第二章光腔与高斯光束
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3 108 8 Q 2 c 2 3.14 2.78 10 4.96 MHz 6 10.6 10
1 c 5.7 MHz 8 2 c 2 3.14 2.78 10
1
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
一、傍轴光线往返传输的矩阵（ABCD矩阵）描述 1、傍轴光线的坐标描述和矩阵描述 (1) 坐标描述 r ：光线离光轴的距离 r ： 光线与光轴的夹角 傍轴光线:tg sin 正,负号规定： (2)矩阵描述
0 < (1
L L 2(1 )(1 ) 1 R1 R2
L L )(1 ) < 1 R1 R2
L g1＝1 R 1 定义谐振腔的g参数 g ＝1 L 2 R2
> 0 < g1g2 < 1
稳定条件
b.Sinφ=0, Tn为极大值 即 1 （A＋D）＝ 1 2
D 2 L
2 DL c
L c
L
2D
6
以D=1cm，L=1m计算，如果要求损耗低于0.01
2 10 rad 0.4
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例3：（衍射损耗）
1.22
D
忽略第一暗 环以外的光
假设爱里斑 内光强均匀
W1 S1 (a L )2 a 2 2 L 1.22 L 1 2 2 2 W1 W0 S1 S0 (a L ) a a a L
I(t)=Nh v t
R
在t～ t+dt内减少的光子数密度为
dN
R
N0
e
t
R
dt
这（-dN）个光子的寿命均为t，N0 个光子 的平均寿命为 t 1 1 N0 R t ( dN )t t ( )e dt R N0 N0 0 R
§2.1 光腔理论的一般问题
t c L
I 0e
t
R
I0 e
L R c
物理意义: 当 可见， 越大， R 越短，腔内光子数衰减越快！
R 也可看成腔内光子的平均寿命。
t R
时， I m
§2.1 光腔理论的一般问题
I ( t ) I 0e
设t时刻光子数密度为N
t
R
N ( t ) N 0e
1 2L 2L 2 L2 A D 1 2 R1 R2 R1R2
Tn
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
7 光学谐振腔的稳定性条件
rn Anr1 Bn1 的rn和θn取值大小，反映的是光线偏离 n Cnr1 Dn1 光轴能力的程度 当其为有限值，即小于
1 ＝acr cos （A＋D）＝K 2
g1g2＝ 1或者g1g2＝0
临界腔
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件 常见的几种临界腔 (1) 对称共焦腔 满足条件Rl＝R2＝ Lg 的谐振腔称为对称共焦腔， g1＝ ＝0 g1g2＝0 2 这时腔的中心即为两个镜面的公共焦点。对称 共焦腔满足
任意徬轴光线均可在腔内往返无限多次而不致 横向逸出，而且经两次往返即自行闭合。共焦 腔应属于稳定腔。
L
6
1 c 9.1MHz 8 2 c 2 3.14 1.75 10
1
§2.1 光腔理论的一般问题
输出损耗:
1 ln r1r2 0.5 ln(0.985 0.8) 0.119 2
L 1 8 c 2.78 10 s 8 c 0.119 3 10
0
r2 r1
TR
10 1 1 f
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
5、共轴球面腔的往返矩阵 T 一次往返 两次自 由空间 和两次 球面镜 反射
L
r5 r1 r1 T T T T T R 1 L R 2 L θ θ θ 5 1 1
折叠腔、环形腔 复合腔－腔内加入其它光学元件，如透镜，F－P标准具等
腔
§2.1 光腔理论的一般问题
折叠腔
M3
染料调Q装置示意图
KTP M4
l3
l2
Pump Output 808nm M1 Nd:YVO4 TGG /2 M2 671nm
l1
环形腔
Fig.1 The schematic design of all-solid-state green laser of single-frequency operation
