第二章光腔与高斯光束
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§2.7+高斯光束及其传输规律
§2.7 高斯光束及其传输规律
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.7 高斯光束及其传输规律
r2 r2 −1 z −ik z+ −tan − 2 2R( z) f w ( z)
c 自由空间的基 Ψ x, y, z) = e 模 高 斯 光 束 00 ( w( z)
• 情况1：已知w0, w'0, 确定透镜焦距(F)及透镜的距离 l, l'
( l − F ) F2 l′ = F + 2 l − F) + f 2 (
′ w =
2 0
w0 l −F =± F2 − f02 ′ w0 ′ w0 l′ − F = ± F2 − f02 ′ w0
( F −l )
w2 F2 0
1 1 λ = −i 2 定义q 参数 q z R z 高斯光束的复曲率半径) ( ) ( ) πw ( z) (高斯光束的复曲率半径
若已知高斯光束在某一位置的q参数 若已知高斯光束在某一位置的 参数 → w(z), R(z), θ
1 1 = Re , R( z ) q ( z )
3. 光学系统(元件)
r2 A B r 1 球面波 = θ2 C Dθ1
r2 = Ar + Bθ1 1
r2 ≈ R2θ2
r ≈ Rθ1 1 1
θ2 = Cr + D 1 θ 1
R2 =
θ2
r2
=
AR + B 1 CR + D 1
参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同 高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波 的变换相同 参数通过光学系统的变换与球面波
两式相减
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.7 高斯光束及其传输规律
r2 r2 −1 z −ik z+ −tan − 2 2R( z) f w ( z)
c 自由空间的基 Ψ x, y, z) = e 模 高 斯 光 束 00 ( w( z)
• 情况1：已知w0, w'0, 确定透镜焦距(F)及透镜的距离 l, l'
( l − F ) F2 l′ = F + 2 l − F) + f 2 (
′ w =
2 0
w0 l −F =± F2 − f02 ′ w0 ′ w0 l′ − F = ± F2 − f02 ′ w0
( F −l )
w2 F2 0
1 1 λ = −i 2 定义q 参数 q z R z 高斯光束的复曲率半径) ( ) ( ) πw ( z) (高斯光束的复曲率半径
若已知高斯光束在某一位置的q参数 若已知高斯光束在某一位置的 参数 → w(z), R(z), θ
1 1 = Re , R( z ) q ( z )
3. 光学系统(元件)
r2 A B r 1 球面波 = θ2 C Dθ1
r2 = Ar + Bθ1 1
r2 ≈ R2θ2
r ≈ Rθ1 1 1
θ2 = Cr + D 1 θ 1
R2 =
θ2
r2
=
AR + B 1 CR + D 1
参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同 高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波 的变换相同 参数通过光学系统的变换与球面波
两式相减
第二章开放式光腔与高斯光束
T T4T3T2T1
1 L
T1 T3 0 1
R1
①
② R2
1 0
T2
2 R2
1
1 0
T4
1、往返一周
T
2 L
2g2 1 (g1 g2 2g1g2 )
2Lg2
4g1
g
2
2
g
2
1
R1、R2:两反射镜面曲率半径 L:谐振腔长度
证
①
②
R1
R2
④
③
L
r22 T1r11 r33 T2 r22 T2T1r11 r44 T3r33 T3T2T1r11 r55 T4 r44 T4T3T2T1r11
2、实例
(1)单程传播L距离
证
1 r1
2 r2
L
r2=r1+L1 2= 1
T
1 0
L 1
T
1 0
L 1
(2)球面反射镜
1 0
T
2 R
1
R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为-)
证
=i+2 2-=-1
2
ii
2o 1
全反射镜
部分反射镜
光学谐振腔的发展与分类
最早提出的是平行平面腔 随后广泛采用了共轴球面腔
理论上分析这类腔的时候， 认为其侧面对光无约束，因 此也称为开放式光学谐振腔， 简称开腔。
开腔——侧面对光没有约束
稳定腔 非稳定腔 临界腔
1 L
T1 T3 0 1
R1
①
② R2
1 0
T2
2 R2
1
1 0
T4
1、往返一周
T
2 L
2g2 1 (g1 g2 2g1g2 )
2Lg2
4g1
g
2
2
g
2
1
