概率论与数理统计经典考试题型
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率论与数理统计练习题集及答案
概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。
概率论与数理统计习题（含解答,答案）
概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。
8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。
⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
(完整版)概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题(1)判断题(本题共15分，每小题3分。
正确打“V” ，错误打“X” )⑴对任意事件A和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ()⑵ 设A、B是Q中的随机事件,则(A U B)-B=A ()⑶ 若X服从参数为入的普哇松分布，则EX=DX⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理1 n _⑸ 样本方差S：= —(X i X )2是母体方差DX的无偏估计(n i i、(20分)设A、B、C是Q中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来(1) 仅A发生，B、C都不发生;(2) 代B,C中至少有两个发生；(3) 代B,C中不多于两个发生;(4) 代B,C中恰有两个发生；(5) 代B,C中至多有一个发生。
三、(15分)把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为X 2 1 0 1 31 1 1 1 11P5 6 5 15 302 求Y X的分布列.1五、(10分)设随机变量X具有密度函数f(x) -e|x|, V x V2求X的数学期望和方差•六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14 X 30).七、(15分)设X1 ,X2,L ,X n是来自几何分布k 1P(X k) p(1 p) , k 1,2,L , 0 p 1 ,的样本，试求未知参数p的极大似然估计•X表示在x 0 0.5 1 1.5 2①(x ) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.9772.5 30.994 0.999《概率论与数理统计》试题（1）评分标准⑴ X;（2） X;⑶“；⑷"；（5） X o 解(1) ABC(2)ABU AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ；(3) AUBUC 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ； (4) ABC U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC六解X “ P(14 ^b(k;100,0.20), EX=100 X 0.2=20, DX=100 X 0.2 X 0.8=16.-- --5分 分 30 20 14 20、 X 30) ( --------- )( --------------- ) ------------------ V16 J16 ------10(2.5) ( 1.5)=0.994+0.933—10.927. -------------------------------------n——15分七解n x nL(X 1, L ,x n ；p)p(1 p)x i1 p n(1 p)i1---------5分 -------------------------------------- 10 分每小题4分；解 设A '三段可构成三角形'又三段的长分别为x,y,a x y ,Oxa, 0 ya, Oxy a ，不等式构成平面域S .Aa A 发生 0 x —, 02不等式确定S 的子域A , 所以a a y , x y a2 2------------------------------------ 10A 的面积 1S 的面积 4---------------------------------------- 15则 分分分四 解Y 的分布列为Y 0 1 4 91 7 1 11P — ----- — —5 30 5 30Y 的取值正确得2分， 分布列对一组得 2分； 五 解 EXx 2 凶 dx 0, （因为被积函数为奇函数）2D X EX 22 x 1 |x| 1 —e dx x 2e x dx22 xx e0 2 xe x dx 0------------------------- 4 分 2[ xe x 0e x dx] 2.In L n In p d In L n dp p (X i n )l n(1 p),i 1 X i n @0, --------------------------- 10 分 解似然方程 n n X in i 1 得p 的极大似然估计 ------------------------------------------------------------------- 15 分 《概率论与数理统计》期末试题(2) 与解答一、填空题(每小题 3分，共15分) 1. 设事件 代B 仅发生一个的概率为 0.3，且P(A) P(B) 0.5，则 代B 至少有一个不发 生的概率为 ___________ . 2. __________________________________________________________________________ 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X 1) 4P(X 2)，则P(X 3) _______________________ . 23. _______________________ 设随机变量X 在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 在区间(0,4)内的概率 密度为f Y (y) . 的指数分布，P(X 1) e 2，则4. 设随机变量 X,Y 相互独立，且均服从参数为5._______ , P{min( X ,Y) 1} = ____ 设总体X 的概率密度为 (1)x , 0 x 1, f (x)0, 其它 1.X 1 ,X 2, ,X n 是来自X 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为 ___________解：1. P(AB AB) 0.3即 0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)2所以 P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 092.P(X 1) P(X 0) P(X 1) e e , P(X 2) e由 P(X 1) 4P(X 2)知e e2 2e即2 21 0解得1，故P(X3)1 1 e . 63•设丫的分布函数为F Y (y), X 的分布函数为F x (x)，密度为f x (x)则F Y (V ) P(Y y) P(X 2 y) P( ...y X ,y) FxG.y) F x ( ,y) 因为 X ~U (0, 2)，所以 F X ( ,y) 0,即 F Y (y) F X G. y)1.ln x in i 1二、单项选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A, B,C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是(A) 若P(C) 1,则AC 与BC 也独立. (B) 若P(C) 1,则AUC 与B 也独立. (C) 若P(C) 0,则AUC 与B 也独立.J(y) F Y (y)1 _2丁x(J)0 y 4, 另解 在(0,2)上函数y 所以 2x 严格单调，反函数为h(y)其它..5f Y (y) Afx(7?)诙4孑 0 ,其它.y 4,4. P(X 1) 1 P(X P{min( X ,Y) 1} 111) eP{min( X,Y) 4 e ・ 1} P(X 1)P(Y 1)5.似然函数为L(X 1 ,L ,X n ；n(i 1n1)Xi(1叽1_ X )解似然方程得 ln L n ln(1)ln x i ln x i i 1@0的极大似然估计为EX X(D )若C B ，则A 与C 也独立• ()2•设随机变量 X~N(0,1), X 的分布函数为(x)，贝U P(|X| 2)的值为(A )2[1 (2)] . ( B )2 (2)1 .(C ) 2(2).( D )1 2 (2).()3•设随机变量 X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是(A ) X 与 Y 独立. (B ) D(X Y) DX DY .(C ) D(X Y) DX DY .(D ) D(XY) DXDY .