空心．
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考点四 集合的新定义问题 (重点保分型考点——师生共研) [典题例析]
竞赛专题讲座第一讲：集合
第一讲：集合集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略一一分类思想 的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集 合、子集与划分问题的方法。
1 .集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：(1) 确定性 设A 是一个给定的集合，a 是某一具体对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两 者必居其一，即a € A 与a A 仅有一种情况成立。
(2) 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象，即同一个集合中不应出现同一个元素 .(3) 无序性主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。
常用数集如: 记。
2 .实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。
对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。
3 .子集、真子集及相等集(1) A B A B 或 A = B ;(2) A B(3) A = B2n 个不同的子集，其中有 2n - 1个非空子集，也有 2n - 1个真子集。
5.集合的交、并、补运算A B ={x|x A 且 x B } A B ={ x | x A 或 x B }A {x | x I 且 x A }要掌握有关集合的几个运算律:(1) 交换律 A B = B A ,AB = B A ;(2) 结合律A (BC )=( A B ) C ,A(BC ) =(A B ) C ；(3) 分配律A(B C )= (A B ) (A C )A (BC )= (A B )(AC )(4) 0— 1律A = A , AI = AAI = I , A=(5) 等幂律A A = A , A A = A(6) 吸收律A (AB )= A ,A (AB )=A(7) 求补律A A = I , AA =N,Z,Q, R 应熟4 •一个n 阶集合(即由个元素组成的集合)有(8)反演律 A B A B,A BAB6．有限集合所含元素个数的几个简单性质设n( X ) 表示集合X 所含元素的个数(1) n(A B) n(A) n(B) n(A B)当n(A B) 时，n(A B) n( A) n(B)(2) n( A B C) n(A) n(B) n(C)－n( A B) n( A C) n(B C) n( A B C)7．映射、一一映射、逆映射(1)映射设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f :A T B。
2016届高考数学教师用书配套课件：第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合
2.解决集合相等问题的一般思路 若两个集合相等,首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个 元素相等,有几种情况,然后列方程(组)求解.
提醒:解决两个集合的包含关系时,要注意空集的情况.
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【变式训练】(2015·临沂模拟)已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},若A⊆B,
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2.数集{x2+x,2x}中,x的取值范围是( ) A.(-∞,+∞)
B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
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【解析】选D.根据题意,由集合中元素的互异性, 可得集合{x2+x,2x}中,x2+x≠2x, 即x≠0,x≠1, 则x的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞), 故选D.
则M∪N=( )
A.{0,1}
B.{-1,0,2}
C.{-1,0,1,2}
D.{-1,0,1}
【解析】选C.结合Venn图,可知M∪N={-1,0,1,2}.
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(3)(2014·湖北高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},
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考点2 集合间的基本关系
【典例2】(1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, ,b}b,则b-a=
.
