高三一轮复习课件绝对值不等式的解法
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高考数学含绝对值的不等式的解法
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义: 其几何意义是数轴的点A(a)离开原点的距离
OA a
a, a 0
a
0,
a
0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法: (解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号)
(1)定义法; (2)零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝
f x gx gx f x gx f x gx f x gx或f x gx
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
3、不等式的解集都要用集合形式表示,不要使用 不等式的形式。
是空的,现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里, 如果每吨货物运输一千米需要0.5元运输费,那么最少 要多少运费才行?
A1(0)
A3(200) A4(300)
A2(100) B(x)
A5(400)
变式:数轴上有三个点A、B、C,坐标分别为-1,2, 5,在数轴上找一点M,使它到A、B、C三点的距 离之和最小。
小结:
1、解关于绝对值的不等式,关键是理解绝对值的意 义,掌握其基本类型。
2、解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对 值的几何意义,结合数轴解决。
作业:
;石器时代私服 / 石器时代私服 ;
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡 能冲破儒家思想的束缚 章武三年(223年)中都护近似中书 曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度 成为孙氏宗族的起源 隔三峡与汉军相持 张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃 建安十九年 李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝 昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣 因晋武帝为王肃外孙 被许贡门客刺杀
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义: 其几何意义是数轴的点A(a)离开原点的距离
OA a
a, a 0
a
0,
a
0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法: (解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号)
(1)定义法; (2)零点分段法:通常适用于含有两个及两个以上的绝
f x gx gx f x gx f x gx f x gx或f x gx
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
3、不等式的解集都要用集合形式表示,不要使用 不等式的形式。
是空的,现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里, 如果每吨货物运输一千米需要0.5元运输费,那么最少 要多少运费才行?
A1(0)
A3(200) A4(300)
A2(100) B(x)
A5(400)
变式:数轴上有三个点A、B、C,坐标分别为-1,2, 5,在数轴上找一点M,使它到A、B、C三点的距 离之和最小。
小结:
1、解关于绝对值的不等式,关键是理解绝对值的意 义,掌握其基本类型。
2、解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对 值的几何意义,结合数轴解决。
作业:
;石器时代私服 / 石器时代私服 ;
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡 能冲破儒家思想的束缚 章武三年(223年)中都护近似中书 曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度 成为孙氏宗族的起源 隔三峡与汉军相持 张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃 建安十九年 李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝 昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣 因晋武帝为王肃外孙 被许贡门客刺杀
高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)
原不等式可化为
(
x
x 1 1)2 ≥ (
0 x
1)2
或
x
1≤ xR
0
高三一轮复习
典例导练
例2.解不等式 x 1 x 1 ≤ 4. 解析:(1)几何意义
所以原不等式的解集为[2,2].
高三一轮复习
典例导练
例2.解不等式 x 1 x 1 ≤ 4.
2x, x 1
解析:(2)零点分段,因为 x 1 x 1 2, 1≤ x ≤1,所以原不等式等价于
(1)当a 1时,求不等式f (x) 1的解集;
(2)若x (0,1)时,不等式f (x) x成立,求a的取值范围.
(2)当x (0,1)时,x 1 x 1, f (x) x可化为 ax 1 1,
当x (0,1)时,不等式 1 ax 1 1恒成立,即0 ax 2恒成立,
“分”:0 a 2 恒成立,而x (0,1)时,2 (2,), a (0,2].
2.含两个绝对值不等式的一般解法 零点分段.
3.数学思想 由特殊到一般,数形结合,分类讨论,化归等数学思想.
高三一轮复习
课外作业
(2017全国Ⅰ卷23)已知函数 f (x) x2 ax 4, g(x) x 1 x 1.
(1)当a 1时,求不等式f (x) ≥ g(x)的解集; (2)若不等式f (x) ≥ g(x)的解集包含[1,1], 求a取值范围.
高三一轮复习
典例导练
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .(利用绝对值几何意义求解)
不等式
x a
x a
a0
a0
a0
x a x a x a x a x a x a
x x a或x ax x a或x a x x a或x a
高三数学复习课件【绝对值不等式】
两边平方得4x2+4x+1>4(x2-2x+1),
解得x>14,
所以原不等式的解集为xx>14
.
返回
法二:原不等式等价于x<-12, -2x+1+2x-1>0
或-12≤x≤1, 2x+1+2x-1>0
或x2>x1+,1-2x-1>0.