()4•设离散型随机变量 X 和Y 的联合概率分布为(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) P1 1 1 1 691832. X ~ N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2)1 P(2 X1 (2) ( 2) 1 [2 (2) 1] 2[1 (2)]若X,Y 独立，则 7的值为2 112(A ) -, —(A ) J—99991 15 1 (C ), — (D ) — , . ()6618185 •设总体X 的数学期望为,X 1,X 2丄,X n为来自X 的样本，则下列结论中正确的是(A ) X i 是的无偏估计量 (B ) X i 是 的极大似然估计量(C ) X 1是 的相合(一致)估计量(D ) X i 不是 的估计量.() 解：1.因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以( A ), (B ), (C )可见A 与C 不独立.2)应选(A )都是正确的，只能选(事实上由图EX X12 3 P(X 2, Y 2)1 1 1 11— — ■ 1 、69183(- )(-391 1 23321 1丄92 918故应(A).3•由不相关的等价条件知应选(B ) 4•若X,Y 独立则有)P(X 2)P(Y 2)f(o三、(7分)已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A ‘任取一产品，经检验认为是合格品’B ‘任取一产品确是合格品’则(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.P(AB) 0.9 0.95 (2) P(B| A) 0.9977 .P(A) 0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为k2 k3 3 kP(X k) cf(5)k(5)3kX 0 1 2即P27 54 36 125 125 12X的分布函数为0 , x 0,27125 ,0 x 1,F(x )81 1 x 2, 125117 2 x3, 1251 , x 3.2 6 EX3 --5 5DX c 2 3 183 --5 5 25五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域 D匀分布.求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;38125{(x,y)|x 0, y 0, x y 1}上服从均(2)Z X Y的分布函数与概率密(1) (X ,Y)的概率密度为f(x, y) 2, (x, y) D 0,其它.k 0,1,2,3.2 2x, 0 x 1f(x，y)dy0 ,其它(2)利用公式f Z(z) f (x, z x)dx其中f(x,z x) 2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.当z 0 或z 1 时f z (z) 0z的分布函数为z z0 z 1 时f z(z) 2 q dx 2x02z 故Z的概率密度为f z(z)2z, 0 z 1,0,其它.0, z 0 0, z 0,fZ⑵z zf Z(y)dy 02ydy,0 z 1 2z , 0 z 1,1,1 z 1.z 1或利用分布函数法0 , z 0,F Z(Z) P(Z z) P(X Y z) 2dxdy, 0 z 1D11 , z 1.0 , z 0,2z , 0 z 1,1 , z 1.f z (z) F z⑵2z,0 ,0 z 1,其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域D ｛（ x, y） |1 x2 y2 2｝的概率；（2）命中点到目标中心距离Z X Y2的数学期望.D (1)P{X,Y) D} f(x,y)dxdyDx28dxdy 8rdrdf x(X)4 41 2 -8re 8 rdrd1 e 8 r 2dr 8 04 0r2re 丁r 2e T dr 02冷dr阪七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位： cm ） X 〜N （ , 2），今抽取容量为样本，测得样本均值 X 10,样本方差s 2 0.16. （ 1）求的置信度为0.952区间；（2）检验假设H 。
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)概率论试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。
则P(B A)＝3．若事件A和事件B相互独立, P(A)= ,P(B)=0.3，P(A B)=0.7,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词__的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X分布律为P{X k} 5A(1/2)A=______________7. 已知随机变量X的密度为f(x)k(k 1,2, )则ax b,0 x 1,且P{x 1/2} 5/8,则0,其它a ________b ________28. 设X～N(2, ),且P{2 x 4} 0.3,则P{x 0} _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为中率为_________10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x+ x+1=0有实根的概率是280，则该射手的命8111.设P{X 0,Y 0}34，P{X 0} P{Y 0} ，则P{max{X,Y} 0} 7712.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a X b,Y c} 13.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X a,Y b} 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15.已知X~N( 2,0.4)，则E(X 3)＝16.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则17.设X的概率密度为f(x)22D(3X Y)x2，则D(X)＝18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，2），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 219.设D(X) 25,D Y 36, xy 0.4，则D(X Y) 20.设X1,X2, ,Xn, 是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当n充分大时,近似有X～或2～。
2020年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案(完整版)
2020年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案（完整版）一、单选题1、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 (A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭(B){}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (C ）{}(1),k k n k n kP X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (D ）{}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B2、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A3、1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设：216292821X X Y X X Z ++=++= ，则YZ~（ ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F【答案】D4、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 【答案】C5、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验im(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D6、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。
概率论与数理统计自考题型
概率论与数理统计自考题型一、选择题（每题3分，共30分）1. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X ≤ μ)等于（）A. 0B. 0.5C. 1D. 取决于μ和σ的值。