R1、R2:两反射镜面曲率半径 L:谐振腔长度
证
①
②
R1
R2
④
③
L
r22 T1r11 r33 T2 r22 T2T1r11 r44 T3r33 T3T2T1r11 r55 T4 r44 T4T3T2T1r11
2、实例
(1)单程传播L距离
证
1 r1
2 r2
L
r2=r1+L1 2= 1
T
1 0
L 1
T
1 0
L 1
(2)球面反射镜
1 0
T
2 R
1
R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为-)
证
=i+2 2-=-1
2
ii
2o 1
全反射镜
部分反射镜
光学谐振腔的发展与分类
最早提出的是平行平面腔 随后广泛采用了共轴球面腔
理论上分析这类腔的时候， 认为其侧面对光无约束，因 此也称为开放式光学谐振腔， 简称开腔。
开腔——侧面对光没有约束
稳定腔 非稳定腔 临界腔
激光原理第二章答案解析
第二章 开放式光腔与高斯光束1. 证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为121 00 ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，根据几何关系可知211122, sin sin r r ηθηθ== 傍轴光线sin θθ则1122ηθηθ=，写成矩阵形式2121121 00 r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证 2. 证明光线通过图2.2所示厚度为d 的平行平面介质的光线变换矩阵为1210 1d ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d ，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得212121121 0 1 01 0 0 0 1r r d θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 化简后2121121 0 1d r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有12R R L ==将上式代入计算得往返矩阵()()()121010110101n nnn n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中121211,1L Lg g R R =--=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。
激光原理教案第二章
激光原理与技术
1，2两种损耗常称为选择损耗，不同模式的 几何损耗与衍射损耗各不相同。3，4两种称为 非选择损耗，通常情况下它们对各个模式大体 一样。
平均单程损耗因子：如果初始光强为 I0 ，在 无源腔内往返一次后，光强衰减为 I1 ，则
I1 I0e2
1 ln I1 ,
2 I0
为腔中各损耗因子的和
1.22
2a
W1 W1 W0
S1 S1 S0
a L 2 a2 a L 2
激光原理与技术
2L
a
2L
0.61
a2
1.22 a2
1 a2
1 N
L L
D
D
'
1 N
N：菲涅耳数，N愈大，损耗愈小。
激光原理与技术
§2.2共轴球面腔的稳定性条件 一、腔内光线往返传播的矩阵表示
激光原理与技术
0q 称为腔的谐振波长
q
q
c 2L,
q称为腔的谐振频率
当光腔内充满折射率为 的均匀物质时
L, L
q
q
c
2 L,
L q q
2
式中 q 为物质中的谐振波长
本征模式在腔的横截面
内场分布是均匀的，而 沿腔的轴线方向(纵向)形 成驻波，驻波的波节数 由q决定，q单值地决定 模的谐振频率。
激光原理与技术
激光原理与技术
腔与模的关系： 腔内电磁场的本征态应由麦 克斯韦方程组及腔的边界条件决定。不同类型 和结构的谐振腔的模式各不相同。
对闭腔，一般可以通过直接求解微分形式的 麦克斯韦方程组来决定其模式
寻求开腔模式的问题通常归结为求解一定类 型的积分方程。
模的基本特征：模在腔的横截面内的场分 布，模的谐振频率，模在腔内往返的相对功率 损耗；模的光束发散角。
激光原理周炳坤-第2章习题答案
第二章 开放式光腔与高斯光束习题（缺2.18 2.19 2.20）1． 题略证明：设入射光()11,r θ，出射光()22,r θ，由折射定理1122sin sin ηθηθ=,根据近轴传输条件，则1122sin ,sin θθθθ≈≈1122ηθηθ∴=，联立21r r =，则所以变换矩阵为 2． 题略证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:经过距离ｄ的传播矩阵为： 光线出射平面介质时： 故3. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：122212111210101122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭212211100r r θηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭121100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭2100d T ⎛⎫=⎪⎝⎭312100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭3113213112211101010000r r r d T T T θθηηηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123211221101011000000d d T T T T ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于是共焦腔，有 12R R L == 往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
第二章 开放式光腔和高斯光束
r: 光线离轴线的距离； ζ :光线与轴线的夹角，规定
光线出射方向, 在腔轴线的上 方时，θ为正，反之θ为负。
傍轴光线、 自由空间的光线矩阵 2.2 共 轴 球 面 腔 的 稳 定 性 条 件 光线传输路径：
M 1 r1 ,1 M 2 r2 , 2
由几何关系： r2 r1 L sin 1 r1 L1 2 1
1 1 t dN t N0 0 N0
N0 t e R
t
R
dt R
这就证明了腔内光子的平均寿命为τR，腔的损耗 愈小，τR就愈大，腔内光子的平均寿命就愈长。
2.无源谐振腔的Q值
谐振腔Q值的普遍定义为：
δ ——储存在腔内的总能量；P——单位时间内损耗的能量， v—— 腔内电感场的振荡频率；W=2л v——场的角频率。
E0 ET
E3
E1=E0e-j
当||1的情况下（往返 传播次数无限多），当 = q2时，ET幅度可 以达到
E4 E3=E2e-j
E2=E1e-j
——腔内纵模需要满足的谐振条件
相长干涉条件：腔中某一点出发的波，经往返一 周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。
开放式光腔
稳定腔——共焦腔模式理论
（损耗小，模体积小）
非稳腔（高损，大功率激光器）
方形镜共焦腔 圆形镜共焦腔 一般稳定球面腔 与共焦腔的等价性 产生激光光束的传输问题 ——高斯光束
2.1光腔理论的一般问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一.光学谐振腔的构成和分类
平行平面腔：最早的光腔法布里－珀罗干涉仪，F-P腔。
共轴球面腔：两块具有公共轴线球面镜构成的谐振腔。
周版激光原理课件第二章
数为：
P
nVd
8 2
c3
Vd
由此关系知，只能压缩V，但是不现实。从而提出开式腔
（无侧壁的封闭腔）。从发散角来看，封闭时为2 ，而
开式时为
a
2
L
压缩倍数为
2
/
a L
2
• 但是，我们知道开式腔是无侧壁的封闭 腔，那么内部会不会有稳定的电磁波存 在？如何求出该电磁波？
§ 2.1光腔理论的一般问题
(t
z
)
A2
A0
cos 2
(t
z
)
总波为二者叠加：
A
A1
A2
2 A0
cos
2
z
cost
稳定波存在必须满足驻波条件：
一维： L q
2
与谐振条件等价
从波动理论知：驻波是稳定存在的波。满足驻波条件的 那些光波称之为光腔的纵模，q为波节数，一般很大。一般 把由整数q所表征的腔内的纵向场分布称为腔的纵模。其特 点是：在腔的横截面内场分布是均匀的，而沿腔的轴线方向 形成驻波，驻波的波节数由q来决定。
共轴
球面 R1
共轴 R2
2. 开放式: 除二镜外其余部分开放 共轴: 二镜共轴 球面腔: 二镜都是球面反射镜(球面镜)
三.光腔按几何损耗(几何反射逸出)的分类:
稳定腔 (光腔中存在着伴轴模,它可在腔内多次传播而不逸出腔外) 光腔 临界腔 (几何光学损耗介乎上二者之间)
非稳腔 (伴轴模在腔内经有限数往返必定由侧面逸出腔外,有很高的
a
在这种条件下，可认为均匀平面波是F-P谐振腔内的最低损 耗模，从而为F-P谐振腔的模式提供一种粗略的，也是有用 的形象。
所以考虑均匀平面波在F-P谐振腔内沿轴线方向往返传播的 情形
第二章开放式光腔与高斯光束1
腔的菲涅耳数为 N a L
2
所以:
1 1 d 2 a N L
' d
几何光学分析方法和衍射理论分析方法
几何光学分析方法：
用矩阵方法处理光腔中光线的传播、腔的 稳定性 、谐振腔的分类等。
衍射理论分析方法： 在菲涅耳－－基尔霍夫衍射积分以及模式 重现概念的基础上，讨论谐振腔模式的形式、 解的存在、模式花样、衍射损耗等。
共焦谐振腔示意图
长半径球面腔
长半径球面谐振腔的性能介于共焦腔与球面腔之间，它的特点 如下： 1） 中等的衍射损耗；2）较易安装调整； 3）模体积很大； 4）腔内没有很高的光辐射聚焦现象；
长半径球面谐振腔适于连续工作的激光器