4 无源腔的Q值 定义一 :
E Q P
腔内储存的总能量
单位时间内损耗的能量
定义二 :
Q R
L' 2 c
激光的单模线宽
定义三 :
Q c
小结：损耗越大， Q值越小。
§2.1 光腔理论的一般问题 损耗举例1：（由镜反射不完全引起的损耗） 初始强度为I0的光，在腔内经两个镜面反 射往返一周后，其强度应为
r r0 Lθ 0 θ θ 0
则自由空间的平移矩阵为：
r0 r A B r0 1 L θ TL θ TL θ C D 0 0 1 0
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 1 2 d a N L
a2 N L
菲涅耳数
§2.1 光腔理论的一般问题
例CO2 激光器的腔长L=100cm，反射镜直径D=1.5cm， 两镜的光强反射系数分别为r1=0.985,r2=0.8。求由 衍射损耗及输出损耗分别引起的δ、 c、Q、 ( 设n=1) c
10.6 10 1 0.188 解： 衍射损耗: 2 2 2 a (0.75 10 ) L 1 8 c 1.75 10 s 8 c 0.188 3 10 3 108 8 6 Q 2 c 2 3.14 1.75 10 3.11 10 10.6 106
I1 I 0r1r2 I 0e
2 r
1 1 r ln( r1r2 ) (ln r1 ln r2 ) 2 2
1 r [(1 r1 ) (1 r2 )] 2
当r1≈1，r2≈1时，
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例2：（腔镜倾斜时的几何损耗）
m
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
(2)平行平面腔 此时有R1=R2＝∝，
g1＝g2＝1
g1g2＝1
1.腔中沿轴线方向行进的光线能往返无限多次而不 致逸出腔外，且一次往返即实现简并(形成闭合光 路 )． 2.沿非轴向行进的光线在经有限次往返后，必然从 侧面逸出腔外，这又与非稳腔相像。
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
变换矩阵 的特点 ①往返矩阵与初始坐标无关，可用来描述任意 傍轴光线在腔中的传播行为。 ②往返矩阵中的各个元素的具体值与初始出发 位置、光线往返顺序有关。 ③ 1 A D 对于一定结构的球面腔而言是一确定量， 2 而与光线的初始坐标、出发位置和往返 次序无关！ 更进一步，对于共轴球 面腔，下式永远成立：
Hale Waihona Puke Baidu
1 2
I0 I1
I 0 I1 ' 2I 0
说明：当损耗较小时，两种定义一致。
§2.1 光腔理论的一般问题
3 光子在腔内的平均寿命 （又叫腔的时间常数）
L' R c
I m I 0 (e
2 m
) I 0e
2 m
t m 2 L / c
t时刻的光强为
I (t ) I 0e
镜面的横向尺寸时，光不逸出，即为稳定。 我们讨论φ的取值情况： 1)φ为实数
a. Tn为有限值的条件为Sinφ不为0
φ不等于Kπ
即
1 ＝arc cos （A＋D） K 2 1 1 < （A＋D）< 1 稳定条件 2
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 2L 2L 2L2 A D 1 2 R1 R2 R1R2
第二章 开放式光腔与高斯光束
1 利用ABCD矩阵分析光腔稳定性 2 腔与模的关系分析 3 高斯光束的基本性质 4 q参数应用
§2.1 光腔理论的一般问题
一 光腔的构成和分类
1、开腔： 稳定腔、非稳腔、临界 F-P腔：最早提出来的平行平面光腔 共轴球面腔(b) 2、闭腔：介质腔(a) 3、气体波导激光谐振腔 4、光腔的其它分类
§2.1 光腔理论的一般问题
二 F-P腔TEMmnq模之纵模
驻波条件: 波从某一点出发,经腔内往返一周再 回到原来位置时,应与初始出发波同相
2
2 L ' q 2 L ' ni Li L ' q 2 q
c c q q 1 q 2nL 2 L'
r
>0 <0 <0
两种描述是统一的！
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
