机器人学基础 第4章 机器人动力学 蔡自兴.
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3. 坐标系的位置变化如下：初始时，坐标系与重合，让坐标系绕轴旋转角；然后再绕旋转角。
给出把对矢量的描述变为对描述的旋转矩阵。
解：坐标系相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。
对描述有；其中。
9. 图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。
要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。
（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
（2）作图说明每个从右至左的变换序列。
（3）作图说明每个从左至右的变换序列。
解：（1）方法1:如图建立两个坐标系、，与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：；对楔块2进行的变换矩阵为：；其中；所以：；对楔块2的变换步骤：①绕自身坐标系X轴旋转；②绕新形成的坐标系的Z轴旋转；③绕定系的Z轴旋转；④沿定系的各轴平移。
方法2：如图建立两个坐标系、与参照坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法2）对楔块1进行的变换矩阵为：；对楔块2进行的变换矩阵为：；所以：；。
备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。
（2）、（3）略。
2. 图3-11 给出一个3自由度机械手的机构。
轴1和轴2垂直。
试求其运动方程式。
解：方法1建模：如图3建立各连杆的坐标系。
图3：机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。
表1：机械手的连杆参数该3自由度机械手的变换矩阵：；；；；方法二进行建模：坐标系的建立如图4所示。
图4：机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2。
表2：机械手的连杆参数；；；3. 图3-12 所示3 自由度机械手，其关节1与关节2相交，而关节2与关节3平行。
图中所示关节均处于零位。
各关节转角的正向均由箭头示出。
指定本机械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵，和。
第四章__机器人动力学ppt课件
pdii1npzii1opzji1apzk
pi 0i0j0k
§ 4.2 机械手动力学方程
n
Dij Tra(TcpepjIppiTpT) pmai,xj
n
mp piTkppjpdi•pdjprp(pdipjpdjpj)
pmai,xj
其中 kp
kkp2p2xxxy
kp2xz
kp2xy k2
pyy
力矩T1和T2的动力学表达式的一般形式和矩阵表达式为： T 1 D 1 1 1 D 1 2 D 1 1 1 2 1 D 1 2 2 2 2 D 1 1 1 2 2 D 1 2 2 1 1 D 1 （4.1-8) T 2 D 2 1 1 D 2 2 D 2 1 1 2 1 D 2 2 2 2 2 D 2 1 1 2 2 D 2 2 2 1 1 D 2 （4.1-9)
n
D i i m pp i 2 T x k p 2 x p i 2 x T y k p 2 y p i 2 y T z k p 2 zp d z i • p d i 2 p r p • ( p d i p i)
p m i ,jax
如果为旋转关节
n
D i i m p n 2 p T k p 2 x o x 2 p T k x p 2 y a y 2 p T k y p 2 z z p p • z p p 2 p r p • ( p p • n p ) i ( p p • o p ) j ( p p • a p ) k
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定性 和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。
§ 4.2 机械手动力学方程
4.2.2 动力学方程的简化
1 惯量项Dij的简化
第4章 机器人动力学
1 1 T T K i mi vcivci i I ii 2 2
因为机器人的全部运动能量 K ，由各连杆的 运动能量的总和表示，所以得到 （4－20） n 为机器人的关节总数。其次我们来考 式中， 虑把作为机器人各关节速度的函数。这里 vci 与 i 分别表示如下：
图4－2
机械手的虚位移和施加的力
假设 ： T m1 手爪的虚位移为 r r1 ,, rm , R T n1 , , , R 关节的虚位移为 1 n T m1 手爪力为 F f1 ,, f m , R T n1 关节驱动力为 1 ,, n , R 如果施加在机械手上的力作为手爪力 的反力（用-F来表示）时，机械手的虚功 可表示为：
则由式（4－10）可以得到驱动力如下
L2 A J FA L2
T
L1 f x L2 f x 0 0 L2 f x
L1 0 L1 f y f 0 y 0
i 1
(i ) vci J L q