答案：B。
解析：正态分布的图像关于x = μ对称，所以P(X ≤ μ) = 0.5。
2. 若事件A与B相互独立，P(A) = 0.4，P(B) = 0.5，则P(A∪B)等于（）A. 0.7B. 0.8C. 0.6D. 0.9。
答案：A。
解析：因为A与B相互独立，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4 + 0.5 - 0.4×0.5 = 0.7。
3. 设离散型随机变量X的分布律为P(X = k)=ck，k = 1,2,3，则c的值为（）A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3。
答案：A。
解析：根据离散型随机变量分布律的性质，所有概率之和为1，即c+2c+3c = 1，解得c = 1/6。
4. 对于二维随机变量(X,Y)，如果X与Y相互独立，则（）A. Cov(X,Y) = 0B. D(X + Y)=D(X)+D(Y)C. 以上两者都对D. 以上两者都不对。
答案：C。
解析：当X与Y相互独立时，Cov(X,Y) = 0，且D(X + Y)=D(X)+D(Y)。
5. 设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则λ的矩估计量为（）A. XB. 1/XC. X²D. 1/X²。
答案：A。
解析：根据泊松分布的期望为λ，由矩估计法，用样本均值X估计总体的期望λ。
6. 样本方差S²是总体方差σ²的（）A. 无偏估计B. 有偏估计C. 极大似然估计D. 矩估计。
答案：A。
解析：样本方差S²是总体方差σ²的无偏估计。
7. 设总体X~N(μ,σ²)，其中μ未知，σ²已知，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则μ的置信区间为（）A. (X - zα/2(σ/√n),X + zα/2(σ/√n))B. (X - tα/2(s/√n),X + tα/2(s/√n))C. (X - zα/2(s/√n),X + zα/2(s/√n))D. (X - tα/2(σ/√n),X + tα/2(σ/√n))。
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N（2,9），Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案：B2. 设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件，但不是必要条件B 、独立的必要条件，但不是充分条件C 、不相关的必要条件，但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案：B3. 已知P(A)=0.3 ，P(B)=0.5 ，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案：A4. 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=1.44，则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ，p=0.6B 、n=6 ，p=0.4C 、n=8 ，p=0.3D 、n=24 ，p=0.1答案：B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案：B6. 同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案：D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案：D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案：A9. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案：A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ，4) ，Y服从[0 ，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案：D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成，三个元件相互独立，已知各元件不正常的概率分别为：P（A）=0.1 ，P（B）=0.2 ，P（C）=0.3，求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案：A12. 一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1 ，2 ，3 ，4 ，5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案：B13. 设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y ，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案：A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案：D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案：A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计 B一．单项选择题每小题3分;共15分1．设事件A 和B 的概率为12(),()23P A P B == 则()P AB 可能为 A 0; B 1; C 0.6; D 1/62. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字;则这两个数字不相同的概率为 A 12; B 225; C 425; D 以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子;已知点数之和是偶数;则点数之和为6的概率为 A 518; B 13; C 12; D 以上都不对 4．某一随机变量的分布函数为()3x xa be F x e +=+;a=0;b=1则F 0的值为 A 0.1; B 0.5; C 0.25; D 以上都不对5．一口袋中有3个红球和2个白球;某人从该口袋中随机摸出一球;摸得红球得5分;摸得白球得2分;则他所得分数的数学期望为A 2.5;B 3.5;C 3.8;D 以上都不对二．填空题每小题3分;共15分1．设A 、B 是相互独立的随机事件;PA =0.5; PB =0.7; 则()P A B = . 2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==;则n =______.3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=;标准差为()2σξ=;则2()E ξ=_______. 4．甲、乙两射手射击一个目标;他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击;若甲未射中再由乙射击..设两人的射击是相互独立的;则目标被射中的概率为_________.5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22a f x x x =++;a 为常数;则P ξ≥0=_______. 三．本题10分将4个球随机地放在5个盒子里;求下列事件的概率1 4个球全在一个盒子里;2 恰有一个盒子有2个球.四．本题10分 设随机变量ξ的分布密度为1 求常数A ;2 求P ξ<1；3 求ξ的数学期望.五．本题10分 设二维随机变量ξ;η的联合分布是1 ξ与η是否相互独立2 求ξη⋅的分布及()E ξη⋅；六．本题10分有10盒种子;其中1盒发芽率为90％;其他9盒为20％.随机选取其中1盒;从中取出1粒种子;该种子能发芽的概率为多少 若该种子能发芽;则它来自发芽率高的1盒的概率是多少七．本题12分 某射手参加一种游戏;他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标;则得奖金100元;且游戏停止. 若4次都未射中目标;则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3;求他在此游戏中的收益的期望.八．本题12分某工厂生产的零件废品率为5％;某人要采购一批零件;他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件注：(1.28)0.90Φ=;(1.65)0.95Φ=九．本题6分设事件A 、B 、C 相互独立;试证明A B 与C 相互独立.某班有50名学生;其中17岁5人;18岁15人;19岁22人;20岁8人;则该班学生年龄的样本均值为________.十．测量某冶炼炉内的温度;重复测量5次;数据如下单位：℃：1820;1834;1831;1816;1824假定重复测量所得温度2~(,)N ξμσ.估计10σ=;求总体温度真值μ的0.95的置信区间. 注：(1.96)0.975Φ=;(1.65)0.95Φ=概率论与数理统计B 答案一．1．