a (2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的
2016届高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第一章 集合与常用逻辑用语 第二节 命题及其关系、充分
[题组练透]
1．命题“若 x2＋3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题及其真假性为( ) A．“若 x＝4，则 x2＋3x－4＝0”为真命题 B．“若 x≠4，则 x2＋3x－4≠0”为真命题 C．“若 x≠4，则 x2＋3x－4≠0”为假命题 D．“若 x＝4，则 x2＋3x－4＝0”为假命题
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
基础盘查一 四种命题及其关系 (一)循纲忆知 1．理解命题的概念． 2．了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命
题，会分析四种命题的相互关系．
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(二)小题查验 1．判断正误
(1)“x2＋2x－3<0”是命题
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
()
解析：由 q⇒綈 p 且綈 p q 可得 p⇒綈 q 且綈 q p，所以 p
是綈 q 的充分不必要条件．
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[类题通法]
充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价 转化法．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于 定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的 范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词 语的命题，常转化为其逆否命题来判断．
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基础盘查二 充分条件与必要条件 (一)循纲忆知
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
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(二)小题查验 1．判断正误
(1)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件
高中数学竞赛特级教师培训教材(49页)
高中数学竞赛培训教材编者：全国特级教师(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z 证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：（1）一切奇数属于M;（2）4k-2(k∈Z)不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。
3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)若A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素的确定例2．已知集合M＝{X，XY，lg(xy)}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，则(X＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于().分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。
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2016年竞赛与自主招生专题第一部分 近年来自主招生数学试卷解读从2015年开始自主招生考试时间推后到咼考后，政策刚出时，很多人认为, 是不是要在咼考出分后再考自主招生，是否咼考考完了，自主招生并不是失去其 意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目 只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距 .所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛 真题等，具有参考价值。
函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。
1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约 60% 左右。
、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主.探究和阅读材料， 对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。
自主招生中，有不少 试题都来源于这些材料。
、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。
、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。
高频考点一览：试题特点分析:1. 突出对思维能力的考查。
n n n【2014年北约】已知x ^^i =1,2, ...n ）叮X =1.求证：□（ 72+人）二（血+1）.i zt i zt【解析】不等式；柯西不等式或 AM -GM 平均不等式.法一：AM -GM 不等式.调和平均值 H n = —— g =也 （J 2+X i ），送〔止J总的来说, 应试策略:n血+X i )，=■厂斗［y^+X i丿X i'令右（0 + X i ）彳耳（Q+X i可得血一n 二料（渥+X i（7^+1 n n 上述两式相加得? -匹料（后X i ） 1 红4〕i W+X i 丿即（近 +1 ）＜和（72 +X i ），即（72十1 i 兰叮（72+X i）n法二：由n X i =1.及要证的结论分析，由柯西不等式得i 土（72+x）仿+ 丄'（血+1）2，＜X i丿1 n n 1从而可设y =—，且n y i =n 一—1.从而本题也即证X 土X n (d + yi )工(72+1)".i 二从而n（72+x）（刁+丄*（72+1），即n（72+x W2 + yi）工（/2+1），i V X i 丿in n假设原式不成立，即n （72+x ）＜（血+1、，则n （迈+ y）＜（v2+o.i ±i ±n_ L —2n从而n （V2十X帖+ yi ）＜W2 +1），矛盾得证.i2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。
【2014年北约】10、已知实系数二次函数f（x ）与g（x） f （x）=g（x ）和3f（x）+g（x）=0有两重根，f（X ）有两相异实根，求证：g（X ）没有实根.【解析】设f(X )=ax2+bx +c, g(X )=dx2+ex+ f,则由f（X ）=g（X ），可得(a -d J x2+(b -e )x +(c - f )=0, A = (b -e S -4(a -d 辽-f )= 0.由3f(X )+g(x )=0 可得2 2(3a +d ]x +(3b +e 卜 +(3c + f ) = 0,i =(3b +e ) -4(3a +d x 3c + f )= 0.2 2 O Q 2化简得 3b +e =12ac+4df,即 e -4df =3(4ac-b )又 b —4ac>0.2/.e -4df v O ,". g (x 没有实根.二、 应试和准备策略1.注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学 生平时要把基础知识打扎实。
剩下的就是个人的现场发挥。
