小学奥数：数阵图(二).专项练习及答案解析
(小学奥数)数阵图(二)
1. 瞭解數陣圖的種類2. 學會一些解決數陣圖的解題方法3. 能夠解決和數論相關的數陣圖問題.一、數陣圖定義及分類：1. 定義：把一些數字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數陣圖.2. 數陣是一種由幻方演變而來的數字圖.數陣圖的種類繁多，這裏只向大家介紹三種數陣圖：即封閉型數陣圖、輻射型數陣圖和複合型數陣圖.3.二、解題方法：解決數陣類問題可以採取從局部到整體再到局部的方法入手： 第一步：區分數陣圖中的普通點(或方格)和關鍵點(或方格)；第二步：在數陣圖的少數關鍵點(一般是交叉點)上設置未知數，計算這些關鍵點與相關點的數量關係，得到關鍵點上所填數的範圍；第三步：運用已經得到的資訊進行嘗試．這個步驟並不是對所有數陣題都適用，很多數陣題更需要對數學方法的綜合運用．複合型數陣圖【例 1】 由數字1、2、3組成的不同的兩位數共有9個，老師將這9個數寫在一個九宮格上，讓同學選數，每個同學可以從中選5個數來求和．小剛選的5個數的和是120，小明選的5個數的和是111．如果兩人選的數中只有一個是相同的，那麼這個數是_____________．例題精講知識點撥教學目標5-1-3-2.數陣圖313233212223131211【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵字】迎春杯，中年級，決賽，3題【分析】 這9個數的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小剛和小明選的數中只有一個是相同的，可知他們正好把這9個數全部都取到了，且有一個數取了兩遍．所以他們取的數的總和比這9個數的和多出來的部分就是所求的數．那麼，這個數是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如圖1，圓圈內分別填有1，2，……，7這7個數。
如果6個三角形的頂點處圓圈內的數字的和是64，那麼，中間圓圈內填入的數是 。
【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵字】希望杯，五年級，復賽，第5題，5分【解析】 2【答案】2【例 3】 如下圖（1）所示，在每個小圓圈內填上一個數，使得每一條直線上的三個數的和都等於大圓圈上三個數的和.（1）17894【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空【解析】 為敘述方便，先在每個圓圈內標上字母，如圖（2），（2）a cb49817則有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，則 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：見圖.1789411215【答案】1789411215【例 4】 請你將數字1、2、3、4、5、6、7填在下面圖（1）所示的圓圈內，使得每個圓圈上的三個數之和與每條直線上的三個數之和相等.應怎樣填？【考點】複合型數陣圖 【難度】3星 【題型】填空【解析】 為了敘述方便，將各圓圈內先填上字母，如圖（2）所示.設A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G ）+A=5k ，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k ，56+A=5k.，因為56+A 為5的倍數，得A=4，進而推出k=12，因為在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨設B=1，F=5，D=6，則C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一個基本解為：（見圖）7654321【答案】7654321【例 5】 在左下圖的每個圓圈中填上一個數，各數互不相等，每個圓圈有3個相鄰(即有線段相連的圓圈)的圓圈。
四年级下册数学讲义-奥数专题讲练：第十讲 有趣的数阵图(二)(例题解析版)全国通用
第十讲有趣的数阵图（二）下面我们继续研究有关数阵图的问题.例1 将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？并对S最小值填出数阵.分析为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、2、…、6、7.∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D.3S=28+2B+A+C+D.如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4，综上所述，得出：13≤S≤19即定数可以取13～19中间的整数.本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7.注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数”S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）.二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S 的值.从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13，中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了.解：例2 把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.分析观察右图，我们发现：①有3条路，每条路上有4个数，且4个数相加的和要相等.②图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点.因此只要使三条路上其余两个数的和相等，就可以确保每条路上的四个数的和相等.③20以内的质数共有8个，依次是2、3、5、7、11、13、17、19.如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数，问题就可迎刃而解.如要分析，设起点数为X，终点数为y，每条路上4个数之和为S，显然有：3S=2x+2y+2+3+5+7+11+13＋17+19=2x+2y+77.即S最小=29，此时x=2,y=3但这时，中间二个质数之和为47-（19+13）=15，但17＞15，17无处填.所以S=47是无法实现的.这题还另有一个独特的分析推理.即惟一的偶质数必处于起点或终点位上.不然，其他路上为4个质数之和，2处于中间位的路上.这条路为3奇1偶相加，另两条路上为4个奇相加，形成矛盾.再进一步分析，（终点，始点地位对称）始点放上2，终点放上另一个质数，其他6个质数之和必为3的倍数.而经试算，只有终点放上3，而可满足的解法只有一种（已在下图中表出）.解：这样，轻而举地可得到：5+19=24，7+17＝24，11+13=24.例3 把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入右图中的正方形的各个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和相等.分析和解假设每边上的三数之和为S，四边上中间圆圈内所填数分别为a、b、c、d，那么：a+c=b+d=（1+2+…+8）-2S=36-2S∴2S＝36-（a+C）＝36-（b+d）①_x0001_S=15，则a+c=b+d＝6，又1+5=2+4=6，试验可得下图②若S=14，则a+c=b+d=8，又1+7=2+6=3+5=8，试验可得下两图③若S=13，则a+c=b+d＝10，又2+8＝3+7＝4+610，试验可得下两图④若S=12，则a+c=b+d＝12，又4+8＝5+7＝12，试验可得下图例4 在一个立方体各个顶点上分别填入1～9这九个数中的八个数，使得每个面上四个顶点所填数字之和彼此相等，并且这个和数不能被那个没有被标上的数字整除.试求：没有被标上的数字是多少？并给出一种填数的方法.分析为了叙述方便，设没有被标上的数字为a，S是每个面上的四个顶点上的数字之和.由于每个顶点数都属于3个面，所以得到：6S=3×（1+2+3+4+5+6+7+8+9）-3a6S＝3×45-3a2S＝45-a （1）根据（1）式可看出：因为左边2S是偶数，所以右边45-a也必须是偶数，故a必须是奇数.又因为根据题意，S不能被a整除，而2与a互质，所以2S不能被a整除，45也一定不能被a整除.”在奇数数字1、3、5、7、9中，只有7不能整除45，所以可以确定a=7.这就证明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是19，解法如图.例5 将1～8这八个数标在立方体的八个顶点上，使得每个面的四个顶点所标数字之和都相等.分析观察下图，知道每个顶点属于三个面，正方体有6个面，所以每个面的数字之和为：（1+2+3+4+5+6+7+8）×3÷6=18.这就是说明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是18.下面有3种填法的提示，作为练习，请读者补充完整.解：例6 在下左图中，将1～9这九个数，填人圆圈内，使每个三角形三个顶点的数字之和都相等.分析为了便于叙述说明，圆圈内应填的数，先由字母代替.设每个三角形三个顶点圆圈内的数字和为S.即：A+B+C=S、D+E+F=S、G+H+I=S、C+G+E=S、A+G+D=S、B+H+E=S、C+I+F=S.将上面七个等式相加得到：2（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+C+G+E=7S.即：A+B+C+D+E+F+G+H+I=3S又∵A、B、C、D、E、F、G、H、I，分别代表1～9这九个数.