2020年2月普通高考数学(江苏卷)全真模拟卷(1)(解析版)
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1,2，3，4}，B={x|2<x<5,x∈R}，则A∩B=______2.i是虚数单位，若z(i+1)=i，则|z|=______ ．3.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为3x±4y=0，则双曲线的离心率为___________．4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为______ ．5.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为______．6.书架上有5本书，其中语文书2本，数学书3本，从中任意取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________．7.已知函数f(x)=cos(2x+φ)(|φ|<π3)的一个对称中心是(π3,0)，则φ的值是．8.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=AA1=3，点P在棱CC1上，则三棱锥P−ABA1的体积为______ ．9.设函数f(x)是定义在R上的以5为周期的奇函数，若f(2)>1，f(3)=a2+a+3a−3，则a的取值范围是______．10.如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =________．11.已知数列{a n}的通项公式为a n=2017−3n，则使a n>0成立的最大正整数n的值为________．12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A−sin2B=2sinB⋅sinC，c=3b，则角A的值为______．13.若P是直线x−y+2=0上一点，且P到点A(2,1)的距离为5，则点P的坐标为________．14.设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)={x(3−x),0≤x≤3−3x+1,x>3，若函数y=f(x)−m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是_________．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1)证明：PA//平面EDB；(2)证明：BC⊥DE．16.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a−c=√6b，sinB=√6sinC．6(1)求cosA的值；(2)求sin(2A+π)的值．617.某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲广场，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积为200米 2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一个花坛，造价为4200元/米 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/米 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/米 2．(1)设AD为x米，DQ为y米，试建立y关于x的函数关系式；(2)设总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；(3)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？18.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√22，且经过点Q(2,√2).(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：y=kx+m(k>0,m2≠4)与椭圆C相交于A，B两点，若|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，试用m表示k．19.已知函数f(x)=e x−x2−ax有两个极值点x1,x2(x1<x2)．(Ⅰ)求a的取值范围；(Ⅱ)求证：e x1+e x2>4．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足S n+b n+1=b n2，n∈N∗．(1)若{b n}=2n，且S m=8，求正整数m的值；(2)若数列{a n }，{b n }均是等差数列，求b 1的取值范围；(3)若数列{a n }是等比数列，公比为q ，且−a 1>q >b 1≥1，是否存在正整数k ，使b 1，b1k+34，b k成等差数列?若存在，求出一个k 的值，若不存在，请说明理由；-------- 答案与解析 --------1.答案：{3,4}解析：解：∵A ={1,2，3，4}，B ={x|2<x <5,x ∈R}；∴A ∩B ={3,4}．故答案为：{3,4}．进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：√22解析：解：z(i +1)=i ，z =i =i (1−i )()()=1+1i |z |=√(12)2+(12)2=√22直接利用方程两边求模，即可得到结果．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3.答案：54解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)，则渐近线方程为y =±b a x ，由题意可得b a =34，由双曲线a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．解：由渐近线方程为3x ±4y =0，即渐近线方程为y =±34x ，设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)， 则渐近线方程为y =±b a x ，即有b a =34，又c 2=a 2+b 2=a 2+916a 2=2516a 2，a，即c=54．可得e=54．故答案为：544.答案：5050解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+⋯+100．=5050．则1+2+3+⋯+100=(1+100)×1002故答案为：5050．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2++⋯+100的值．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5.答案：18解析：本题考查抽取的学生数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用分层抽样的性质直接求解．解：某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，=18．则应从丁专业抽取的学生人数为：60×300150+150+400+300故答案为：18．6.答案：310解析：本题考查古典概型， 确定基本事件的个数是关键．基本事件总数n =10，取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数m =3，由此能求出取出的两本书都是数学书的概率．解：由题意，从5本书中任意取出2本的情况有10种，其中取出的2本书都是数学书的情况有3种，所以所求概率为310． 7.答案：−π6解析：本题考查三角函数的对称中心，利用余弦函数图象的对称中心为(kπ+π2,0)(k ∈Z)求解即可． 解：因为函数f (x )=cos (2x +φ)(|φ|<π3)的一个对称中心是(π3,0)，所以cos(2π3+φ)=0，即2π3+φ=kπ+π2(k ∈Z)，即φ=kπ−π6(k ∈Z)，因为|φ|<π3，所以k =0时，φ=−π6．故答案为−π6．8.答案：9√34解析：本题考查几何体的体积的求法，考查空间思维能力，化归与转化思想，是中档题．点P 到平面ABA 1的距离即为△ABC 的高，由此能求出三棱锥P −ABA 1的体积．解：∵在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=3，点P 在棱CC 1上，∴点P 到平面ABA 1的距离即为△ABC 的高，即为ℎ=√32−(32)2=3√32， S △ABA 1=12×3×3=92，三棱锥P −ABA 1的体积为：。
2020年江苏省苏北七市高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年江苏省苏北七市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合A={−1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=_____2.已知i为虚数单位，计算：3+i2−i=______．3.已知一组数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，那么x的值为．4.如下图所示的流程图，输出n的值是．5.甲盒中有200个螺杆，其中160个A型的；乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，能配成A型螺栓的概率为_______．6.△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，BC=2√3，则AB=______ ．7.已知{a n}为等差数列，a4+a9=22，a6=8，则a7=______ ．8.已知一个圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V1，球的体积为V2，则V1V2=______．9.已知A是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为______．10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，圆C：(x−4)2+y2=4，动点P在直线x+√3y−2=0上的两点E，F之间，过点P分别作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为______．11. 若x >y >0，则2x 4+1y(x−y)的最小值是______．12. 平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =e ax 在点(0,1)处的切线为y =2x +m ，则a +m 的值是______ ．13. 如图，在△ABC 中，若AB =1，AC =3，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32，则BC = ______14. 已知函数f(x)={|log 4x|,0<x <4sin(π4x −π2),4≤x ≤12，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，当x 1<x 2<x 3<x 4时，满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2的取值范围是______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3sinx,cosx)，n ⃗ =(cosx,cosx)，p ⃗ =(2√3,1)．(1)若m ⃗⃗⃗ //p ⃗ ，求m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值；(2)若x ∈(0,π3]，求函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的值域．16. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点．(1)求证：MN//平面AA 1C 1C ；(2)若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN．17.如图，B1，B2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴端点，椭圆的右焦点为F，△B1B2F为等边三角形，点F到椭圆右准线l的距离为1．(1)求椭圆的方程;(2)求经过点O，F且与右准线l相切的圆的方程．18.某县一中计划把一块边长为20米的等边△ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE需要把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)设AD=x(x≥10),ED=y，使用x表示y的函数关系式；(2)如果ED是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED的位置应该在哪里？求出最小值．19.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx．(1)若a=1，求函数f(x)的极值；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为−2，求a的取值范围．20.数列{a n}和{b n}中，已知a1a2a3…a n=2b n(n∈N∗)，且a1=2，b3−b2=3，若数列{a n}为等比数列．(Ⅰ)求a3及数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)令c n=2b nn2，是否存在正整数m，n(m≠n)，使c2，c m，c n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．21.已知矩阵A=[10−11]，B=[1203]，C=AB．(1)求矩阵C；(2)若直线l1：x+y=0在矩阵C对应的变换作用下得到另一直线l2，求l2的方程．22.已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为．(Ⅰ)求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；(Ⅱ)设曲线C与曲线ρsinθ=1交于A、B，求|AB|．23. 已知a ，b ，c 为正实数，且a +b +c =3，证明：c2a +a 2b +b 2c ≥3．24. 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为35，但由于体力原因，第7场获胜的概率为25．(1)求甲队分别以4:2，4:3获胜的概率；(2)设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．25. (1)若kC n−k k =λC n−k−1k−1，用含n,k 的代数式表示λ；(2)求值：∑(−1)n C 2021−nn 2021−n 1010n=0．【答案与解析】1.答案：1解析：本题主要考查交集的运算，元素和集合的关系，属于基础题．根据题意可知3∈B，又a2+4≥4，则a+2=3，解得a=1．解：∵A={−1,1,3},B={a+2,a2+4}，且A∩B={3}，∴3∈B，∵a2+4≥4，∴a+2=3，解得a=1．经检验a=1时，A∩B={3}．故答案为1．2.答案：1+i解析：利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．解：3+i2−i =(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=5+5i5=1+i．故答案为：1+i．3.答案：8解析：根据平均数的公式进行求解即可．本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．解：∵数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，∴8+9+x+10+7+6=8×6=48，解得x=8，故答案为8．4.答案：4解析：本题主要考查了程序框图，属于基础题．按照流程图，进行循环，直到满足条件输出．解：n=1，S=1，不满足题意，n=2，S=4，不满足题意，n=3，S=9，不满足题意，n=4，S=16，满足题意，输出n=4．故答案为4．5.答案：35解析：本题考查古典概型及相互独立事件同时发生的概率，难度一般．解：从甲盒中取到A型螺杆的概率为160200=45，从乙盒中取到型螺母的概率为180240=34，则能配成型螺栓的概率为45×34=35．故答案为35．6.答案：2√2解析：解；∵∠C=π−∠A−∠B=45°，∴ABsin∠C =BCsin∠A⇒AB=BC⋅sin∠Csin∠A=2√3×√22√32=2√2．故答案为：2√2．先根据三角形的内角和为π求出∠C，再结合正弦定理即可得到答案．本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用．考查计算能力．一般在解三角形时，正弦定理和余弦定理是常用的公式．7.答案：14解析：解：∵{a n }为等差数列，a 4+a 9=22，a 6=8，∴{a 1+3d +a 1+8d =22a 1+5d =8， 解得a 1=−22，d =6，∴a 7=−22+6×6=24．故答案为：14．利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的第7项的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求法． 8.答案：32 解析：解：设球的半径为r ， 由题意可得：球的体积为V 2=43πr 3；圆柱的底面直径和母线长都等于球的直径，记圆柱的体积为V 1=πr 2⋅2r ，则V 1V 2=2πr 34πr 33=32．故答案为：32．设出球的半径，然后求解圆柱的体积，球的体积，推出结果即可．本题考查了棱柱、棱锥及棱台体积的求法，训练了等积法，是基础题．9.答案：2解析：解：A 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点，∴A(a,0)，F(−c,0)，∴c 2a 2−y 2b 2=1，解得y =±b 2a， ∴P(−c,b 2a )，∴|PF|=b 2a ，∵△APQ 是等腰直角三角形，PF//y 轴，∴|PF|=|AF|，∴b2a=a+c，∴b2=a2+ac，即c2−2a2−ac=0，∴e2−e−2=0，解得e=2，e=−1(舍去)故答案为2．求出各点坐标，根据∵△APQ是等腰直角三角形，PF//y轴得出a，c的关系即可得出离心率．本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．10.答案：2√393解析：解：如图，圆O：x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1，圆C：(x−4)2+y2=4的余弦为C(4,0)，半径为2．设P(x,y)，由PB≥2PA，得PB2≥4PA2，即PC2−4≥4(PO2−1)，∴(x−4)2+y2−4≥4(x2+y2−1)，整理得：3x2+3y2+8x−16≤0．又x+√3y−2=0，∴x2+x−3≤0，即|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√1+12=√13．∴|EF|=√31−x2|=√3√13=2√393．故答案为：2√393．由题意画出图形，设P(x,y)，由PB≥2PA及点P在直线x+√3y−2=0上，可得x2+x−3≤0，求出|x1−x2|的范围，在答案可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.答案：6解析：解：因为x >y >0，所以y(x −y)≤(y+x−y2)2=x 24，当且仅当y =x −y 即x =2y 时取等号，则2x 4+1y(x−y)≥2x 4+4x 2=2x 4+2x 2+2x 2≥3√x 4⋅2x 2⋅2x 23=6， 当且仅当2x 4=2x 2即x =1，y =12时取等号， 故答案为：6由已知结合基本不等式即可直接求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于中档试题．12.答案：3解析：本题考查导数的几何意义，属于基础题．将点(0,1)代入切线方程求得m ；根据导数的几何意义，y =e ax 在x =1处的切线斜率为y′(0)，由此求解a ，故得解． 解：由题意可得y ′=ae ax ，因为曲线C 在点(0,1)处的切线为：y =2x +m ， 所以1=2×0+m ，解得m =1，且y ′|x=0=2=a ， 即：m =1，a =2， ∴a +m =3． 故答案为：3．13.答案：√7解析：解：∵在△ABC 中，若AB =1，AC =3，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32，∴1×3cos∠BAC =32，∴cos∠BAC =12，∴在△△ABC 中根据余弦定理得出BC 2=1+9−2×1×3×12=7， ∴BC =√7 故答案为：√7根据数量积得出1×3cos∠BAC =32，cos∠BAC =12，运用余弦定理得出BC 即可． 