D 、2.D 、3.A 、4.C 、5.C二．1．0.85、2. n =5、3. 2()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分1A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果;故PA =5/625=1/125------------------------------------------------------5分2 5个盒子中选一个放两个球;再选两个各放一球有302415=C C 种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里;其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此;B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故12572625360)(==B P --------------------------------------------------10分四．解：1⎰⎰∞∞-==+=304ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 2⎰==+=<10212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 33300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞===-++⎰⎰ 13(3ln 4)1ln 4ln 4=-=-------------------------------------10分 五．解：1ξ的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛29.032.039.02 1 0--------------------------------2分η的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ;故ξ与η不相互独立-------5分 2ξη⋅的分布列为因此; -------10分另解：若ξ与η相互独立;则应有P ξ＝0;η＝1＝P ξ＝0P η＝1; P ξ＝0;η＝2＝P ξ＝0P η＝2;P ξ＝1;η＝1＝P ξ＝1P η＝1; P ξ＝1;η＝2＝P ξ＝1P η＝2;因此;但 10.012.003.005.0≠;故ξ与η不相互独立.. 六．解：由全概率公式及Bayes 公式P 该种子能发芽＝0.1×0.9+0.9×0.2＝0.27-----------------------------------5分P 该种子来自发芽率高的一盒＝0.1×0.9/0.27＝1/3---------------------10分七．令A k ={在第k 次射击时击中目标};A 0={4次都未击中目标}..于是P A 1=0.3; P A 2=0.7×0.3=0.21; P A 3=0.72×0.3=0.147 P A 4= 0.73×0.3=0.1029; P A 0=0.74=0.2401-----------------------------------6分在这5种情行下;他的收益ξ分别为90元;80元;70元;60元;－140元..-------------------------------------------------------------------------------------------8分因此;--------------------12分八．解：设他至少应购买n 个零件;则n ≥2000;设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布Bn;p; p=0.95. 因n 很大;故Bn;p 近似与Nnp ;npq ------------4分由条件有(2000)10.95P ξ≥≈-Φ=-------------------------------------------8分 因(1.65)0.95Φ=; 1.65=-;解得n=2123; 即至少要购买2123个零件. -------------------------------------------------------------12分九． 证：因A 、B 、C 相互独立;故PAC=PAPC; PBC=PBPC; PAB=PAPB; PABC=PA PBPC.(())()()()()==+-------2分P A B C P AC BC P AC P BC P ABC=+----------------------------4分()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C故A B与C相互独立. -------------------------------------------------------6分。
概率论与数理统计期末考试试卷答案
概率论与数理统计期末考试试卷答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列事件中，不可能事件是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上B. 抛掷一枚硬币，正面和反面同时朝上C. 抛掷一枚骰子，出现7点D. 抛掷一枚骰子，出现1点答案：C2. 设A、B为两个事件，若P(A-B)=0，则下列选项正确的是（）A. P(A) = P(B)B. P(A) ≤ P(B)C. P(A) ≥ P(B)D. P(A) = 0答案：B3. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，则下列结论正确的是（）A. 当n增加时，X的期望值增加B. 当p增加时，X的期望值增加C. 当n增加时，X的方差增加D. 当p增加时，X的方差减少答案：B4. 设X～N(μ, σ^2)，下列选项中错误的是（）A. X的期望值E(X) = μB. X的方差D(X) = σ^2C. X的概率密度函数关于X = μ对称D. 当σ增大时，X的概率密度函数的峰值减小答案：D5. 在假设检验中，显著性水平α表示（）A. 原假设为真的情况下，接受原假设的概率B. 原假设为假的情况下，接受原假设的概率C. 原假设为真的情况下，拒绝原假设的概率D. 原假设为假的情况下，拒绝原假设的概率答案：C二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A、B为两个事件，P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，P(A∩B) = 0.3，则P(A-B) = _______。
答案：0.27. 设随机变量X服从泊松分布，已知P(X=1) = 0.2，P(X=2) = 0.3，则λ = _______。
答案：1.58. 设随机变量X～N(μ, σ^2)，若P(X<10) = 0.2，P(X<15) = 0.8，则μ = _______。
答案：12.59. 在假设检验中，若原假设H0为μ=10，备择假设H1为μ≠10，显著性水平α=0.05，则接受原假设的临界值是_______。
答案：9.5或10.510. 设X、Y为两个随机变量，若X与Y相互独立，则下列选项正确的是（）A. E(XY) = E(X)E(Y)B. D(X+Y) = D(X) + D(Y)C. D(XY) = D(X)D(Y)D. 上述选项都正确答案：D三、解答题（每题25分，共100分）11. 设某班有50名学生，其中有20名男生，30名女生。
概率论与数理统计期末考试题型
概率论与数理统计总共八道大题，题型如下：1.掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式（1）已知,5.0)(,4.0)(,3.0)(===B A P B P A P 求：P(AB); P(A U B);)|(B A B P U .（2）事件A 与B 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A －B)，P(A U B)解：P(AB)= P(A)P(B)=0.3，P(A －B)= P(A)－P(AB)=0.2，P(A U B)= P(A)＋P(B)－P(AB)=0.8（3）若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(A －B)，P(A U B)，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P解：P(A －B)=0.1，P(A B)=0.8，)|(B A P =)()(B P AB P =3/7，)|(B A P =)()()()()(B P AB P B P B P B A P -==4/7，)|(B A P =)(1)()()(B P B A P B P B A P -=U =2/3 2.古典概型，（1）今有甲乙两盒乒乓球，各装10只，已知甲盒中有7只新的，乙盒中有6只新的，现从甲乙两盒中各取一只。
试求：1、取到两只都是新球的概率；2、取到2只都是旧球的概率；3、取到2球是一新一旧的概率。
（2）书12页例1.63.能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