即：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.3S=45S=15.这15就说明每个三角形三个顶点的数字之和是15.在1～9九个数中，三个数的和等于15的组合情况有以下8种即：（1、9、5）；（1、8、6）；（2、9、4）；（2、8、5）；（3、7、5）；（2、7、6）；（3、8、4）；（4、5、6）；观察九个数字在上述8种情况下出现的次数看，数字2、4、5、6、8都均出现了三次，其他数字均只出现两次，所以，符合题意的组合中的2、8、5和4、5、6可填入图中的圆圈内，这样就得到本题的两个解.解：例7 在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入1～9这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.分析为了叙述方便，我们将各个圆圈内填入字母，如上右图所示.如果设每个正方形角上四个数字之和为S，那么图中六个正方形可得到：a1+a2+b1+b2=S,a2+b2+a3+b3=S,b1+b2+c1+b2=S,a2+b3+b2+b1=S,b2+b2+b3+c3=S,a1+a3+c3+c1=S.将上面的六个等式相加可得到：2（a1+a3+c3+c1）+3（a2+b3+b2+b1）+4b2=6S.则4b2＝S4（a1+a3+c3+c1）+4（a2+b3+b2+b1）+4b2=9S.于是有：4（a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3）=4×45=9S.9S=4×45S=20.这就说明每个正方形角上四个数字之和为20.所以：b2=5.从而得到：a1+a2+b1=a2+a3+b3=15，b1+c1+b2=b2+c3+b3=15.由上面两式可得：a1+b1=a3+b3,b1+c1=b3+c3.如果a2为奇数，则a1+b1和a3+b3均为偶数.①若a1为奇数，a3为偶数，则b1为奇数，b3为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为偶数，则c1为偶数，c3为奇数.但是a1+a2+5+b1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾.②若a1为偶数，a3为偶数，则b1也为偶数，b3也为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为奇数，则c1为偶数，c3为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾.③若a1为奇数，a3为奇数，则b1、b3也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾.④若a1为偶数，a3为奇数，情况与①相同.综合上述，a2必为偶数.由对称性易知：b2、b2、b1也为偶数.因此a1、a3、c3、c1全为奇数.这样，就比较容易找到此解.解：注：也可以这样想：因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，中心数用5试填后，余下40，那么大正方形、中正方形对角数字之和一定为10，比如：2+8=10、3+7=10、1+9=10、4+6=10.再利用小正方形调整一下，便可以凑出结果了.习题十1.将1～6六个自然数字分别填入下图的圆圈内，使三角形每边上的三数之和都等于定数S，指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.2.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.3.将1～8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.。
(完整word)二年级奥数数阵图.pdf
数阵图
小朋友们，你喜欢填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不是一
件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能
找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！
例1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。
(1)填数，使横行、竖行的三个数 (2)填数，使每条线上的三个数
相加都得11. 之和都得15.
例2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.
在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。
例3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之
和都等于14。
拓展练习
（1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等
于12。
（2）把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.
例4.把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12。
把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。
小学四年级奥数第10课数阵图试题附答案-精品
小学四年级上册数学奥数知识点讲解第10课《数阵图》试题附答案第十二讲数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明.例1将1〜8这八个自然数分别填入下图中的八个。
内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上,应如何填？例2请你把1〜7这七个自然数，分别填在下图Q）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？例3如下图Q）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.例4请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等,应怎样填？例5将1~16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34,图中已填好八个数，请将其余的数填完.答案第十二讲数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明.例1将1~8这八个自然数分别填入下图中的八个O内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？分析为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如上图（2）.由条件得出以下四个算式:a+b+c=14(1)c+d+e=14(2)e+f+g=14(3)a+h+g=14(4)由(1)+(3),得：a+b+c+e+f+g=28,(a+b+c+d+e+f+g+h)-(d+h)=28,d+h=(1+2+3+4+5+6+7+8)-28=8,由(2)+(4),同样可得b+f=8,又1,2,3,4,5,6,7,8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法.又由对称性，不妨设b=2,f=6,d=3,h=5.a,c,e,g可取到1,4,7,8若a=l,则c=14-(1+2)=11,不在1,4,7,8中，不行.若c=l,则a=14-(1+2)=11,不行, 若81,则c=14-(1+3)=10,不行. 若g=l,则a=8,c=4,e=7.填的飘嘉踊畿篇分析思考过程可以看出‘确定各边顶点所应例2请你把1〜7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？分析为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图（2）・设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k,则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k3a+b+c+d+e+f+3k2a+(a+b+c+d+e+f+g)=3k2a+(1+2+3+4+5+6+7)=3k2a+28=3ka为1、4或7.若a=l,则k=10,直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中, 2+7=3+6=44-5=9,因此得到一个解为：a=l,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=5.若平4,则k=12,直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，117=2+6=3+5=8,因此得到第二个解为:a=4,b=l,c=2,d=3,e=7,f=6,g=5.若a=7,则k=若,直线上另外两个数的和为7•在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+47,因此得到第三个解为：a=7,b=l,c=2,d=3,e=6,f=5, g=4.解：共得到三个解：如下图.上几霜翳疆胪，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数用每条直线例3如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三 个数的和都等于大圆圈上三个数的和.