本题考查了平面向量的数量积在求夹角中的应用，余弦定理求解边长问题，属于中档题．14.答案：(−2,10)解析：解：作出f(x)的图象， f(x 1)=f(x 2)，即有 −log 4x 1=log 4x 2， 可得x 1⋅x 2=1，在[4,12]，f(x)的图象关于直线 x =8对称，可得x 3+x 4=16， 且4<x 3<6，x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2=x 3⋅x 4−50=x 3(16−x 3)−50=−(x 3−8)2+14，在4<x 3<6递增， 可得x 3=4时，x 3⋅x 4−50=−2；x 3=6时，x 3⋅x 4−50=10． 可得x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2的取值范围是(−2,10)． 故答案为：(−2,10)．作出f(x)的图象，可得x 1⋅x 2=1，x 3+x 4=16，且4<x 3<6，再由二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查对数函数的图象和性质，以及正弦函数的图象和性质，考查运算能力，数形结合思想方法，属于中档题． 15.答案：解：(1)由m ⃗⃗⃗ //p ⃗ 可得√3sinx =2√3cosx ， ∴tanx =2．∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3sinxcosx +cos 2x =√3sinxcosx+cos 2xcos 2x+sin 2x=√3tanx+1tan 2x+1=2√3+15． (2)∵x ∈(0,π3]，函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3sinxcosx +cos 2x =√32sin2x +1+cos2x 2=sin(2x+π6)+12，∴2x+π6∈(π6,5π6],sin(2x+π6)∈[12,1]，∴f(x)∈[1,32].即f(x)的值域为[1,32].解析：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，正弦函数的值域，属于中档题．(1)由m⃗⃗⃗ //p⃗求得tanx=2，再利用同角三角函数的基本关系以及两个向量的数量积公式求出m⃗⃗⃗ ⋅n⃗的值．(2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换求出函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=sin(2x+π6)+1，再由x 的范围，求出f(x)的值域．16.答案：解：(1)取A1C1的中点P，连接AP，NP．因为C1N=NB1，C1P=PA1，所以NP//A1B1，NP=12A1B1.在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1//AB，A1B1=AB．故NP//AB，且NP=12AB．因为M为AB的中点，所以AM=12AB．所以NP=AM，且NP//AM．所以四边形AMNP为平行四边形．所以MN//AP.因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN//平面AA1C1C.(2)因为CA =CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB. 因为CC 1=CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC//B 1C 1，所以CN ⊥BC ．因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC =BC ，CN ⊂平面CC 1B 1B ， 所以CN ⊥平面ABC.因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥AB.因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN =C ， 所以AB ⊥平面CMN.解析：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定．(1)取A 1C 1的中点P ，连接AP ，NP ，由题可证MN//AP ，即可得出; (2)由题可得CM ⊥AB ，再证CN ⊥平面ABC ，得到CN ⊥AB ，即可得出．17.答案：解：(1)因为△B 1B 2F 为正三角形，OF =c ，OB 2=b ，B 2F =a ，所以e =c a =OFFB 2=cos30°=√32． 准线l 的方程：x =a 2c，所以{ca=√32a 2c−c =1解之得{a =2√3c =3，于是b =√3．故椭圆方程为x 212+y 23=1；(2)设所求圆的圆心为D ，由(1)知椭圆的右准线方程为x =4， 因为圆D 过点O ，F ，且与直线x =4相切，所以可设圆心D(32， m)，半径为52， 于是圆D 的方程为(x −32)2+(y −m)2=254，∵点O(0,0)在圆D 上， ∴94+m 2=254，解得m =2或m =−2，∴所求圆的方程为(x −32)2+(y −2)2=254或(x −32)2+(y +2)2=254．解析：本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆离心率的求解及直线与圆的位置关系，属中档题． (1)可得OF =c ，OB 2=b ，B 2F =a ，可得离心率和准线方程，解方程组可得ab 的值，可得方程； (2)可得右准线方程为x =4，由题意可设圆心D(32， m)，半径为52，可得圆的方程，代入点O(0,0)可的m 的方程，解之可得答案．18.答案：解：(1)∵△ABC 的边长是20米，D 在AB 上，则10≤x ≤20，S △ADE =12S △ABC ，∴12x ⋅AEsin60°=12⋅√34⋅(20)2，故AE =200x，在三角形ADE 中，由余弦定理得：y =√x 2+4×104x2−200，(10≤x ≤20)； (2)若DE 作为输水管道，则需求y 的最小值， ∴y =√x 2+4×104x 2−200≥√400−200=10√2，当且仅当x 2=4×104x 2即x =10√2时“=”成立．所以，DE 的位置应该在AD =10√2，AE =10√2米，且DE 的最小值10√2米．解析：本题主要考查函数模型应用，考查余弦定理及利用基本基本不等式求最值．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，为中档题．(1)先根据S △ADE =12S △ABC 求得x 和AE 的关系，进而根据余弦定理把x 和AE 的关系代入求得x 和y 的关系；(2)根据均值不等式求得y 的最小值，求得等号成立时的x 的值，进而得DE =10√2，即可得结果．19.答案：解：(1)a =1，f(x)=x 2−3x +lnx ，定义域为(0,+∞)，又f′(x)=1x +2x −3=(2x−1)(x−1)x．当x >1或0<x <12时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当12<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴函数f(x)的极大值为f(12)=−54−ln2， 函数f(x)的极小值为f(1)=−2．(2)函数f(x)=ax 2−(a +2)x +lnx 的定义域为(0,+∞)， 且f′(x)=(2x−1)(ax−1)x，令f′(x)=0，得x =12或x =1a ，当0<1a ≤1，即a ≥1时，f(x)在[1,e]上单调递增， ∴f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=−2，符合题意；当1<1a <e 时，f(x)在[1,e]上的最小值是f(1a )<f(1)=−2，不合题意； 当1a ≥e 时，f(x)在[1,e]上单调递减，∴f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=−2，不合题意． 故a 的取值范围为[1,+∞)．解析：本题考查函数的导数的综合应用，考查函数的单调性、函数的极值与最值，考查分类讨论以及计算能力，属于中档题．(1)a =1时，f(x)=x 2−3x +lnx ，通过求导得到函数的极值点，从而求出极值．(2)由题意当a >0时，求导，令f′(x)=0，根据函数的单调性与导数的关系，分类讨论，求得f(x)的最小值，求得a 的取值范围．20.答案：解：(Ⅰ)a 3=2b 32b 2=2b 3−b 2=8， 又由a 1=2得8=2q 2，∴q 2=4，解得q =2或q =−2，因为a 1a 2a 3…a n =2b n >0(n ∈N ∗)，故舍去q =−2，所以a n =2n ， 则a 1a 2a 3…a n =21+2+3+⋯+n =2n(n+1)2，所以b n =n(n+1)2．(Ⅱ)由(Ⅰ)知c n =n+1n=1+1n ，假设存在正整数m ，n(m ≠n)，使c 2，c m ，c n 成等差数列， 则2c m =c 2+c n ，即2(1+1m )=32+1+1n ， 所以2m =12+1n ，故n =2m4−m ， 由 n >0，得0<m <4，因为m ，n 为正整数，所以{m =2n =2(舍)或{m =3n =6， 所以存在正整数m =3，n =6，使c 2，c m ，c n 成等差数列．解析：(Ⅰ)a 3=2b 32b 2=2b 3−b 2=8，又由a 1=2得公比满足8=2q 2，解得q 再利用指数运算性质、等差数列的求和公式即可得出． (Ⅱ)由(Ⅰ)知c n =n+1n =1+1n ，假设存在正整数m ，n(m ≠n)，使c 2，c m ，c n 成等差数列，则2c m =c 2+c n ，即2(1+1m )=32+1+1n ，可得：n =2m4−m ，由 n >0，得0<m <4，即可得出． 本题考查了数列递推关系、指数运算性质、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)C =AB =[10−11][1203]=[12−11]． (2)设直线l 1：x +y =0上任意一点(x,y)在矩阵C 对应的变换作用下得到点(x′,y′)，则[x′y′]=[12−11][x y]， 其坐标变换公式为{x′=x +2y,y′=−x +y.由此得{x =x′−2y′3,y =x′+y′3,代入x +y =0得2x′−y′3=0，即2x′−y′=0，所以直线l 2的方程为2x −y =0．解析：本题考查了逆变换与逆矩阵，属于基础题.根据矩阵变换的知识进行求解即可；22.答案：解：(Ⅰ)由ρ=2,0⩽θ<π2，得圆心为原点，半径为2的14圆，由ρ=√3sin (θ−π6),，得√32ρsinθ−12ρcosθ=√3，又ρcosθ=x,ρsinθ=y ， 所以得x −√3y +2√3=0， 又，所以x ≤0，y ≥0，曲线C 与极轴所在直线围成的图形是一个半径为2的14圆及一个两直角边分别为2与2√3的直角三角形，所以S =π+2√3．(Ⅱ)曲线C 与曲线ρsinθ=1交于A ，B ， 所以{ρ=2ρsinθ=1，得到A(2,π6)转换为直角坐标为A(√3,1).极坐标方程ρsinθ=1转换为直角坐标方程为y =1，极坐标方程ρ=√3sin(θ−π6)转换为直角坐标方程为x −√3y +2√3=0，所以B(−√3,1)， 所以|AB|=2√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用极径的应用和两点间的距离公式的应用求出结果．23.答案：证：因为a ，b ，c 为正实数，所以由基本不等式，得c 2a +a ≥2c ，a 2b +b ≥2a ，b 2c +c ≥2b ，当且仅当a =b =c =1时取等号三式相加，得：c 2a +a 2b +b 2c≥a +b +c ．又a +b +c =3，所以c 2a+a 2b+b 2c≥3．解析：由基本不等式，得c 2a +a ≥2c ，a 2b+b ≥2a ，b 2c+c ≥2b ，相加即可证明．本题考查了不等式的证明，关键是掌握基本不等式成立的条件，一正二定三相等，属于中档题24.答案：解：(1)设甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A ，B ，∵甲队第5，6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25， ∴P(A)=(1−35)×35=625，P(B)=(1−35)2×25=8125， ∴甲队以4:2，4:3获胜的概率分别为625和8125． (2)随机变量X 的可能取值为5，6，7，P(X =5)=35，P(X =6)=(1−35)×35=625，P(X =7)=(1−35)2×25+(1−35)2×(1−25)=425， ∴随机变量X 的分布列为：E(X)=5×35+6×625+7×425=13925．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．(1)甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A ，B ，甲队第5，6场获胜的概率均为35，第7场获胜的概率为25，由此能求出甲对以4:2，4:3获胜的概率．(2)随机变量X 的可能取值为5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．25.答案：(1)解：kC n−k k =k ⋅(n−k)!k!⋅(n−2k)!=(n −k)⋅(n−k−1)!(k−1)!(n−2k)!=(n −k)C n−k−1k−1 所以kC n−k k =(n −k)C n−k−1k−1，即λ=n −k ； (2)解：∑(−1)n C 2021−n n 2021−n 1010n=0 =12021C 20210−12020C 20201−12019C 20192−12018C 20183+⋯+11011C 10111010 =12021[C 20210−(1+12020)C 20201+(1+22019)C 20192−(1+32018)C 20183+⋯+(1+10101011)C 10111010] =12021[([C 20210−C 20201+C 20192−C 20183+⋯+C 10111010)−12020C 20201−22019C 20192+32018C 20183+⋯+10101011C 10111010] 由(1)知k n−k C n−k k =C n−k−1k−1，则令n =2021，k 依次取1,2,3,...，有： 12020C 20201=C 20190，22019C 20192=C 20181，...，10101011C 10111010=C 10101009 所以原式=12021[(C 20210−C 20201+C 20192−C 20183+⋯+C 10111010)−(C 20190−C 20181+C 20172+⋯+C 10101099)] 构造数列{a n }，a n =C n 0−C n−11+C n−22−C n−33+...，则a n+1=C n+10−C n 1+C n−12−C n−23+...所以a n+1−a n =(C n+10−C n 1+C n−12−C n−23+..)−(C n 0−C n−11+C n−22−C n−33+...)=(C n+10−C n 0)−(C n 1−C n−11)+(C n−12−C n−22)−(C n−23−C n−33)+⋯=−C n−10+C n−21−C n−32+... =−(C n−10−C n−21+C n−32−...)=−a n−1所以a n+1=a n −a n−1，即a n+2=a n+1−a n =(a n −a n−1)−a n =−a n−1，所以a n+6=−a n+3=a n ，所以{a n }是周期为6的数列．又因为a 1=C 10=1，a 2=C 20−C 11=0，a 3=C 30−C 21=−1，a 4=C 40−C 31+C 22=−1，a 5=C 50−C 41+C 32=0，原式=12021(a 2021−a 2019)=12021(a 5−a 3)=12021[0−(−1)]=12021.解析：(1)本题考查了组合与组合数公式.根据组合与组合数公式进行计算即可得出结果．(2)本题考查了组合与组合数，以及组合与组合数的求和的综合应用，二项式定理，计算难度比较大，属于难题.根据求和公式计算规则和组合与组合数的计算规则可得出结果．。
2020年高考江苏(专用)全真模拟 数学试题(附答案与全解全析)
2020年高考江苏（专用）全真模拟试题数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．定义一种集合运算(){|AB x x A B =∈⋃，且()}x A B ∉⋂}，设{}|22M x x =-<<，{}|13N x x =<<，则MN 所表示的集合是________.2．已知复数z 满足(1)13i z i +=+，则z =________.3．已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=________ 4．函数()f x =的定义域为_______. 5．已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.6．如图，在ABC V 中，若AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，线段AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u v v v，则m n +=_____．7．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.8．设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为______．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，若其外接球的表面积为16π，则异面直线1BD 与1CC 所成的角的余弦值为__________．10．曲线()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距是_______. 11．定义在R 上的奇函数()f x ，若()1f x +为偶函数，且()12f -=，则()()1213f f +的值等于______.12．根据如图所示算法流程图，则输出S 的值是__．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，圆222:O x y a +=与双曲线的渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的离心率为______. 14．已知偶函数满足，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos sin 0b A a B -=. （1）求角A 的大小； （2）已知b =ABC ∆的面积为1，求边a .16．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =，F 是PB 中点，点E在BC 边上．()f x []2(2)(),1,0()f x f x x f x x -=∈-=且当时，[]13-，()()()log 2a g x f x x =-+a（1）求三棱锥E PAD -的体积； （2）求证：AF PE ⊥；（3）若//EF 平面PAC ，试确定E 点的位置．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：PFM PFB ∠=∠.18．已知函数()2ln 1f x x x kx =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()210f x f x <<. 19．已知数列{}n a 中，11a =, 且()21232,1n n n na a n n n N n -*-=+≥∈-g . （1）求23,a a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）令()13n n nb n N a -*=∈, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 试比较2nS 与n 的大小；（3）令()11n n a c n N n *+=∈+, 数列()221n n c c ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T , 求证: 对任意n N *∈, 都有2n T <. 20．如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA km =，OB =，AOB 90∠=o 。
2020年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析
2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。
2020年江苏省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案
所以 f x max f 0 1， 又当 x 1时， f x 0 ，当 x 1 时， f x 0 ，
画出函数 f x 的图象，要使函数 f x 的图象与 y a 有两个不同的交点，则 0 a 1，
即实数的取值范围为 (0,1) .