2. 注意适当补充一点超纲内容如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵, 行列式等也不可忽视。
3. 适当做近几年的自主招生的真题俗话说，知己知彼，百战百胜。
同学们可适当地训练近几年自己所考的高校 自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。
总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高 临下的感觉。
2016年竞赛与自主招生专题第一讲一、 知识补充：容斥原理 基本公式：(1)card(A U B) = card(A) + card(B) — card(A n B) ； (2)card(A U BUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A n B)-card(A n C)-card(B n C)+card(A n B n C)■lk3-2问题：开运动会时，高一某班共有 28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛, 有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3人，没有人同时参加三项比赛，问同时 参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？:集合与命题（教师版）解：设A=｛参加游泳比赛的同学｝，B= ｛参加田径比赛的同学｝，C=｛参加球类比赛的同学｝,贝U card（A）=15 ,card（B）=8 , card（C）=14 ,card（A U BU C）=28,且 card（A n B）=3，card（A n C）=3，card（A n BA C）=0,由公式②得 28= 15+8 + 14-3 — 3- card （B n C）+0,即card（B n C）=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有 3人，而只参加游泳比赛的人有15- 3- 3= 9（人）二.抽屉原理抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。
证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素,从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。
例1.已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。
证明: 至少有两个点之间的距离不大于2.分析：5个点的分布是任意的。
如果要证明“在边长为 1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于2的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界）距离便不大于2。
以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。
A■ \如图2,设BC是△ ABC的最大边，P，M是^ABC内（包括边界）任意两点，接PM过P分别作AB BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为 P、Q N,那么/ PQNh C,/ QNPh A 因为 BO AB 所以/ A>/ C,则/ QNP >/ PQN而/ QMR/ QNP^/ PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以PQ > PM显然BO PQ故BO PM由此我们可以推知，边长为2的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于2。
三、针对性训练 1.对集合｛1 , 2,…，n ｝及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和” 如下：按照递减的次序重新排列该子集，果，例如，集合｛124歸｝]的“交替和”解：集合｛1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7｝的子集中，除去｛7｝外还有尹-〔2个非空子集 合，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设4| 卫丿丄M 吶+⑺这是把4电结合为-组,中，“交替和”之和应为7,共有（2什 7*(27彳2”2+|7-448。
2. n 元集合具有多少个不同的不交子集对？分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可以求 出总的子集对来了。
解：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则 第一个子集若是k 个元素，第二个子集就由其余n-k 个元素组成，可能的情况是 B种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为 种，那么k 从0变到n,总的情。
如果子集对是无序的，即两个子集相同但次序不同的子集对不认为不同，则 歹对有序子集对中有一对是由两个空集组成, 而对其它3"+】个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子（3汨1）农 个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集 对的总数为咄训2*]1-（3卄酗2分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。
对一个元素来说，它有三种不同的 选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。
解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个 子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对 的总数歹，以下同解法一。
3. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 然后交替地减或加后继的数所得的结 是9-6+4-2+1=6. fe 研的“交替和”是6-5=1，⑵的交替和是2。
那么，对于 n=7。
求所有子集的“交替和”的总和。
组.所以,所有“交替和”之和应该为 集对，因此有中的元素有奇数,有偶数；③一K P ；④若x, y € P,则x + y € P。
试判断实数 0和2与集合P的关系。
解：由④若x，y € P ,则x + y € P可知，若x € P，则kx壬P (心N)(1)由①可设x，y € P，且x > 0， y < 0，则一y x = | y | x (| y | € N ) 故x y , — y x € P ,由④，0 = ( — y x)+ x y € P。
(2) 2芒P。
若2€ P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当一(2k+1)€ P(k忘N )时，一1=(—2k-1) + 2k € P，与③矛盾。
于是，由②知 P中必有正奇数。
设_2m,2 n—1亡P (m, n^N)，我们取适当正整数q,使q q -2m >2n -1，则负奇数-2qm + (2n -1)迂P。
前后矛盾。
4.若S I,S2,S3为非空集合，对于1, 2, 3的任意一个排列i ,j,k，若x忘S i,y忘S j ,(1)证明：三个集合中至少有两个相等。
(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：(1 )若X亡g,y忘S j，则y-x€S k,(y-x)-y = -x€ S i所以每个集合中均有非负元素。
当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。
否则，设S1, S2,S3中的最小正元素为a，不妨设a亡S1，设b为S2, S3中最小的非负元素，不妨设b壬S2,则b — a € S3。
若b >0,则0W b —a < b，与b的取法矛盾。