长半径球面腔示意图
半球型谐振腔 半球型谐振腔的特点： 易于安装调整、衍射损耗低、成本低 半球型谐振腔主要应用于低功率氦氖激光器
（3）腔镜不完全反射引起的损耗 包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。 镜的透射损耗与输出镜的透射率T有关。 （4）材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起的损耗。 激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸收、散 射引起的损耗 平均单程损耗因子
I I 0e
2
1 I0 ln 2 I
I1 I 0 r1r2 I 0e 2 r 1 r ln(r1r2 ) 2 r1 1, r2 1 时有
当
1 r [(1 r1 ) (1 r2 )] 2 （2）腔镜倾斜时的几何损耗
设倾角为 ，往返m次后才逸出腔 外，D为腔的横向尺寸。
L 2 L 6 L(2m 1)2 D
§2.1 光腔理论的一般问题
一、光学谐振腔的构成、分类和作用 光学谐振腔的构成 最简单的光学谐振腔是在激活介质两端恰当地 放置两个镀有高反射率的反射镜构成。
激光原理(第2章)
三、光腔的损耗 损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，也是腔模理论的重要研究 课题。光学的损耗大致包括如下几个方面： (1)几何偏折损耗。光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出 去，这种损耗为几何偏折损耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺寸。 例如，稳定腔内傍抽光线的几何损托应为各零，非稳腔则有较高的几何 损耗。以非稳腔而论，不同几何尺寸的非稳腔，其损耗大小亦各不相同。 其次，几何损耗的高低依模式的不同而异。比如同一平行平面腔内的高 阶横模由于其传播方向与轴的夹角较大，因而其几何损耗也比低阶横模 为大。 (2)衍射损耗。由于腔的反射镜片通常具有有限大小的孔径，因而当 光在镜面上发生衍射时，必将造成一部分能量损失。本节以及本书后面 几章的分析表明，衍射损耗的大小与腔的菲涅耳数 N＝a2/Ll有关，与 腔的几何参数g有关，而且不同横模的衍射损耗也将各不相同。
(3)腔镜反射不完全引起的损耗。它包括镜中的吸收、散射以及镜的 透射损耗，通常的光腔至少有一个反射镜是部分透射的，有时透射率还 可以很高(例如，某些固体激光器的轴输出透射率可以＞ 50％)，另一个 反射镜即使通常称为“全反射”镜，其反射率也不可能做到100％。 (4) 材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物 ( 如布儒斯特窗、调 Q 元件、调制器等)所引起的损耗，等等。 上述 (1)(2) 两种损耗常常又称为选择损耗，因为不同模式的几何损 耗与衍射损耗各不相同。 (3)(4)两种损耗称为非选择损耗，在一般情况 下它们对各个模式都一样。 不论损耗的起源如何，我们都可以引进一个“平均单程损耗因子” d 来定量地加以描述。该因子的定义如下：如果初始出发时的光强为 I0， 在无源腔内往返一次后，光强衰减为I1，则
2.1 光腔理论的一般问题
一、光腔的构成和分类
在激活物质的两端恰当地放置两个反射镜片，就构成一个最简单的 光学谐振腔。
第二章 高斯光束
– 在实验上和理论上都证实了工作物质的折射率随温度发生变化：
(x,
y)
0(T 0)
n T
D 4K
(x2
y2)
– 可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。
21
2.1光线的传播
• 3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播
–
程函(eikonal)方程：
x
2
y
2
x y
0 0
d 2r dz 2
k k
2 0
r
0
23
2.1光线的传播
–
（1）k2>0
微分方程的解为 r(z) c1cos
k k
2 0
z
c
2
sin
k k
2 0
z
若考虑光线入射初始条件
为
r0
r
0
'
，则可以求出
c1
r 0; c2
k，因此微分方程的解可以写成：
r
z
r
0
cos
– 1. 薄透镜的聚焦机理
– 一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的相位超 前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量。到达
焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当于一个平面的相位
变换器。
AB AO BO
f 2 x2 y2 f f 1 x2 y2 f
k k
2 0
z
k k
0 2
r
'
0
sin
k k
2 0
z
r ' z
k k
2 0
r