分析为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2）则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）⑴+（2）+（3） （a+b+c ）+56=3（a+b+c ）a+b+c=28贝Ua=28-（4+9）=15 b=28-（8+9）=11 c=28-（17+9）=2解：见图. H 892例4请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等,应怎样填？分析为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图(2)所示.设A+B+C=A+F+G-A+D+E=B+D+F=C+E+G=k(A+B+C)+(A+F+G)+(A+D+E)+(B+D+F)+(C+E+G)=5k,3A+2B+2c+2D+2E+2F+2G=5k,2(A+B+C+D+E+F+G)+A=5k,2(1+2+3+4+5+6+7)+A=5k,56+A=5k.因为56+A为5的倍数，得A=4,进而推出k=12.因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12,不妨设B=l,F=5,D=6,则012-（4+1）=7,G=12-（4+5）=3,E=12-（4+6）=2.解：得到一个基本解为：（见图）例5将1―16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34,图中己填好八个数，请将其余的数填完.分析为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示.9+15+a+c=34,5+10+e+g=34,7+14+b+d=34,ll+8+f+h=34,c+d+e+f=34,化简得:a+c=104+6=10.e+g=193+16=19,6+13=19b+d=131+12=13,f+h=152+13=15,3+12=15.a,b,c,d,e,f,g,啦分别从1,2,3,4,6,12,13,16中选取.因为a+c=10,所以只能选a+c=4+6；b+d=13,只能选b+d=13；e+g=19,只能选e+g=3+16；f+h=15,只能选£+11=2+13若d=l,c=4,则e+f=34-1-4=29,有巳=16,f=13.若#1,c=6,则e+f=34-1-6=27,那么e、f无值可取,使其和为27.若d=12,c=4,则e+f=34-12-4=18,有巳=16,f=2.若#12,c=6,则e+若34-12-6=16,有『3,f=13.解：共有三个解（见图）.习题十二L如果把例1的条件改为“使四边形每条边上的三个数之和都等于121其他条件不变，又应如何填？2.请在下图（1）中圆圈内填入1〜9这九个数，其中6,8已填好，要求A、B、C、D四个小三角形边上各数字之和全都相等.3,将1-10这十个数填入如上图（2）的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23,应怎样填？和四个正方形.若想打电话，必须首先将1〜12这十二个数填入其中，使四个椭圆、四个圆形、四个正方形以及四条直线上的四个数之和都为26,假如你要打电话，那么你将怎样填数？5 .请在下图的空格内填入1〜46这四十六个自然数，使每一笔直线上各数之 和都等于93.应怎样填？6 .把1〜8这八个数字分别填入下图Q ）中的圆圈内，使每个圆周上与每条 直线上四个数之和都相等，给出一种具体的填法.，下图（2）中，内部四个交点上已填好数，请你在四周方格里填上适当的 数，使交点上的数恰好等于四周四个方格内的数的和.应怎样填？四年级奥数上册：第十二讲数阵图习题中间的十二个键分别为四个圆形、四个椭圆形4.右图是一部古怪的电话, 0管/§习题十二1.如果把例1的条件改为“使四边形每条边上的三个数之和都等于12”，其 他条件不变，又应如何填？2,请在下图Q ）中圆圈内填入1~9这九个数，其中6,8已填好，要求A 、B 、C 、D 四个小三角形边上各数字之和全都相等.3,将1~10这十个数填入如上图（2）的圆圈内，使每个正方形的四个数字 之和都等于23,应怎样填？和四个正方形.若想打电话，必须首先将1〜12这十二个数填入其中，使四个椭圆、四个圆形、四个正方形以及四条直线上的四个数之和都为26,假如你要打 电话，那么你将怎样填数？5.请在下图的空格内填入1〜46这四十六个自然数，使每一笔直线上各数之 和都等于93.应怎样填？ 中间的十二个键分别为四个圆形、四个椭圆形 4.右图是一部古怪的电话, Q4率由(1)6.把1〜8这八个数字分别填入下图Q）中的圆圈内，使每个圆周上与每条直线上四个数之和都相等，给出一种具体的填法.7,下图（2）中，内部四个交点上已填好数，请你在四周方格里填上适当的数，使交点上的数恰好等于四周四个方格内的数的和.应怎样填？附：奥数技巧分享分享四个奥数小技巧。
小学数学 《数阵图》练习题(含答案)
小学数学《数阵图》练习题（含答案）数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.（一）封闭型数阵问题【例1】（★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13才能通过这个数阵图，你能帮它吗？【例2】（★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图），五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出x所代表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？24273028262218 1720x【例3】（★★★）1～9分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些?【例4】（★★★）能否将数0，1，2，…，9分别填人下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等?【例5】（★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要按照下面的要求填数才可以顺利通过，要求如下：20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.3（二）辐射型数阵【例6】（★★★）将1～7这七个数字，分别填人图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．【例7】 （★★★）把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．【例8】 （★★★）左图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等.【例9】 （★★★）在下图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x 是多少？（三）其它类型的数阵图【例10】 （★★★）在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得按顺时针循环式成立：【例11】 （★★★★）将1～8这八个自然数填入左下图的空格内，使四边形组成的四个等式都成立：【例12】 （★★★★）下图包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?+=====----===×÷+=-+=+=1.请分别将1，2，4，6这4个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．2.把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.3.把1至6分别填入下图的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．4.将1～7七个数字填入左下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的三个数之和都相等.5.将1～8八个数分别填入右上图的八个○内，使得图中的六个等式都成立.△代表几？37 5=== =+++++（一）封闭型数阵问题【例13】 （★★★）小青蛙不小心爬到一个正方形数阵图中，必须把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13才能通过这个数阵图，你能帮它吗？75623841或84362571分析：因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13×4=52，而1+2+…+7+8=36，所以四个角上的四个数之和等于52-36=16．在1～8中选四个数，四数之和等于16，且其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6．经试验，只有右上图的两种填法．亮点设计：(1)求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的.（2）设计问题：正方形每条边之和是13，13×4=52，但是所有数的和是：1+2+…+7+8=36，为什么会出现结果不同的问题呢？仔细观察这个数阵，四条边上所有数相加的过程中四个角上的数都被重复加了一次，也就是四个角上的数是重复数，52-36=16即为这四个重复数的和. （3）强调分组法与试验法：知道了四个数的和之后，下一步就要先确定这四个数，采用分组法和试验法.分组法是将这个和根据要求拆成四个数，例如本题中要求其中相邻两个的和与任意三个的和不等于13，根据要求将16分成4个数的和：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6，但是未必每一组都是合适的，这就需要采用试验法，将它们一一进行试验.（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数基本上都是两条线相交的点，这在后面的例题中有大量体现.