速率分布函数

若用dN表示速率在v－v+dv 区间内的分子数，v 连 续分布时，上式过渡到积分。
N1v1 N 2 v2 N i vi N i vi v N N

v dN v Nf ( v)dv v
0 0
N
N
v f ( v)dv
0

8kT 8 RT RT v 1.60 m0 M M
f (v )
v
从图中可以看出:
v v v
v
1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数 占总分子数的百分比N/N 2)所有小面积的和恒等于一。 3）当速率区间 v 0 ，小矩形面积的端点 连成一函数曲线----分子速率分布函数。
2）分布函数
f (v ) 的意义
要搞清函数的意义，先要 弄清纵坐标的意义。
1 （B） 2 kT
表示温度为T的平衡态下，分子在一个自由度上运 动的平均动能； （C）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下 它们的速率满足 v H 2 v O2 ； （D）气体分子的速率等于最概然速率
vp
的概率最大。
v p 表示最概然 6、 某气体分子的速率分布曲线如选7-7图所示， N 速率， N 表示速率分布在 v p v p v 之间的分子数占总分 子数的百分率，当温度减低时，则（ A ）


0
f ( v)dv
vF
0
A 3 Av dv vF 1 3
2

（ 3）
v p vF
0 0
3 A 3 vF
v v f ( v)dv
3 2 v 3 v dv 0.75 v F vF
v
2

0
3 2 2 v 3 v dv 0.6 vF vF

v1
v f ( v)dv
v2
v1
v dN N
速率在 v1 ~ v2 的所有分子 速率的总和被总分子数除 并非 v1 ~ v2 之间的分子 的平均速率
⑥

v2
v1
Nv f ( v)dv

v2
v1
vdN
速率在 v1 速率总和
~ v2 的所有分子
⑦


0
1 2 mv f ( v)dv 2

（4）


v2
v1
Nf ( v)dv

0
2、麦克斯韦速率分布函数（1860年从理论上导出）
m0 3 2 2 f ( v) 4 ( ) v e 2 kT R 23 1 m0 是分子的质量， k 1.38 10 J K 玻耳兹曼常数 NA
由上式可得到一个分子在 v ~ v + dv 区间的概率为
解：
2kT vp M
(1) T1 < T2
(2) 绿：氧 白：氢
f(v)
T1
T2 v
v p1
v p2
例2、处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中
自由电子( “电子气”模型 )。设导体中自由电子数为 N ,电 子速率最大值为费米速率 v F ，且已知电子速率在 v — v + d v 区间的概率为：
率 ) vp 分布曲线极大值对应的 速率叫最可几速率。 物理意义:
f(v)
vp
v
把整个速率区间分成许多相等的小区间, 则速率大小与vp相 近的气体分子数占总分子数的比率为最大。
v p 可由求极值条件 d f ( v) 0 求得
dv
2kT 2 RT RT vp 1.41 m0 M M
2kT 2 RT vp m0 M
v0
的概率。
2、设某种气体的分子速率分布函数为f(v),则速率在v1→v2区间 的分子的平均速率为：
( A) v f ( v)dv
v1
v2
(C ) vf ( v)dv / f ( v)dv
v1 v1
v2
v2
( B )v
v2
v1
f ( v)dv
( D)
v2
v1
f ( v)dv / f ( v)dv
分子数的比率。
下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子 数占总分子的百分比。
v(m / s)
90以下 90-----140 140----190 190----240 240----290 290----340 340----390 390以上
N / N 0 0 6.2 10.32
18.93 22.7 18.3 12.8 6.2 4.0
对麦氏速率分布经计算得：
任意函数(v)对全体分子按 速率分布的平均值：
v
0
8kT 8 RT πm πM
v (v ) f (v ) d v
3. 方均根速率
速率平方的平均值
v
方均根速率
2


0
v dN N
2
v 2 f ( v)dv
0

3kT 3RT RT v 1.73 m0 M M
表示速率处在 v ~ v + dv 区间内的分子数占总分子 数的百分率。 ②曲边梯形的面积
v
N f ( v)dv N
v1
v2

v2
v1
表示速率处在 v1 — v2 区间内的分子数占总分子数的百分 率。 ③曲线下的总面积
f ( v)dv 1
0

归一化条件
3、三种统计速率
1. 最可几速率 (最概然速
（A）2000 m/s，1000 m/s （B）1000 m/s，2000 m/s （C）1000 m/s， 2 1000 m/s （D） 2 1000 m/s，1000 m/s
0 f (v)
1000
m/s
v
5、 下列说法中正确的是（
）
（A）N个理想气体分子组成的分子束，都以垂直于器壁的 速度v与器壁作完全弹性碰撞。当分子数N小时，不能使用 理想气体的压强公式；当N很大时就可以使用它；
f(v)1 2Fra bibliotekT1 T2 T1
v
vp T
1 2
, v p m0
讨论两种情况：
（1）m0 一定, T v p 曲线高峰右移, 同时高度下降。 （2）T 一定， v p
vp1 vp2
f(v)
m0大
m0
1 2
m0小
v
2. 平均速率
大量分子速率的算术平均值叫平均速率 v 。
v
2
讨论思考题：试说明下列各式的物理意义
dN ① f ( v)dv N
② Nf ( v)dv dN ③


v2
v1
v2
N f ( v)dv N
Nf ( v)dv dN N
v1 v2
速率在 v1 ~ v2 区间内的分 子数占总分子数的比率 速率在 v1 子数
④
⑤
v1 v2
~ v2 区间内的分
第七章
气体动理论
§4.5 麦克斯韦速率分布律
（Maxwells law of distribution of speeds）
1、 速率分布函数 要深入研究气体的性质， 不能光是研究一些平均值，
如 t ， v 2 等；还应该进
一步弄清分子按速率和按
麦克斯韦
能量等的分布情况。
整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。
b
df b 3/ 2 bv 2 2 bv 2 4 ( ) [2ve v 2bve ] dv b 3 / 2 bv 2 8 ( ) ve (1 bv 2 ) 0