22. （ 1）∵
，∴
∴曲线 C 的直角坐标方程为
， ．
∵直线 l 的参数方程为
已知直线 l 的参数方程为
为参数，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建建
立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
．
（ 1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的极坐标方程；
5
（ 2）若直线
与曲线 C 交于点 不同于原点，与直线 l 交于点 B，求
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
2 号， 11 号， 17 号， 18 号，共有
人，其中还学习历史的组合只有 17 号，共 10 人
所以样本中选择学习生物且学习政治的学生共有
人，
其中还学习历史的有
人，
设既学习生物和政治还学习历史的 2 人为 ，其他 3 人为 ，
则从中任选 3 人的基本事件有：
，
，
共 10 种，
7
其中符合题意的基本事件共有 9 种. 由古典概型可得，这 3 人中至少有一人还学习历史的概率为
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知集合 M {( x, y) | x, y为实数 , 且 x2 y 2 2} , N {( x, y) | x, y 为实数 , 且 x y 2} ,
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。
2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。
13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。
1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。
16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。
证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。
17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。
1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。
若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。
18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。
现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。
2020年江苏省高考数学模拟试卷(2月份)(有解析)
2020年江苏省高考数学模拟试卷(2月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合U ={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，A ={2,4，5，7}，B ={3,4，5，6，8}，则(∁U A)∩B = ______ ．2. 已知b ∈R ，若(2+bi)(1−i)为纯虚数，则|1+bi|=______．3. 设函数f(x)={x 2+3x,x ≥0,f(x +2),x <0,则f(−3)=________． 4. 已知a n =｜2n −11｜，1≤n ≤9，n ∈N ∗.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_________________．5. 函数f(x)=√2+x +√1−x 的定义域为______ ．6. 某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门就把钥匙放在旁边，他第二次才能打开门的概率是____．7. 已知函数y =x 3−x 2−x +5，该函数在区间[0,3]上的最大值是______ ．8. 椭圆y 216+x 29=1的焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上不同于长轴端点的一点，则△PF 1F 2的周长为______ ． 9. 设P 、A 、B 、C 为球面上的四个点，且PA 、PB 、PC 两两垂直，若PA =2、PB =3、PC =4，则这个球的表面积为 ．10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b a +c a =2(cos 2B 2−sin 2C2)，若bc =4，则当△ABC 的周长取最小值时，其外接圆的面积为________．11. 已知函数f(x)={3−x,x <22x −3,x ≥2，若f(f(α))=1，则实数a 的值为______ ．12. 在直角梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，B =60°，AD =√3，E 为CD 的中点．若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则λ=________．13. 挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =a 1(b 1−b 2)+L 2(b 2−b 3)+L 3(b 3−b 4)+⋯+L n−1(b n−1−b n )+L n b n则其中：(I)L 3= ______ ；(Ⅱ)L n = ______ ．14. 已知函数f (x )={x+1x 2,x <−1ln(x +2),x ≥−1g (x )=x 2−2x −4.设b 为实数，若存在实数a ，使得f (a )+g (b )=1成立，则b 的取值范围为_____．二、解答题（本大题共10小题，共132.0分）15. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3sinx,1−√3cosx)，n ⃗ =(1−sinx,cosx)，函数f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +√3．(Ⅰ)求函数f(x)的零点；(Ⅱ)若f(α)=85，且α∈(π2,π)，求cosα的值．16. 如图，在四棱锥P—ABCD 中，AP ⊥CD ，AD//BC ，AB =BC =1，AD =2，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．求证：(1)AP//平面BEF；(2)平面BEF⊥平面PAC．17.某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾(其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上)，并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．(1)求水渠MN长度的最小值；(2)求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值(水渠宽度忽略不计)．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过E(1,32)，且离心率为e=12．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，D点坐标为(4,3)，求直线DA，DB的斜率之和．19.已知函数f(x)=ln x−ax+a(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在(0,1)上的最大值是a −3，求a 的值．20. 数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2n+1a n(n+12)a n +2n (n ∈N +). (1)设b n =2na n ，求数列{b n }的通项公式b n ； (2)设c n =1n(n+1)a n+1，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．21. 已知矩阵M =[1−1−11]，N =[2202]，求MN −1．22. 已知直线l 的参数方程为{x =m −12t y =√32t(其中t 为参数，m 为常数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l 与曲线C 交于点A ，B 两点． (1)若|AB|=√152，求实数m 的值； (2)若m =1，点P 坐标为(1,0)，求1|PA|+1|PB|的值．23. 某工厂在两个车间A ，B 内选取了12个产品，它们的某项指标分布数据的茎叶图如图所示，该项指标不超过19的为合格产品．(1)从选取的产品中在两个车间分别随机抽取2个产品，求两车间都至少抽到一个合格产品的概率；(2)若从车间A ，B 选取的产品中随机抽取2个产品，用X 表示车间B 内产品的个数，求X 的分布列与数学期望．24. 设函数f(x)=(1−mx)ln(1+x)．(Ⅰ)若当0<x <1时，函数f(x)的图像恒在直线y =x 上方，求实数m 的取值范围；)1000.4．(Ⅱ)求证：e>(10011000【答案与解析】1.答案：{3,6，8}解析：解：∵集合U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，A={2,4，5，7}，∴C U A={1,3，6，8，9}，∵B={3,4，5，6，8}，∴(∁U A)∩B={3,6，8}．故答案为{3,6，8}．由集合U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，A={2,4，5，7}，知C U A，再由B，能求出(∁U A)∩B．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．2.答案：√5解析：解：∵(2+bi)(1−i)=(2+b)+(b−2)i为纯虚数，∴{2+b=0b−2≠0，即b=−2．∴|1+bi|=|1−2i|=√5．故答案为：√5．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得b值，则|1+bi|可求．本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：4解析：本题考查函数值的求法，是基础题.直接求解即可．解：f(−3)=f(−1)=f(1)=12+3=4．故答案为4．4.答案：1解析：本题考查循环语句以及赋值语句的应用，属于中档题．解：a n =｜2n −11｜，1≤n ≤9，n ∈N ∗的前9项为9，7，5，3，1，1，3，57，图中伪代码的作用是输出前9个数中的最小值，所以输出1，故答案为1．5.答案：[−2,1]解析：解：要使函数有意义，则{2+x ≥01−x ≥0得{x ≥−2x ≤1， 即−2≤x ≤1，即函数的定义域为[−2,1]，故答案为：[−2,1]根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．6.答案：13解析：试题分析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为24×23=13 考点：相互独立事件的概率乘法公式 7.答案：20解析：解：求导数可得y′=3x 2−2x −1=(x −1)(3x +1)∴函数在[0,1)上，y′<0，函数单调递减，在(1,3]上，y′>0，函数单调递增，∴函数在x =1处取得最小值4，∵x =0时，y =5；x =3时，y =20∴在x =3处取得最大值20，故答案为：20．求导数，确定函数在区间[0,3]上的单调性，从而可得结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，确定函数的单调性是关键．8.答案：8+2√7解析：解：由椭圆y216+x29=1，可得a=4，b=3，c=√a2−b2=√7△PF1F2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2×4+2×√7=8+2√7．故答案为：8+2√7．利用△PF1F2的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c即可得出．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：解析：本题考查球的表面积公式.根据题意：可知三棱锥P−ABC是长方体的一个角，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球，求出长方体的体对角线，即可求出结果．解：如图所示：根据题意：可知三棱锥P−ABC是长方体的一个角，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球，∵PA=2、PB=3、PC=4，∴长方体的对角线为√PA2+PB2+PC2=√22+32+42=√29，即外接球的直径2R=√29，∴R=√292，∴球O的表面积．故答案为．10.答案：2π解析：本题主要考查解三角形的实际应用，属于一般题． 解析：解：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 且，若Bbc =4，则C △ABC min =b +a +a ≥2√bc +a 则其外接圆最小面积为2π 故答案为2π．11.答案：1，或log 25解析：解：∵函数f(x)={3−x,x <22x −3,x ≥2，若f(f(α))=1，则f(α)=2， 则α=1，或α=log 25， 故答案为：1，或log 25由已知中函数f(x)={3−x,x <22x −3,x ≥2，结合f(f(α))=1，分类讨论，可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，方程思想，分类讨论思想，难度中档．12.答案：32解析：本题考查向量的坐标运算，主要考查向量的数量积的坐标表示，考查线段中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值．解：以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 为y 轴，建立直角坐标系， 设CD =2a (a >0)，因为E 为CD 的中点．所以DE =a ，因为B =60°，AD =√3，所以过C 点作CF ⊥AB 于F 则有BF =1,CF =√3， 所以C(2a,√3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,√3)，B (2a +1,0),E(a,√3)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −1,√3); 因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，所以2a (−a −1)+3=−1，所以a =1，所以AB =3,DC =2，因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，所以λ=32； 故答案为32．13.答案：a 1+a 2+a 3；a 1+a 2+a 3+⋯+a n解析：解：根据题意，由于利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式： a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =a 1(b 1−b 2)+L 2(b 2−b 3)+L 3(b 3−b 4)+⋯+L n−1(b n−1−b n )+L n b n ，当n =2时，则a 1b 1+a 2b 2=a 1(b 1−b 2)+L 2b 2， ∴L 2=a 1+a 2，当n =3时，则a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=a 1(b 1−b 2)+L 2(b 2−b 3)+L 3b 3， ∴L 3=a 1+a 2+a 3，而对于该结论加以推广可知，L n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ． 故答案为：a 1+a 2+a 3，a 1+a 2+a 3+⋯+a n ．根据a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =a 1(b 1−b 2)+L 2(b 2−b 3)+L 3(b 3−b 4)+⋯+L n−1(b n−1−b n )+L n b n ，分别取n =2，3求出L 2，L 3，找出规律，从而求出L n ．本题主要是考查了数列的规律性的运用，根据前几项的规律归纳出第n 项的规律，同时考查了推理的能力，属于中档题．14.答案：[−32,72]解析：本题考查了函数解析式，存在性命题成立的条件应用.根据题意，得到g(b)=b 2−2b <3，解得到结果．解：当x <−1时，f(x)=x+1x 2=1x +1x 2=(1x +12)2−14≥−14;当x ≥−1时，，，∵f(a)+g(b)=1，∴1−g(b)=1−b2+2b+4>−14，∴解得−32<b<72．故答案为[−32,72 ]．15.答案：解：(Ⅰ)f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+√3=√3sinx−√3sin2x+cosx−√3cos2x+√3=√3sinx+ cosx=2sin(x+π6)，由f(x)=0，得x+π6=kπ(k∈Z)，所以x=kπ−π6(k∈Z)，所以函数f(x)的零点为x=kπ−π6(k∈Z).(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(α)=2sin(α+π6)=85，且α∈(π2,π)，所以sin(α+π6)=45，所以2π3<α+π6<7π6，则cos(α+π6)=−35，所以cosα=cos[(α+π6)−π6]=cos(α+π6)cosπ6+sin(α+π6)sinπ6=−35×√32+45×12=4−3√310.解析：本题考查了向量的数量积运算以及函数的零点、三角函数的恒等变形求三角函数值，较综合，但是比较典型．(Ⅰ)利用数量积运算得到函数解析式并等价变形，得到最简解析式，求零点；(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(α)，与角度范围得到(α+π6)的正弦和余弦值，利用角的等价变形得到所求．16.答案：证明：(1)设AC与BE的交点为O，因为AE//BC，AE=BC，所以ABCE为平行四边形，所以O为AC的中点，所以OF//PA，OF⊂平面BEF，PA不在平面内，所以AP//平面BEF；(2)BCDE为平行四边形，所以CD//BE，PA⊥CD，所以PA⊥BE，又在平行四边形ABCE中，AB=BC，所以ABCE为菱形，所以AC⊥BE，AC∩PA=A，所以BE⊥平面PAC，BE⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAC．解析：(1)由三角形中位线的性质，得到OF//PA，再由线面平行的判定定理证得AP//平面BEF；(2)证明PA⊥BE，AC⊥BE，再由线面垂直的判定定理证得BE⊥平面PAC，即可证得平面BEF⊥平面PAC．17.答案：解：(1)以圆心O为原点，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2+y2=1，设点，，直线AC的方程为，令x=0，得，直线BC的方程为，令y=0，得，，令，即，则，，令f′(θ)=0，得，当时，f′(θ)<0,则f(θ)单调递减；当时，f′(θ)>0，则f(θ)单调递增；∴当时，f(θ)min=6−4√2，∴MN min=2−√2，∴水渠MN长度的最小值为2−√2百米;(2)由(1)可知，，则，设，，,−√2≤t<−1，∴−√2≤t<−1，∴S△CMN=−t+12∴当t=−√2时，(S△CMN)max=√2−1，2∴区域MNC 面积的最大值为√2−12平方百米．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值，考查了实际问题方面的应用，属于较难题．(1)先以圆心O 为原点，建立平面直角坐标系，然后可设点，，再求出直线AC ，BC 的方程，得到M ，N 点的坐标，即可得到MN 关于θ的式子， 再利用导数研究单调性进而求最值，最后即可得到答案； (2)由(1)可知M ，N 点的坐标，可知，再设，由θ的范围即可求出S △CMN 的最大值．18.答案：解：(1)由已知得1a 2+94b 2=1,c a =12,a 2=b 2+c 2解之得，a =2，b =√3，c =1 所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由(1)得F(1,0)，设直线l 的方程为y =k(x −1)与椭圆联立得{x 24+y 23=1y =kx −k ，消去x 得(32+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 所以x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2−124k 2+3所以k DA +k DB =y 1−3x 1−4+y 2−3x 2−4=kx 1−k−3x 1−4+kx 2−k−3x 2−4=2k +3k−3x1−4+3k−3x 2−4=2k +(3k −3)x 1+x 2−8x1x 2−4(x 1+x 2)+16=2k +3(k−1)(−24k 2−24)36k 2+36=2，当直线l 斜率不存在时，A(1,−32)，B(1,32)，k DA +k DB =2， 所以DA ，DB 的斜率之和为2．解析：(1)由题意可得1a 2+94b 2=1,ca =12,a 2=b 2+c 2，解得即可，(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程组，根据韦达定理和斜率公式化简整理可得k DA +k DB =2． 本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求，转化思想的应用．19.答案：解：(1)f ′(x)=1x −a =1−ax x(x >0)．当a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞)；当a >0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1a )，单调递减区间为(1a ,+∞)． (2)由(1)知，若f(x)在(0,1)上存在最大值，则a >0，且0<1a <1，即a >1． 由(1)知f(x)的最大值为，得，a =e 2>1，符合题意．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及导数法求函数在闭区间上的最值，属于中档题． (1)求导，对a 分类讨论，根据导数的正负，确定函数的单调性；(2)对a 分类讨论，根据函数的单调性，来确定函数的最大值，进而求出a 的值．20.答案：解：(Ⅰ)∵a n+1=2n+1a n(n+12)an +2n，∴an+12n+1=a n (n+12)a n +2n，即2n+1a n+1=2n a n +n +12，∴2n+1a n+1−2n a n=n +12，即b n+1−b n =n +12， ∴b 2−b 1=1+12，b 3−b 2=2+12， …b n −b n−1=n −1+12，累加得b n −b 1=1+2+⋯+(n −1)+n−12=n(n−1)2+n−12=n 2−12，∵b 1=2a 1=22=1，∴b n =n 2−12+1=n 2+12．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知a n =2nb n =2n+1n 2+1，∴a n+1=2n+2(n+1)2+1， ∴c n =1n(n+1)a n+1=12⋅n 2+2n+2n(n+1)⋅2n+1=12[n 2+n n(n+1)⋅2n+1+n+2n(n+1)⋅2n+1]=12[12n+1+1n⋅2n−1(n+1)⋅2n+1]，∴S n =12(122+⋅⋅⋅+12n+1)+12[(11⋅2−12⋅22)+(12⋅22−13⋅23)+⋅⋅⋅+(1n⋅2n −1(n+1)⋅2n+1)] =12⋅122(1−12n )1−12+12[12−1(n+1)⋅2n+1)]=12[1−(12)n+1⋅n+2n+1]．