K Ki
n
(i ) i J A q
（4－21） （4－22）
(i ) 相关的雅可比矩阵，J A 是与i第个连杆转动速度相 关的雅可比矩阵。为了区别于与指尖速度相关的 雅可比矩阵，在上面标明了注角（i）。
(i ) J 式中， L 是与 i第个连杆重心位置的平移速度
因此得到
LA FB FA LB
（4－4）
4 机器人动力学
力传递有关,称为机器人力雅克比。 机器人力雅克比正好是速度雅克比的转置。
章目录 节目录
4.2.3 机器人静力计算
机器人操作臂静力计算可分为两类问题：
（1）已知外界环境对机器人手部的作用力F′（即手部端点 力F=-F′），可求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。 （ 2）已知关节驱动力矩 τ，确定机器人手部对外界环境的 作用力或负载的 质量。 第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为
机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失1或 多个自由度。不管机器人关节速度怎样选择, 手部也 不可能动
本节完 章目录 节目录
4.2 机器人静力分析
4.2.1 操作臂的力和力矩平衡
4.2.2 机器人力雅可比 4.2.3 机器人静力计算
章目录
4.2.1 操作臂的力和力矩平衡
定义如下变量：
fi–1，i及ni–1，i ——i–1杆通过 关节i作用在i杆上的力和力矩； fi，i+1及ni，i+1——i杆通过关 节i+1作用在i+1杆上的力和力 矩； –fi，i+1及–ni，i+1——i+1杆通 过关节i+1作用在i杆上的反作 用力和反作用力矩； fn，n+1及nn，n+1——机器人最 末杆对外界环境的作用力和力 矩； –fn，n+1及–nn，n+1——外界环 境对机器人最末杆的作用力和 力矩；
l1s1 l2 s12 J l1c1 l2 c12 l2 s12 l2 c12
节目录
令
X J 1 Y 1
X 2 Y 2
章目录
n自由度机器人 的速度雅可比 表示为: J(q)
第四章 机器人动力学 53页 0.6M
m1 m2 gd1 sin1 m2 gd2 sin1 2 c11
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 2
(4 12)
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.2 机械手动力学方程的求法
当考虑关节摩擦阻尼时
T2 d L L dt 2 2
r (t ) r ' (t ) ro ' (t )
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.0 动力学基本定理
绝对运动速度：在定坐标系中的运动速度 相对运动速度：在动坐标系中的运动速度 牵连运动速度：动坐标系在定坐标系中的运动速度 绝对运动加速度：在定坐标系中的运动加速度 相对运动加速度：在动坐标系中的运动加速度 牵连运动加速度：动坐标系在定坐标系中的运动加速度 当牵连速度为平动时， a ae ar 当牵连运动为定轴转动时，
Qj:为非势的广义力
当含有粘性阻尼时，方程变为：
L Q j ，Φ：瑞利耗三散函数 q q j j
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.0 动力学基本定理
例：图示为振动系统方程
1。动能
2。势能
1 2 T (m1 x12 m2 x2 ) 2
注意：这里只求显因变量的偏导数
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.2 机械手动力学方程的求法
代入拉格朗日方程
T1 d L L dt 1 1
m1 m2 d12 m2 d 22 2m2 d1d 2 cos 2 m2 d 22 m2 d1d 2 cos 2 2 1 2m d d sin m d d sin 2 m1 m2 gd1 sin1 m2 gd2 sin1 2
最新第4章机器人动力学教学讲义ppt课件
4
18
2
4
10
6
4
2
2
4
10
6
外 空 间 负 载
0 90 180 270
1 0 -1 0
402
200
100
402
2
202
100
100
202 102
2
0
100
2
2
202
100
100
202 102
4.1.2 动力学方程的两种求法
4.1.2 动力学方程的两种求法
牛顿-欧拉动态平衡法 错误！
二连杆系统的动力学方程的一般形式为：
(4 .4 )
4.1 刚体动力学
4.1.2 动力学方程的两种求法
拉格朗日功能平衡法
二连杆机械手系统的拉格朗日函数L为：
LKP
1 2 (m 1 m 2 )d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 )
m 2 d 1 d 2 c 2 ( 1 2 o 1 2 ) ( m s 1 m 2 ) g 1 c 1 d m o 2 g 2 c 1 s d o 2 ) s
第四章 机器人动力学
4.1.1 刚体的动能与位能
K12M1x1212M0x02 P1 2k(x1x0)2M 1g1x M 0g0x
D
1 2c(x1
x0)2
错误！
WF1xF0x
F
x0
F
x1
k
c
M0
图4.1 一般物体的动能与位能