（1）设某仓库有一批产品，已知其中15%、80%、5%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为0.02, 0.01, 0.03. 求 ①现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率？②若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，问这件产品由哪个厂家生产的可能性最大？ （2） 4.一维连续已知X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其它010)21()(x x A x f ,求: (1)常数A ; (2)}22.0{<<X P ; (3)分布函数F (x ); (4)数学期望E (X ); (5)方差D (X )5．二维离散设随机变量(X ,Y )的联合分布律为YX1 2 0 0.2 0.2 0.1 10.10.10.3(1)求边缘分布律P (X =k ) k =0,1 和P (Y =k ) k =0,1,2(2)求条件分布律P (X =k |Y =2) k =0,1和P (Y =k |X =1) k =0,1,2(3)求期望E (X )，E (Y ) (4)求方差D (X )，D (Y ) (5)求协方差 cov(X ,Y )6.会用中心极限定理解题（1）某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.Φ(1.67)=0.9525, Φ(1.68)=0.9535（2）每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．7.统计量的判断，掌握无偏性与有效性的判断方法（1）设321,,X X X 是总体),(~2σμN X 的一个样本，其中μ,0>σ未知，则以下的函数： 1. 321X X X ++； 2. μ33+X ； 3. 1X ； 4. 22X μ； 5.321ii Xσ=∑； 6. }max{i X ； 7. 3X +σ 中哪些为统计量？为什么？（2）设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且,,2σμ==DX EX 则在估计量32112110351ˆX X X ++=μ；32121254131ˆX X X ++=μ； 32131214331ˆX X X ++=μ；3214313131ˆX X X ++=μ中，指出μ的无偏估计量，求出其中方差最小的估计量.（3）设321,,X X X 是来自总体X 的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计，并求出方差，比较哪个更有效。
概率论和数理统计期末考试复习题库
概率论和数理统计期末考试复习题库数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21? ,?的两个无偏估计量，若)?()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案一、单选题1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 21,21,21,21- (D) 161,81,41,212. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．(A) 41414121(B)161814121(C)1631614121 (D)81834121-3. 设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=,,0,10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）．(A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 21)21(=<X P (D) 21)21(=>X P4. 若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=bax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()5. 设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有X a P <(≤=)b （ ）． (A)⎰bax x F d )( (B)⎰bax x f d )((C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．7. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ，则=<)2(X P （ ）． (A) 0.1 (B) 0.4 (C) 0.3 (D) 0.28. 设)1,0(~N X ，Φ)(x 是X 的分布函数，则下列式子不成立的是（ ）．(A) Φ5.0)0(= (B) Φ+-)(x Φ1)(=x (C) Φ=-)(a Φ)(a (D) 2)(=<a x P Φ1)(-a9. 下列数组中，不能作为随机变量分布列的是（ ）．（A ）61,61,31,31 (B) 104,103,102,101 (C) 12141818,,, (D) 131619112,,,10. 若随机变量)1,0(~N X ，则~23-=X Y （ ）．(A) )3,2(-N (B) )3,4(-N (C) )3,4(2-N (D) )3,2(2-N11. 随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则有=)()(X E X D （ ）． (A) n (B) p (C) 1- p (D)p-1112. 如果随机变量X B ~(,.)1003，则E X D X (),()分别为（ ）．(A) E X D X (),().==321(B) 9.0)(,3)(==X D X E(C) E X D X ().,()==033 (D) E X D X ().,().==032113. 设),(~p n B X ，2.1)(,2)(==X D X E ，则p n ,分别是（ ）．(A) 4.0,5 (B) 2.0,10 (C) 5.0,4 (D) 25.0,814. 设),(~p n B X ，且6.3)(,6)(==X D X E ，则=n （ ）．(A) 30 (B) 20(C) 15 (D) 1015. 设)10,50(~2N X ，则随机变量（ ）~)1,0(N .(A)10050-X (B) 1050-X (C) 50100-X (D) 5010-X16. 对于随机事件A B ,，下列运算公式（ ）成立．(A) )()()(B P A P B A P +=+ (B) )()()(B P A P AB P =(C) )()()(A B P B P AB P = (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+17. 下列事件运算关系正确的是（ ）．(A) A B BA B += (B) A B BA B += (C) A B BA B += (D) B B -=118. 设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B19. 设A B ,为随机事件，A 与B 不同时发生用事件的运算表示为（ ）．(A) A B + (B) A B + (C) AB AB + (D) A B20. 若随机事件A ,B 满足AB =∅，则结论（ ）成立． (A) A 与B 是对立事件 (B) A 与B 相互独立(C) A 与B 互不相容 (D) A 与B 互不相容21. 甲、乙二人射击，A B ,分别表示甲、乙射中目标，则AB 表示（ ）的事件．(A) 二人都没射中 (B) 至少有一人没射中 (C) 两人都射中 (D) 至少有一人射中22. 若事件A B ,的概率为6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，则A 与B 一定（ ）．(A) 相互对立 (B) 相互独立 (C) 互不相容 (D) 相容23. 设A ，B 为两个任意事件，则P (A +B ) =（ ）．(A) P (A ) + P (B ) (B) P (A ) + P (B ) - P (A )P (B ) (C) P (A ) + P (B ) - P (AB ) (D) P (AB ) – [P (A ) + P (B ) ]24. 对任意两个任意事件A B ,，等式（ ）成立．(A) P AB P A P B ()()()= (B) P A B P A P B ()()()+=+ (C) P A B P A P B ()()(())=≠0 (D) P AB P A P B A P A ()()()(())=≠025. 设A ，B 是两个任意事件，则下列等式中（ ）是不正确的．(A) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立 (B) )()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P (C) )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容 (D) )()()(A B P A P AB P =，其中0)(≠A P26. 