解析：(1)根据条件先求出a n 的表达式，然后求出b n =2na n，即可求数列{b n }的通项公式b n ；(2)求出c n 的表达式，然后利用等比数列的求和公式进行求和．本题主要考查了数列的通项公式和数列和的计算，运算量较大，综合性较强，考查学生的计算能力． 21.答案： 解：设N −1=[a b cd]，则[a b cd ][2202]=[1001]， 所以解得{a =12,b =−12,c =0d =12,即N −1=[12−120−12]，所以MN−1=[1−1−11][12−1212]=[12−1−121]．解析：本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查考生的运算求解能力． 先求出矩阵N 的逆矩阵，再求矩阵的相乘．22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ， 转化为普通方程可得x 2+y 2=2y ， 即x 2+(y −1)2=1．把{x =m −12ty =√32t代入x 2+(y −1)2=1，并整理可得t 2−(m +√3)t +m 2=0①， 由条件可得△=(m +√3)2−4m 2>0， 解之得−√33<m <√3．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=m +√3，t 1t 2=m 2≥0， |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2， =√(m +√3)2−4m 2=√152， 解之得m =√32或√36；(2)当m =1时，①式变为：t 2−(1+√3)t +1=0， 所以：t 1+t 2=1+√3，t 1t 2=1，由点P 的坐标为(1,0)可得1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=1+√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的关系式，根据一元二次方程根和系数的关系和点到直线的距离公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)由茎叶图知，车间A 内合格的产品数为4，车间B 内合格的产品数为2，则所求概率P =(1−C 42C 82)(1−C 22C 42)=5584．(2)由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2． 则P(X =0)=C 82C 122=1433，P(X =1)=C 41C 81C 122=1633，P(X =2)=C 42C 122=111， 所以X 的分布列为：所以E(X)=0×1433+1×1633+2×111=23．解析：本题考查茎叶图的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． (1)利用茎叶图，求出两个车间的产品数，然后求解概率．(2)求出X的所有可能取值为0，1，2.得到分布列，然后求解期望即可．24.答案：解：(1)令F(x)=f(x)−x=(1−mx)ln(1+x)−x，则F′(x)=−mln(1+x)+1−mx1+x −1，x∈(0,1)，令ℎ(x)=−mln(1+x)+1−mx1+x−1ℎ′(x)=−mx+2m+1(1+x)2，①当m≤−12时，由于x∈(0,1)，有ℎ′(x)≥0，于是F′(x)在x∈(0,1)上单调递增，从而F′(x)>F′(0)=0，因此F(x)在x∈(0,1)上单调递增，即F(x)>0；②当m≥0时，由于x∈(0,1)，有ℎ′(x)<0，于是F′(x)在x∈(0,1)上单调递减，从而F′(x)<F′(0)=0，因此F(x)在x∈(0,1)上单调递减，即F(x)<F(0)=0不符；③当−12<m<0时，令x0=min{1,−2m+1m}，当x∈(0,x0]时，ℎ′(x)<0，于是F′(x)在x∈(0,x0]上单调递减，从而F′(x)<F′(0)=0，因此F(x)在x∈(0,x0]上单调递减，即F(x)<F(0)=0而且仅有F(0)=0不符．综上可知，所求实数m的取值范围是(−∞,−12]．证明：(2)对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n，不等式(1+1n)n+25<e恒成立，等价变形(1+25n )ln(1+1n)−1n<0相当于(2)中m=−25，x0=12的情形，F(x)在x∈(0,12]上单调递减，即F(x)<F(0)=0；取x=1n (n≥2)，都有(1+25n)ln(1+1n)−1n<0成立；令n=1000得证．解析：(1)令F(x)=f(x)−x=(1−mx)ln(1+x)−x，求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性，从而确定m的范围即可；(2)问题等价变形(1+25n )ln(1+1n)−1n<0，取x=1n(n≥2)，都有(1+25n)ln(1+1n)−1n<0成立；取n=1000即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．。
2020届江苏省高三高考全真模拟(一)数学试题(含答案解析)
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在 ， ， ， ， 内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在 内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _____________．
2．已知复数 （i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设 ，数列 为数列 的“偏差数列”， 、 且 ，若 ，（ ）对任意的 恒成立，求 的最小值．
21．已知矩阵 ，对应的变换把点 变成点 ．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线 的极坐标方程为 、直线 的极坐标方程为 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的 ， 恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列 ， 满足 ，则称数列 是数列 的“偏差数列”．
（1）若常数列 是数列 的“偏差数列”，试判断数列 是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列 是各项均为正整数的等比数列，且 ，数列 为数列 的“偏差数列”，数列 为递减数列，求数列 的通项公式；
7．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，E为PD的中点，已知 ， ， ，则三棱锥 的体积为_____________．
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{|02}B x x =<„，则A B =I ． 2．（5分）i 是虚数单位，则||1ii+的值为 ． 3．（5分）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为 4．（5分）阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ．5．（5分）某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为 ．6．（5分）在某学校图书馆的书架上随意放着編号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为 ． 7．（5分）已知函数()cos(2)(||)2f x x πϕϕ=+„的一个对称中心是(3π，0)，则ϕ的值为 ． 8．（5分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为 ．9．（5分）设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足f （1）2>-，f （2）3mm=-，则m 的取值范围是 ． 10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60︒的菱形组成的图形中，AB CD =u u u r u u u rg ．11．（5分）等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式21()022d dx a x c +-+…的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．12．（5分）在ABC ∆中，已知边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+，则tan A = ．13．（5分）已知圆22:4O x y +=与曲线:3||C y x t =-，曲线C 上两点(,)A m n ，(B s ，)(p m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值(1)k k >，则s p m n -= ．14．（5分）函数2()()()()4x x t x t f x x x t ⎧-⎪=⎨>⎪⎩„其中0t >，若函数()[()1]g x f f x =-有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．15．（14分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB DC ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC SD ==，M ，N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且2SE EB =．（1）证明：//MN 平面ABCD ； （2）证明：DE ⊥平面SBC ．16．（14分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若3a =，22b =，求sin(2)B A +的值．17．（14分）某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40AB =，16BC =，O 为AB 上一点，且8BO =，线段OC 、OD 、MN 为表演队列所在位置(M ，N 分别在线段OD 、OC 上），点P 为领队位置，且P 到BC 、CD 的距离均为12，记OM d =，我们知道当OMN ∆面积最小时观赏效果最好． （1）当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>．（13，且点3在椭圆上， ①求椭圆的方程； ②设3(1,)P -，R 、S 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，求直线MN 的方程．（2）设(,0)D b ，过D 点的直线l 与椭圆C 交于E 、F 两点，且E 、F 均在y 轴的右侧，2DF ED =u u u r u u u r，求椭圆离心率的取值范围．19．（16分）已知函数()xe f x ax alnx x =-+，其中0a >．（1）若函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数1()()()g x f x a lnx x=++有三个极值点1x ，2x ，3x ，求证：1231112x x x ++>．20．（16分）已知数列{}n a 的通项公式2(1)n n n a =--，*n N ∈．设1n a ，2n a ，⋯，t n a （其中12t n n n <<⋯<，*)t N ∈成等差数列． （1）若3t =．①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值； （2）求t 的最大值．。
2020年江苏高考数学真题(解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.【答案】{}0,2 【解析】 【分析】 根据集合交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B = ∴{}0,2A B =I 故答案为：{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数()()12z i i =+- ∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3. 故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4 ∴4235620a a ++-++=，即2a =. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】 【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==.故答案为：19. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3- 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值. 【详解】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【解析】 【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215x y a -=，故b =.由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】 【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____.【答案】13【解析】 【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ())(1sin 2)42παααα+==+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】2π【解析】 【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为262⨯圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=- 【解析】 【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】 【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y-+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 故答案为：45. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】 【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>． 14.在平面直角坐标系xOy中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】 【分析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PA PB PC AB =∴⊥Q设圆心C 到直线AB 距离为d，则||1AB PC ==所以11)2PAB S d ≤⋅+=V 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去） 当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS 取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB . 【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB . 由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB Ì平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB Ì平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）sin C ；（2）2tan 11DAC ∠=. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值.【详解】（1）由余弦定理得2222cos 92235b a c ac B =+-=+-⨯=，所以b =由正弦定理得sin sin sin sin c b c B C C B b =⇒==.（2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠==.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos C == 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3455⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos DAC ∠==所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低? 【答案】（1）120米（2）20O E '=米 【解析】 【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ''=-⨯+⨯∴= ||||||8040120AB O A O B ''∴=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O '=⨯=，设||O E x '=， 32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x '∴=+-∴=-=∴=(0舍去)当020x <<时，()0f x '<；当2040x <<时，()0f x '>，因此当20x =时，()f x 取最小值，答：当20O E '=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标． 【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥，求出31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF +=. ∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ≠.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ⊥ ∴31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x = ∴()4,Q Q y∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d . ∵31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F - ∴直线1AF 的方程为()314y x =+ ∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅ ∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键. 19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[], D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k ∈；（3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式. （2）先由()()0h x g x -≥，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -≥，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围.（3）先由()()f x h x ≥，求得t 的取值范围，由方程()()0g x h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =. 又()1x F x k x-'=⋅. 若k 0<，则()F x 在()0,1上递增，在()1,+?上递减，则()()10F x F ≤=，即()()0h x g x -≤，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意. 当0k >时， ()F x 在()0,1上递减，在()1,+?上递增，则()()10F x F ≥=，即()()0h x g x -≥，符合题意. 综上所述，0k ≥.由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2110x k x k =-+++≥当102k x +=<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在()0,+?为增函数，因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x ∈+∞，使()()0f x h x -<，不符合题意.当102k x +==，即1k =-时，()()20f x h x x -=≥，符合题意. 当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k ∆=+-+≤，解得13k -<≤. 综上所述，k 的取值范围是[]0,3k ∈.（3）因为()423422243248x x t t x t t x -≥--+≥-对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，()423422432x x t t x t t -≥--+对任意[,][x m n ∈⊂恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立.故222320x tx t ++-≥对任意[,][x m n ∈⊂恒成立 令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t ∆=-+>-<-<，此时1n m t -≤<<，当212t ≤≤，2880t ∆=-+≤，但()234248432x t t x t t -≥--+对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.等价于()()()2322443420x t t x t t --++-≤对任意的[,][x m n ∈⊂恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-⋅=，所以12=n m x x --==令[]2,1,2t λλ=∈，则n m -=构造函数()[]()325381,2P λλλλλ=-++∈，()()()23103331P λλλλλ'=-+=--，所以[]1,2λ∈时，()0P λ'<，()P λ递减，()()max 17P P λ==.