说明：光传输中，r ,θ可能发生变化，而变化后 的r 、θ可用一个ABCD传输矩阵与初始光线的矩 阵相乘得到。 B r , 0 0 2、自由空间的平移矩阵 r, A A处：r0，0 L B处：r’，’
选 择 损 耗
非 选 择 损 耗
§2.1 光腔理论的一般问题
2 平均单程损耗因子 定义一：若初始光强为 返一次后，光强衰减为
I0
,在腔中往 I 1 ，则有：
i
I1 I 0 exp(2 )
ln
对于多种损耗，则： i 定义二：单程渡越时光 I 0 I1 2 ' 强的平均衰减百分数 I0
0 q
c q q 2nL
——纵模间隔
满足谐振条件的各个频率 q 是分立的！
§2.1 光腔理论的一般问题
腔精细度F及线宽 自由光谱区（FSR）
q
c c
：腔线宽
E0 t1 Ein
g R1R2e
p
e
i
1 2
FSR Finesse
Ecav
E0 1 g
Finesse
gm
1 gm
1 P cav Pmax 1 (2F )2 sin 2 ( )
§2.1 光腔理论的一般问题
三 光腔的损耗 1 分类
光学开腔的损耗包括： • 几何偏折损耗 • 衍射损耗 • 腔镜反射不完全所引起的损耗 • 材料中的非激活吸收、散射、腔内插入 的光学元件或其它物体所引起的损耗
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
A B 其中: T C D
2L A 1 R2
L B 2 L 1 R 2
2 2 2 L C 1 R1 R1 R2
2L 2 L 2 L D 1 1 R R R 1 2 1
6、共轴球面腔中光线往返n次的变换矩阵 T n 由Sylvester定理有: Bn r0 rn r0 r0 An T T Tn C D n 0 n 0 0 n B sin n 1 Asin n sin n 1 Tn C sin n D sin n sin n 1 sin 1 其中： arccos A D 2
3、界面的折射矩阵 入射 r0 , 0 出射 r,
r r0
n1 θ θ0 n2
n1
n2
n10 n2
0 1 TS 0 n1 n2
4、球面镜的反射矩阵Tr
1 0 对于薄透镜有 Tr 2 1 类似的关系 R
(3)共心腔
满足条件 R1十R2＝L的谐振腔称为共心腔， 面的曲率中心互相重合。
1 c 5.7 MHz 8 2 c 2 3.14 2.78 10
1
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
一、傍轴光线往返传输的矩阵（ABCD矩阵）描述 1、傍轴光线的坐标描述和矩阵描述 (1) 坐标描述 r ：光线离光轴的距离 r ： 光线与光轴的夹角 傍轴光线:tg sin 正,负号规定： (2)矩阵描述
0 < (1
L L 2(1 )(1 ) 1 R1 R2
L L )(1 ) < 1 R1 R2
L g1＝1 R 1 定义谐振腔的g参数 g ＝1 L 2 R2
> 0 < g1g2 < 1
稳定条件
b.Sinφ=0, Tn为极大值 即 1 （A＋D）＝ 1 2
D 2 L
2 DL c
L c
L
2D
6
以D=1cm，L=1m计算，如果要求损耗低于0.01
2 10 rad 0.4
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例3：（衍射损耗）
1.22
D
忽略第一暗 环以外的光
假设爱里斑 内光强均匀
W1 S1 (a L )2 a 2 2 L 1.22 L 1 2 2 2 W1 W0 S1 S0 (a L ) a a a L
I(t)=Nh v t
R
在t～ t+dt内减少的光子数密度为
dN
R
N0
e
t
R
dt
这（-dN）个光子的寿命均为t，N0 个光子 的平均寿命为 t 1 1 N0 R t ( dN )t t ( )e dt R N0 N0 0 R
§2.1 光腔理论的一般问题
t c L
I 0e
t
R
I0 e
L R c
物理意义: 当 可见， 越大， R 越短，腔内光子数衰减越快！
R 也可看成腔内光子的平均寿命。
t R
时， I m
§2.1 光腔理论的一般问题
I ( t ) I 0e
设t时刻光子数密度为N
t
R
N ( t ) N 0e
1 2L 2L 2 L2 A D 1 2 R1 R2 R1R2
Tn