4.1 刚体动力学
4.1.1 刚体的动能与位能
二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为：
( 4 .1 0 )
机器人学-第4章_机器人动力学
机械手系统（包括传动装置）的总动能为：
Kt K Ka
1 2
6 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti qi
Ii
Ti T qk
qj qk
1 2
6
I ai qi2
i 1
(4.20)
4.2.2 动能和位能的计算
23
4.2.2 动能和位能的计算
位能的计算 一个在高度h处质量m为的物体，其位能为：
对拉格朗日函数求导，以得到动 力学方程式。
O3 连杆2
3rp
连杆3 O2
O1 连杆1 0rp
P
连杆4 O4
O
图4.4 四连杆机械手
第四章 机器人动力学
15
4.2.1 速度的计算
连杆3上点P的速度为：
0vp
d dt
(
0
r
p
)
d dt
(T3
3
rp
)
T3 3rp
对于连杆i上任一点的速度为：
v
dr dt
4
4.1.1 刚体的动能与位能
x0 0, x0和x1均为广义坐标，有下式：
M1 x1 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M1 g F M 0 x0 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M 0 g F
或用矩阵形式表示为：
M1
0
0 M0
x1 x0
D212 D221 0
重力项
D1 (m1 m2 )gd1 sin1 m2 gd2 sin(1 2 ) D2 m2 gd2 sin(1 2 )
4.1.2 动力学方程的两种求法
10
拉格朗日功能平衡法
表4.1给出这些系数值及其与位置 2的关系。
机器人学基础第4章
4. 5 典型机器人的逆运动学举例
④求θ5。 由机械臂关节位姿矩阵推导可知:
由于前文已经求解出θ1 ~ θ3, 可以求解出 则根
据
可以求解出 的数值。令:
4. 5 典型机器人的逆运动学举例
得
解得
4. 5 典型机器人的逆运动学举例
下面分两种情况讨论θ4 和θ6 的解法。 当θ5≠0°时: ⑤求θ4 。 根据前文得：
4. 6 逆运动学对机器人的设计约束
根据4. 1 节的内容可以知道, 对于6 自由度机器人来 说, 当存在几个正交关节轴或者有多个αi 为0°或90°, 可能得到解析解。所以当设计6 自由度机械臂时, 通常 会有3 根相交轴, 并尽量使αi 为0°或90°。
此外, 为了使机械臂有更大的灵巧工作空间, 通常将机 械臂的末端连杆设计得短一些。
令式(4 -1) 和式(4 -2) 相等, 可以得到: 解得：
4.2 三个相邻关节轴线交于一点的 逆运动学求解
当θ2≠0 时, 可以解得:
当θ2 =0 时, 可以化作如下形式:
4.2 三个相邻关节轴线交于一点的 逆运动学求解
即:
可以解得: 同理当θ2 = π 时, 可以解得:
4. 3 逆运动学的几何解法
4.2 三个相邻关节轴线交于一点的 逆运动学求解
逆运动学没有通用的求解算法, 通常将机器人的逆运动学解法 分为数值解法和解析解法两类。数值解法是指通过迭代的方 法对运动学方程进行求解, 此种方法求解速度较慢, 且不能保 证求出全部的解。解析法是指通过代数或者几何的方法, 得到 关节角的数学表达式, 本课程主要讨论解析解法。解析法中几 何法与代数法并不完全区别, 几何法中可以引入代数描述, 代 数法可以通过几何性质来简化求解过程, 二者仅是求解过程不 同。
第4章_机器人动力学
i i ∂T ∂T = Trace ∑∑ i i r i r T i ∂q j =1 k =1 ∂q k k
T qk qk & &
(4.16)
4.2 机械手动力学方程
20
4.2.2 动能和位能的计算
动能的计算 令连杆3上任一质点P的质量为dm，则其动能 为：
对于动力学，有两个相反的问题：
其一是已知机械手各关节的作用力或力矩，求各 关节的位移、速度和加速度，求得运动轨迹。 其二是已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、 速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩。
机器人学基础
2
4.1 刚体动力学
拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之 差，即:
L= K −P
图4.3 二连杆机械
4.1.2 动力学方程的两种求法
14
2．牛顿-欧拉动态平衡法
可得:
2 & T1 = [(m1 + m2 )d12 + m2 d 2 + 2m2 d1 d 2 cosθ 2 ]θ&1 2 & & & & + [m2 d 2 + m2 d1 d 2 cosθ 2 ]θ&2 + c1θ 1 − (2m2 d1 d 2 sin θ 2 )θ 1θ 2
图4.4 四连杆机械手
第四章 机器人动力学
16
4.2.1 速度的计算
连杆3上点P的速度为：
0
vp =
d 0 d & ( r p ) = (T3 3 r p ) = T3 3 r p dt dt
对于连杆i上任一点的速度为：
dr v= dt i ∂Ti i ∑ & = q r j =1 ∂q j j
机器人学基础 第4章 机器人动力学 蔡自兴.