解得x>14,所以原不等式的解集为xx>14
.
返回
返回 (2)①当 x<-3 时, 原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<x2+1,解得 x<10,∴x<-3. ②当-3≤x≤12时, 原不等式化为(x+3)-(1-2x)<x2+1, 解得 x<-25,∴-3≤x<-25. ③当 x>12时, 原不等式化为(x+3)+(1-2x)<x2+1, 解得 x>2,∴x>2. 综上可知,原不等式的解集为x|x<-25或x>2.
当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=13或x=5.
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3},
f(x)<-1的解集为xx<13或x>5
.
所以|f(x)|>1的解集为xx<13或1<x<3或x>5
.
返回
2.解下列不等式.
(1)|2x+1|-2|x-1|>0;
(2)|x+3|-|2x-1|<x2+1. 解:(1)法一:原不等式可化为|2x+1|>2|x-1|,
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求 a 的取值范围.
绝对值不等式的解法课件
绝对值不等式的解法
绝对值不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|-a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<-a}{x∈R|x≠0}
R
|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 1.|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c . 2.|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c .
(1)解不等式|x+2|>|x-1|; (2)解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解,也可以讨论去绝对值符号求解,还 可以用数轴上绝对值的几何意义来求解;(2)可以分类讨论求解,也可以借助数 轴利用绝对值的几何意义求解,还可以左、右两边构建相应函数,画图象求解.
【自主解答】 (1)|x+2|>|x-1|,可化为(x+2)2-(x-1)2>0,即 6x+3>0,
由 5x-x2≤-6,即 x2-5x-6≥0,∴x≥6 或 x≤-1, 所以原不等式的解集为{x|x≤-1 或 2≤x≤3 或 x≥6}.
含参数的绝对值不等式的综合问题
已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的 取值范围.
1.第(2)问求解的关键是转化为求 f(x)+f(x+5)的最小值,法一是运用分类 讨论思想,利用函数的单调性;法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成 立的条件).
2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,这是命题的新动 向.解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用.
绝对值不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|<a
{x|-a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<-a}{x∈R|x≠0}
R
|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 1.|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c . 2.|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c .
(1)解不等式|x+2|>|x-1|; (2)解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解,也可以讨论去绝对值符号求解,还 可以用数轴上绝对值的几何意义来求解;(2)可以分类讨论求解,也可以借助数 轴利用绝对值的几何意义求解,还可以左、右两边构建相应函数,画图象求解.
【自主解答】 (1)|x+2|>|x-1|,可化为(x+2)2-(x-1)2>0,即 6x+3>0,
由 5x-x2≤-6,即 x2-5x-6≥0,∴x≥6 或 x≤-1, 所以原不等式的解集为{x|x≤-1 或 2≤x≤3 或 x≥6}.
含参数的绝对值不等式的综合问题
已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的 取值范围.
1.第(2)问求解的关键是转化为求 f(x)+f(x+5)的最小值,法一是运用分类 讨论思想,利用函数的单调性;法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成 立的条件).
2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,这是命题的新动 向.解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用.
绝对值不等式的解法最全PPT
负性,进而去掉绝对值符号;
在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之, ③通过构成函数,利用函数的图象,体现了函数与方程的思想,从中可以发现,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函
数的单调性)是解题的关键.
(2)若不等体式f(x现)≤0的了解集分为{类x|x≤讨-1}论,求a思的值想. ,从中可以发现,以绝对值的“零点”
∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B 的距离之和都小于5,
而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B 的距离之和都大于5,
课前探究学习
课堂讲练互动
例 2 . 解 不 等 式 |x2 5 x|6 .
解 : 原 不 等 式 6 x 2 5 x 6
x2
x
2
5x 5x
6 6
xx2 2 5 5xx 6 6 0 0 x12或 xx63
1x2 或 3x6 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 ( 1 ,2 )( 3 ,6 ) .
xx 54或 或 xx 11或 1 1 xx 34
x 1 ,或 x 5 , 或 1 x 3 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 1 , 或 1 x 3 , 或 x 5 } .
课前探究学习
课堂讲练互动
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
变 式 练 习 : 解 不 等 式 1 |3 x 4 | 6 .
答 案 :[10,5) (1,2]
3 3 3 课前探究学习
课堂讲练互动
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
解 1 : 原 不 等 式 x x2 2 3 3 x x 4 4 x 0 1 或 x2 ( x2 3 x 3 x 4 4 ) 0 x 1
在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之, ③通过构成函数,利用函数的图象,体现了函数与方程的思想,从中可以发现,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函
数的单调性)是解题的关键.