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
7 光学谐振腔的稳定性条件
rn Anr1 Bn1 的rn和θn取值大小，反映的是光线偏离 n Cnr1 Dn1 光轴能力的程度 当其为有限值，即小于
1 ＝acr cos （A＋D）＝K 2
g1g2＝ 1或者g1g2＝0
临界腔
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件 常见的几种临界腔 (1) 对称共焦腔 满足条件Rl＝R2＝ Lg 的谐振腔称为对称共焦腔， g1＝ ＝0 g1g2＝0 2 这时腔的中心即为两个镜面的公共焦点。对称 共焦腔满足
任意徬轴光线均可在腔内往返无限多次而不致 横向逸出，而且经两次往返即自行闭合。共焦 腔应属于稳定腔。
L
6
1 c 9.1MHz 8 2 c 2 3.14 1.75 10
1
§2.1 光腔理论的一般问题
输出损耗:
1 ln r1r2 0.5 ln(0.985 0.8) 0.119 2
L 1 8 c 2.78 10 s 8 c 0.119 3 10
0
r2 r1
TR
10 1 1 f
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
5、共轴球面腔的往返矩阵 T 一次往返 两次自 由空间 和两次 球面镜 反射
L
r5 r1 r1 T T T T T R 1 L R 2 L θ θ θ 5 1 1
折叠腔、环形腔 复合腔－腔内加入其它光学元件，如透镜，F－P标准具等
腔
§2.1 光腔理论的一般问题
折叠腔
M3
染料调Q装置示意图
KTP M4
l3
l2
Pump Output 808nm M1 Nd:YVO4 TGG /2 M2 671nm
l1
环形腔
Fig.1 The schematic design of all-solid-state green laser of single-frequency operation
4 无源腔的Q值 定义一 :
E Q P
腔内储存的总能量
单位时间内损耗的能量
定义二 :
Q R
L' 2 c
激光的单模线宽
定义三 :
Q c
小结：损耗越大， Q值越小。
§2.1 光腔理论的一般问题 损耗举例1：（由镜反射不完全引起的损耗） 初始强度为I0的光，在腔内经两个镜面反 射往返一周后，其强度应为
r r0 Lθ 0 θ θ 0
则自由空间的平移矩阵为：
r0 r A B r0 1 L θ TL θ TL θ C D 0 0 1 0
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 1 2 d a N L
a2 N L
菲涅耳数
§2.1 光腔理论的一般问题
例CO2 激光器的腔长L=100cm，反射镜直径D=1.5cm， 两镜的光强反射系数分别为r1=0.985,r2=0.8。求由 衍射损耗及输出损耗分别引起的δ、 c、Q、 ( 设n=1) c
10.6 10 1 0.188 解： 衍射损耗: 2 2 2 a (0.75 10 ) L 1 8 c 1.75 10 s 8 c 0.188 3 10 3 108 8 6 Q 2 c 2 3.14 1.75 10 3.11 10 10.6 106
I1 I 0r1r2 I 0e
2 r
1 1 r ln( r1r2 ) (ln r1 ln r2 ) 2 2
1 r [(1 r1 ) (1 r2 )] 2
当r1≈1，r2≈1时，
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例2：（腔镜倾斜时的几何损耗）
m
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
(2)平行平面腔 此时有R1=R2＝∝，
g1＝g2＝1
g1g2＝1
1.腔中沿轴线方向行进的光线能往返无限多次而不 致逸出腔外，且一次往返即实现简并(形成闭合光 路 )． 2.沿非轴向行进的光线在经有限次往返后，必然从 侧面逸出腔外，这又与非稳腔相像。
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