Kinetic Energy K1 and
of link 1
x T1 Potential Energy d1 m1
P1
θ1
T2 (x , y ) 1 2 21 1 K1 m1d1 1 , P d2 1 cos 1 1 m1 gd 2 g θ2 m2 (x2, y2)
图4.2 二连杆机器手（1）
v x y
2 2 2 2 2 2
T1 d1 θ1 (x1, y1) g m1
x
T2 d2 θ2 m2 (x2, y2)
x2 d1 sin 1 d 2 sin 1 2 y2 d1 cos 1 d 2 cos 1 2
2 1 1 2 2 2 2 K m d m d m d d cos 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 P2 m2 gd1 cos 1 m2 gd 2 cos 1 2
(4.5)
Fi
d L L , i 1,2, n i qi dt q
4.1 Dynamics of a Rigid Body
15
4.1.2 Two Solutions for Dynamic Equation Lagrangian Formulation
Dynamic Equations:
12
4.1 Dynamics of a Rigid Body
4.1.1 Kinetic and Potential Energy of a Rigid Body
y
Total Kinetic and Potential Energy of a 2-links manipulator are
机器人学蔡自兴课后习题参考答案
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3.坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。
给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵。
解：Θ坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。
∴对P A 其中T A B 9.图 （1 （2（3解：（1对楔块对楔块其中02T 所以：⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣=1000001000011T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣-=1000401000012T 对楔块2的变换步骤：① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180； ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90；④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。
方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法2）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T =； 对楔块2进行的变换矩阵为：3213⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10001000111111111θθθθθθs L c s c L s c A ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000222222222θθθθθθs L c s c L s c A ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010*******333θθθθc s s c A ；方法二进行建模：坐标系的建立如图4所示。
图4：机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2。
表2：机械手的连杆参数连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。
机械手的D-H 参数值见表3。
表3：机械手的连杆参数注：关节变量04321====θθθθ。
将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=1000010010000012110L L T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010********321L T ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001000010001432L T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000100001000013末T 方法2建模：⎦⎣1000⎦⎣10001. 已知坐标系}C {对基座标系的变换为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000131004010C ；对于基座标系的微分平移分量分别为沿X 轴移动0.5，沿Y 轴移动0，沿Z 轴移动1；微分旋转分量分别为0.1，0.2和0。
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其余的比较简单，大家可以自己考虑。
3.坐标系｛B｝的位置变化如下：初始时，坐标系｛A｝与｛B｝重合，让坐标系｛B｝绕Z B轴旋转角；然后再绕XB旋转角。
给出把对矢量B P的描述变为对A P描述的旋转矩阵。
解：坐标系｛ B｝相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。
对A P描述有A P B T B P；其中A T Rot（z, ）Rot（x,）。
9.图2-10a示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。
要求把它们重新摆放在图2-10b所示位置。
（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
（2）作图说明每个从右至左的变换序列。
（3）作图说明每个从左至右的变换序列。
解：（1）方法1:如图建立两个坐标系｛qx^zj、｛o2x2y2z2｝，与2个楔块相固联。
图1:楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：T1 Rot（y,90）Rot（z,90）；对楔块2进行的变换矩阵为:10 0 0010 5 0 0 10 0 0 0 10 0 1 00 0 1 21 0 0 010 0所以： T 1；T 20 1 0 0 0 1 0 40 0 0 11对楔块 2的变换步骤:① 绕自身坐标系X 轴旋转90 ; ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转180 ； ③ 绕定系的Z 轴旋转90 ； ④沿定系的各轴平移(3,0,4)。
与2个楔块相固联。
对楔块1进行的变换矩阵为：T 1 Rot(y,90)Rot(z,90)； 对楔块2进行的变换矩阵为:T 2 Trans( 3,0,4)Rot(z,90o )；TRot(x,90o )Rot(z, 180°);其中0T方法2:如图建立两个坐标系{o 1x 1y 1z 1}{QX z y z Z ?}与参考坐标系重合，两坐标系(-】，5, O ( 1),5, 2,1)(1, 5T Z1)II(L 0, 0,1)(1,4, ai)图1 :楔块坐标系建立(方法2)(-〔421)/y(1,9, 0 1)T2 Trans( 2,0,9)Trans(4,0,0)Rot(y,90o)Rot(x,180o)Rot(z, 90°)；0 0 1 0 0 0 1 21 0 0 0 1 0 0 0所以：T ；T21 0 1 0 0 20 1 0 90 0 0 1 0 0 0 1备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。