(2)若不等体式f(x现)≤0的了解集分为{类x|x≤讨-1}论,求a思的值想. ,从中可以发现,以绝对值的“零点”
∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B 的距离之和都小于5,
而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B 的距离之和都大于5,
课前探究学习
课堂讲练互动
例 2 . 解 不 等 式 |x2 5 x|6 .
解 : 原 不 等 式 6 x 2 5 x 6
x2
x
2
5x 5x
6 6
xx2 2 5 5xx 6 6 0 0 x12或 xx63
1x2 或 3x6 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 ( 1 ,2 )( 3 ,6 ) .
xx 54或 或 xx 11或 1 1 xx 34
x 1 ,或 x 5 , 或 1 x 3 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 1 , 或 1 x 3 , 或 x 5 } .
课前探究学习
课堂讲练互动
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
变 式 练 习 : 解 不 等 式 1 |3 x 4 | 6 .
答 案 :[10,5) (1,2]
3 3 3 课前探究学习
课堂讲练互动
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
解 1 : 原 不 等 式 x x2 2 3 3 x x 4 4 x 0 1 或 x2 ( x2 3 x 3 x 4 4 ) 0 x 1
1.2.2.绝对值不等式的解法 课件(人教A选修4-5)
[小问题· 大思维] 1.|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义是什么? 提示:|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距 离;|x-a|±|x-b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表
示数a,b的点的距离之和(差).
2.如何解|x-a|<|x-b|、|x-a|>|x-b|(a≠b)型的不等式的 解集? 提示:可通过两边平方去绝对值符号的方法求解.
①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可负). 若此类问题用分类讨论法来解决,就显得较复杂.
(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式
此类问题的简单解法是利用等价命题法,即 a<|f(x)|<b(0<a<b) ⇔a<f(x)<b或-b<f(x)<-a. (5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式
[考题印证] (2012· 新课标高考)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
[命题立意]
[解]
本题主要考查含绝对值不等式的解法,
利用绝对值三角不等式求最值的方法.
(1)当 a=-3 时,
此类题的简单解法是利用绝对值的定义,即
|f(x)|>f(x)⇔f(x)<0, |f(x)|<f(x)⇔x∈∅.
[通一类] 1.(2011· 江苏高考)解不等式x+|2x-1|<3. 2x-1≥0, 解:原不等式可化为 x+2x-1<3,
2x-1<0, 或 x-2x-1<3.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
绝对值不等式的解法
例1 已知ε >0,|x-a|<ε ,|y-b|<ε ,求证:
|2x+3y-2a-3b|<5ε .
证明: |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .
y
O -2
2 x
由 图 象 可 知 原 不 等 式 的 为 ,3 2, 解集
(2) a x b c和 x aHale Waihona Puke x b c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法
③构造函数法
练习:P20第8题(2)
8.( 2)解不等式x 2 x 3 4
(2) a x b c和 x a x b c x 型不等式的解法
例5
解不等式 x 1 x 2 5
A1 -3 A -2 B 1 B1 2 x
解法1: 设数轴上与 2, 对应的点分别是 , , B 1 A
1 那么A, , 两点的距离是 , 因此区间 2, 上的 3
分ab>0和ab<0两种情形讨论:
(1)当ab>0时,如下图可得|a+b|=|a|+|b|
x
O
a
b
a+b
a+b
b
a
O
x
(2)当ab<0时,也分为两种情况:如果a>0,b<0, 如下图可得:|a+b|<|a|+|b|
绝对值不等式专题复习课件
g ( x) 5
令g ( x) x 1 x 4
f ( x)的 最 小 值 为 5
a
4 a 2 5a 4 由a 5 0成 立 a a 0 a 1或a 4 a (0,1] [4,)
例3、已知关于x的不等式 ax 2 ax a 2(a 0) (1)当a 1时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围。 解:(1)当a=1时,不等式为 x 2 x 1 2 由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型 不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了 数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论 的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现 了函数与方程的思想.