[前铺]将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11．614532分析：因为每边上的和为11，那么三条边上的数字之和为11×3=33，而1+2+…+5+6=21，所以三个角的三个数之和等于33-21=12，在1～6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5，经试验，填法见右上图.[拓展]将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围.654321654321654321654321k=9 k=10 k=11 k=12分析：设三角形三个顶点的数字之和为s.因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍.于是有（1+2+3+4+5+6）+s=3k，化简后为s+21=3k.由于s是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9≤k≤12.s和k有四组取值：通过试验，每组取值都对应一种填数方法（见右上图）.【例14】（★★★）小乌龟被困在五个圆里面（如下图），五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，它必须找出规律，并求出x所代表的数才能脱困，你知道该怎么办吗？242730282622181720x分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.所以x+18=17×2，x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.[拓展]找规律求xx24123082616186452分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的2倍.比如：（26-18）×2=16.（30-26）×2=8.（30-24）×2=12.因为52÷2=26>24，所以x=26+24=50.经检验，（50--18）×2=64.【例15】（★★★）1～9分别填入小三角形内(每个小三角形内只填一个数)，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些?分析：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，用s表示靠近大三角形三条边的五个数的和．因为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次(用a，b，c来表示这三个数)，其余均用了两次．于是，45×2-(a+b+c)=3 s．要使s尽可能大，只要a+b+c尽可能小．所以a+b+c=1+2+3=6，于是90-6=3 s，s=28．剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：4+8=12；6+7=13；5 +9=14．经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一．[拓展一]如图是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，h，i处分别填入整数1至9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少?ihgfedcba分析：计算五个圈内各数之和的和，其中b，d，f，h被计算了两遍，所以这个和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+b+d+f+h，而这个和一定能被5整除，所以b，d，f，h中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是6、7、8、9，各圆圈内的和也取得15，由于15=6+9=7+8，所以满足条件的所有数无法配成15，当和为14时可以找出满足条件的填法，所以和最大为14，当b，d，f，h取1、2、3、4时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值11.[拓展二]有10个连续的自然数，9是其中第三大的数．现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×2的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少?分析：9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5……9、10、11，计算三个正方形中的和的和，这个和能被3整除，其中a和b被重复计算了两次，所以2+3+……11+a+b=65+a+b=3s，当a+b=1，4，7……时，65+a+b可以被3整除，因为要取最小值，所以a+b的值越小越好，但是不可能取1与4，所以，a+b=7时，这个和取得最小值，每个正方形中的和也取得最小值（65+7）÷3=24.【例16】（★★★）能否将数0，1，2，…，9分别填人下图的各个圆圈内，使得各阴影三角形5619372481528763049分析：0+…+9=45，45-中心数=3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9.枚举法实验，中心数只能是3，6，答案如右上图.[拓展一]将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值.分析：先确定中间5个重复数，它们的和为（20+16+12+13+10）-（1+2+…+10）=16，所以中间5个重复数只能是1，2，3，4，6的组合.又因为有1个和为20，相应三角形上的三个数只能是4，6，10，逐一试验，答案如右上图.[拓展二]图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由． (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，给出填数方法；如果不能，请说明理由．344341222311分析：（1）不能，如果能，则8个三角形顶点和的总和应该是8的倍数，但是这个总和有三组1、2、3、4组成，其中一组数被重复计算三次，一组数被重复计算两次，一组数仅被计算一次，因此该总和的值为6×（1+2+3+4）=60，不是8的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使8个三角形顶点上数字之和都相等. （2）能，见右上图.【例17】 （★★★），小熊和妈妈去外婆家要过一条河，必须要按照下面的要求填数才可以顺利通过，要求如下：20以内共有个○中（其中3已经填好），使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析：3组数都包括左右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等.现在还有1、5、7、11、13、17、19七个数供选择，两两之和相等的有1＋19＝7＋13，只有两组，淘汰这一组；还有1+17=5+13+7+11，于是得到右上图的填法.（二）辐射型数阵【例18】 （★★★）将1～7这七个数字，分别填人图中各个○内，使每条线段上的三个○内数的和相等．635412762534175243716（1） （2） （3）分析：设中心○内填a ，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中a 一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a 一定是3的倍数．而28÷3—9余1，那么2a ÷3的余数应该是2，因此，a=1，4或7．(1)当a=1时，28+2=30，30÷3=10，10-1=9，除中心外，其他两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7六个数按“和”是9分成三组填入相应的○内就可以了．填法如图（1） (2)当a=4时，28+8=36，36÷3=12．填法如图（2）(3)当a=7时，28+14=42，42÷3=14．填法如图(3)．亮点设计：（1）建议教师首先让学生进行试做，并让学生尝试多种填法。
二年级奥数数阵图
数阵图【2 】1.应用数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9做加法.在每一道题中,统一个数字不能反复消失.(1)填数,使横行.竖行的三个数(2)填数,使每条线上的三个数相加都得11. 之和都得15.2.在每个方格中填入恰当的数,使每一横行.竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.在空格中填入恰当的数,使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15.3.把3,4,5,6,7这五个数分离填入下面的空格里,使横行.竖行的三个数之和都等于14.拓展演习（1）把2,3,4,5,6这五个数分离填入圆圈中,使每条线上三个数相加的和都等于12.（2）把1,2,3,4,5,6分离填入○里,使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.例4.把1,3,5,7,9,11,13这七个数分离填入○里,使每条直线上的三个数相加的和都为17.简略数阵图例1.把1—5 这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.例2.把1—7这七个数分离填入图中的各○内,使每条线段上三个○内数的和等于10.例 3.鄙人图圆圈内分离填入数字1~9,使两条直线上五个数的和相等,和是若干？例4.把1～6这六个数分离填鄙人图中三角形三条边的六个○内,使每条边上三个○内数的和等于9.例5.将2—9这八个数分离填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18.例6.将1.2.3.4.5.6.7.8.9九个数字分离填入图中的小圆圈中,使三角形每边上四个数的和是17.1.把2—6 这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13.2.在图中填入2—9,使每边3个数的和等于15.3.将数字1—9分离填在图中的○内使每条线上五个○内数的和等于27.4.把1.4.7.10.13.16.19七个数填入图中7朵花里,使每条线上三个数的和等于30.。