若事件A 与B 互斥，则下列等式中正确的是（ ）． (A) P AB P A P B ()()()= (B) P B P A ()()=-1(C) P A P A B ()()= (D) P A B P A P B ()()()+=+27. 设A ，B 为两个任意事件，则下列等式成立的是（ ）.(A) B A B A +=+ (B) B A AB ⋅= (C) B A B B A +=+ (D) B A B B A +=+28. 设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）．(A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=-29. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则甲、乙两人同时考上大学的概率为（ ）.(A) 0.56 (B) 0.50 (C) 0.75 (D) 0.9430. 若A B ,满足（ ），则A 与B 是对立事件．(A) 1)(=+B A P (B) A B U AB +==∅, (C) P A B P A P B ()()()+=+ (D) P AB P A P B ()()()=31. 若A 与B 相互独立，则等式（ ）成立．(A) P A B P A P B ()()()+=+ (B) P AB P A ()()=(C) P A B P A ()()= (D) P AB P A P B ()()()=32. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN （2σ已知）的一个样本，按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时，判断是否接受0H 与（ ）有关. (A) 样本值，显著水平α (B) 样本值，样本容量(C) 样本容量n ，显著水平α (D) 样本值，样本容量n ，显著水平α33. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大，一个减小34. 从正态总体),(2σμN 中随机抽取容量为n 的样本，检验假设0H ：,0μμ=1H ：0μμ≠．若用t 检验法，选用统计量t ，则在显著性水平α下的拒绝域为（ ）． (A) )1(-<n t t α (B) t ≥)1(1--n t α (C) )1(->n t t α (D) )1(1--<-n t t α35. 在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（ ）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差36. 对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中，U 检验解决的问题是（ ）．(A) 已知方差，检验均值 (B) 未知方差，检验均值 (C) 已知均值，检验方差 (D) 未知均值，检验方差37. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN 的一个样本，2σ是已知参数，μ是未知参数，记∑==ni i x n x 11，函数)(x Φ表示标准正态分布)1,0(N 的分布函数，975.0)96.1(=Φ，900.0)28.1(=Φ，则μ的置信水平为0.95的置信区间为（ ）.(A) （x －0.975n σ，x +0.975nσ） (B) （x －1.96n σ，x +1.96n σ）(C) （x －1.28nσ，x +1.28nσ） (D) （x －0.90nσ，x +0.90nσ）38. 设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则μ的无偏估计是（ ）．(A)3321x x x -+ (B) 321x x x -+(C) 321x x x ++ (D) 321x x x --39. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．(A) 321x x x ++ (B)321525252x x x ++ (C) 321515151x x x ++ (D) 321535151x x x ++40. 设21,x x 是取自正态总体)1,(μN 的容量为2的样本，其中μ为未知参数，以下关于μ的估计中，只有（ ）才是μ的无偏估计.(A) 213432x x + (B) 214241x x + (C) 214143x x - (D)215352x x +41. 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而n x x x ,,,21 是该总体的一个样本，记∑==ni i x n x 11，则总体方差2σ的矩估计为（ ）.(A) x (B) ∑=-ni i x n 12)(1μ(C) ∑=-n i i x x n 12)(1 (D) ∑=n i i x n 12142. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知）的样本，则（ ）是统计量．(A) 1x (B) μ+x (C)221σx (D)1x μ43. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量． （A ） X (B)∑=31i iX(C) ∑=-312)(31i i X μ (D) ∑=-312)(31i i X X44. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=],,1(,0],,1(,ln )(b x b x x x f 则常数b =（ ）.(A) e (B) e + 1 (C) e – 1 (D) e 245. 随机变量)21,3(~B X ，则X P (≤=)2（ ）．(A) 0 (B) 81(C)21 (D) 8746. 设),2(~2σN X ，已知2(P ≤X ≤4.0)4=，则X P (≤=)0（ ）.(A) 0.4 (B) 0.3 (C) 0.2 (D) 0.147. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（ ）．(A) 2,2-==b a (B) 1,2-=-=b a (C) 1,21-==b a (D) 2,21==b a48. 设随机变量X 的密度函数为f x ()，则E X ()2=（ ）．(A) xf x x ()-∞+∞⎰d (B)x x f x d )(2⎰∞+∞-(C)x x xf d )(2⎰∞+∞- (D)(())()x E X f x x --∞+∞⎰2d49. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ，则等式（ ）成立．(A) )]([)(X E X E X D -= (B) 22)]([)()(X E X E X D += (C) )()(2X E X D = (D) 22)]([)()(X E X E X D -=50. 设随机变量X 服从二项分布B (n , p )，已知E (X )=2.4, D (X )=1.44，则（ ）． (A) n = 8, p =0.3 (B) n = 6, p =0.6 (C) n = 6, p =0.4 (D) n = 24, p =0.1二、证明题1. 试证：已知事件A ,B 的概率分别为P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.6，P (B A +) = 0.1，则P (AB ) =0．2. 试证：已知事件A ,B 相互独立，则)()(1)(B P A P B A P -=+．3. 已知事件A ,B ,C 相互独立，试证)(B A +与C 相互独立.4. 设事件A ，B 的概率分别为21)(=A P ，32)(=B P ，试证：A 与B 是相容的.5. 设随机事件A ,B 相互独立，试证：B A ,也相互独立．6. 设A ,B 为随机事件，试证：)()()(AB P A P B A P -=-．7. 设随机事件A ,B 满足AB =∅，试证：P A B P B ()()+=-1．8. 设A ,B 为随机事件，试证：P A P A B P AB ()()()=-+．9. 设B A ,是随机事件，试证：)()()()(AB P B A P B A P B A P ++=+．10. 已知随机事件A ,B 满足A B ⊃，试证：)()()(B P A P B A P -=-．三、计算题1. 设B A ,是两个随机事件，已知5.0)(=A P ， 4.0)(=A B P ，求)(B A P .2. 某种产品有80%是正品，用某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设A 表示一产品经检查被定为正品，B 表示一产品确为正品，求P (A ).3. 某单位同时装有两种报警系统A 与B ，每种系统独立使用时，其有效概率9.0)(=A P ，95.0)(=B P ，在A 有效的条件下B 有效的概率为97.0)(=A B P ，求)(B A P +.4. 