2.绝对值的三角不等式
当且仅当( x a)(1 x) 0 时,即 f ( x) a 1 记不等式( x a)(1 x) 0 的解集为A,则
(3,1) A故a 3
a (,3]
例2、已知关于x的不等式2x 1 x 1 log2 a (其中a 0 ) (1)当 a 4时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数a 的取值范围。 解:(1)令 f ( x) 2x 1 x 1 ,当a 4时, f ( x) 2 1 1 当 x 时, x 2 2 ,得 4 x ; 2 2 1 当 x 1 时, 3 x 2 ,得 4 x 2 ; 2 3 当 x 1 时, x 0 ,此时的x不存在。
2 x 5, x 2 1,2 x 3 2 x 5, x 3
令g ( x) x 1 x 4
f ( x)的 最 小 值 为 5
a
4 a 2 5a 4 由a 5 0成 立 a a 0 a 1或a 4 a (0,1] [4,)
例3、已知关于x的不等式 ax 2 ax a 2(a 0) (1)当a 1时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围。 解:(1)当a=1时,不等式为 x 2 x 1 2 由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型 不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了 数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论 的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现 了函数与方程的思想.
2.绝对值的三角不等式
当且仅当( x a)(1 x) 0 时,即 f ( x) a 1 记不等式( x a)(1 x) 0 的解集为A,则
(3,1) A故a 3
a (,3]
例2、已知关于x的不等式2x 1 x 1 log2 a (其中a 0 ) (1)当 a 4时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数a 的取值范围。 解:(1)令 f ( x) 2x 1 x 1 ,当a 4时, f ( x) 2 1 1 当 x 时, x 2 2 ,得 4 x ; 2 2 1 当 x 1 时, 3 x 2 ,得 4 x 2 ; 2 3 当 x 1 时, x 0 ,此时的x不存在。
2 x 5, x 2 1,2 x 3 2 x 5, x 3
高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲课件文新人教版
选修4—5
不等式选讲
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤
时,等号成立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤
(a-b)(b-c)≥0
时,等号成立.
5
|a|+|b|
,当且仅当_______
-22考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
对点训练2设函数f(x)=|x+1|-m|x-2|.
(1)若m=1,求函数f(x)的值域;
(2)若m=-1,求不等式f(x)>3x的解集.
解:(1)当m=1时,f(x)=|x+1|-|x-2|.
∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,即函数f(x)的值域为[-3,3].
(3)柯西不等式的向量情势:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且
仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.不等式证明的方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,即
|| + |-1| = 1,
|| + |-1| = 1.
不等式选讲
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤
时,等号成立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤
(a-b)(b-c)≥0
时,等号成立.
5
|a|+|b|
,当且仅当_______
-22考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
对点训练2设函数f(x)=|x+1|-m|x-2|.
(1)若m=1,求函数f(x)的值域;
(2)若m=-1,求不等式f(x)>3x的解集.
解:(1)当m=1时,f(x)=|x+1|-|x-2|.
∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,即函数f(x)的值域为[-3,3].
(3)柯西不等式的向量情势:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且
仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.不等式证明的方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,即
|| + |-1| = 1,
|| + |-1| = 1.
1.2.2 绝对值不等式的解法 课件(人教A选修4-5)
1.解下列不等式:
(1)|3-2x|<9;(2)|x-x2-2|>x2-3x-4; (3)|x2-3x-4|>x+1 解:(1)∵|3-2x|<9,∴|2x-3|<9. ∴-9<2x-3<9. 即-6<2x<12. ∴-3<x<6.
∴原不等式的解集为{x|-3<x<6}.
(2)法一:原不等式等价于 x-x2-2>x2-3x-4 或 x-x2-2< -(x2-3x-4). ∴原不等式的解集为{x|x>-3}. 法二:∵|x-x2-2|=|x2-x+2|, 12 7 而 x -x+2=(x- ) + >0, 2 4
,再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集.
2.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c 型不等式的解法 几何意义 ①利用绝对值不等式的
求解,
体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值 不等式以准确的几何解释是解题关键.
②以绝对值的 零点 为分界点,将数轴分为几个区
间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思
2.绝对值不等式的解法
1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
只需将ax+b看成一个整体,即化成|x|≤a,|x|≥a(a>0)型
不等式求解. |ax+b|≤c(c>0)型不等式的解法:先化为 -c≤ax+b≤c , 再由不等式的性质求出原不等式的解集. 不等式|ax+b|≥c(c>0)的解法:先化为 ax+b≥c ax+b≤-c 或
(1)若不等式有∈(-∞,-1). (3)若不等式解集为∅,则m∈[1,+∞).