第二章 开放式光腔与高斯光束2
谐振腔模式理论的基础
模式自再现概念
菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
基本步骤：
光的衍射理论
自再现模所满足的积分方程
求解积分方程
在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射起主要作用。 理想的开腔模型：两块反射镜片沉浸在均匀的、无限的、各向 同性的介质中。无侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜 的边缘所构成。
可以得到：
xx yy i vmn x, y mn exp ikL vmn x, yexp ik dxdy L L a a
a a
方形镜对称共焦腔自再现模积分方程
按照博伊德和戈登的方法 进行无量纲变换:
a2 C C a 2k X x, Y y, C 2 2N a a L L
4、自再现模的形成过程将伴随着光的受激放大 。 结果光谱不断变窄，空间相干性不断增强，光强 不断增大，最终形成高强度的激光输出。
三、菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
1、惠更斯－菲涅耳原理
惠更斯：球面子波
菲涅耳：子波相干叠加
2、衍射积分公式
基尔霍夫：用数学公式描述出惠更斯－菲涅耳原理 如果知道光波场在其所达到的任意空间曲面上的振 幅和相位分布，可求出该光波场在空间其他任意位 置处的振幅和相位分布。
自再现模在开腔中的单程总相移一般不等于由腔长L所 决定的几何相移kL。通常有这么一个关系：
kL
表示腔内单程渡越时相对于几何相移的单程附加相移
2 L q c
mn
qc c mn 2 L 2L
也就是说，本征值 决定了不同横模的谐振频率
根据分离变量： vmn ( x, y) Fm X Gn Y 令 mn m n 则积分方程转化为：
ch2开放式光腔与高斯光束
4．相位分布
实函数 镜面上各点场的相位相同，共焦腔反射镜本身构成场的一 个等相位面。共焦腔的这一性质也与平行平面腔不同。
三、单程损耗
2-5方形镜共焦腔的自再现模
2-5方形镜共焦腔的自再现模
1
mn
(1) (1) 4 N exp{ i{kL (m n 1) ]}Rom (c,1) Ron (c,1) 2
选择损耗：不同模式的损耗各不相同的损耗 非选择损耗：不同模式的损耗都相同的损耗
2-1光腔理论的—般问题 (1)几何偏折损耗 (2)衍射损耗 非选择损耗 选择损耗
(3)腔镜反射不完全引起的损耗
(4)材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物(如布儒斯特 窗．调Q元件、 调制器等)所引起的损耗，等等。 平均单程损耗因子δ
2-2共轴球面腔的稳定性条件 三、 共轴球面腔的分类 1. 稳定腔
满足 条件的共轴球面腔都是稳定腔。其特点是任 意近轴光线在腔内能往返无限多次而不横向逃逸出腔外。 换句话说，这种腔的几何损耗为零。 腔内的光束可分为两种：称简并光束；经有限次往返后可形成闭合 非简并光束:虽可往返多次，但始终不能自行闭合。
I1 I 0e
2
用单程渡越时光强的平均衰减百分数来定义单程损耗因子
2-1光腔理论的—般问题 δ′与指数损耗因子 δ 是一致的
1．光子在腔内的平均寿命
2-1光腔理论的—般问题
2．无源谐振腔的 Q 值 无论是 LC 振荡回路、微彼谐振腔、还是光频谐振腔， 都采用品值因数Q标志腔的特性。谐振腔Q值的普遍定义为:
2-2共轴球面腔的稳定性条件 球 面 镜 反 射
球面镜的反射矩阵
球面镜对近轴光线的反射变换与焦距相同的薄透镜对同 一傍轴光线的透射变换是等效的，只是光线传播方向不折转。 在此基础上，可以将球面镜腔等效为周期透镜波导。
实函数 镜面上各点场的相位相同，共焦腔反射镜本身构成场的一 个等相位面。共焦腔的这一性质也与平行平面腔不同。
三、单程损耗
2-5方形镜共焦腔的自再现模
2-5方形镜共焦腔的自再现模
1
mn
(1) (1) 4 N exp{ i{kL (m n 1) ]}Rom (c,1) Ron (c,1) 2
选择损耗：不同模式的损耗各不相同的损耗 非选择损耗：不同模式的损耗都相同的损耗
2-1光腔理论的—般问题 (1)几何偏折损耗 (2)衍射损耗 非选择损耗 选择损耗
(3)腔镜反射不完全引起的损耗
(4)材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物(如布儒斯特 窗．调Q元件、 调制器等)所引起的损耗，等等。 平均单程损耗因子δ
2-2共轴球面腔的稳定性条件 三、 共轴球面腔的分类 1. 稳定腔
满足 条件的共轴球面腔都是稳定腔。其特点是任 意近轴光线在腔内能往返无限多次而不横向逃逸出腔外。 换句话说，这种腔的几何损耗为零。 腔内的光束可分为两种：称简并光束；经有限次往返后可形成闭合 非简并光束:虽可往返多次，但始终不能自行闭合。
I1 I 0e
2
用单程渡越时光强的平均衰减百分数来定义单程损耗因子