设A , B 是两个独立的随机事件，已知P (A ) = 0.4，P (B ) = 0.7，求A 与B 只有一个发生的概率.5. 设事件A ，B 相互独立，已知6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，求A 与B 只有一个发生的概率.6. 假设B A ,为两事件，已知4.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P +．7. 设随机变量)2,3(~2N X ，求概率X P <-3(≤)5 (已知Φ3841.0)1(=，Φ7998.0)3(=φ)．8. 设A , B 是两个随机事件，已知P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，P (A B )=0.2，求)(B A P .9. 从大批发芽率为8.0的种子中，任取4粒，问（1）4粒中恰有一粒发芽的概率是多少？（2）至少有1粒种子发芽的概率是多少？10. 已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P +．11. 已知4.0)(=A P ，8.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求P B A ().12. 已知7.0)(=A P ，3.0)(=B P ，5.0)(=B A P ，求)(B A P ．13. 已知P (B ) = 0.6，)(B A P =0.2，求)(AB P ．14. 设随机变量X ~ N （3，4）．求 P （1< X < 7）(Φ3841.0)1(=，Φ2977.0)2(=)．15. 设)5.0,3(~2N X ，求2(P ≤X ≤)6.3.已知Φ9884.0)2.1(=，2977.0)2(=Φ.16. 设B A ,是两个随机事件，已知4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，45.0)(=A B P ，求)(B A P +．17.已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为0.03，第二道工序的次品率为0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.18.已知袋中有3个白球7个黑球，从中有放回地抽取3次，每次取1个，试求⑴恰有2个白球的概率；⑵有白球的概率.19. 268-16.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．20.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.9，该运动员投篮3次，⑴求投中篮框不少于2次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率．21.某气象站天气预报的准确率为70%，在4次预报中，求⑴恰有3次准确的概率；⑵至少1次准确的概率.22.已知某批产品的次品率为0.1，在这批产品中有放回地抽取4次，每次抽取一件，试求⑴有次品的概率；⑵恰有两件次品的概率.23.某射手射击一次命中靶心的概率是08.，该射手连续射击5次，求：⑴命中靶心的概率；⑵至少4次命中靶心的概率．24.设箱中有3个白球2个黑球，从中依次不放回地取出3球，求第3次才取到黑球的概率.25.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中有放回地抽取，每次取1个，共取5次．求⑴恰有2次取到黑球的概率；⑵至少有1次取到白球的概率.26.有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.85和0.75，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率.27.机械零件的加工由甲、乙两道工序完成，甲工序的次品率是0.01，乙工序的次品率是0.02，两道工序的生产彼此无关，求生产的产品是合格品的概率.28.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.29. 两台车床加工同样的零件，第一台废品率是1％，第二台废品率是2％，加工出来的零件放在一起。
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
概率论与数理统计期末考试之计算题、解答题(经典含答案)
16. 从某大学到火车站途中有六个路口，假设在各路口遇到红灯的事件 相互独立，且概率都是，求：
（1）以X表示途中遇到的红灯次数，求X的分布律； （2）以Y表示汽车行驶途中在停止前所通过的路口数，求Y的分布律； （3）求从该大学到火车站途中至少遇到一次红灯的概率。 解：（1） （2），，…, (3)
（注：） 解：：， ： 检验统计量为，
计算得，， 对，自由度n-1=4，得 因为，所以拒绝H0，即可以认为该日的方差与往常的方差有显著差
异。
（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率； （3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。 解：，
，
(1) 所求概率;（2）所求概率； （3）所求概率
26. 袋中装有5枚正品硬币、3枚次品硬币（次品硬币两面均印有国 徽）。从袋中任取一枚硬币，将它投掷3次，已知每次均出现国 徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少？
6. 某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位： 毫克）作了六次测定,得子样观察值为： 甲：25，28，23，26，29，22； 乙：28，23，30，25，21，27。
假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种 香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著水平α=0.05，）？ （注） 解：
设事件abc分别表示甲乙丙火炮命中目标盒中有10个合格品3个次品从盒中一件一件的抽取产品检验每件检验后不再放回盒中以x表示直到取到第一件合格品为止所需检验次数求
概率论与数理统计期末考试之计算题、解答题（含答案）
1. 设A，B是两个事件，，求。 解：
2. 有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为 0.2,0.3,0.5,求（1）至少有一门火炮命中目标的概率；（2）恰有 一门火炮命中目标的概率。
概率论与数理统计经典考试题型
概率论与数理统计经典考试题型(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除概率论经典考试题型一，选择题1 设A 、B 为互不相容的事件,且()0,()0,P A P B >>下面四个结论中, 正确的是( )(A)(|)0P B A > (B)(|)0P A B =(C)(|)()P A B P A =(D)()()()P AB P A P B = 如果A 、B 为互不相容的事件,且()0,()0,P A P B >>则上述不正确的是（ ）2 总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的样本, ∑==nk k X n X 11，则n X /σμ- ~( ）(A) ),(2σμN (B) )1,0(N(C) )(n t (D) )1(-n t3. 已知相互独立的随机变量~(1,16), Y ~(2,9), (2)X N N D X Y -=则 。
4. 设3.0)(=A P , 6.0)(=B P , 且事件A 与B 互不相容, ()P A B ⋃=则 。
5. 已知随机变量X 的概率密度为2,0,()0,0.xae x f x x -⎧>=⎨≤⎩则a = . 6. 设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式,有{||3}P X μσ-≥≤ 。
7．设总体),(~2σμN X ，2,σμ未知，n X X X ,,,21 是来自总体 X 的样本, 则μ的矩估计量是 ，2σ最大似然估计量 。
8 电路由电池A 、B 及两个并联的电池C 、D 串联而成, 设电池A, B, C, D 损坏与否是相互独立的, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.2, 0.5, 求这个电路发生间断的概率.9 已知(,)X Y 的联合分布率如下:求（1）边缘分布率; (2))(),(X D X E ;(3) Z X Y =+的分布率。
概率论与数理统计--核心题型1000题
）
，P A 0 ，且 P B A =1 ，则（ 9、假设事件 A, B 满足 0 P B 1
（A） P A B =1 （C） P A B =0
）
（B） P A B =0 （D） P A B =0 则成立 （ 0， ）
A B 10、 设 A, B 为随机事件， 满足条件 0 P A 1,0 P B 1 ， 且 P
0, x 0, （B） F ( x) sin x, 0 x , 2 1, x . 2
x 0, 0, （D） F ( x) sin x, 0 x , 1, x .
