线性规划的基本性质

A P1 Pm Pm1 Pn B N
因为
Ax b
a 11 x 1 a 1 m x m a 1 n x n b1, a 21 x 1 a 2 m x m a 2 n x n b 2, a x a x a x b . mm m mn n m m1 1
基 : 设 A为m n的系数矩阵 , 秩为m。 若B 为A中m m 阶的非 退化子阵，则称 B为A的(或( LP )问题)一个基。
设基 B ( Pi 1 , Pi 2 ,, Pim ), 称 Pij ( j 1,, m ) 为基向量.
已知 r ( Amn ) m ， 不妨设 A的前m列向量线性无关，则可取 B ( P1 , P2 ,, Pm ) 为基，
引理1. 线性规划的可行解为基可行解的充要条件是其正分量对 应的系数列向量线性无关.
引理2. 可行解x是K的顶点的充要条件是x为线性规划的基可行 解。
定理1 线性规划问题 ( LP ) 如果有可行解，则必有基本可行解。
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证明： 设x是可行解，且前k个正分量为 x1 , x2 ,...xk 若它们在矩阵A中对应的列向量为 ( p1 , p2, pk ) （ 1） 则有 x1 p1 x2 p2 ... xk pk b 当这些列向量线性无关时，由引理1 ，知x为基础可 行解.当向量( p , p p ) 线性相关时，则存在 1 2, k 一组不全 为零的数组 1 , 2 , k ,使得 （ 2） p p p 0
xn i 称为松弛变量。
(ii) 原问题条件 ： ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x n i bi xn i 称为剩余变量。 x n i 0 x i ui v i ( iii) 原问题： x i 无非负约束，则令 。 ui , v i 0
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1 2 1 4 解： 系数矩阵A 。 2 2 2 1 1 2 取B x 3 x4 0 , 得 ，则令非基变量 2 2 10 x 1 3 x1 2 x 2 8 7 基本解的 2 x1 2 x 2 2 x2 3 个数？ 10 7 x1 ( , , 0 , 0 )T 是基本解，但不是基本 可行解。 3 3 1 4 取B x2 x3 0 , 得 ，则令非基变量 2 1 16 x 1 9 x1 4 x4 8 14 2 x1 x4 2 x4 9 16 14 x 2 ( , 0 , 0 , )T 是基本可行解。 9 9
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四、线性规划解的概念和性质 1. 线性规划解的概念
( LP )
max z cT x
是凸集(convex set)，如果对S 中任意两 点 x , y 和(0,1)中的任一数 满足
(1) ( 2) ( 3)
Ax b s.t . x0
( LP )的可行解。
可行解： 满足（2）、（3）式的解x ( x1 , x 2 ,, x n )T 称为
所以x1 (1 ) x2 D。即D是凸集。
顶点： 设S为凸集，x S。如果不存在 x 1 x 2 S ， 及 0 1。 使 x x 1 (1 ) x 2 ， 则称 x 为 S 的一个顶点。
x
x2 x1
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B是可逆的；B 的行列式≠0
x i 0 , i 1,2,3
4. 数学模型 max
S 4 x1 5 x2 7 x3
2 x1 1.5 x 2 3 x 3 100 s .t . x1 2 x 2 2 x 3 150 x i 0, i 1,2,3
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例1 将下述线性规划模型化 为标准型。
min
2 x1 3 x2 x3 3 x4
2 x1 x 2 3 x 3 x 4 3 3x 2x 2x 7 1 2 4 s .t . x1 4 x 2 3 x 3 x 4 6 x1 , x 3 , x 4 0 , x 2无约束
产品
资源 原材料
工时
A 2 1
B
C
资源总量
1.5
2
3
2
100 150
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3
解：1. 确定决策变量
设 A、B、C 的产量分别为 x1、x2、x3 。
2. 确定目标函数
设总利润为S，则
S 4 x1 5 x2 7 x3 3. 确定约束条件 2 x1 1.5 x2 3 x3 100 x1 2 x 2 2 x 3 150
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三. 图解法
例 2 求解线性规划max
s .t . z 4 x1 3 x 2 x1 2 x 2 4 2 x1 x 2 5 x ,x 0 1 2
解： (1) 画出可行解的范围 。
(2) 利用等值线平移的方法 求极值点。 x2
以 z 为参数，则方程 4 x1 3 x2 z 表示一族等值平行线(等高线）。
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线性规划模型：
(1) 一组决策变量； (2) 一个线性目标函数； (3) 一组线性的约束条件。
线性规划模型 ( LP )的一般形式：
min (max)
c x
i i 1
n
i
a11 x1 a12 x 2 a1n x n ( , )b1 a x a x a x ( , )b 21 1 22 2 2n n 2 s.t . a x a x a x ( , )b m2 2 mn n m m1 1 x i ( , )0 , i 1 , 2 ,, n
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即
P1 x1 Pm xm Pm1 xm1 Pn xn b
我们称与基（B）对应的变量 x1 ,, xm 为基变量。
与非基向量对应的xm1 ,, xn 为非基变量。
所以
P1 x1 Pm xm b Pm1 xm Pn xn
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2. 化标准型 (1)目标函数：
原问题目标函数 : min
( 2) 约束条件：
cT x
(i ) 原问题条件 ： ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x n i bi x n i 0
A
B
x1 x1 2 x2 4
极大值点为 顶点B。
o
C
2 x1 x2 5
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例 3 将例2中的目标函数改为 z x1 2 x2 。 x2 解：分析同例2。 等值线： x1 2 x2 z。
A
B
x1 x1 2 x2 4
极大值点为线段AB 上的 任一点。
记 c ( c1 , c 2 ,, c n )T , b ( b1 , b2 ,, bm )T , x ( x1 , x 2 ,, x n )T , A (a ij ) mn 。则线性规划标准型可记为
min c x
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T
Ax b s .t . x0
可行域： D { x | Ax b , x 0 }。
定理 线性规划问题的可行域 D是凸集。
证明： 任取 x1 , x2 D , 0 1。
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A( x1 (1 ) x2 ) Ax1 (1 ) Ax2
b (1 )b b
例 给定( LP )问题 max
s .t . z x1 2 x 2 x 3 2 x4 x1 2 x 2 x 3 4 x4 8 2 x1 2 x 2 2 x 3 x4 2 x1 , x 2 , x 3 , x4 0
x≥0
求此问题的一个基本解和一个基本可行解。
o
C
2 x1 x2 5
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max 例 4 求解线性规划 s.t .
解：分析同例2。
z 4 x1 3 x 2 x1 x 2 2 x1 x 2 2 x ,x 0 1 2
x2
等值线： 4 x1 3 x2 z。
A
ห้องสมุดไป่ตู้
x1 x2 2
1 1 2 2 k k
成立。 由(2)式右端为零，因此总可假定存在非零的 i 0 ,(否则 乘以-1于（2）的两端)，总有 i 0 成立。
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在上式中乘以 并与（2）相加得：
( x1 1 ) p1 ( x2 2 ) p2 ( xi i ) pi ( xk k ) pk b xi 因而，当取 min{ , i 0} 时，上式中至少会有一个分量
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令非基变量xm1 xn 0 , 解得
( x1 ,, xm )T B 1b
基本解： 取定线性规划问题的基 B，令非基变量取零，求得基 变量的取值B 1b, 称解 ( B 1b , 0)T 为对应于基 B的基本解。
基本可行解：满足条件 (3)( B1b 0)的基本解称为基本可行解。
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二. 标准型
1. 标准型
min
c x
i 1
n