2-1光腔理论的—般问题 δ′与指数损耗因子 δ 是一致的
1．光子在腔内的平均寿命
2-1光腔理论的—般问题
2．无源谐振腔的 Q 值 无论是 LC 振荡回路、微彼谐振腔、还是光频谐振腔， 都采用品值因数Q标志腔的特性。谐振腔Q值的普遍定义为:
2-2共轴球面腔的稳定性条件 球 面 镜 反 射
球面镜的反射矩阵
球面镜对近轴光线的反射变换与焦距相同的薄透镜对同 一傍轴光线的透射变换是等效的，只是光线传播方向不折转。 在此基础上，可以将球面镜腔等效为周期透镜波导。
第二章开放式光腔与高斯光束kp
腔的时间常数
腔内光子平均寿命
•谐振腔损耗越小，腔内光子寿命越长 •腔内有增益介质，使谐振腔净损耗减小，光子寿命变长
17
2.1 光腔理论的一般问题 5.光子寿命与无源谐振腔的Q值的联系
谐振腔品质因子的定义：
储存在腔内的总能量（E） 单位时间内损耗的能量（P）
Q的普 遍定义
可以证明：
因此有：
谐振腔的损耗越小，Q值越高
18
2.2 共轴球面腔的稳定条件 2.2 共轴球面腔的稳定条件
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
B A
L
自由空间光线矩阵
19
2.2 共轴球面腔的稳定条件
4. 薄透镜传输矩阵
f
20
2.1 光腔理论的一般问题
‹#›
2.2 共轴球面腔的稳定条件 薄透镜与球面反射镜等效
—开腔的自再现模 或 横模 幅度、相位
的衍化 空间相干性
孔阑传输线
2.3 开腔理论的物理概念和衍射理论分析方法 三、几点理解
1.只有不受衍射影响的场分布才能形成稳定的场分布，成为自再现模。 2.衍射起“筛子”作用，将腔中允许存在的自再现模从各种自发辐射模中筛选出来。
3.自再现模是多次衍射的结果，与初始波形无关，但不同的初始波形最终形成的场 分布不同，而自发辐射可提供不同的初始波形,因此决定了自再现模的多样性。
1
第二章 开放式光谐振腔与高斯光束
2.1 光腔理论的一般问题 2.2 共轴球面腔的稳定性条件 2.3 开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法 2.4 平行平面腔模的迭代解法 2.5 方形镜共焦腔的自再现模 2.6 方形镜共焦腔的行波场 2.7 圆形镜共焦腔 2.8 一般稳定球面腔的模式特征 2.9 高斯光束的基本性质及q参数 2.10 高斯光束q参数的变换规律 2.11 高斯光束的聚焦与准直 2.12 高斯光束的自再现变换与稳定球面腔 2.13 光束衍射倍率因子
第二章开放式光腔与高斯光束讲课用
镜腔处理。
普通的两镜腔 等价 共焦腔
（等价共焦腔）
依据等价原则，利用等价共焦腔，共焦腔的模式解析 理论可推广使用于一般稳定腔。
实际应用中:(1)大多数中、小激光器几何偏折损耗低， 属稳定腔； (2)稳定腔的模式理论比较成熟。
三.纵模和驻波条件
1、腔内要形成的稳定的驻波 模式，必须满足驻波条件
假设：n为腔内介质的折射率，L 为腔长，λ0q 为光在真空中的波长。 L′ 为腔的光学长度。
2a
2(a+Lθ)
2I0
S1
L
∴
δd
=
S2 − S1 S2
≈
2Lθ a
S2
∴
δd
≈
a2
1 / Lλ
=
1 N
定义： N = a2 / Lλ
腔的菲涅尔数
对于方形镜、圆形镜： N = a2 / Lλ 对于条形镜： N = a1a2 / Lλ
理解菲涅尔数：①衍射光在腔内的最大往返次数
中心光束，偏离镜中心的偏移量为x = θL = λL/2a
=
C 2μL
=
3 × 108 2 ×1
= 1.5 ×108 Hz
在 Δvq 范围内所包含的最多纵模个
数：
m = [ ΔvF ] +1 Δvq
m = [ ΔvF ] +1 = 1500 ×106 +1 = 11
Δvq
1.5 ×108
谐振腔最多可能包含 的纵模个数为11
四、横向电场分布与横模(Transverse Electromagnetic mode)
圆形镜： r(n)
ϕ (m) 直径数
TEM 03 TEM 00 TEM 10
第二章光腔与高斯光束
镜面的横向尺寸时，光不逸出，即为稳定。 我们讨论φ的取值情况： 1)φ为实数
a. Tn为有限值的条件为Sinφ不为0
φ不等于Kπ
即
1 ＝arc cos （A＋D） K 2 1 1 < （A＋D）< 1 稳定条件 2
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 2L 2L 2L2 A D 1 2 R1 R2 R1R2
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
(2)平行平面腔 此时有R1=R2＝∝，
g1＝g2＝1
g1g2＝1
1.腔中沿轴线方向行进的光线能往返无限多次而不 致逸出腔外，且一次往返即实现简并(形成闭合光 路 )． 2.沿非轴向行进的光线在经有限次往返后，必然从 侧面逸出腔外，这又与非稳腔相像。
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
Finesse
gm
1 gm