二年级奥数：数阵图
二年级奥数：数阵图渣渣兔摆棋子，它想让每行每列的三个数相加都等于 15。
现在摆了 4 个，剩下的应该摆哪几个数呢？数阵图——把数按照一定的规律要求排起来方法：找准要求和填数的突破口庆祝渣渣兔的生日，微微老师给它做了一个蛋糕。
现在往蛋糕上插上数字蜡烛，希望每条线上的三个数相加和都等于 12。
你来帮帮我！辐射型数阵图关键点：重叠数如果所填的数是连续数，可以尝试重叠数为最大的、最小的、中间数其余的：大手拉小手请把 1、2、3、4、5、6、7 这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 12。
请把 1~9 这九个数字分别填入圆圈内，使每条横线、竖线、斜线上的三个数相加的和都是12。
请你把 1、2、3、5、7、9、11 这 7 个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 14。
辐射型数阵图（一个重叠点）如果所填的数不是连续数，用拆数法，将总数拆成几个数相加的形式。
请你把 1、2、3、4、5、7 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 13。
封闭型数阵图（多个重叠数）方法：有序的拆数（重复的数就是数阵图中的重叠数）数阵图，关键点是找出重叠数1、辐射型——连续的数：尝试法：头、尾、中间数；其余大手拉小手不连续的数：拆数法2、封闭型——拆数法【练习 1】在圆圈内填上适当的数，使每条线上的三个数之和都为 12。
你能做到吗？【练习 2】把 4~8 这 5 个数填入圆圈中（左下图），使两条直线上三个数之和等于 18。
【练习 3】将 1-7 这 7 个数填入右上图中，使每条线上的数之和都未 14。
【练习 4】请将 3、4、5、6、7、8、9 填入下面的圆圈里，并使每条直线上三个数字之和都相等。
（同一图片中不能出现相同的数；不同图片中数字可以重复使用。
）【练习 5】请你把 1、2、3、4、5、6 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 14。
小学奥数：数阵图(二).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第六讲 数字谜(二)——数阵图 精英篇(解析版)全国通用
第六讲 数字谜（二）—数阵图本讲通过对简单数阵的学习，让学生在数与数之间的变化中，感受到数字的奇妙，体会到数学思维 的乐趣知识点：1．封闭型数阵图；2．辐射型数阵图； 3．复合型数阵图．教学目标将 1、2、3、4、5、6 这六个数填在图中的空灯里，使 每个大圆上的四盏灯里的数相加都等于 14．分析：将三个大圆上的所有数字相加，中间三个灯笼上的数字被加了 2 遍， 其余三个灯笼上的数字只加了一遍，所以，中间三个数的和为（1＋2＋3 ＋4＋5＋6）－14＝7，三个数相加等于 7 的情况只有 1＋2＋4，所以中间的三个灯笼上的数为 1，2，4，这 6 个数中四个数相加等于 14 的组合有 (6521)(6431)(5432)，就可以填出：想 挑 战 吗 ︕在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜， 奇妙无穷．它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人 有着极大的吸引力，以至有些人留恋其中，用毕生的精力来研究它的变化， 就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣．到底什么是数阵呢？ 下面我们一起来研究吧．到底什么是数阵呢？我们先观察右面两个图：左图中有 3 个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是， 7 每个圆周上的四个数字之和都等于 13．右图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于 15．上面两个图就是数阵图．准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的 某种图形，有时简称数阵．2 61 43 58 1 6 3 5 7 4 9 2（一）辐射型数阵图把 1～5 这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等．分析：在图中我们可以看出，中间圆圈里的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”．也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次， 即重叠了一次，其余各数均被加了一次．我们可以得出： (1＋2＋3＋4＋5)＋重叠数＝每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和等于(15＋重叠数)÷2．因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是 1，3 或 5．若“重叠数”＝1，则两条直线上三数之和为(15＋1)÷2＝8．填法见左下图； 若“重叠数”＝3，则两条直线上三数之和为 (15＋3)÷2＝9．填法见下中图； 若“重叠数”＝5，则两条直线上三数之和为 (15＋5)÷2＝10．填法见右下图．[巩固]把 1～5 这五个数填入下图中的○里(已填入 5)，使两条直线上的三个数之和相等．12 5 345专题精讲有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图．填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析， 进行试验填数求解．231 451 23 452 15 43例1分析：与例题不同之处是已知“重叠数”为 5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数．所以， 必须先求出这个“和”．两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍， 所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1＋2＋3＋4＋5)＋5]÷2＝10．因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于 10－5＝5．非“重叠数”的和也可以这样求，因为 1～4 的和我们可以求，每条直线上两端的数的和是：（1＋2＋3＋4）÷2＝5．在剩下的四个数 1，2，3，4 中，只有 1＋4＝2＋3＝5．故有右上图的填法．[注意] 求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的．把 1～7 这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等．分析：解这道题的关键是首先求出中心数．1～7 七个数的和是 28，而计算三条线段中数的和时，中心圆的数要多加两次．因此可得如下关系式：28＋(中心数)×2＝每条线段上三个数的和×3．即：(28＋中心数×2)÷3＝每条线段上三个数的和．用试验的方法，将 1～7 这七个数作中心数分别代入上述关系式中．可求出中心数及每条直线上三个数的和．经试验，若中心数取 2、3、5、6，此题无解；中心数取 1、4、7 时该题数阵图成立．（1）(28＋1×2)÷2＝10，中间圆圈内填 1，各线段其他两数和为 10－1＝9． （2）(28＋4×2)÷3＝12，中间圆圈内填 4，各线段其他两数和为 12－4＝8． （3）(28＋7×2)÷3＝14，中间圆圈内填 7，各线段其他两数和为 14—7＝7． 三种基本解法详见下图．将 10～20填入左下图的○内，其中 15 已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等．分析：中间○内的 15 是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于 [(10＋11＋…＋ 20)＋15×4]÷5＝45．15例2 6 31 4 2572 64751334 75621例3201610 191411 1513 121718剩下的十个数中，两两之和等于(45－15＝)30 的有 10，20；11，19；12，18；13，17；14，16． 也可以这样求：五条边上两个数的和都是相等的，（10＋11＋…＋20）÷5＝30，所以两两之和等于30． 于是得到右图的填法．[拓展]把 10～20 这 11 个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都相等．请你把各种填法都写出来(中心圆圈内的数相同就视为一种填法)．(1993 年武汉市小学数学竞赛试题)分析：审题可知中心处的数是五条线段的端点，求和时用了 5 次，因此，确定中心圆圈里的数是关键 （方法一）①列出中心数与每条线段上三数和的关系式：(165＋中心数×4)÷5②用试验方法求出中心数及每条线段上三数和．中心数分别为 10、15、20．每条线段上三数和分别为 4l 、45、49．分别以 10、15、20 为中心数的数阵图，相对应的每条线段上两数和分别为：3l 、30、29． 和为 29 的两数可有：10＋19、1118、12＋17、13＋16、14＋15； 和为 30 的两数可有：10＋20、11＋19、12＋18、13＋17、14＋16； 和为 31 的两数可有：11＋20、12＋19、13＋18、14＋17、15＋16． ③填图．