所以()max n m -=n m -≤【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111kk kn n n SS a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1（2）21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩（3）01λ<< 【解析】 【分析】（1）根据定义得+11n n n S S a λ+-=，再根据和项与通项关系化简得11n n a a λ++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+1)3n n n n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ； （3）根据定义得111333+11n n n SS a λ+-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a λλλ++++-=∴==∴≡∴=/Q （2）11221100n n n n na S S S S ++>∴>∴->Q111222+1+1)n nn n S S S S -=-Q 1111112222222+1+1+11()()()3n n n n n n S S S S S S ∴-=-+1111111222222+1+1+1+11()=2=443n n nn n n n n n n S S S S S S S S S -∴-=+∴∴∴= 111S a ==，14n n S -=1224434,2n n n n a n ---∴=-=⋅≥21,134,2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列.111113333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S λλ+-=∴-=- 1133+1n n S S ∴=或11221123333333+1+1+1()()n n n n n n S S S S S S λ-=+++1n n S S ∴=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0n n n n SS S S λλλ-+-++=∵对于给定的λ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列，且0n a ≥1,10,2n n a n =⎧∴=⎨≥⎩或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S λλλλ-+-++=≠有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S λλλλ-+-++=≠可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01n n nnS S S S λλλλ-++-+=≠，不妨设()1310n n S x x S +⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则()3233(1)(2)(1)01x x λλλλ-+++-=≠有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x λλλλ=-+++-=≠.① 当1λ<时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即01λ<<，此时()3010f λ=-<，33(2)02(1)x λλ+=->-对，满足题意.② 当1λ>时，32323(2)4(1)004λλλ∆=+-->⇒<<，即1λ<<()3010f λ=->，33(2)02(1)x λλ+=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，01λ<<【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -． （1）求实数a ，b 的值； （2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】（1）22a b =⎧⎨=⎩；（2）121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值； （2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11 a M b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点()3,4B -∴ 1 2 31 14a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴21324a b -=⎧⎨--=-⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩（2）设1m n Mc d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦∴21202021m c n d m c n d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得25151525m n c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩∴121 5512 55M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π【解析】 【分析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =，又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=. （2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=， 当4πθ=时ρ= 当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CDBD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．【答案】（1（2【解析】【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果. 详解】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥Q以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE ∴=-=∴<>==-uu u r uuu r uu u r uuu r从而直线AB 与DE所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩ 令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=-u r设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =u u r 11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩ 令111272,5(2,7,5)y x z n =-∴==∴=-u ur12cos ,n n ∴<>==u r u u r 因此sin θ== 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题. 25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1·q 1和p 2·q 2； （2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示) ．【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）()111222+33n n n n p q p q --+=+ 【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯ （2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+--⨯=-⨯⨯⨯， 因此112122+333n n n n p q p q --+=+， 从而11111212(2+),21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+∴+-=-， 即1111121(2+1),2133n n n n n n p q p q p q -+-=-∴+=+. 又n X 的分布列为故1()213n n n nE X p q =+=+. 【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.。
【精品高考数学】2020年2月普通高考数学(江苏卷)全真模拟卷(1)+答案
2020年2月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =I __________.2．已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()f x 在点(1, (1))f 处的切线在y 轴上的截距为________. 3．某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有______个网箱产量不低于50 kg ．4．从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________．5．函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________.6．已知复数z 满足()()13z i i i ++=-，则z =________.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，若32154,243S a a T =+=，则a 1的值为_________.8．已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为2C 的标准方程是 .9．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点．沿图中虚线折起，使B ，C ，D 三点重合，则围成的几何体的体积为_____.10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______.11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2,1AB BC CD ===，M 是线段BC 上的动点，若3BD AM ⋅=-u u u r u u u u r ，则BA BC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是______.12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =()()1π-=x f x 在区间[],3ππ-上所有的实数解之和为_____．13．设0,,0,22a ππβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且sin 1cos2cos 2sin2cos βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭______． 14．已知函数()[](]2,0,1,1,3x x x f x e x -⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，若存在实数12x x ，满足1203x x ≤≤＜，且12()()f x f x =，则212x x ﹣的取值范围为_____． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+.（1）求()sin A C -的大小；（2）若ABC ∆的面积为ABC ∆的周长.16．如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB BC CA ===1AD CD ==，11AAC C ABCD ⊥平面平面.（1）求证：1BD AA ⊥（2）若E 为线段BC 的中点，求证：111//A E DCC D 平面.17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左右焦点坐标为())12,F F ，且椭圆E 经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点M 是椭圆E 上位于第一象限内的动点，,A B 分别为椭圆E 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求四边形ABCD 的面积．18．某小区内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，120PAB QBA ∠=∠=o ，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设,(0,)3OAB παα∠=∈.（1）求AB 的长（用α表示）；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？19．已知函数()()212ln 22f x a x x x x =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．20. 已知正项数列}{n a 中，61=a ，点),(1+n n n a a A 在抛物线12+=x y 上．数列}{n b 中，点),(n n b n B 在经过点)1,0(，以)2,1(=为方向向量的直线l 上．（∥）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（∥）若⎩⎨⎧=为偶数），（为奇数），（n b n a n f n n )(，问是否存在*∈N k ，使得)(4)27(k f k f =+成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（∥）对任意的正整数n ，不等式02)11()11)(11(211≤+--++++n nnn a n a b b b a K 成立，求正数a 的取值范围．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知x ，y ∈R ，矩阵21x y ⎡⎤=⎢⎥⎦⎣A 的两个特征向量110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α． （1）求矩阵A 的逆矩阵1-A ；（2）若12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，求10A β． B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，圆C的参数方程为：12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若直线l ：cos tsin x t y ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数）被圆C截得的弦长为l 的倾斜角.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知()|2|f x x =-.（1）解不等式()1(2)f x f x +>；（2）若()1f m ≤，(2)2f n ≤，求21m n --的最大值，并求此时实数,m n 的取值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知n 为给定的正整数，设201223nn n x a a x a x a x ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭L ，x ∈R . （1）若4n =，求01,a a 的值；（2）若13x =，求0()n k k k n k a x =-∑的值. 23．某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N 人，若逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这个k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验，这时k 个人的检验次数为1k +次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p . （∥）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若0.1p =，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（∥）设ξ为k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.∥当5k =，0.1p =时，求ξ的分布列；∥是运用统计概率的相关知识，求当k 和p 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.2020年2月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2023年高考数学全真模拟试卷01(新高考专用)(解析版)
2023年高考数学全真模拟试卷01（新高考专用）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（2022秋·天津南开·高三南开翔宇学校校考期末）设全集为{}270U x N x x =∈-<，{}2,3,5UA =，{}2,5,6B =，则()UAB =（ ）A ．{}1,4B ．{}2,5C ．{}6D ．{}1,3,4,6 【答案】A【分析】把{}270U x N x x =∈-<化简，分别求出集合A ，UB ，然后求解()U A B ∩.【解析】{}{}{}270071,2,3,4,5,6U x N x x U x N x =∈-<∴=∈<<=又{}{}2,3,51,4,6U A A =∴=，又{}{}2,5,61,3,4U B B =∴=(){}1,4UAB ∴=，故选：A2．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）复数()()231i 1i --在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据复数的四则运算法则化简后，即可确定复数()()231i 1i --在复平面内对应的点的坐标，进而判断其所在象限.【解析】()()()()()232221i 1i 1i i 12i i 2i 1i 2i 2i 2i 2----==-⋅=+=+---，则复数()()231i 1i --在复平面内对应的点的坐标为()2,2-，位于第四象限，故选：D.3．（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知向量a ，b 满足1a =，2b =，且3a b +=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．2π3C ．5π6 D ．π3【答案】B【分析】先求得数量积1a b ⋅=-，再利用向量夹角公式即可求得a 与b 的夹角. 【解析】因为3a b +=，所以()22222523a b a ba b a b a b +=+=++⋅=+⋅=,则1a b ⋅=-.则11cos ,122a b a b a b⋅-===-⨯⋅. 又因为[],0,π∈a b ，所以2,π3a b =,即a 与b 的夹角为2π3.故选：B. 4．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数()32sin22xx x f x +=的部分图像大致为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，即可得解． 【解析】∵()32sin22xx xf x += ，x ∈R ， 33||||()2sin(2)2sin 2()()22x x x x x xf x f x --+-+-==-=- ，则()f x 是奇函数，其图像关于原点对称，排除选项B 、D ； 对12sin 2(1)02f +=> 故可排除选项C ．故选：A ． 5．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知等差数列{}n a 前9项的和为1027,8a =，则90a =（ ） A ．87 B ．89C ．88D ．90【答案】C【分析】根据已知条件求得公差d ，从而求得正确答案. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为()199195927,22a a S aa a +⨯==+=，所以53a =．又因为108a =，所以1051105a a d -==-． 故()90109010188a a =+-⨯=．故选：C6．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若22sin 291cos 2αα+=-，则cos sin cos sin αααα+=-（ ）A ．3-B ．3C ．97D ．97-【答案】B【分析】由题知sin 0,cos 0αα<<，进而结合二倍角公式整理得sin cos 3sin ααα+=，即2sin cos αα=，再代入求解即可.【解析】因为3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 0,cos 0αα<<，()()()()222221sin 2212sin cos sin cos 22sin 291cos 22sin sin 112sin αααααααααα++++====---，所以sin cos 3sin ααα+=，即2sin cos αα=所以cos sin 2sin sin 3cos sin 2sin sin αααααααα++==--.故选：B 7．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）设120231e 2023a =，2024ln2023b =，sin(0.2023)c =︒，则（ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】D【分析】构造函数()()()e ln 1,0,1xf x x x x =-+∈，利用导数确定函数的单调性可得()12023111e ln 100202320232023f f ⎛⎫⎛⎫=-+>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断,a b 大小关系；估计实数12023与0.2023π0.2023180︒=的大小关系及大致倍数关系，构造函数()1e sin 6,0,1000xh x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，利用导数确定单调性可得()12023111e sin 600202320232023h h ⎛⎫⎛⎫=-⨯<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而结合正弦函数的单调性可比较,a c 大小，即可得结论．【解析】设()()()e ln 1,0,1x f x x x x =-+∈，则()()11e 1xf x x x =+-+'， 设()()()11e 1x g x f x x x==+-+'，则()()()212e 01x g x x x =++>+'恒成立， 所以()f x '在()0,1上单调递增，所以()()00f x f ''>=恒成立，则()f x 在()0,1上单调递增，故()12023111e ln 100202320232023f f ⎛⎫⎛⎫=-+>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12023112024e ln 1ln 202320232023⎛⎫>+= ⎪⎝⎭，所以a b >； 因为10.000494322023≈，0.2023π0.20230.0035308160.00049432180︒=≈>⨯， 则10.202362023︒>⨯，设()1e sin 6,0,1000x h x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()()1e 6cos6xh x x x '=+-，又设()()()1e 6cos6xm x h x x x ==-'+，故()()2e 12sin60xm x x x =++>'恒成立，所以()h x '在10,1000x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()110001111e 6cos 0100010001000h x h ⎛⎫⎛⎫<=+-< ⎪ ⎪⎝'⎭⎝⎭'恒成立，则()h x 在10,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()12023111e sin 600202320232023h h ⎛⎫⎛⎫=-⨯<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1202311e sin 620232023⎛⎫<⨯ ⎪⎝⎭ 又()1sin 6sin 0.20232023⎛⎫⨯<︒ ⎪⎝⎭，则()120231e sin 0.20232023<︒，即c a >； 综上，c a b >>.