1 P cav Pmax 1 (2F )2 sin 2 ( )
§2.1 光腔理论的一般问题
三 光腔的损耗 1 分类
光学开腔的损耗包括： • 几何偏折损耗 • 衍射损耗 • 腔镜反射不完全所引起的损耗 • 材料中的非激活吸收、散射、腔内插入 的光学元件或其它物体所引起的损耗
I1 I 0r1r2 I 0e
2 r
1 1 r ln( r1r2 ) (ln r1 ln r2 ) 2 2
1 r [(1 r1 ) (1 r2 )] 2
当r1≈1，r2≈1时，
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例2：（腔镜倾斜时的几何损耗）
m
§2.1 光腔理论的一般问题
二 F-P腔TEMmnq模之纵模
驻波条件: 波从某一点出发,经腔内往返一周再 回到原来位置时,应与初始出发波同相
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§2.1 光腔理论的一般问题
二 F-P腔TEMmnq模之纵模
驻波条件: 波从某一点出发,经腔内往返一周再 回到原来位置时,应与初始出发波同相
2
2 L ' q 2 L ' ni Li L ' q 2 q
c c q q 1 q 2nL 2 L'
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
变换矩阵 的特点 ①往返矩阵与初始坐标无关，可用来描述任意 傍轴光线在腔中的传播行为。 ②往返矩阵中的各个元素的具体值与初始出发 位置、光线往返顺序有关。 ③ 1 A D 对于一定结构的球面腔而言是一确定量， 2 而与光线的初始坐标、出发位置和往返 次序无关！ 更进一步，对于共轴球 面腔，下式永远成立：
I1 I 0r1r2 I 0e
2 r
1 1 r ln( r1r2 ) (ln r1 ln r2 ) 2 2
1 r [(1 r1 ) (1 r2 )] 2
当r1≈1，r2≈1时，
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例2：（腔镜倾斜时的几何损耗）
m
D 2 L
2 DL c
L c
L
2D
6
以D=1cm，L=1m计算，如果要求损耗低于0.01
2 10 rad 0.4
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例3：（衍射损耗）
1.22
D
忽略第一暗 环以外的光
假设爱里斑 内光强均匀
W1 S1 (a L )2 a 2 2 L 1.22 L 1 2 2 2 W1 W0 S1 S0 (a L ) a a a L
1 2L 2L 2 L2 A D 1 2 R1 R2 R1R2
Tn
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
7 光学谐振腔的稳定性条件
rn Anr1 Bn1 的rn和θn取值大小，反映的是光线偏离 n Cnr1 Dn1 光轴能力的程度 当其为有限值，即小于
0
r2 r1
TR
10 1 1 f
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
5、共轴球面腔的往返矩阵 T 一次往返 两次自 由空间 和两次 球面镜 反射
L
ห้องสมุดไป่ตู้
r5 r1 r1 T T T T T R 1 L R 2 L θ θ θ 5 1 1
1 2
I0 I1
I 0 I1 ' 2I 0
说明：当损耗较小时，两种定义一致。
§2.1 光腔理论的一般问题
3 光子在腔内的平均寿命 （又叫腔的时间常数）
L' R c
I m I 0 (e
2 m
) I 0e
2 m
t m 2 L / c
t时刻的光强为
I (t ) I 0e
选 择 损 耗
非 选 择 损 耗
§2.1 光腔理论的一般问题
2 平均单程损耗因子 定义一：若初始光强为 返一次后，光强衰减为
I0
,在腔中往 I 1 ，则有：
i
I1 I 0 exp(2 )
ln
对于多种损耗，则： i 定义二：单程渡越时光 I 0 I1 2 ' 强的平均衰减百分数 I0
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
A B 其中: T C D
2L A 1 R2
L B 2 L 1 R 2
2 2 2 L C 1 R1 R1 R2
2L 2 L 2 L D 1 1 R R R 1 2 1
r
>0 <0 <0
两种描述是统一的！
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
说明：光传输中，r ,θ可能发生变化，而变化后 的r 、θ可用一个ABCD传输矩阵与初始光线的矩 阵相乘得到。 B r , 0 0 2、自由空间的平移矩阵 r, A A处：r0，0 L B处：r’，’
1 1 2 d a N L
a2 N L
菲涅耳数
§2.1 光腔理论的一般问题