问题(1)是存在性问题,只要求存在满足条件的x
高三数学《师说》系列一轮复习 不等式选讲课件 理 新人教B
点评 解法一主要是分类讨论去绝对值,关键是确定讨论的区 间.解法二主要是根据具体问题结合数轴可得解集(即图象法).
变式迁移 1 不等式|2x+1|+|x-2|>4 的解集为________.
答案 {x|x<-1 或 x>1}
解析 当 x≤-12时, 原不等式可化为-2x-1+2-x>4 ∴x<-1.
②作商法:欲证 A>B,若 B>0,只需证AB>1;若 B<0,只 需证明AB<1.
步骤:作商 变形 判断商与“1”的大小. 注意 在比较商式与“1”的大小关系时,应注意函数(特别是 指数函数)的性质(特别是单调性)的运用.
(2)分析法. ①方法:分析法是从需求证的不等式出发,分析使这个不等式 成立的充分条件,通过肯定这些充分条件都已具备,从而断定原不 等式成立. ②特点:执果索因,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已 知”. 注意 用分析法证明不等式往往把“逆求”错误用做为“逆 推”,分析过程只需寻求充分条件即可,而不是充要条件.
(5)放缩法. 欲证 A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量, 使得 B≤B1,B1≤B2,…,Bi≤A,或 A≥A1,A1≥A2,…,Ai≥B, 再利用传递性,达到欲证的目的,这种方法叫做放缩法. (6)用数学归纳法证明不等式 ①用数学归纳法证明不等式必须严格遵循数学归纳法的基本程 序“两步一结论” ②由于不等式的特殊性,在 n=k n=k+1 的过程中,假设成 立的结论代入后与目标结论尚有较大差异,此时要综合运用不等式 的证明方法.
平方和不等式:若 a,b∈R,则 a2+b2≥12(a+b)2; 重要不等式:a,b 均为正数,则a+2 b≥ ab,a,b∈R,则 a2 +b2≥2ab; 倒数和不等式,若 a,b 均为正数,则(a+b)(1a+1b)≥4.
高中数学绝对值不等式的解法 PPT课件 图文
绝对值不等式的解法
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0
|x|= 0 ,x=0 -x ,x<0
2、绝对值的几何意义 |x|
x
0
|x-x1|
x
x1
3、函数y=|x|的图象
x ,x>0
y=|x|= 0 ,x=0
y
-x ,x<0
1
-1 o 1
x
1
二、探索解法
2
探索:不等式|x|<1的解集。
3 4
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
y
所以,不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1
y=1
-1 o 1
x
②
①
②
-c
0
c
题型1: 如果 c 是正数,那么
① x c x 2 c 2 c x c
② x c x 2 c 2 x c ,或 x c
【解】 (1)问题可转化为对一切x∈R恒有 a<f(x)⇔a<f(x)min, ∵f(x)=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=5, 即f(x)min=5,∴a<5.
(2)问题可转化为a>f(x)的某些值,由题意a>f(x)min, 同上得a>5.
(3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min,可知a≤5.
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想, 理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 内多项式的_正__、__负__性,进而去掉绝对值符号. (3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程 的思想.正确求出函数的_零__点__并画出函数图象(有时需要考查 函数的增减性)是关键.
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0
|x|= 0 ,x=0 -x ,x<0
2、绝对值的几何意义 |x|
x
0
|x-x1|
x
x1
3、函数y=|x|的图象
x ,x>0
y=|x|= 0 ,x=0
y
-x ,x<0
1
-1 o 1
x
1
二、探索解法
2
探索:不等式|x|<1的解集。
3 4
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
y
所以,不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1
y=1
-1 o 1
x
②
①
②
-c
0
c
题型1: 如果 c 是正数,那么
① x c x 2 c 2 c x c
② x c x 2 c 2 x c ,或 x c
【解】 (1)问题可转化为对一切x∈R恒有 a<f(x)⇔a<f(x)min, ∵f(x)=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=5, 即f(x)min=5,∴a<5.
(2)问题可转化为a>f(x)的某些值,由题意a>f(x)min, 同上得a>5.
(3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min,可知a≤5.
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想, 理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 内多项式的_正__、__负__性,进而去掉绝对值符号. (3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程 的思想.正确求出函数的_零__点__并画出函数图象(有时需要考查 函数的增减性)是关键.
高考数学大一轮复习不等式选讲第一节绝对值不等式课件理
4.已知函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值. 解:(1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤-1. 故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为{x|x≥3 或 x≤-1}.