故选：D ．8．（2022·全国·统考高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A ．13B ．12C D 【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r又设四棱锥的高为h ，则22r h 1+=，2123O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h 时等号成立.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r则r =，所以该四棱锥的高h =13V a = (当且仅当22142a a =-，即243a =时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高h ==.故选：C ．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a ，底面所在圆的半径为r则r =，所以该四棱锥的高h =13V a =令2(02)a t t =<<，V ()322t t f t =-，则()2322t f t t -'=， 403t <<，()0f t '>，单调递增， 423t <<，()0f t '<，单调递减，所以当43t =时，V最大，此时h =．故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一,利用导数求最值,是最值问题的常用解法,操作简便,是通性通法．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．图中0.028a =B ．在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C ．估计短视频观众的平均年龄为32岁D ．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁 【答案】CD【分析】根据频率和为1可构造方程求得a ，知A 错误；由频率和频数的关系可求得观众年龄在10~20岁的人数，知B 正确；由平均数和百分位数的估计方法可验证知CD 正确. 【解析】对于A ，()0.0150.0330.0110.011101a ++++⨯=，0.03a ∴=，A 错误；对于B ，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在10~20岁的人对应频率为0.15，∴短视频观众年龄在10~20岁的有40000.15600⨯=人，B 错误；对于C ，平均年龄()0.015150.033250.03350.011450.011551032x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，C 正确；对于D ，设75%分位数为x ，则()0.015100.03310300.030.75x ⨯+⨯+-⨯=， 解得：39x =，D 正确.故选：CD.10．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，给出下列判断正确的是（ ）A ．直线1B D ⊥平面1ACD ； B ．1A P ∥平面1ACD ；C ．异面直线1A P 与1AD 所成角的范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦；D ．三棱锥1D APC -的体积不变 【答案】ABD【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理证明判断； 对于B ，利用线面平行和面面平行的判定定理证明判断；对于C ，分P 与线段1BC 的B 端和1C 端以及线段1BC 的中点重合判断；对于D ，由11D APC P ACD V V --=，结合1BC ∥平面1AD C 判断. 【解析】对于A ，如图所示：连接BD ，根据正方体的性质，∵1BB ⊥平面ABCD ，且AC ⊂面ABCD ，∴1BB AC ⊥，又∵BD AC ⊥，且1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥面1BB D ， ∴1AC B D ⊥，连接1A D ，根据正方体的性质，∵11A B ⊥平面11A D DA ，且1AD ⊂面11A D DA ，∴111A B AD ⊥； 又∵11AD A D ⊥，且1111A B A D A =，∴1AD ⊥面11A B D ， ∴11AD B D ⊥，且1ACAD A =，∴直线1B D ⊥平面1ACD ，故A 正确 对于B ，如图所示：连接111,A B A C ，在正方体中，∵AC ∥11A C ， 且AC ⊂平面1ACD ，11AC ⊂/平面1ACD ，∴11A C ∥平面1ACD ，同理可证1BC ∥平面1ACD ， 又∵11A C 、1BC ⊂平面11BA C ，且1111=AC BC C ，∴平面11//BA C 平面1ACD ，又∵1A P ⊂平面11BA C ，∴1//A P 平面1ACD ，故B 正确；对于C ，当P 与线段1BC 的B 端重合时，异面直线1A P 与1AD 所成角为11A BC ∠，∵11A BC 为等边三角形，∴11π3BC A =∠； 当P 与线段1BC 的1C 端重合时，异面直线1A P 与1AD 所成角为11AC B ∠，∵11A BC 为等边三角形，∴11π3AC B ∠=； ∴当P 与线段1BC 的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取最大值，∴11A PC ∠为异面直线1A P 与1AD 所成角，又∵111A B AC =， 且P 为线段1BC 的中点，∴11π2A PC ∠=，故1A P 与1AD 所成角的范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对于D ，11D APC P ACD V V --=，∵1BC ∥1AD ， 且1BC ⊂/平面1AD C ，1AD ⊂平面1AD C ，∴1BC ∥平面1AD C ，∴点P 到平面1ACD 的距离不变，且1ACD △的面积不变， 所以三棱锥1P ACD -的体积不变，故D 正确；故选：ABD.11．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知函数21e 1()e x x f x +-=，()f x '为()f x 的导函数，则（ ）A ．方程()f x x =只有一个实根B ．()f x '的最小值为2eC ．函数()()()f x G x f x '=的值域为(1,1)- D ．函数()()()F x f x f x '=⋅为偶函数【答案】BC【分析】由零点存在定理可知方程()f x x =不止一个实根；利用()f x ''的正负，求出()f x '的单调性，进而求得()f x '的最小值；利用分离常数法，求得2()1e 21x G x =+-，根据指数函数及不等式的性质即可求出函数的值域；2222()e e x x F x ---=-，而()()F x F x -=-不符合偶函数的定义.【解析】对于A ，方程()f x x =，即2111e 1e e 0ex x x x x x ---+---==-，显然0x =是方程的一个根，令()11ee x x x g x ---=--，由于()0201e e 1g --=-<，()1302e e 2g --=->，根据零点存在定理可知，函数()g x 在()1,2上有一个零点， 因此方程()f x x =不只有一个实根，A 选项错误；对于B ，2111e 1()e e ex x x x f x ---+-=-=，则()1111()e e e 1e 1+x x x x f x ------'⋅-⋅=-=，()1111()e 11e e e x x x x f x ------'==-'⋅+⋅-，令()0f x ''=，即110e e x x ----=，解得0x =，当0x <时，()0f x ''<，所以()f x '在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x ''>，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，因此()f x '的最小值为112+e(0)e e f --'==，B 选项正确； 对于C ，1122112221122+111()e e e e ()1()e e e e e x x x x x x x x x f x G x f x --------+-'====+-++=， 22222122011010220e 11e e e e 1x x x x x >⇒+>⇒<<⇒<<⇒-<-<+++， 则2111e 21x -<-<+，所以函数()G x 的值域为(1,1)-，C 选项正确； 对于D ，()()11112222()()()e e e e ee +x x x x x x F xf x f x ---------'-==-⋅= 而()22222222()ee e e ()x x x x F x F x ------=-==----，所以函数()()()F x f x f x '=⋅不是偶函数，D 选项错误；故选：BC.12．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知抛物线23y x =上的两点()00,A x y ，()()000,0B x y x -≠及抛物线上的动点(),P x y ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，坐标轴原点记为O ，下列结论正确的是（ ）A ．抛物线的准线方程为32x =-B ．三角形AOB为正三角形时，它的面积为C ．当0y 为定值时，1211k k -为定值D ．过三点()000,A y ，()000,B y -，()()000,00C x x ≠的圆的周长大于3π 【答案】BCD【分析】由抛物线方程判断A ，根据正三角形求出直线OA 斜率，联立抛物线求点A 坐标即可判断B ，直接计算1211k k -结合,A P 在抛物线方程上化简可判断C ，根据题意及圆的性质求出半径，结合点A 在抛物线上可得出半径范围，即可判断D.【解析】对A ，由抛物线23y x =知准线方程为34x =-，故A 错误；对B ，当三角形AOB 为正三角形时，不妨设A 在第一象限，则π6AOx ∠=，直线AO方程为y =，联立23y x =，可得009,x y ==故0||22AB y ==⨯=2||AOB S AB ==△B 正确； 对C ，001200,y y y y k k x x x x -+==--，当0y 为定值时 00000000022000020103((122)2)2)()()()331(x x x x y y x x y x x y x x y y y y k y y y y y k y x x -----===-+-+---=-=为定值，故C 正确；对D ，因为圆过三点()000,A y ，()000,B y -，()()000,00C x x ≠，所以可设圆心为(,0)a ，则0R x a =-=22000()()2y x ax =-，故20003()2x x ax =-，因为00x ≠，所以0230x a =+>，即32a >-，故0332R x a a =-=+>，所以圆的周长32π2π3π2R >⨯=，故D 正确.故选：BCD第Ⅰ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）()8111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为___.（用数字作答）【答案】28-【分析】由二项式展开式的通项公式求解即可 【解析】()81x +的展开式通项为818C rrr T x-+=，所以22867C 28T x x ==，53368C 56T x x ==．故所求2x 的系数为1285628⨯-=-．14．（2023·广西梧州·统考一模）直线:l y x =与圆()()()222:120C x y a a -+-=>交A ，B 两点，若ABC 为等边三角形，则a 的值为______．【分析】结合几何关系和点到直线的距离即可求解.【解析】由条件和几何关系可得圆心C 到直线:l y x =a =． 15．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知()2e e x xmf x -=满足()()0f x f x -+=，且()f x 在()(),n f n 处的切线与21y x =+平行，则m n +=__________．【答案】1【分析】根据()()0f x f x -+=，可得函数()f x 是R 上的奇函数，从而可求得m ，再根据导数的几何意义可得()2f n '=，从而可求得n ，即可得出答案．【解析】函数()2e e x xmf x -=的定义域为R ，因为()()0f x f x -+=，所以函数()f x 是R 上的奇函数，所以()010f m =-=，解得1m =，经检验成立所以()2e 1e x xf x -=，则()()22222e e e 1e e 1e e x x x xx xxf x ⋅--+'==， 因为()f x 在()(),n f n 处的切线与21y x =+平行，所以()2e 12e n nf n +'==，解得0n =，所以1m n +=．16．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，经过原点O 的直线交C 于A ，B 两点．P 是C 上一点（异于点A ，B ），直线BP 交x 轴于点D ．若直线AB ，AP 的斜率之积为49，且BDO BOD ∠=∠，则椭圆C 的离心率为______．【分析】设点的坐标，求斜率，由题知220022222211x y a b m n a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，化简得22AP BP b k k a ⋅=-，结合BDO BOD ∠=∠，知2249AP ABb k k a ⋅==，再利用222c a b =-及离心率公式即可求解. 【解析】设()00,P x y ，(),A m n ，(),B m n --，则直线AP 的斜率为00y n x m --，BP 的斜率为00y nx m++，由题知220022222211x y a b m n a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22220022x m y n a b --=-， 即200200x m y n a y n b x m +-=-⨯+-，即221AP BP a k k b =-⨯，即22AP BP b k k a⋅=-， 又BDO BOD ∠=∠，则AB BP k k =-，即22AP ABb k k a⋅=， 即2249b a =，则2249b a =，所以2222224599c a b a a a =-=-=，即2259c a =，则椭圆C的离心率为c a =四、解答题：本小题共6小题，共70分。
2020年苏锡常镇四市高考数学二模试卷含答案解析
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁U B）=．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为．6．函数f（x）=的定义域为．7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于．8．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣9，S m=0，﹣1其中m＞3，且m∈N*，则a n=．13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a ﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1，其中常数λ＞0．设b n=（n∈N*）﹒（1）若λ=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设c n=a n+（n∈N*），证明数列{c n}是等比数列；（3）若对任意的正整数n，都有b n≤3，求实数λ的取值范围．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．26．设实数a1，a2，…，a n满足a1+a2+…+a n=0，且|a1|+|a2|+…+|a n|≤1（n∈N*且n≥2），令b n=（n∈N*）．求证：|b1+b2+…+b n|≤（n∈N*）．2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁U B）={1，2，5} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出B的补集，再求出其与A的并集，从而得到答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，又B={2，3，4}，∴（C U B）={1，5}，又A={1，2}，∴A∪（C U B）={1，2，5}．故答案为：{1，2，5}．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1故答案为：﹣13．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．【考点】极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160，则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=，故答案为：．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由已知条件利用n次独立重复试验概率计算公式求解．【解答】解：∵同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，∴至少有两枚硬币正面向上的概率为：p==．故答案为：．5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），∴2+4m=1，即4m=﹣1，m=﹣，则双曲线的标准范围为x2﹣=1，则b=2，即双曲线的虚轴长2b=4，故答案为：4．6．函数f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0联立不等式组求得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：0＜x＜2，且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为：（0，1）∪（1，2）．故答案为：（0，1）∪（1，2）．7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于1．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可解得a的值．【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，x=a满足条件n≤3，执行循环体，x=2a+1，n=2满足条件n≤3，执行循环体，x=2（2a+1）+1=4a+3，n=3满足条件n≤3，执行循环体，x=2（4a+3）+1=8a+7，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为15．所以：8a+7=15，解得：a=1．故答案为：18．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】根据题意，先有诱导公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β），进而结合正切的和角公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=﹣=﹣；故答案为：﹣．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是[0，10] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r=1，求出圆心（﹣1，2）到直线3x+4y ﹣m=0的距离d，由直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，得d≤r，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r==1，圆心（﹣1，2）到直线3x+4y﹣m=0的距离d==，∵直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，∴，解得0≤m≤10，∴实数m的取值范围是[0，10]．故答案为：[0，10]．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据体积比得出a和r的关系，代入面积公式求出面积比即可．【解答】解：圆锥的母线l==r．V1=a3，S1=6a2，V2=，S2=πrl=πr2．∵==，∴a=r．∴==．故答案为：．11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（0，1）∪（3，+∞）．【考点】函数的值．【分析】可判断函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，从而化简f（1）+f（log3）＞0为log3＞﹣1；从而解得．【解答】解：∵函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，∵f（1）+f（log3）＞0，∴f（log3）＞﹣f（1）=f（﹣1），∴log3＞﹣1；∴＞1或3＜a；即a∈（0，1）∪（3，+∞）；故答案为：（0，1）∪（3，+∞）．12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣9，S m=0，﹣1其中m＞3，且m∈N*，则a n=3n﹣12．【考点】等差数列的前n项和．=﹣9，S m=0，其中m＞3，可得：（m﹣1）a1+d=﹣9，【分析】S m﹣1ma1+d=0，化为：d=．由于m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，通过分类讨论验证即可得出．=﹣9，S m=0，其中m＞3，【解答】解：∵S m﹣1∴（m﹣1）a1+d=﹣9，ma1+d=0，可得：d=．∵m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，∴d=3，m=7．∴a1=﹣9．∴a n=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12．故答案为：3n﹣12．13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是（﹣1，5）．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，等价为（﹣x2﹣）min＜﹣a＜（﹣x2+）max，分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：当x∈[1，2]时，f（x）=|x3﹣ax|，由f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，设g（x）=﹣x2﹣，导数为g′（x）=﹣2x+，当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，即g（x）递减，可得g（x）min=﹣4﹣1=﹣5，即有﹣a＞﹣5，即a＜5；设h（x）=﹣x2+，导数为g′（x）=﹣2x﹣，当x∈[1，2]时，h′（x）＜0，即h（x）递减，可得h（x）max=﹣1+2=1．即有﹣a＜1，即a＞﹣1．综上可得，a的范围是﹣1＜a＜5．故答案为：（﹣1，5）．14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件可以求出向量的坐标，从而进行向量数量积的坐标运算便可求出的值，这样将这些值代入并整理便可得出c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc）．