高中数学复习数列的极限

●知识梳理

1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.

注：a 不一定是｛a n ｝中的项.

2.几个常用的极限：①∞

→n lim C =C （C 为常数）;②∞

→n lim

n

1

=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.

3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞

→n lim a n =a , ∞

→n lim b n =b 时，∞

→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;

∞

→n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞

→n lim

n n b a =b

a

（b ≠0）. 特别提示

（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个.

1.下列极限正确的个数是

①∞→n lim αn 1

=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞

→n lim

n

n n n 3232+-=－1 ④∞

→n lim C =C （C 为常数）

A.2

B.3

C.4

D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B

2. ∞→n lim ［n （1－

31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于

A.0

B.1

C.2

D.3

解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2

1

+n ）］

=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2

1

++n n ］ =∞→n lim 22+n n

=2. 答案:C

3.下列四个命题中正确的是

A.若∞

→n lim a n 2＝A 2，则∞

→n lim a n ＝A

B.若a n ＞0，∞

→n lim a n ＝A ，则A ＞0

C.若∞

→n lim a n ＝A ，则∞

→n lim a n 2＝A 2

D.若∞

→n lim （a n －b ）＝0，则∞

→n lim a n ＝∞

→n lim b n

解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ； 取a n ＝n

1

，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ． 答案:C

4.（2005年春季上海,2） ∞→n lim

n

n ++++ 212

=__________.

解析:原式=∞→n lim 2

)1(2

++n n n =∞→n lim 221212n

n n ++=0.

答案:0

5.（2005年春季北京,9） ∞→n lim 32222-+n n

n =____________.

解析:原式=∞→n lim

2

322

1n

n -+

=2

1. 答案:

21 思考讨论

●典例剖析

【例1】 求下列极限： （1）∞

→n lim

7

57222+++n n n ;（2） ∞

→n lim （n n +2－n ）;

（3）∞

→n lim （

22n +24n + (22)

n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.

解:（1）∞

→n lim

7

57

222

+++n n n =∞→n lim 22

757

12n

n

n +++

=52.

（2）∞

→n lim （n n +2－n ）= ∞

→n lim

n

n n n ++2=∞

→n lim

1111++

n

=

2

1. （3）原式=∞

→n lim

22642n n ++++ =∞→n lim 2

)1(n n n +=∞→n lim （1+n 1）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)

75(lim )

72(lim 22+++∞

→∞

→n n n n n =

∞

∞

=1,②∵∞→n lim （2n

2

+n +7）, ∞

→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：

①∞

→n lim （n n +2－n ）= ∞

→n lim

n n +2－∞

→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞

→n lim

n n +2－∞

→n lim n =

∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞

→n lim

22n +∞→n lim 2

4n +…+∞→n lim

22n n

=0+0+…+0=0这样的错误.

【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．

（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；

（2）求∞

→n lim

1

122+-+-n n

n n a a 的值．

解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,

∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －

1.

∴S n ＝⎪

⎩⎪

⎨⎧≠>--=).

10(1)

1(3)1(3c c c

c c n n 且

（2） ∞

→n lim

1

122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n n n n c

c 32321

1+---. ①当c =2时，原式＝－

4

1

; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c

c c n n 3)2(23

)2

(11+⋅---＝－c 1;

③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 1

1

)2

(32)2(31--⋅+-n n c c c ＝21.

评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.

【例3】 已知直线l :x －ny =0（n ∈N *）,圆M :（x +1）2+（y +1）2=1,抛物线ϕ:y =（x －1）