例CO2 激光器的腔长L=100cm，反射镜直径D=1.5cm， 两镜的光强反射系数分别为r1=0.985,r2=0.8。求由 衍射损耗及输出损耗分别引起的δ、 c、Q、 ( 设n=1) c
10.6 10 1 0.188 解： 衍射损耗: 2 2 2 a (0.75 10 ) L 1 8 c 1.75 10 s 8 c 0.188 3 10 3 108 8 6 Q 2 c 2 3.14 1.75 10 3.11 10 10.6 106
3 108 8 Q 2 c 2 3.14 2.78 10 4.96 MHz 6 10.6 10
1 c 5.7 MHz 8 2 c 2 3.14 2.78 10
1
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
一、傍轴光线往返传输的矩阵（ABCD矩阵）描述 1、傍轴光线的坐标描述和矩阵描述 (1) 坐标描述 r ：光线离光轴的距离 r ： 光线与光轴的夹角 傍轴光线:tg sin 正,负号规定： (2)矩阵描述
r r0 Lθ 0 θ θ 0
则自由空间的平移矩阵为：
r0 r A B r0 1 L θ TL θ TL θ C D 0 0 1 0
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
Finesse
gm
1 gm
1 P cav Pmax 1 (2F )2 sin 2 ( )
§2.1 光腔理论的一般问题
三 光腔的损耗 1 分类
光学开腔的损耗包括： • 几何偏折损耗 • 衍射损耗 • 腔镜反射不完全所引起的损耗 • 材料中的非激活吸收、散射、腔内插入 的光学元件或其它物体所引起的损耗
t c L
I 0e
t
R
I0 e
L R c
物理意义: 当 可见， 越大， R 越短，腔内光子数衰减越快！
R 也可看成腔内光子的平均寿命。
t R
时， I m
§2.1 光腔理论的一般问题
I ( t ) I 0e
设t时刻光子数密度为N
t
R
N ( t ) N 0e
镜面的横向尺寸时，光不逸出，即为稳定。 我们讨论φ的取值情况： 1)φ为实数
a. Tn为有限值的条件为Sinφ不为0
φ不等于Kπ
即
1 ＝arc cos （A＋D） K 2 1 1 < （A＋D）< 1 稳定条件 2
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 2L 2L 2L2 A D 1 2 R1 R2 R1R2
(3)共心腔
满足条件 R1十R2＝L的谐振腔称为共心腔， 面的曲率中心互相重合。
第二章 开放式光腔与高斯光束
1 利用ABCD矩阵分析光腔稳定性 2 腔与模的关系分析 3 高斯光束的基本性质 4 q参数应用
§2.1 光腔理论的一般问题
一 光腔的构成和分类
1、开腔： 稳定腔、非稳腔、临界 F-P腔：最早提出来的平行平面光腔 共轴球面腔(b) 2、闭腔：介质腔(a) 3、气体波导激光谐振腔 4、光腔的其它分类
4 无源腔的Q值 定义一 :
E Q P
腔内储存的总能量
单位时间内损耗的能量
定义二 :
Q R
L' 2 c
激光的单模线宽
定义三 :
Q c
小结：损耗越大， Q值越小。
§2.1 光腔理论的一般问题 损耗举例1：（由镜反射不完全引起的损耗） 初始强度为I0的光，在腔内经两个镜面反 射往返一周后，其强度应为
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
(2)平行平面腔 此时有R1=R2＝∝，
g1＝g2＝1
g1g2＝1
1.腔中沿轴线方向行进的光线能往返无限多次而不 致逸出腔外，且一次往返即实现简并(形成闭合光 路 )． 2.沿非轴向行进的光线在经有限次往返后，必然从 侧面逸出腔外，这又与非稳腔相像。
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
0 < (1
L L 2(1 )(1 ) 1 R1 R2
L L )(1 ) < 1 R1 R2
L g1＝1 R 1 定义谐振腔的g参数 g ＝1 L 2 R2
> 0 < g1g2 < 1
稳定条件
b.Sinφ=0, Tn为极大值 即 1 （A＋D）＝ 1 2
3、界面的折射矩阵 入射 r0 , 0 出射 r,
r r0
n1 θ θ0 n2
n1
n2
n10 n2
0 1 TS 0 n1 n2
4、球面镜的反射矩阵Tr
1 0 对于薄透镜有 Tr 2 1 类似的关系 R
1 ＝acr cos （A＋D）＝K 2
g1g2＝ 1或者g1g2＝0
临界腔
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件 常见的几种临界腔 (1) 对称共焦腔 满足条件Rl＝R2＝ Lg 的谐振腔称为对称共焦腔， g1＝ ＝0 g1g2＝0 2 这时腔的中心即为两个镜面的公共焦点。对称 共焦腔满足
任意徬轴光线均可在腔内往返无限多次而不致 横向逸出，而且经两次往返即自行闭合。共焦 腔应属于稳定腔。
折叠腔、环形腔 复合腔－腔内加入其它光学元件，如透镜，F－P标准具等
腔
§2.1 光腔理论的一般问题