【解答】解：根据条件，，，，代入并整理得：c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc），即c2+a2+d2+b2﹣m（ac+bd+bc）≥0恒成立，配方得：（a﹣）2+（d﹣）2+（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，有（a﹣）2≥0，（d﹣）2≥0满足，则要：（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，则有：，解得﹣2≤m≤﹣1，所以m最大值为﹣1．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a ﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=4sinAcosC，结合sinA＞0，即可解得cosC的值．（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形面积公式可解得ab=2，结合余弦定理可求a2+b2=4，从而解得a，b的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵m∥n，∴ccosB=（4a﹣b）cosC，…由正弦定理，得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，化简，得sin（B+C）=4sinAcosC﹒…∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）﹒又∵A∈（0，π），∵sinA＞0，∴．…（2）∵C∈（0，π），，∴．∵，∴ab=2﹒①…∵，由余弦定理得，∴a2+b2=4，②…由①②，得a4﹣4a2+4=0，从而a2=2，（舍负），∴，∴．…16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由•=0，•=0，即可证明AP⊥平面A1CD．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1的中点，∵D是AB的中点，∴△ABC1中，OD∥BC1，又∵OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，则：由题意可得各点坐标为：A1（0，a，0），C（b，0，2a），D（0，0，2），P（0，﹣a，），A（0，a，2），可得：=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），所以：由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得：AP⊥A1D，又：A1 C∩A1 D=A1，所以：AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）分段函数由题意知分界点处函数值相等得到a，b（2）总利润为每台的利润乘以销售量，分段函数每段求最大值，最后选择一个最大的为分段函数的最大值．【解答】解：（1）由x=20和x=180时可以解得a，b∴a=90，b=3∴q（x）=（2）设总利润为W（x）则W（x）=①当x∈（0，20]时，W（x）=1260﹣为单调递增，最大值为1200，此时x=20②当x∈[20，180]时，W（x）=90x﹣3x，（W（x））′=90﹣此时x∈[20，80]时，W（x）单调递增．x∈[80，180]时，W（x）单调递减∴在x=80时取得最大为240000综上所述：x=80时，总利润最大为240000元．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得A，B的坐标，可得AB的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题意可得直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l 的方程为：y=kx+1，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得k的值，可得P（﹣a2，b2），从而可得直线PF2的方程，求得Q的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得点A（a，0），B（0，b），直线AB的方程为，即ax+by﹣ab=0﹒由题设，得，化简，得a2+b2=1﹒①，由，即为，即a2=3b2﹒②由①②，解得，可得椭圆C的方程为；（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，由，得（b2+a2k2）x2+2ka2x+a2﹣a2b2=0，（*）则△=（2ka2）2﹣4（b2+a2k2）（a2﹣a2b2）=0，化简，得1﹣b2﹣a2k2=0，所以，由点P在第二象限，可得k=1，把k=1代入方程（*），得x2+2a2x+a4=0，解得x=﹣a2，从而y=b2，所以P（﹣a2，b2）﹒从而直线PF2的方程为：，令x=0，得，所以点﹒从而，，从而=，又a2+b2=1，a2=b2+c2，∴﹒所以点F1在以PQ为直径的圆上﹒19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1，其中常数λ＞0．设b n=（n∈N*）﹒（1）若λ=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设c n=a n+（n∈N*），证明数列{c n}是等比数列；（3）若对任意的正整数n，都有b n≤3，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出；（3）通过对λ分类讨论，利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵，n∈N*，∴当n≥2时，，从而，n≥2，n∈N*﹒又在中，令n=1，可得，满足上式，∴，n∈N*﹒当λ=3时，，n∈N*，从而，即，又b1=1，所以数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列，∴．（2）证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时，=，又，∴{c n}是首项为，公比为λ的等比数列，﹒（3）解：在（2）中，若λ=1，则c n=0也适合，∴当λ≠3时，．从而由（1）和（2）可知：a n=．当λ=3时，，显然不满足条件，故λ≠3．当λ≠3时，．若λ＞3时，，b n＜b n+1，n∈N*，b n∈[1，+∞），不符合，舍去．若0＜λ＜1时，，，b n＞b n+1，n∈N*，且b n＞0．∴只须即可，显然成立．故0＜λ＜1符合条件；若λ=1时，b n=1，满足条件．故λ=1符合条件；若1＜λ＜3时，，，从而b n＜b n+1，n∈N*，∵b1=1＞0．故，要使b n≤3成立，只须即可．于是．综上所述，所求实数λ的范围是．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x，令g （x）=e x﹣2x，求得导数，单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得到b的范围；（2）求得f（x）的解析式，令f（x）=0，可得﹣a=，设h（x）=，求得h（x）的导数和单调区间、极值，结合零点个数只有一个，即可得到a的范围；（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．求得f（x）的导数，化简整理可得=e，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m（t）=lnt﹣，t＞1，求出导数，判断单调性即可判断不存在．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣e x+x2﹣bx的导数为f′（x）=﹣e x+2x﹣b，函数y=f（x）在R上是单调减函数，可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，g′（x）=e x﹣2，当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=ln2处取得极小值，且为最小值2﹣2ln2，即有﹣b≤2﹣2ln2，即b≥2ln2﹣2，则b的取值范围是[2ln2﹣2，+∞）；（2）由b=0，可得f（x）=a•e x+x2，令f（x）=0，即有﹣a=，设h（x）=，h′（x）=，当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）在（0，2）递减；当x＞2或x＜0时，h′（x）＞0，h（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．可得h（x）在x=2处取得极大值，且h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，由题意函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，则﹣a=0或﹣a＞，即为a=0或a＜﹣，即a的取值范围是{0}∪（﹣∞，﹣）；（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．函数f（x）=a•e x+x2﹣bx的导数为f′（x）=ae x+2x﹣b，可得a•e x0+x02﹣bx0=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m）+a•e m+m2﹣bm，化简可得（x0﹣m）（+x0+m﹣b）=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m），由a≠0，x0≠m，可得=e，上式的几何意义为函数y=e x图象上两点的斜率等于中点处的切线的斜率，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设x0＞m＞0，即有lnx0﹣lnm=，即ln=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m（t）=lnt﹣，t＞1，则m′（t）=﹣=＞0，则m（t）在（1，+∞）递增，即有m（t）＞m（1）=0，则方程lnt=无实数解．即有=不成立，则=e不成立．故不存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结AE．证明△BEA∽△ACD，可得，即可证明BA•AC=BE•AD．【解答】证明：连结AE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°．…∴∠BAE=∠ADC．…又∵∠BEA=∠ACD，∴△BEA∽△ACD．…∴，∴BA•AC=BE•AD．…B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设，由题意，得，…∴…解得．…即．…C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．【解答】解：直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程为：（x﹣3）2+y2=9﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得，设该方程两根为t1，t2，则t1•t2=﹣1﹒∴MA•MB=|t1•t2|=1．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【考点】不等式的证明．【分析】利用作差法得出右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2，只需证明恒大于等于零即可．【解答】证明：右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2=2（x﹣1）（x3﹣1）=2（x﹣1）2（x2+x+1）=，所以（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好摸4次停止的概率．（2）由题意，得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．【解答】解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则．…（2）由题意，得X=0，1，2，3，，，，，…∴X 的分布列为X 0 12 3 P…26．设实数a 1，a 2，…，a n 满足a 1+a 2+…+a n =0，且|a 1|+|a 2|+…+|a n |≤1（n ∈N *且n ≥2），令b n =（n ∈N *）．求证：|b 1+b 2+…+b n |≤（n ∈N *）． 【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=2时命题成立，再假设当n=k 时结论成立，去证明当n=k +1时，结论也成立，从而得出命题对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立【解答】证明：（1）当n=2时，a 1=﹣a 2，∴2|a 1|=|a 1|+|a 2|≤1，即， ∴，即当n=2时，结论成立．（2）假设当n=k （k ∈N*且k ≥2）时，结论成立，即当a 1+a 2+…+a k =0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k |≤1时，有．则当n=k +1时，由a 1+a 2+…+a k +a k+1=0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，∵2|a k+1|=|a 1+a 2+…+a k |+|a k+1|≤a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，∴，又∵a 1+a 2+…+a k ﹣1+（a k +a k+1）=0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k ﹣1|+|a k +a k+1|≤|a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，由假设可得， ∴， =， =，即当n=k +1时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立．2020年8月27日。
江苏省2020年高考数学二模试卷(文科)(I)卷
江苏省2020年高考数学二模试卷（文科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二下·聊城期中) 已知复数满足，其中为虚数单位，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·浙江模拟) 已知M＝｛x｜x＞1｝，N＝｛x｜x2－2x－8≤0｝，则＝（）A . ［－4,2）B . （1,4］C . （1，＋∞）D . （4，＋∞）3. （2分）简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是（）①将总体分成均衡的几段，按事先预定的规则在每段中各抽取1个个体；②抽样过程中每个个体被抽取的机会都相等；③将总体分成几层，然后在各层中按比例抽取；④都是不放回抽样．A . ①②B . ②③C . ②④D . ③④4. （2分）(2017·淄博模拟) 若直线y=k（x+2）上存在点（x，y）满足，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2015高一上·福建期末) 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A . 6πB . 5πC . 4πD . 3π6. （2分） (2017高一上·咸阳期末) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面但不垂直D . 异面且垂直7. （2分） (2019高一下·宿州期中) 的内角，，的对边分别为，，，若，则的形状为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等腰三角形8. （2分）设p∶，q∶，则p是q的A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）(2018·湖北模拟) 设 ,其中，则的最小值为（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·襄阳模拟) 已知函数f（x）=mex+x2+nx，{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（）A . （0，4）B . [0，4）C . [0，4]D . （4，+∞）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·南京模拟) 如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是________．12. （1分） (2019高二上·齐齐哈尔期末) 双曲线的焦距为________.13. （1分） (2016高二下·日喀则期末) 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0 ，则称点（x0 ， f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）= x3﹣ x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）=________．14. （1分） (2019高二上·武汉期中) 已知O为坐标原点，椭圆T：的离心率为，一个顶点为，过椭圆上一点P的两条直线PA，PC分别与椭圆交于A，C，设PA，PC的中点分别为D，E，直线PA，PC的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为________．15. （1分） (2016高二下·黔南期末) 设定义在R上的偶函数f（x），满足对任意x∈R都有f（t）=f（2﹣t）且x∈（0，1]时，f（x）= ，a=f（），b=f（），c=f（），用“＜“表示a，b，c的大小关系是________．三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分） (2020高一下·沭阳期中) 在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.（1）求BC的长；（2）求sin C的值.17. （15分） (2018高二上·湖滨月考) 已知数列的前项和为 .（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）令，是否存在m,k，使得为等差数列？18. （15分）(2017·邯郸模拟) 某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．表1：男生身高频数分布表身高（cm）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）频数 2 5 1413 4 2表2：女生身高频数分布表身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）频数 1 7 12 6 3 1（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．19. （15分） (2019高三上·铁岭月考) 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．20. （5分） (2016高三上·烟台期中) 已知函数f（x）=（2﹣a）lnx+ +2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1 ，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．21. （5分）(2018·南充模拟) 已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知，是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值.②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共65分) 16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、21-1、。
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2020年2月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =I __________. 【答案】{1,2}【解析】Q 集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=I ．2．已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()f x 在点(1, (1))f 处的切线在y 轴上的截距为________. 【答案】2-【解析】由2()ln f x x x =+，得1()2f x x x'=+，所以(1)3f '=，又(1)1f =，所以切点为(1,1)，所以切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-，令0x =，得2y =-，所以切线在y 轴上的截距为-2. 3．某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有______个网箱产量不低于50 kg ．【答案】82【解析】由频率分布直方图，可知不低于50kg 的频率为：（0.040+0.070+0.042+0.012）×5＝0.82，所以网箱个数：0.082×100＝82.4．从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________． 【答案】13【解析】列举法：12，21，13，31，23，32，一共6种可能，其中偶数2种，概率为135．函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________.【答案】()(),11,1-∞--U【解析】()2134lg x y x x -=--Q210340x x x ->⎧∴⎨--≠⎩解得1x <且1x ≠-即函数()2134lg x y x x -=--的定义域为()(),11,1-∞--U . 6．已知复数z 满足()()13z i i i ++=-，则z =________.【解析】因为()()13z i i i ++=-，所以()()()()31324131112i i ii z i i i i i i i ----=-=-=-=-++-，所以z ==7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，若32154,243S a a T =+=，则a 1的值为_________. 【答案】1.【解析】由已知，S 3＝123214a a a a a ++=+，则313a a =，所以23q =.又55123453243T a a a a a a ===，所以2313a a q ==，11a =.8．已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为2C 的标准方程是 .【答案】2213y x -=【解析】由已知得2ca =，一条渐近线方程为0bx ay -=，根据焦点到渐近线距离d b ==，则b =C 的标准方程是2213y x -=. 9．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点．沿图中虚线折起，使B ，C ，D 三点重合，则围成的几何体的体积为_____.【答案】13【解析】以,,AE EF AF 为折痕，折叠这个正方形，使点,,B C D 重合于一点p ，得到一个四面体，如图所示．∵在折叠过程中，始终有AB BE ⊥，AD DF ⊥，即AP PE ⊥ ，AP PF ⊥，所以AP EFP ⊥平面．