(2)若 g(x)=|x+1|,求不等式 g(x)-2>x-f(x)恒成立时 a 的取值范围.
[解] 由 g(x)=|x+1|,不等式 g(x)-2>x-f(x)恒成立,知 |x+1|+|x-a|>2 恒成立,
即(|x+1|+|x-a|)min>2. 而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|, 所以|1+a|>2,解得 a>1 或 a<-3. 故 a 的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).
得 4x2+4x+1>4(x2-2x+1),解得 x>14,所以原不等式的解集为
x|x>14.
法二:原不等式等价于x<-12, -2x+1+2x-1>0
或-12≤x≤1, 2x+1+2x-1>0
或x2>x1+,1-2x-1>0.
解得 x>14,所以原不等式的解集为x|x>14.
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神” 证明绝对值不等式
[例 1] 已知 x,y∈R,且|x+y|≤16,|x-y|≤14, 求证:|x+5y|≤1. [证明] ∵|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|. ∴由绝对值不等式的性质,得 |x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)| =3|x+y|+2|x-y|≤3×16+2×14=1. 即|x+5y|≤1.
高三一轮复习课件绝对值不等式的解法
x
x
“合”:设g(x) ax, x (0,1), 当a 0时不合题意,
当a
0时,00≤≤
g(0) ≤ 2 g(1) ≤ 2
,即a
(0,
2].
高三一轮复习
课堂小结
1. f (x) g(x)和 f (x) g(x)型不等式的一般解法 f (x) g(x) f (x) g(x)或f (x) g(x) f (x) g(x) g(x) f (x) g(x)
变式2.不等式 2x 1 x 1 ≤ 4的解集为 [6,2] .
解析:(1)
x
1 2
或
1 2
≤
x
≤
1 2
或
x
1 2
4x ≤ 4 2 ≤ 4
4x ≤ 4
(2)
x1 2
x 2 ≤
4
或
1≤x 2 3x ≤
≤1或 4
或 1
x
x ≥1 1≥ x
1
解得x ≤ 0或x
所以原不等式的解集为( ,0].
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典例导练
江西省宁都中学
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .
解析:பைடு நூலகம்(2)函数图像
(3)平方
原不等式可化为
(
x
x 1 1)2 ≥ (
0 x
1)2
或
x
(1)当a 1时,求不等式f (x) ≥ g(x)的解集; (2)若不等式f (x) ≥ g(x)的解集包含[1,1], 求a取值范围.
高三一轮复习
高三一轮复习 不等式选讲
绝对值不等式的解法 课件
归纳升华 1.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不 等式的三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何 法.分区间讨论法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图 象法直观,但只适用于数据较简单的情况. 2.几何法的关键是理解绝对值的几何意义.
类型3 绝对值不等式的综合应用(规范解答) [典例3] (本小题满分10分)设函数f(x)=|x+ a |-|x - 1-a|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥12的解集; (2)若对任意a∈[0,1],不等式f(x)≥b的解集为空 集,求实数b的取值范围.
[规范解答]
(1)当a=1时,f(x)≥
1 2
等价于|x+1|-|x|
≥12.(1分)
①当x≤-1时,不等式化为-x-1+x≥12,无解;
②当-1<x<0时,不等式化为x+1+x≥12,
解得-14≤x<0;
③当x≥0时,不等式化为x+1-x≥12,解得x≥0. (3分) 综上所述,不等式f(x)≥1的解集为-14,+∞. (4分) (2)因为不等式f(x)≥b的解集为空集,所以b> [f(x)]max.(5分) 以下给出两种方法求f(x)的最大值.
法一:因为f(x)=|x+ a|-|x- 1-a|(0≤a≤1), 当x≤- a时,f(x)=-x- a+x- 1-a=- a- 1-a<0. 当- a<x< 1-a时,f(x)=x+ a+x- 1-a= 2x+ a- 1-a≤2 1-a+ a- 1-a= a+ 1-a. 当x≥ 1-a 时,f(x)=x+ a -x+ 1-a = a + 1-a. 所以[f(x)]max= a+ 1-a.(7分)
[典例 2] 设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)若 f(x)≤1,求 a 的取值范围.
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2, x 1
解:(1)当a 1时,f (x) x 1 x 1,即f (x) 2x, 1≤ x ≤1,
2, x 1
f
(x)
1的解集为x
x
1 2
.