机器人学蔡自兴课后习题答案
其余的比较简单,大家可以自己考虑;3.坐标系}B {的位置变化如下：初始时,坐标系}A {与}B {重合,让坐标系}B {绕BZ 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角;给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵;解： 坐标系}B {相对自身坐标系动系的当前坐标系旋转两次,为相对变换,齐次变换顺序为依次右乘;∴对P A 描述有P T P BA B A =；其中),(),(φθx Rot z Rot T A B =;9.图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体;要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置;1用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列,每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转;2作图说明每个从右至左的变换序列; 3作图说明每个从左至右的变换序列;解：1方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ,与2个楔块相固联;图1：楔块坐标系建立方法1对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T =； 对楔块2进行的变换矩阵为：)180,()90,()90,()4,0,3(oo 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --=；其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001005010000102T ；所以：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10004010000121002T 对楔块2的变换步骤：① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180； ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-;方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合,两坐标系与2个楔块相固联;图1：楔块坐标系建立方法2对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T =； 对楔块2进行的变换矩阵为：)90,()180,()90,()0,0,4()9,0,2(o o o 2--=z Rot x Rot y Rot Trans Trans T ；所以：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10009010000121002T ; 备注：当建立的相对坐标系位置不同时,到达理想位置的变换矩阵不同; 2、3略;2.图3-11给出一个3自由度机械手的机构;轴1和轴2垂直;试求其运动方程式; 解：方法1建模：如图3建立各连杆的坐标系;图3：机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数,见表1;表1：机械手的连杆参数该3自由度机械手的变换矩阵：32130A A A T =；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100001000111111111θθθθθθs L c s c L s c A ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000222222222θθθθθθs L c s c L s c A ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000100000033333θθθθc s s c A ； 方法二进行建模：坐标系的建立如图4所示;图4：机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数,见表2;表2：机械手的连杆参数⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010*******111θθθθc s s c A ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000001000221222θθθθc s L s c A ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000100000332333θθθθc s L s c A ； 3.图3-12所示3自由度机械手,其关节1与关节2相交,而关节2与关节3平行;图中所示关节均处于零位;各关节转角的正向均由箭头示出;指定本机械手各连杆的坐标系,然后求各变换矩阵10T ,21T 和32T ;解：对于末端执行器而言,因为单独指定了末端执行器的坐标系,则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系; 方法1建模：按照方法1进行各连杆的坐标系建立,建立方法见图5;图5：机械手的坐标系建立连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合;机械手的D-H 参数值见表3;表3：机械手的连杆参数注：关节变量04321====θθθθ;将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=1000010010000012110L L T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010********321L T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001000010001432L T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000100001000013末T 方法2建模：按照方法2进行各连杆的坐标系建立,建立方法见图6;图6：机械手的坐标系建立3自由度机械手的D-H 参数值见表4;表4：机械手的连杆参数注：关节变量04321====θθθθ;将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=100010000100012110L L T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000010010000121T ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001000010001332L T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000100001000143L T 末1. 已知坐标系}C {对基座标系的变换为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000131004010C ；对于基座标系的微分平移分量分别为沿X 轴移动,沿Y 轴移动0,沿Z 轴移动1；微分旋转分量分别为,和0;（1） 求相应的微分变换；（2） 求对应于坐标系}C {的等效微分平移与旋转; 解：1对基座标系的微分平移：T d ]1,0,5.0[=；对基座标系的微分旋转：T ]0,2.0,1.0[=δ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∆0000101.02.001.0005.02.000； 相应的微分变换：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∆=00005.01.02.000001.05.0002.0c dc 2由相对变换C 可知n 、o 、a 、p ,5.0))((=+⨯⋅=d p n d x cδ；5.0))((=+⨯⋅=d p o d y c δ；0))((=+⨯⋅=d p a d z cδ0=⋅=δδn x c；1.0=⋅=δδo y c ；2.0=⋅=δδa z c对应于坐标系}{C 的等效微分平移：]0;5.0;5.0[=d c ；微分旋转：]2.0;1.0;0[=δc;2. 