如下图的(1)、(2)、(3)．（方法二）设中心的圆圈内的数字是 a ，每条线段的圆圈内的三个数字和是 k ，则：10＋11＋12＋13＋ 14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋4×a＝5k ，即 165＋4×a＝5k ．推出中心处的 a 等于 10，15，20，k 分别等于 41，45，49．当 a ＝10 时，k ＝41，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 31，即 11＋20，12＋19，13＋18，14＋ 17，15＋16，从而填出数阵图当 a ＝15 时，k ＝45，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 30，即 10＋20、11＋19、12＋18、13＋ 17、14＋16，从而填出数阵图当 a ＝20 时，k ＝49，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 29，即 10＋19、11＋18、12＋17、13＋ 16、14＋15，从而填出数阵图[小结]以上例题中数阵图都是辐射型数阵图．一般地，有 m 条边，每边有 n 个数的形如下图的图形称为辐射型 m －n 图．192012 18111310 14 15171620 1610 19141115 1312171819 1510 181411 20 13121617辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”－1，即 m －1．对于辐射型数阵图，有： 已知各数之和＋重叠数×重叠次数＝直线上各数之和×直线条数．由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于 (直线上各数之和×直线条数－已知各数之和)÷重叠次数 ． 如 例 1 、 例 3． (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和＋重叠数×重叠次数)÷直线条数．如例 2． (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例 3．（二）封闭型数阵图将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等．分析：我们不知道每边的三数之和等于几．因为三个重叠数都重叠了一次，由(1＋2＋…＋6)＋重叠数之和＝每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于[(1＋2＋…＋6)＋重叠数之和]÷3＝(21＋重叠数之和)÷3＝7＋重叠数之和÷3．因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是 3 的倍数．考虑到重叠数是 1～6 中的数，所以三个重叠数之和只能是 6，9，12 或 15，对应的每条边上的三数之和就是 9，10，11 或 12． 与例题的方法类似，可得下图的四种填法：每边三数之和＝9 每边三数之和＝10 每边三数之和＝11 每边三数之和＝12[小结]像例题中这样各条边是互相连接的数阵图，叫做封闭型数阵图．思考这类问题，主要是要弄清关键数字．抓住关系式，进行分析，确定顶点上的数以及每条边上的数的和，再用试验的 方法，求出解．有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”．填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图．例4 16 5243164325253 416432516例5 将2～9 这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18．分析：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是 1 次．所以四个重叠数之和等于18×4－(2＋3＋…＋9)＝28．而在已知的八个数中，四数之和为 28 的只有：4＋7＋8＋9＝28 或 5＋6＋8＋9＝28．又由于 18－9－8＝1，1 不是已知的八个数之一，所以，8 和9 只能填对角处．由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意．[巩固]把 1～8 这八个数分别填入下图中的八个○内，使每条边上三个○内数的和都相等．分析：这道题的关键是确定正方形四个顶点上的数及正方形每边上数的和．1～8 的和是 36，36 加上四个顶点上的数其和是 4 的倍数．36 是 4 的倍数，只要考虑从 1～8 里选 4 个数，使其和是 4 的倍数，可得四个不同的和 12、16、20、24．再求出每边四个数的和分别是：(36＋12)÷4＝12 (36＋16)÷4＝13 (36＋20)÷4＝14 (36＋24)÷4＝15 又因为 1＋2＋3＋6＝12，1＋2＋4＋5＝12．经试验，四个顶点数只能填 l、2、3、6．然后用凑数法使每边和是 12．采用同样的方法，可填出每边和是 13、14、15 的情况．下面给出一种解法，如右上图．其他解法请同学们自己完成．用1～9 这九个数字填入下图中，使得每条边上的四个数的和都等于 A，问A 可以等于哪些数?给出你的填法．分析：解这道题的关键是确定三边之和与三顶点之和的关系，再运用试验法求解．4 98 75 98 64 5 96 28 3 715684372例6因为每条边上的四数之和都等于 A ，则三边之和为 3×A．因 1 到 9 这九个数的和是 45，而在 3×A 中，三个顶点上的数都被计算了两次，于是顶点上的数之和应为 3×A－45．这个和是 3 的倍数，它最小是 1＋2＋3＝6，最大是 7＋8＋9＝24，从而 A 可以取 17、18、19、20、21、22、23．但是，当 A 为 18 或 22 时，都得不出一个合乎题目要求的解答，所以 A 只能为 17、19、20、23 这五个数．图(1)、(2)、 (3)、(4)、(5)给出了这五种填法．（1）（2）（3）（4）（5）将 l 、2、3、4、5、6 六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和都是 l6．分析：观察发现，中间的两个圆圈最特殊，它们同时在两个圆上，我们要以此入手，填出这个数阵． 这六个数的和是 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21．题中要使每个大圆上的数字和是 16，那么两个大圆上的数字总和是 16×2＝32，两个大圆圈上数字的总和比六个数的和多 32－21＝11，怎么会多 11 呢？因为两个大圆上有两个数被算了两次，也就是多算了一次，即（）＋（）＝11，所以，被算了两次的数是 5 和 6． 先填上被多算的数 5 和 6，再通过计算填入其余各数：16－5－6＝5，2＋3＝5，1＋4＝5，填法如下：[小结]刚刚学习的这几个数阵图都是封闭型数阵图．一般地，在 m 边形中，每条边上有 n 个数的形如下图的图形称为封闭型 m －n 图．与“辐射型 m －n 图只有一个重叠数，重叠次数是 m －1”不同的是，封闭型 m －n 图有 m7A=23 5 63184 2 93 A=21 7 85 1 642 91A=20 876354291A=19 896 245371 A=17 8 96 4275 3例7 251364个重叠数，重叠次数都是 1 次．对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以： 已知各数之和＋重叠数之和＝每边各数之和×边数． 由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题．（三）复合型数阵如图 “好、助、手、伙、伴、参、谋”这 7 个汉字分别代表 1 至 7 这 7 个数字．已知 3 条直线上的 3 个数相加、2 个圆周上的 3 个数相加，所得的 5 个和相同．那么，“好”字代表多少?分析：通过读题可以知道三条直线的三个数之和相等，两个圆圈的三个数之和相等，而且五个和都相等．所以计算 5 个和的和，这个和一定是 5 的倍数，其中“好”字计算了三遍，其它数只是被计算了 2 遍，因此这个和等于（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×2＋“好”＝56＋“好”，我们这个“好”只能是 4 才 能保证这个和是 5 的倍数．所以“好”＝4．将自然数 l ～7 填入右图的七个○中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等．分析：三角形顶上的数重叠 3 次，其他数都重叠 2 次．所以有： (1＋2＋…＋7)×2＋顶上的数＝每条线上的三个数之和×5，56＋顶上的数＝每条线上的三个数之和×5．由上式等号左端是 5 的倍数，推知“顶上的数”＝4．所以每条线上的三个数之和为(56＋4)÷5＝12．经试验可得如下填法(填法不唯一)：有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”．我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数字．例8 谋伴参伙好 助手例9 47 2 3 1 65请问如何才能将 26，27，28，36，37，38，46，47，48 这九个数分别填入图中的圆圈中，使得通过中心圆圈的每条直线上的三个数之和都是 111．分析：我们已知九个数的和是 26＋27＋28＋36＋37＋38＋46＋47＋48＝333．题中要使每条线上三个数的和是 111，那么四条线上数的总和是 l11×4＝444．四条线上数的总和比九个数的和多 444—333＝111．中心圆圈里的这个数是重叠数，重叠了四次，即多算了 3 次，即重叠数×3＝111．因为只有 37×3＝111，所以中心圆圈里填 37．