四面体的底面积为：12EFP S PE PF =⋅V ，高为2AP = ∵四面体A EFP -的体积：111112323A EFP V -=⨯⨯⨯⨯=.10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______.【答案】27【解析】s =0,n =1,s =(0+1)×1=1，n =1+1=2，不满足条件n >3，执行循环体； s =(1+2)×2=6，n =1+2=3，不满足条件n >3，执行循环体； s =(6+3)×3=27，n =1+3=4，满足条件n >3，退出循环体， 则输出结果为：2711．在梯形ABCD 中，AB ∵CD ，2,1AB BC CD ===，M 是线段BC 上的动点，若3BD AM ⋅=-u u u r u u u u r，则BA BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是______.【答案】[]1,10【解析】设,[0,1]BM tBC t =∈u u u u r u u u r,则()()()()1114t 23222t BD AM BC CD AB BM BC BA BA tBC BC BA BA tBC BC BA ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅-+=+⋅-+=--⋅+-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v 所以[]821881,1022t BC BA t t u u u v u u u v +⋅==--∈--12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =()()1π-=x f x 在区间[],3ππ-上所有的实数解之和为_____．【答案】4π【解析】由题意，方程()()1π-=x f x 在区间[],3ππ-上所有的零点，转化为函数()y f x =与1()h x x π=-的交点的横坐标，又由定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，()()()2f x f x f x ππ∴+=-+=，所以函数()f x 的周期为2T π=，画出函数(),()f x h x 的图象，如图所示，则函数()f x 的图象关于点(,0)π对称，根据图象可得，函数(),()f x h x 的图象共有4个交点，它们关于点(,0)π对称，所以函数()()()1f x g x x π=-=在区间[],3ππ-所有的实数解之和为224πππ+=.13．设0,,0,22a ππβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且sin 1cos2cos 2sin2cos βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭______． 【答案】1-【解析】2sin 1cos22cos 2sin222sin cos cos cos cos βααβααααα+==++22222122cos sin cos sin sin cos αααααα-==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1222421222cos sin tantan sincostanαααπαααα--⎛⎫===- ⎪⎝⎭++，故tan 42tan παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又0,,0,2424a ππαπβ⎛⎫⎛⎫∈-∈∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=42πα-，故22πβα=-，则3tan 2tan 144ππαβ⎛⎫⎛⎫++==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则. 14．已知函数()[](]2,0,1,1,3x x x f x e x -⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，若存在实数12x x ，满足1203x x ≤≤＜，且12()()f x f x =，则212x x ﹣的取值范围为_____． 【答案】2]1ln ∞-（-，． 【解析】记212m x x =-，∵当1021≤≤≤x x 时，11()f x x =，22()f x x =，所以12x x =，则2m x =-， 故其最大值在20x =时取得，为0，其最小值在21x =时取得，为1-；∵当3121≤≤<x x 时，121()x f x e -=，222()x f x e -=，所以1222x x e e --=，即12x x =，则2m x =-，故其最大值()11max m m <=-，其最小值()33min m m =-…； ∵当31021≤<≤≤x x 时，11()f x x =，222()x f x e -=，所以221x x e -=，所以212x lnx -=，即212x lnx =+，故1122m lnx x =+-， 设()22g x lnx x =+-，[0x ∈，1]，则1()2g x x '=-，令()0g x '=，得12x =， 当1(0,)2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(2x ∈，1)时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以当0x →时，()g x 的值无限趋于-∞； 所以当12x =时，()g x 取极大值也是最大值，即11()2112122max m g ln ln ==+-=->-，所以212x x -最大值为12ln -．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+. （1）求()sin A C -的大小；（2）若ABC ∆的面积为ABC ∆的周长.【解析】（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得： ()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-，∵2221cos 22b c a A bc +-==-，解得120A =︒.又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒， ∵()()sin sin 120301A C -=︒-︒=. （2）由（1）知b c =，120A =︒，∵21sin1202b ︒=bc == 由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即6a =. ∵ABC的周长为6.16．如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB BC CA ===1AD CD ==，11AAC C ABCD ⊥平面平面.（1）求证：1BD AA ⊥（2）若E 为线段BC 的中点，求证：111//A E DCC D 平面.【解析】（1）因为BA BC DA BD ==，，所以BD 是线段AC 的垂直平分线. 所以BD AC ⊥.又11AAC C ABCD ⊥平面平面，11=,AAC C ABCD AC BD ABCD ⋂⊂平面平面平面， 所以11BD AAC C 平面⊥.因为111AA AAC C ⊂平面，所以1BD AA ⊥.（2）因为1AB BC CA DA DC =====，所以60,30BAC BCA DCA ∠=∠=︒∠=︒，连结AE. 因为E 为BC 的中点，所以30EAC ∠=︒. 所以EAC DCA ∠=∠. 所以//AE DC .因为11DC DCC D ⊂平面，11AE DCC D ⊄平面，所以11//AE DCC D 平面.因为棱柱1111ABCD A B C D -，所以11//AA DD .因为111DD DCC D ⊂平面，111AA DCC D 平面⊄，所以11//AA AA E 平面，11AE AA E AA AE A ⊂⋂=平面，，所以111//AA E DCC D 平面平面.因为11111//A E AA E A E DCC D ⊂平面，所以平面.17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点坐标为())12,F F ，且椭圆E经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点M 是椭圆E 上位于第一象限内的动点，,A B 分别为椭圆E 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求四边形ABCD 的面积． 【解析】(1)因为椭圆焦点坐标为())12,F F，且过点1,2P ⎛- ⎝⎭，所以121242a PF PF =+=+=，所以2a =，从而1b ==， 故椭圆的方程为2214x y +=．(2)设点()()0000,02,01M x y x y <<<<，(),0C m ，()0,D n ，因为()2,0A -，且,,A D M 三点共线，所以0022y nx =+，解得0022y n x =+，所以00000222122y x y BD x x ++=+=++，同理得000221x y AC y ++=+，因此0000002222112221ABCDx y x y S AC BD x y ++++=⋅=⋅⋅++()()()2000022221x y x y ++=++()22000000000044484222x y x y x y x y x y +++++=+++，因为点()00,M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，即220044x y +=，代入上式得：()0000000044882222ABCD x y x y S x y x y +++==+++．18．某小区内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，120PAB QBA ∠=∠=o，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设,(0,)3OAB παα∠=∈.（1）求AB 的长（用α表示）；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？ 【解析】（1）过点O 作OH 垂直于AB ，垂足为.H 在直角三角形OHA 中，20OA OAH α∠＝，＝， 所以20cos AH α＝，因此240cos .AB AH α＝＝ （2）由图可知，点P 处的观众离点O 最远 在三角形OAP 中，由余弦定理可知22222cos +3OP OA AP OA AP πα=+-⋅（）()2140040cos 22040cos cos 2＝αααα⎛⎫+-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭()24006cos cos 1ααα=++()4003cos24216003πααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．因为0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当26πα=，即12πα=时，()max OP ＝＋1600，又()max OP ＝16003600< 所以60OP <所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米． 故对于任意α，上述设计方案均能符合要求． 19．已知函数()()212ln 22f x a x x x x =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．【解析】（1）()()()()211220f x a x x a x x x x '=--⎛⎫+=-- ⎪⎝>⎭∵0a ≤，0a x -<，(0,2)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；(2,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减∵02a <<，()02f x x '=⇒=或x a =，当(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；(),2x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；()2,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减∵2a =，()()2120f x x x'=--<，()f x 在()0,∞+单调递减 ∵2a >，()02f x x '=⇒=或x a =，当()0,2x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；()2,x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增； (),x a ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减（2）由（1）得当0a =时，()2122f x x x =-+在定义域上只有一个零点 0a <，由（1）可得，要使()f x 有两个零点，则()()()20222ln220f f a >⇒=-+>∵10ln 21a <<-下证()f x 有两个零点取1ax e =，1111112202a aa a f e a e e e a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()120af e f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，故()f x 在()0,2有且只有一个零点()()442ln40f a =-<，满足()()240f f <，故()f x 在()2,+∞有且只有一个零点当02a <<时，由（1）可得()0,2x ∈，()()()()22112ln 221ln 022f x f a a a a a a a a a ≥=--+=+->，故()f x 在()0,2无零点， 又因为()f x 在()2,+∞单调递减，∵()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件当2a >时，()0,x a ∈，()()()222ln 220f x f a ≥=-+>故()f x 在()0,a 上无零点， 又因为()f x 在(),a +∞单调递减，∵()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件 ∵满足条件a 的取值范围10ln 21a <<-20. 已知正项数列}{n a 中，61=a ，点),(1+n n n a a A 在抛物线12+=x y 上．数列}{n b 中，点),(n n b n B 在经过点)1,0(，以)2,1(=为方向向量的直线l 上． （∵）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（∵）若⎩⎨⎧=为偶数），（为奇数），（n b n a n f n n )(，问是否存在*∈N k ，使得)(4)27(k f k f =+成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（∵）对任意的正整数n ，不等式02)11()11)(11(211≤+--++++nnnn a n a b b b a K 成立，求正数a 的取值范围．【解析】（∵）将点),(1+n n n a a A 代入抛物线12+=x y 得：11+=+n n a a∴)1(11≥=-+n a an n ∴数列}{n a 是等差数列．1(1)6(1)1n a a n d n =+-=+-⨯，即5na n =+Θ)2,1(=m 为直线l 的方向向量∴直线l 的斜率2=k ，直线l 的方程为12+=x yΘ),(n n b n B 在直线l 上．∴12+=n b n（∵）由题5()21n n f n n n +⎧=⎨+⎩，（为奇数），（为偶数）∵当k 是偶数时，27+k 是奇数，)(4)27(k f k f =+即)12(4527+=++k k 4=⇒k ，∵当k 是奇数时，27+k 是偶数，)(4)27(k f k f =+即)5(41)27(2+=++k k 235=⇒k （舍去）故存在唯一的4=k 符合条件．（∵）由题12111(1)(1)(1)n a b b b ≤+++K 111(1)(1)(1)a +++≤K设111(1)(1)(1)()f n +++=K则1111(1)(1)(1)(1)(1)f n +++++=K ∴5232)()1(++=+n n n f n f )11(1++n b 151641616432524222++++=+++=n n n n n n n >1∴)()1(n f n f >+，即数列)}({n f 是递增数列． ∴==)1()(minf xf∴0a <≤数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知x ，y ∈R ，矩阵21x y ⎡⎤=⎢⎥⎦⎣A 的两个特征向量110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α． （1）求矩阵A 的逆矩阵1-A ；（2）若12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，求10A β．【解析】（1）设矩阵A 的特征向量1α对应的特征值为1λ，特征向量2α对应的特征值为2λ，则2001A ⎡⎤∴=⎢⎥⎦⎣，则110201A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎦⎣． （2）因12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β12102201⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αα，所以10A β1010102122(2)2A λλ=+=+11αααα1010102422012⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，圆C的参数方程为：12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若直线l ：cos tsin x t y ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数）被圆C截得的弦长为l 的倾斜角.【解析】（1）圆C：12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数α得：()(2214x y -+-=，即2220x y x +--=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=.∵22cos sin 0ρρθθ--=，4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）∵直线l ：cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩的极坐标方程为θϕ=，当θϕ=时4cos 3πρϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即：cos 3πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵36ππϕ-=或36ππϕ-=-. ∵2ϕπ=或6π=ϕ， ∵直线l 的倾斜角为6π或2π. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知()|2|f x x =-.（1）解不等式()1(2)f x f x +>；（2）若()1f m ≤，(2)2f n ≤，求21m n --的最大值，并求此时实数,m n 的取值. 【解析】（1）原不等式等价于|x ﹣2|+1＞2|x ﹣1|， 故或或，解得﹣1＜x ＜，故不等式的解集是（﹣1，）；（2）由题意得：f （m ）=|m ﹣2|≤1，f （2n ）=|2n ﹣2|≤2， ∵|n ﹣1|≤1，∵|m ﹣2n ﹣1|=|（m ﹣2）﹣2（n ﹣1）﹣1|≤|m ﹣2|+2|n ﹣1|+1≤4， 当且仅当时，|m ﹣2n ﹣1|取最大值4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知n 为给定的正整数，设201223nn n x a a x a x a x ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭L ，x ∈R .（1）若4n =，求01,a a 的值；（2）若13x =，求0()nkk k n k a x =-∑的值.【解析】（1）因为4n =，所以0404216C ()381a ==，1314232C ()327a ==；（2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!kk n n n n k kn n k n k k n k ---===---，当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑；当2n ≥时，0021()()C ()()33nnkk n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑012121C ()()C ()()3333nn kn k k k n k knnk k n k --===-∑∑ 1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑11212()3333n n n n -=-+=，当1n =时，也符合.所以0()nkk k n k a x =-∑的值为23n .23．某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N 人，若逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这个k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验，这时k 个人的检验次数为1k +次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p . （∵）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若0.1p =，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（∵）设ξ为k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数. ∵当5k =，0.1p =时，求ξ的分布列；∵是运用统计概率的相关知识，求当k 和p 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数. 【解析】（∵）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件A ：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率()1230.10.90.243P A C =⋅⋅=（∵）∵当5K =，0.1P =时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为50.9，每人所检验的次数为15次，若混合检验结果为阳性，则其概率为510.9-，则每人所检验的次数为65次，故ξ的分布列为∵分组时，每人检验次数的期望如下()11k P P k ξ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1111k P P k ξ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭∵()()()111111111k k k E P P P k k k ξ⎛⎫⎡⎤=⋅-++--=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需()1111kPk--+< 即 1P ->所以当1P ->时，用分组的办法能减少检验次数.。