变换矩阵 的特点 ①往返矩阵与初始坐标无关，可用来描述任意 傍轴光线在腔中的传播行为。 ②往返矩阵中的各个元素的具体值与初始出发 位置、光线往返顺序有关。 ③ 1 A D 对于一定结构的球面腔而言是一确定量， 2 而与光线的初始坐标、出发位置和往返 次序无关！ 更进一步，对于共轴球 面腔，下式永远成立：
Hale Waihona Puke Baidu
1 2
I0 I1
I 0 I1 ' 2I 0
说明：当损耗较小时，两种定义一致。
§2.1 光腔理论的一般问题
3 光子在腔内的平均寿命 （又叫腔的时间常数）
L' R c
I m I 0 (e
2 m
) I 0e
2 m
t m 2 L / c
t时刻的光强为
I (t ) I 0e
镜面的横向尺寸时，光不逸出，即为稳定。 我们讨论φ的取值情况： 1)φ为实数
a. Tn为有限值的条件为Sinφ不为0
φ不等于Kπ
即
1 ＝arc cos （A＋D） K 2 1 1 < （A＋D）< 1 稳定条件 2
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 2L 2L 2L2 A D 1 2 R1 R2 R1R2
第二章 开放式光腔与高斯光束
1 利用ABCD矩阵分析光腔稳定性 2 腔与模的关系分析 3 高斯光束的基本性质 4 q参数应用
§2.1 光腔理论的一般问题
一 光腔的构成和分类
1、开腔： 稳定腔、非稳腔、临界 F-P腔：最早提出来的平行平面光腔 共轴球面腔(b) 2、闭腔：介质腔(a) 3、气体波导激光谐振腔 4、光腔的其它分类
§2.1 光腔理论的一般问题
二 F-P腔TEMmnq模之纵模
驻波条件: 波从某一点出发,经腔内往返一周再 回到原来位置时,应与初始出发波同相
2
2 L ' q 2 L ' ni Li L ' q 2 q
c c q q 1 q 2nL 2 L'
r
>0 <0 <0
两种描述是统一的！
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
说明：光传输中，r ,θ可能发生变化，而变化后 的r 、θ可用一个ABCD传输矩阵与初始光线的矩 阵相乘得到。 B r , 0 0 2、自由空间的平移矩阵 r, A A处：r0，0 L B处：r’，’
选 择 损 耗
非 选 择 损 耗
§2.1 光腔理论的一般问题
2 平均单程损耗因子 定义一：若初始光强为 返一次后，光强衰减为
I0
,在腔中往 I 1 ，则有：
i
I1 I 0 exp(2 )
ln
对于多种损耗，则： i 定义二：单程渡越时光 I 0 I1 2 ' 强的平均衰减百分数 I0
0 q
c q q 2nL
——纵模间隔
满足谐振条件的各个频率 q 是分立的！
§2.1 光腔理论的一般问题
腔精细度F及线宽 自由光谱区（FSR）
q
c c
：腔线宽
E0 t1 Ein
g R1R2e
p
e
i
1 2
FSR Finesse
Ecav
E0 1 g
Finesse
gm
1 gm
1 P cav Pmax 1 (2F )2 sin 2 ( )
§2.1 光腔理论的一般问题
三 光腔的损耗 1 分类
光学开腔的损耗包括： • 几何偏折损耗 • 衍射损耗 • 腔镜反射不完全所引起的损耗 • 材料中的非激活吸收、散射、腔内插入 的光学元件或其它物体所引起的损耗
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
A B 其中: T C D
2L A 1 R2
L B 2 L 1 R 2
2 2 2 L C 1 R1 R1 R2
2L 2 L 2 L D 1 1 R R R 1 2 1
6、共轴球面腔中光线往返n次的变换矩阵 T n 由Sylvester定理有: Bn r0 rn r0 r0 An T T Tn C D n 0 n 0 0 n B sin n 1 Asin n sin n 1 Tn C sin n D sin n sin n 1 sin 1 其中： arccos A D 2
3、界面的折射矩阵 入射 r0 , 0 出射 r,
r r0
n1 θ θ0 n2
n1
n2
n10 n2
0 1 TS 0 n1 n2
4、球面镜的反射矩阵Tr
1 0 对于薄透镜有 Tr 2 1 类似的关系 R
(3)共心腔
满足条件 R1十R2＝L的谐振腔称为共心腔， 面的曲率中心互相重合。