先填上中心圆圈里的数 37，再通过计算分别填人其余各数：111－37＝74，26 ＋48＝74，27＋47＝74，28＋46＝74，36＋38＝74．填法如右图：数阵图是一类非常有趣的数学问题，同学们，你们在这座数学迷宫中感受到它的奇妙了吗？在春季我们还会有类似问题的学习哦，敬请期待吧！1. 将 1～7 这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于 12．分析：1+2+3+4+5+6+7+2×中间数＝28+2×中间数＝12×3，中间数为 4，填法如右上图．例10专题展望练习六32741652628 36 27 37473846482. 将 1～7 这七个自然数填入下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于 10．分析： (1＋2＋…＋7)＋重叠数×2＝10×3．由此得出重叠数为 [10×3－(1＋2＋…＋7)]÷2＝1．剩下的六个数中，两两之和等于 9 的有 2，7；3，6；4，5．可得右上图的填法．3. 把 1、2、3、4、5、6 六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相加的和都等于 9．分析：三边的和为 9×3＝27．但是 1～6 六个数的和等于 21，三行数的和比题中六个数的和多 27—21 ＝6，原因在于三个顶点的数字都要用 2 次，说明三个顶点数之和是 6． 1+2+3=6，所以把 1、2、3 分别填入三个顶点中，再根据每行和都等于 9 的要求填上其他各数．如右上图．4. 请分别将 1，2，4，6 这 4 个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里 4 个数的和都等于 15．分析：5＋7＝12，3＋7＝10，3＋5＝8，三个圆中已有数的和与 15 的差分别是 3、5、7，只有 1 能和其他三个数的和分别是 3、5、7，所以中间数一定是 1，由和为 15，其它三个数即可得，见右上图．5. 在图中 x ，y ，z 三个小圆圈内各填上一个数，使得每条直线上三个数的和都等于大三角形三个顶点上三个数的和．分析：如图，把三条直线上的三个和相加，相当于把 4 算了三遍，1，5，6 算了一遍， 三个顶点上的数各算了一遍．根据题意，这三个和应该是相等的，并且和三个顶点上的和也相等．那么 4×3＋1＋5＋6＋三个顶点和＝三个顶点和×3；和是(4×3＋1＋5 ＋6)÷2＝12．所以，图中 x 处的数是 l2－4－5＝3；图中 y 处的数是 l2－4－1＝7；图中 z 处的数是 l2－4－6＝2．721 4 3561 6 5 2435732573416x 5 4 6 1zy推理小故事图像从不闪动一个星期日的中午，绿庄公寓里 008 号房间的单身职员，到距离很近的售货摊上买东西，只离开房间五六分钟，没有锁门，5 万元现金被盗．报案后，刑警问他:“公寓里有谁知道你出去买东西?”“10号房间的北村知道，我出去时他还托我买呢．”刑警马上到 10 号房间查看．一进门，就见北村一边在吃方便面一边看漫画．“8 号房间的失盗者出去买东西时，你在哪儿?干什么了?”“我一直在看漫画呀．”“你没听见那个房间里有异常动静吗?”“没有，那时正好一架直升飞机在这座公寓的上空盘旋，噪音很大，一点点动静也觉察不到．”据公寓管理人员说，中午并没有外人进公寓．肯定是内部人员干的．“别的房间里有人在吗?”“今天星期日，别人出去玩了，只6号房间里一个叫寺内的青年人在．”刑警又来到 6 号房间，见寺内正穿一身睡衣躺在床上，边吃花生米边看电视．那是台新型彩电．“哎呀，好漂亮的彩电啊!图像一点不闪动吗?”“从来没有过，这是我三天前才买来的新产品．”“听到 8 号房间里有可疑动静吗?”“没有，一点没察觉到，因电视里有我喜欢的歌手在演唱，我看得入了迷，再加上那架讨厌的直升飞机在盘旋……”“你说谎．直升飞机盘旋时你并没看电视，而是溜进8号房间找钱吧．”刑警凭什么识破了寺内的手段呢?答案见第七讲．第五讲“巧断小偷”答案：小偷在甲、乙、丙、丁四人中，并且只有一人说的话是真话，其余三人说的是假话．也就是“一真三假”，这也是我们判断是非的准则．假如乙是小偷，那么其余三人均不是小偷．而甲说乙是小偷，所以甲讲了真话；既然乙是小偷，那么丁就不是小偷，可见丁说：“反正我没偷．”这句也是真话．于是，便有甲、乙两人说了真话，这与“一真三假”的准则相矛盾，所以乙不是小偷．同理可推斯出甲、丙都不是小偷，小偷自然就是丁了．不过，我们还可验证一下．当丁是小偷时，甲、乙、丙三人便不是小偷．丁说：“反正我没偷．”这便是一句假话；乙不是小偷，故甲说：“手表是乙偷的．”也是假话；丙不是小偷，则乙说：“手表是丙偷的．”还是假话；既然乙说的是假话，所以丙说：“乙在撒谎．”就是真话，这不是正符合“一真三假”的准则吗?同学们，你答对了吗？。
二年级奥数数阵图
数阵图1.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现。
(1)填数，使横行、竖行的三个数 (2)填数，使每条线上的三个数相加都得11. 之和都得15.2.在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.在空格中填入适当的数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15。
3.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数之和都等于14。
拓展练习（1）把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于12。
（2）把1，2，3，4，5，6分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.例4. 把1，3，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为17。
简单数阵图例1、把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
例2、把1—7这七个数分别填入图中的各○内，使每条线段上三个○内数的和等于10。
例3、在下图圆圈内分别填入数字1~9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少？例4、把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和等于9。
例5、将2—9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
例6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分别填入图中的小圆圈中，使三角形每边上四个数的和是17。
1、把2—6 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于13。
2、在图中填入2—9，使每边3个数的和等于15。
3、将数字1—9分别填在图中的○内使每条线上五个○内数的和等于27。
4、把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条线上三个数的和等于30。
(完整版)小学三年级奥数--数阵图
数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。
重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。
试一试：练习与思考第1 题。
例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。
小学三年级奥数数阵图二知识点与习题
数阵图 ( 二)上一讲我们讲了仅有一个“重叠数” 的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的关闭型数阵图。
例 1 将 1～8 这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
剖析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是21× 2-(1+2++8)=6 。
1 次，因此两个重叠数之和为在已知的八个数中，两个数之和为 6 的只有外三个数之和为21-6=15。
假如两个重叠数为 1 与 5，那么剩下的六个数组，每组三数之和为15 的只有2+6+7=15和 3+4+8=15，1 与 5， 2 与 4。
每个大圆上另2，3，4，6，7，8 均分为两故有左下列图的填法。
假如两个重叠数为 2 与 4，那么同理可得上页右下列图的填法。
例 2 将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11。
剖析与解：此题有三个重叠数，即三角形三个极点○内的数都是重叠数，而且各重叠一次。
因此三个重叠数之和等于11× 3-(1+2+ +6)=12。
1～6 中三个数之和等于12 的有 1，5，6；2，4，6；3，4，5。
假如三个重叠数是 1，5，6，那么依据每条边上的三个数之和等于 11，可得左下列图的填法。
简单发现，所填数不是 1～6，不合题意。
同理，三个重叠数也不可以是3，4，5。
经试验，当重叠数是2，4，6 时，能够获得切合题意的填法( 见右上图 ) 。
例 3 将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
剖析与解：与例2 不一样的是不知道每边的三数之和等于几。
因为三个重叠数都重叠了一次，由 (1+2+ +6)+重叠数之和 =每边三数之和× 3，获得每边的三数之和等于[(1+2++6)+ 重叠数之和 ] ÷3=(21+重叠数之和 ) ÷ 3=7+重叠数之和÷ 3。
因为每边的三数之和是整数，因此重叠数之和应是3 的倍数。
二年级奥数：数阵图