试求图所示的三自由度机械手的雅可比矩阵,所用坐标系位于夹手末端上,其姿态与第三关节的姿态一样; 解:设第3个连杆长度为3L ;1使用方法1建模,末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合,使用微分变换法;图7：机械手的坐标系建立表5：D-H 参数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=100001000)()(0)()(22323222323231θθθθθθθθθθs L c s c L s c T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010*********32θθθθc s s c T ；E T =33； 由上式求得雅可比矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11000000000000003232θθc L s L J T； 2使用方法2建模,使用微分变换法;图8：机械手的坐标系建立表6：D-H 参数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-++-+=10000)()(01000)()(223232221323231θθθθθθθθθθs L c s c L L s c T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010*********32θθθθc s L s c T ；E T =33；由上式求得雅可比矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=11000)(00)(00000032322213232θθθθθθθc s c L L c L s L J T；。
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F F M1 k M0 c
x0 x1
①
②
③
④
⑤
① Kinetic Energy due to (angular) velocity ② Kinetic Energy due to position (or angle) ③ Dissipation Energy due to (angular) velocity ④ Potential Energy due to position ⑤ External Force or Torque
Newton-Euler Formulation
Articulated Multi-Body Dynamics
Ch.4 Manipulator Dynamics
2
Ch.4 Manipulator Dynamics
Introduction
Manipulator Dynamics considers the forces required to cause desired motion. Considering the equations of motion arises from torques applied by the actuators, or from external forces applied to the manipulator.
Lagrangian dynamic formulation
Lagrangian formulation is an "energy-based" approach to dynamics.
Ch.4 Manipulator Dynamics
4
Ch.4 Manipulator Dynamics
There are two problems related to the dynamics of a manipulator that we wish to solve. Forward Dynamics: given a torque vector, Τ, calculate the resulting motion of the manipulator, , , and . This is useful for simulating the manipulator. Inverse Dynamics: given a trajectory point, , , and , find the required vector of joint torques, Τ. This formulation of dynamics is useful for the problem of controlling the manipulator.
Ch.4 Manipulator Dynamics
6
4.1 Dynamics of a Rigid Body 刚体动力学
Langrangian Function L is defined as:
LK P
Kinetic Energy
Potential Energy
(4.1)
Dynamic Equation of the system (Langrangian Equation): d L L Fi , i 1,2, n (4.2) i qi dt q
7
4.1 Dynamics of a Rigid Body
4.1.1 Kinetic and Potential Energy of a Rigid Body
K
P
1 1 2 M 1 x12 M 0 x0 2 2
1 k ( x1 x 0 ) 2 M 1 gx1 M 0 gx 0 2
F F M1 k M0
图4.1 一般物体的动能与位能
x0 x1 c
D
1 c( x1 x0 ) 2 2
W Fx1 Fx 0
4.1 Dynamics of a Rigid Body
8
4.1.1 Kinetic and Potential Energy of a Rigid Body
x0 0, x1 is a generalized coordinate
机器人学基础
第四章 机器人动力学
中南大学 蔡自兴，谢 斌 zxcai, xiebin@ 2010
Fundamenttents
Introduction to Dynamics
Rigid Body Dynamics
Lagrangian Formulation
i where qi is the generalized coordinates, q represent corresponding velocity, Fi stand for corresponding torque or force on the ith coordinate.
4.1 Dynamics of a Rigid Body
Ch.4 Manipulator Dynamics
5
Contents
Introduction to Dynamics
Rigid Body Dynamics
Lagrangian Formulation
Newton-Euler Formulation
Articulated Multi-Body Dynamics
Ch.4 Manipulator Dynamics
3
Ch.4 Manipulator Dynamics Two methods for formulating dynamics model：
Newton-Euler dynamic formulation
Newton's equation along with its rotational analog, Euler's equation, describe how forces, inertias, and accelerations relate for rigid bodies, is a "force balance" approach to dynamics.