)
32
v e
2
v
vdN
0
2kT vp m0
0 N b 3 / 2 3 -bv2 4 ( ) v e dv 2
m0 v 2 2 kT
m0 3 2 2 dN 4 ( ) v e N 2 kT
速率分布曲线
以 v 为横坐标，f ( v) 速率分布曲线。
m0 v 2 2 kT
dv
dN 为纵坐标，画出的曲线称为 Ndv
分布曲线的物理意义 ① 小矩形的面积
f(v)
dN f ( v)dv N
2
v 0.6 v F 0.77 v F
2
讨论： 1、 用分子数N，气体分子速率v和速率分布函数 表示下列各量 （2）速率大于 v 0 的那些分子的平均速率； （3）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于 （4）分子速率倒数的平均值。 （5）分子平均平动动能。 （1）速率大于
f ( v)
v 0 的分子数；
注意：以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次 重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看， 分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确 定的规律。
1）实验数据的图示化
f (v )
12.8%
6.2%
6.2%
4.0%
v
0
90
140 190
240 290 340 390
f (v )
f (v )
分子平动动能的平均值
⑧
vp vp
v f ( v )dv
vdN f ( v )dv dN
vp vp

速率在 v p 内的分子的 平均速率
例1、图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试
问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对 应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的 是氧气，哪条对应的是氢气？
dN N
Av dv
2
( 0 v vF )
A 为常数
0
( v vF )
（1）画出电子气的速率分布曲线 （2）由 v F 定出常数 A （3）求
vp , v ,
v
2
解： （1）
dN f ( v) Ndv
f(v)
Av
2
( 0 v vF )
0
( v vF )
O
vF
v
（2） 由归一化条件确定常数A
p
（A）
v p 减小，
N p N N p N
也减小
f (v)
（B） v p 增大， （C）
也增大 增大 减小
0
vp vp v
v p 减小，
N p N N p N
v
（D） v p 增大，
7、 数。
f ( v) 设为N个（N很大）分子组成的系统的速率分布函
平均速率（average speed）
分立： 平均速率
vi v， Ni dNv=N f (v)dv， 连续：
v
Nv v N
i i
i
v
vdN dN
v2 v1 v2 v1

N v d Nv 0 N d Nv 0

d Nv v N
N 0

v 0
f (v ) d v
设总分子数为 N
N —— 表示速率在 v ~ v + v 区间内的分子数。
N N
N 与 v 、 v 有关 。 —— 表示速率处在 v ~ v + v 区间内的分子数占总 分子数的百分率。
N Nv
N 也与 v 、 v 有关。 N
—— 分子速率在 v 附近单位速率区间内的分子数占总
vf(v)dv
0


1 b
8kT v m0
速率平方的平均值
f ( v) 4 (
b

)
32
v e
2
b v 2
v
2
0 N b 3 / 2 4 -bv2 3 4 ( ) v e dv 0 2b


0
v dN
2
v f(v)dv
2


3kT 3RT v m0 M
0

3、若气体分子的速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分 的面积相等，则图中 v 0 表示（ D ）
f (v)
（A）最概然速率 （B）平均速率 （C）方均根速率 （D）速率大于和小于
A
B
v
v 0的分子各占一半
0
v
4、图示的曲线分别是氢气和氦气在同温度下的分子速率分布曲 线，由图可知，氢气分子的最概然速率和氧气分子的最概然速 率分别为（ ）
2
三种速率中， v 2 最大， v 次之，v p 最小
f(v)
vp v v
2
v
v pv
v2
附录: 三种统计速率的计算 m 速率分布函数中令 0 b
2kT
m0 3 2 2 f ( v) 4 ( ) v e 2 kT
b v 2
m0 v 2 2 kT
则
f ( v) 4 (
d Nv N ，
即
d Nv N 1 v 0

所以


0
f (v)dv 1
这称为速率分布函数 的归一化条件。
思考： 1、若 f ( v) 表示速率分布函数，试说明下列各式的物理意义
（1） （3） （5）
f ( v )dv
（2）
Nf ( v)dv

v2
v1
f ( v)dv
vf ( v )dv
f (v )
f (v )
v v v
v
在 v v v 区间 作一小矩形，小矩 形的面积：
按函数的定义 故
当
N N f (v )v 或：f (v ) Nv N dN f (v ) v 0
Ndv
s f (v )v
N s N
f (v ) 称 速率分布函数
由定义式
（function of distribution of speeds）
d N v 可看出 f (v)的意义是： f (v ) N dv
“ 在速率v 附近， 单位速率区间内的分子数 占总分子数的比例。” 对于一个分子来说， f (v) 就是分子处于速
率v 附近单位速率区间的概率。
因为

v 0