二年级奥数：数阵图渣渣兔摆棋子，它想让每行每列的三个数相加都等于 15.现在摆了 4 个，剩下的应该摆哪几个数呢？数阵图——把数按照一定的规律要求排起来方法：找准要求和填数的突破口庆祝渣渣兔的生日，微微老师给它做了一个蛋糕.现在往蛋糕上插上数字蜡烛，希望每条线上的三个数相加和都等于 12.你来帮帮我！辐射型数阵图关键点：重叠数如果所填的数是连续数，可以尝试重叠数为最大的、最小的、中间数其余的：大手拉小手请把 1、2、3、4、5、6、7 这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 12.请把 1~9 这九个数字分别填入圆圈内，使每条横线、竖线、斜线上的三个数相加的和都是12.请你把 1、2、3、5、7、9、11 这 7 个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都是 14.辐射型数阵图（一个重叠点）如果所填的数不是连续数，用拆数法，将总数拆成几个数相加的形式.请你把 1、2、3、4、5、7 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 13.封闭型数阵图（多个重叠数）方法：有序的拆数（重复的数就是数阵图中的重叠数）数阵图，关键点是找出重叠数1、辐射型——连续的数：尝试法：头、尾、中间数；其余大手拉小手不连续的数：拆数法2、封闭型——拆数法【练习 1】在圆圈内填上适当的数，使每条线上的三个数之和都为 12.你能做到吗？【练习 2】把 4~8 这 5 个数填入圆圈中（左下图），使两条直线上三个数之和等于 18.【练习 3】将 1-7 这 7 个数填入右上图中，使每条线上的数之和都未 14.【练习 4】请将 3、4、5、6、7、8、9 填入下面的圆圈里，并使每条直线上三个数字之和都相等.（同一图片中不能出现相同的数；不同图片中数字可以重复使用.）【练习 5】请你把 1、2、3、4、5、6 分别填入圆圈里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 14.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
将左下图中每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。
如果左下图中已有一个数1，请填出左下图中的其它数，使得右下图中的数都是自然数。
【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第10题，10分【解析】答案不唯一。
要求四个灰色圆圈中所填的数除以3的余数相同，另外四个圆圈中所填的数除以3的余数也相同。
注：题中左、右两图是两个不同的图，左图要求各数互不相同(见答案)，右图中各数是根据左图改的，只要求是自然数，可以相同。
【答案】【例 6】 将1至8这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的d 内，并使每个面上的四个d 内的数字之和都相等。
求与填入数字1的d 有线段相连的三个d 内的数的和的最大值。
【考点】复合型数阵图 【难度】4星 【题型】填空 【考点】 【难度】星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第13题，15分 【解析】 因为1到8的和为36，而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为18。
因为每个面的数字和相等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字1在同一个面上的应该有较大的数。
尝试最大的三个数8，7，6，则和1，8，7在同一个面上的数应该是18-1-8-7=2，和1，8，6在同一个面上的数应该是18-1-8-6=3，和1，7，6在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是18-1-7-6=4，剩下一个5填在剩下的○中，经检验，符合题意，那么与1相连的三个○的和是67821++=61827453【答案】21【例 7】 将自然数1到11分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等．18-c -d 18-b -cc +d -6b+c -612-d12-c12-b dcb61110987543216【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 设左下角的数为a ，每条直线上的三个数的和为S ．由于这11个数的和为121166+++=L ．从左下角引出的5条直线的总和为5S ，其中左下角的数多计算了4次，则5664S a =+；又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得466S a =+．从而结合上面的两个式子可得18S =，6a =，即左下角的数为6，每条线上的数之和为18．再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b ，c ，d ，于是可得各个圆圈中的数如图所示．除6以外的10个数分别为：b ，c ，d ，12b -，12c -，12d -，18b c --，18c d --，6b c +-，6c d +-．由于18121818b c c c d --+-+--=，得到330b c d ++=，即303b d c +=-．所以，只要选取适当的b ，c ，d 的值，使得上面的10个数各不相同即可．比如，选择9c =，1b =，2d =，则可得到如右上图所示的一种填法．本题答案不唯一，下面再给出两种填法。
31052794861115498371021116【答案】31052794861115498371021116【例 8】 在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆圈中所填的数是_____________．★fedc b a★【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，11题 【分析】 为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右图）．根据题意，有234a f ++=★ ⑴234b c ++=★ ⑵ 234e d ++=★ ⑶ 234a b e ++= ⑷ 234c d f ++= ⑸⑴+⑵+⑶-⑷-⑸，有3234⨯=★，即234378=÷=★．【答案】78【例 9】 请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积A B C ⨯⨯= ？CB A【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，10题 【解析】 对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，将每一个小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为A B C ++，可得图中每一个小圆圈中的数如下图。
由于中间竖直方向的线段以及从左下角A 出发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都是A B C ++，可以得到，332A B C B C A C ++=-=-，可得2A B C =+，代入得2333B C B C +=-，即6B C =，只能是1C =，6B =，28A B C =+=，则86148A B C ⨯⨯=⨯⨯=【答案】86148A B C ⨯⨯=⨯⨯=【例 10】 下图中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．﹡【考点】复合型数阵图 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 设每行的和为S ，在左下图中，除了a 出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4(12311)66S a a =+++++=+L ；a ﹡ a﹡在右上图中除了a 出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5(12311)4664S a a =+++++=+L ．综合以上两式，4665664S aS a =+⎧⎨=+⎩，解得6a =，18S =．考虑到含有*的五条线，有4(12311)18590t *+++++-=⨯=L ，即424t *-=． 可见t 是4的倍数，在1～11间可能为4和8，但t 为8时*也为8，重复．所以4t =，7*=． 即每行相等的和为18，标有*的圆圈中所填的数为7． 最终的填法如右下图．t﹡1110987654321【答案】1110987654321【例 11】“美妙的数学花园”这7个字各代表1~7中的一个数，并且每个圆中4个数的和都是15。
如果学比美大，美比园大，那么，园表示。
【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【关键词】（走美杯3年级决赛第11题，12分）【解析】首先找出从1到7中四个数之和为15的有以下四组：①1、2、5、7；②2、3、4、6；③1、3、4、7；④1、3、5、6需要从其中选出3组，其中每两个组间都有两个相等的数，且这三组都含有同一个数，分析发现这三组可为①、③、④或②、③、④，当这三组数为①、③、④时即1，2，5，7；1，3，4，7；1，3，5，6．其中①、③公有的是1，7；①、④公有是1，5；③、④公有1，3，即“妙，花，数”应为3，7，5其中之一．则剩下数字2，4，6应为美、学、园其中之一．又因为学>美>园，所以学6=，美4=，园2=．当这三组数为②、③、④时同样的方法可分析出园2=．美5花4妙1学7的3数6园2【答案】2【例 12】图2中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于130，三角形内两个数的和等于53，圆内三个数的和等于79，正方形内两个数的和等于50。