空间立体几何中的平行垂直证明

正确的命题是( C) A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
是相交直线或异面直线.故②③错，选C.
例 1. 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝BC， 点 D 是 AB 的中点．
(1)求证：BC1∥平面 CA1D；
(2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明： (1)连结AC1交A1C于E ，连结 DE ．
C
N
定理应用
构造平行四边形
P
M A
H D
B
N
C
空间中的平行
定理应用
构造平行平面
P
M
A
Q
D
B
N
C
空间中的平行
复习定理
空间中的垂直
解决空间直线与平面垂直的相关问题，特别要注意下面的 转化关系：
线线垂直
空间垂直之间的转化
①
③
②
线面垂直
④
面面垂直
复习定理
空间中的垂直
1．直线与平面垂直判定
判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,则称这条直线和这个平面垂直.
分析： (1)证明线面平行只需在平面内找一条和 该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线 的平面和已知平面平行； (2)证明面面垂直，只需在 一个平面内找到另一个平面的垂线 .
(1) 证明 如图所示，取线段 BC 的中点 F， 连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点， ∴EF∥PB. 在直角梯形 ABCD中，F 为 CB 的中点， ∴BF＝12BC＝1. 又∵AD∥BC，且 AD＝1， ∴AD// BF. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B， ∴平面 EFD∥平面 PAB. 又∵DE? 平面 EFD，∴DE∥平面 PAB.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.
?
b
? b ? ?
b? ?
?
???
?
? 简称：线面垂直，面面垂直.
复习定理
空间中的垂直
4．平面与平面垂直性质
性质：如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内垂直于 交线的直线必垂直于另一个平面 .
F 构造平面法
(1) 证明 如图所示，取线段 PB 的中点 H， 连接 EH、ＡＨ.
在△PBC 中，E、Ｈ和分别为 PC、PB 的中点， ∴EH // BC. 在直角梯形 ABCD 中， ∵AD∥BC，且 AD＝1，BC＝２ ∴AD // 12BC. ∴AD// EH. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴ＥD∥AH.
又∵ＡＨ? 平面 PAB，且ＥD ? 平面 PAB
方法一）：构造平行四边形
D1 A1
DE A
M
C1
B1
F
C
N
B
定理应用
空间中的平行
方法二）：构造平行平面
D1 A1
DE A
C1
B1
F
HC
B
定理应用
空间中的平行
例2.如图所示，在四棱锥P ? ABCD中，已知四边形ABCD是
平行四边形，M, N分别是ＰＡ，ＢＣ的中点，
证明：ＭＮ／／面ＰＣＤ
P
M
A
D
B
? // ? ?
?I
?
?
a
? ?
?
a // b
? I ? ? b??
? 简称：面面平行，线线平行 .
定理应用
空间中的平行
1.长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E, F分别是BA1，BC1的中点。 求证：EF // 平面ABCD
看到中点找中点
D1 A1
DE A
C1
B1
F
C B
定理应用
空间中的平行
又AA1∩AB＝A， ∴CD⊥平面 AA1B1B.
又CD? 平面CA1D， ∴平面 CA1D⊥平面 AA1B1B.
例 2. 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中， △PAB 为正三角形，且面 PAB⊥面 ABCD， 四边形 ABCD 是直角梯形，且 AD∥BC， ∠BCD＝π4，AD＝1，BC＝2，E 为棱 PC 的中点． (1)求证： DE∥平面 PAB； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PBC；
β a
αl
??? ?
?
a a
I ? ?
? ?
l
?
l
? ?
?
? ?
a? ?
? 简称：面面垂直，线面垂直.
练习：.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、
Hale Waihona Puke Baidu
γ表示三个不同的平面.
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
∵AA1C1C为矩形，则 E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ ABC1中， DE ∥BC1.
E
又DE? 平面CA1D，
BC1? 平面CA1D，
∴BC1∥平面 CA1D.
证明： (2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ ABC中，AB⊥CD.
又AA1⊥平面 ABC， CD? 平面ABC， ∴AA1⊥CD.
空间中的平行与垂直
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与 此平面内的一条直线 平行,则 该直线与此平面平行．
a? ??
b
?
?
? ?
?
a // ?
b
a // b ??
? 简称：线线平行，线面平行 .
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
l P ? mn
m? ? ?
n? mI
?
n
?
?
P
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?
l? ?.
l? m
? ?
l ? n ??
? 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直 .
l? m?
? ?
? ? ?
?
l? m
? 简称：线面垂直，线线垂直.
? 简称：线面平行，面面平行 .
复习定理
空间中的平行
4.平面与平面平行的判定与性质
? 性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的任何一条直线都平行于另外一个平面。
?
a
// ?
? ?
? ? ?
?
a // ?
? 简称：面面平行，线面平行 .
复习定理
空间中的平行
5.平面与平面平行的判定与性质
? 性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ，那么它们的交线平行．
a // ? ?
a? ?
? ?
?
a // b
? I ? ? b??
? 简称：线面平行，线线平行 .
复习定理
空间中的平行
3.平面与平面平行的判定与性质
? 判定: 一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面 平行，则这两个平面平行．
a,b ? ? ?
a a
Ib
// ?
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A??? ?
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b // ? ??