18、 设 F1 x 与 F2 x 分别为随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数， 为使 F x aF1 x bF2 x 是 某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）
x 0, 0, x2 （A） F ( x) , 0 x 2, 4 x 2. 1,
x 0, 0, 2 x , 0 x 1, 2 （C） F ( x) 2 3 2 x x ,1 x 2, 2 2 x 2. 0,
（A） A B （C） P B A 0
（B） P A P B
（D） P A B 1 ）
11、设 A, B 为任意两个事件且 A B , P B 0 ,则下列选项必然成立的是（ （A） P A P A | B （C） P A P A | B
（B）
1 2
概率论与数理统计考核试卷
1. ______
2. ______
3. ______
4. ______
5. ______
6. ______
7. ______
8. ______
9. ______
10. ______
11. ______
12. ______
13. ______
14. ______
15. ______
9. ABC
10. ABC
11. ABC
12. BD
13. AC
14. ABC
15. ABCD
16. ABC
17. AB
18. AD
19. ABCD
20. ABC
三、填空题
1. [0, 1]
2. ∫f(x)dx = 1
3.均方根
4. t检验
5.完全正相关
6.样本量
7. χ²分布
8.拒绝了正确的原假设
C.数据存在异常值
D. A、B和C
20.以下哪些是时间序列分析中常用的统计方法？（）
A.移动平均
B.指数平滑
C.自相关函数
D. A、B和C
（以下为答题纸）：
考生姓名：答题日期：得分：判卷人：
二、多选题（20×1.5分）
1. ______
2. ______
3. ______
4. ______
5. ______
16.以下哪个选项描述的是相关系数的性质？（）
A.相关系数的取值范围为-1到1
B.相关系数表示两个随机变量之间的线性关系
C.相关系数可以为负值，表示负相关
D. A、B和C都是
17.在回归分析中，以下哪个选项表示解释变量与被解释变量之间的关系？（）
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计期末考试试题及解答概率论与数理统计》期末试题一、填空题（每小题3分，共15分）1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.9.解：由题意可得P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1-e^(-6)。
解：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)，P(X=2)=λ^2e^(-λ)/2，且P(X≤1)=4P(X=2)，可得λ=1，因此P(X=3)=λ^3e^(-λ)/3!=1-e^(-6)。
3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.解：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=P(-y≤X≤y)=F_X(y)-F_X(-y)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(-y)=0，即F_Y(y)=F_X(y)。
又因为f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(y)，所以f_Y(y)=1/2，0<y<2；f_Y(y)=1，2<y<4；其它为0.另解：在(0,2)上函数y=x严格单调，反函数为h(y)=y，所以f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1/2，0<y<2；f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1，2<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-2)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-2)。
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概率论经典考试题型
一，选择题
1 设A 、B 为互不相容的事件,且()0,()0,P A P B >>下面四个结论中, 正确的是( )
(A)(|)0P B A > (B)(|)0P A B =
(C)(|)()P A B P A =(D)()()()P AB P A P B =
如果A 、B 为互不相容的事件,且
()0,()0,P A P B >>则上述不正确的是（ ）
2 总体),(~2
σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的样本, ∑==n
k k X n X 1
1，则n X /σμ- ~ ( ） (A) ),(2σμN (B) )1,0(N
(C) )(n t (D) )1(-n t
3. 已知相互独立的随机变量
~(1,16), Y ~(2,9), (2)X N N D X Y -=则。
4. 设3.0)(=A P , 6.0)(=B P , 且事件A 与B 互不相容, ()P A B ⋃=则 。
5. 已知随机变量X 的概率密度为
2,0,()0,0.x
ae x f x x -⎧>=⎨≤⎩
则a = . 6. 设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式,有{||3}P X μσ-≥≤ 。
7．设总体),(~2σμN X ，2,σμ未知，
n X X X ,,,21 是来自总体 X 的样本, 则
μ的矩估计量是 ，2σ最大似然估
计量 。
8 电路由电池A 、B 及两个并联的电池C 、D 串联而成, 设电池A, B, C, D 损坏与否是
相互独立的, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.2, 0.5, 求这个电路发生间断的概率.
9 已知(,)X Y 的联合分布率如下:
求（1）边缘分布率; (2))(),(X D X E ; (3) Z X Y =+的分布率。
10 设随机变量X 的概率密度为
⎩⎨⎧<<=其它040)(x Ax x f ,求（1）系数A ；（2）X
的分布函数()F x ，（3）求82+=X Y 的概率密度函数。
11 设随机变量ξ的概率密度为：(),x x Ae x ϕ-=-∞<<+∞
求: (1) 系数A ; (2) (01)P ξ<<;
(3) ξ的分布函数.。