集合的表示(附答案)

集合的表示

[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.

知识点集合的表示方法

1.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.

2.描述法：(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

(2)写法：在花括号先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

思考(1)由方程(x－1)(x＋2)＝0的实数根组成的集合，怎样表示较好？

(2)集合{x|4

(3)列举法可以表示无限集吗？

答(1)列举法表示为{－2,1}，描述法表示为

{x|(x－1)(x＋2)＝0}，列举法较好.

(2)不能，因为这个集合中的元素不能够一一列举出来.

(3)列举法可以表示有限集，也可以表示无限集.若集合中元素个数较多或无限多，但呈现出一定的规律性，在不致发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他的元素用省略号表示.例如正偶数集合可以表示为{2,4,6,8，…}.

题型一用列举法表示集合

例1 用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；

(3)由1～20以的所有质数组成的集合.

解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.

(3)设由1～20以的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.

跟踪训练1 用列举法表示下列集合： (1)绝对值小于5的偶数； (2)24与36的公约数；

(3)方程组⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＋y ＝2，

2x －y ＝1

的解集.

解 (1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集. (2){1,2,3,4,6,12}，是有限集.

(3)由⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋y ＝2，

2x －y ＝1，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝1，y ＝1.

∴方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集为{(x ，y )|⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋y ＝2，

2x －y ＝1}＝{(x ，y )|⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝1，

y ＝1}＝

{(1,1)}，是有限集. 题型二 用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数的集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.

解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *

，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *

}.

(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }.

(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}.

跟踪训练2 用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合.

解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言.用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－1

2≤y ≤1，且xy ≥0}.

题型三 列举法与描述法的综合运用

例3 集合A ＝{x |kx 2

－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试数k 的值，并用列举法表

示集合A .

解 (1)当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0. ∴x ＝2，此时A ＝{2}.

(2)当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素， ∴方程kx 2

－8x ＋16＝0有两个相等实根. 则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4，∴集合A ＝{4}.

综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}.

跟踪训练3 把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，数k 取值围的集合. 解 由题意可知方程kx 2

－8x ＋16＝0有两个不等实根.

∴⎩⎪⎨⎪⎧

k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，

解得k ＜1，且k ≠0.

∴k 取值围的集合为{k |k ＜1，且k ≠0}.

弄错数集与点集致误

例4 方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解的集合是____________.

错解 方程组的解是⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝1，

y ＝2，

所以方程组的解可用列举法表示为{1,2}.

正解 方程组的解是⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝1，

y ＝2，它是一组数对(1,2)，所以方程组的解可用列举法表示为

{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝1，

y ＝2}.

易错警示

错误原因

纠错心得

集合{1,2}中是两个元素，表示的是两个数，而方程组的解应为数对(1,2)，表示的是直角坐标平面上的点.

表示集合时，要弄清元素具有的形式(即代表元素是什么)是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.