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实战演练
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高三一轮复习 不等式选讲
第二节 绝对值不等式的解法
知识回顾
一般地说,解含有绝对值的不等式,关键在于设法去掉绝对值 符号,把问题转化为不含绝对值的普通不等式或不等式组求解. 去掉绝对值符号的常见方法有:
1.绝对值的几何意义; 2.零点分段; 3.分段函数图像; 4.平方(注意等价性). 高三一轮复习
解析:(1)零点分段
原不等式可化为
1
x 1 x≥x
或 1
x
x ≥1 1≥ x
1
解得x ≤ 0或x
所以原不等式的解集为 ( ,0].
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典例导练
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变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .
(2018年全国Ⅰ卷23)已知 f (x) x 1 ax 1.
(1)当a 1时,求不等式f (x) 1的解集;
(2)若x (0,1)时,不等式f (x) x成立,求a的取值范围.
(2)当x(0,1)时,x 1 x 1, f (x) x可化为ax 1 1,
当x (0,1)时,不等式 1 ax 1 1恒成立,即0 ax 2恒成立,
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变式1.不等式 2x 1 2x 1 ≤4的解集为 [1,1] .
变式2.不等式 2x 1 x 1 ≤4的解集为 [6,2] .
解析:(1)
x
1 2
或
1 2
≤
x
≤
1 2
或
x
1 2
4x ≤ 4 2 ≤ 4
4x ≤ 4
(2)
x1 2
x2≤
4
或
1≤x 2 3x ≤
≤1或 4
x
x 1 2≤
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变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .(利用绝对值几何意义求解)
不等式
x a
x a
a0
a0
a0
x a x a x a x a x a x a
x x a或x ax x a或x a x x a或x a
xa
a x, x a x a, x ≥ a
典例导练
例1.请利用绝对值的几何意义快速解出下列不等式的解集并完成表格.
(1) x 1; (2) x 0 ; (3) x 1; (1)x 1 x 1 (2) (3)
(4) x 1; (5) x 0 ; (6) x 1. (4)x x 1或x 1 (5)x x 0 (6)R
“分”:0 a 2 恒成立,而x (0,1)时,2 (2,), a (0,2].
x
x
“合”:设 g(x) ax, x (0,1), 当a 0时不合题意,
当a
0时,00≤≤
g(0) ≤ 2 g(1) ≤ 2
,即a
(0,
2].
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含有绝对值不等式 x a与 x a 的解集:
不等式
a0
a0
a0
x a
x a x a
x a
x x a或x a x x 0
R
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典例导练 变式1.不等式 x 1 1的解集为 (0,2) . (利用绝对值几何意义求解)
x 1 1
f (x) 1
f (x) a, a 0
f (x) a, a 0 a f (x) a f (x) a, a 0 f (x) a或f (x) a
2x, x 1
x2 x≤14 或
12≤≤x4≤1或
x 2x
1 ≤4
,
分别解得
2 ≤ x 1或 1≤ x ≤1或1 x ≤ 2,
即原不等式的集为 [2,2].
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解析: (2)函数图像
(3)平方
原不等式可化为
(
x
x 1 1)2 ≥ (
0 x
1)2
或
x
1≤ xR
0
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例2.解不等式 x 1 x 1 ≤4.
解析:(1)几何意义
所以原不等式的解集为 [2,2].
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例2.解不等式 x 1 x 1 ≤4.
2x, x 1
解析:(2)零点分段,因为 x 1 x 1 2, 1≤ x ≤1,所以原不等式等价于
4
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实战演练
(2018年全国Ⅰ卷23)已知 f (x) x 1 ax 1.
(1)当a 1时,求不等式f (x) 1的解集;
(2)若x (0,1)时,不等式f (x) x成立,求a的取值范围.
高考回顾
(2018全国Ⅰ卷23)已知 f (x) x 1 ax 1. (1)当a 1时,求不等式f (x) 1的解集; (2)若x (0,1)时不等式f (x) x成立,求a的取值范围.
(2017全国Ⅰ卷23)已知函数 f (x) x2 ax 4, g(x) x 1 x 1.
(1)当a 1时,求不等式f (x)≥ g(x)的解集; (2)若不等式f (x)≥ g(x)的解集包含[1,1],求a取值范围.
化为同解 f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) 不等式 f (x) g(x) f (x) g(x)或f (x) g(x)
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变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .