微积分方法建模--数学建模案例分析13习题二

习题二

1、由实验知，细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时与当时已有的数量0A 成正比，即0kA V =（0>k 为比例常数），问经过时间t 以后细菌的数量是多少？

2、一盘标有180分钟的录像带，实际上能走5.183分钟。现已走完大半，计数器从0000走到4580，问剩下的带子还能录下一小时的节目吗？

3、一张正方形椅子，它的四条腿一样长，四脚呈正方形，放在连续变化的地面上时，在任何位置都至少有三只脚同时着地。是否可以经过稍挪动几下，就能四只脚同时着地？

4、微型计算机把数据存储在磁盘上。磁盘使用前由操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。磁道上的定长弧段作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据“0”或“1

”，这个基本单元称为bit 。为保障磁盘的分辨率，磁道宽t ρ>，每bit 占用的磁道长b ρ>。为数据检索的便利，格式化时要求所有磁道具有相同的bit 数。现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 和R 之间的环形区域，试确定r ，使磁盘具有最大的存储量。

5、有一机械挂钟，钟摆的周期为1秒，在冬季，摆长缩短了0.01厘米，这只钟每天大约快多少？

6、在离水面高度为)(m h 的岸上，用绳子拉船靠岸。绳子长)(m l ， 船位于离岸壁)(m s 处，当收绳速度为)/(0s m v 时，船的速度和加速度怎么变化呢？

7、肺部压力的增加可以引起咳嗽，而肺部压力的增加伴随着气管半径的缩小，实验证明：当压力压轮

差p 增加，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡

a r 2,00范围内，半径r 按照方程ap r r -=0减少，其中0r 为无压力时的管半径，a 为正常数。那末较小半径是促进了还是阻碍了空气在气管里的流动？

提示：我们把气管理想化为一个圆柱形的管子，半径为r ，管长为l ，两端压力差为p ,流体的粘

滞度为η 。由物理学知识，单位时间内流过管子的气体的体积为l

pr V ηπ84

=。 8、现有一个椭圆柱油罐，其长度为l ，两底面是长轴为

，短轴为b 2的椭圆，问当油罐中油面

高度为h 时，油量是多少？

9、某航空公司需增加5架波音747客机.如果购买一架客机需要一次支付5000万美金，客机的使用寿命为15年。如果租用一架客机，每年需要支付600万美金的租金，租金以均匀货币流的方式支付。若银行的年利率为%12，问购买客机与租用客机哪种方案为佳？如果年利率为%6呢？

10、一颗地球同步轨道通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆。通信卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动。若地球半径R=6400公里，问卫星距地面的高度h 应为多少？计算通信卫星的覆盖面积。

11、一工厂有x 名技术工人和y 名非技术工人，每天可生产的产品产量y x y x f 2),(=（件）。现有16名技术工人和32名非技术工人，而计划再雇佣1名技术工人，试问如何调整非技术工人的人数，可保证产品量不变？

12、如果在存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少。

13、在考虑最优价格问题时，设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长。设β为增长率，t q q β+=0。又设单位时间内的销售量为bp a x -=，p 为价格。今将销售期分为T t T T t ≤<≤≤2/2/0和两段，每段的价格固定，记作21,p p 。求21,p p 的最优值使销售期内的总利润最大。如果要求销售期内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值。

14、在B A ,两种物质的溶液中，提取出物质A ，可以采取这样的方法：在B A ,的溶液中加入第三种物质C ，利用C 与B 不互溶，而A 在C 中溶解度较大的特点，将A 提取出来。这种方法就是化工中的萃取过程。现有稀水溶液的醋酸，利用苯作为溶剂，进行３次萃取来回收醋酸，共有苯体积m 。每次应取多少苯量，方使从水溶液中萃取出的醋酸最多？

15、若流入污水的浓度比湖水浓度高,湖水便会受到污染,而当清水注入时,可使湖水净化.

假设:1.蒸发量与降雨量相等,流入与流出平均速度相等,即湖水总量不变;2.湖水不发生化学变化, (12222=+b y a x )

不引起沉淀;3.湖水中水浓度是均匀的。讨论污水和清水的注入对湖水的影响。

16、每天的饮食可产生热量A ，用于新陈代谢消耗热量B ，活动消耗热量⨯C 体重，增重、减重的热量主要由脂肪提供，每公斤脂肪转化的热量为D ，记)(t W 为体重，若0W 为初始体重，试求出)(t W 解析表达式。

17、在十字路口行驶的车辆中,主要因素是机动车辆,驶近交叉路口的驾驶员,在看到黄色信号后要做出决定:是停还是要通过路口.当决定停车时,他必须有足够的停车距离.少于此距离时不能停车,大于此距离时必须停车,当决定通过路口时,他必须有足够的时间使他完全通过路口,包括做出决定的时间、通过十字路口的时间以及停车所需的最短距离的驾驶时间,

这就是黄灯应持续的时间。请计算出这个时间。

18、主动脉是一个大的血管，当动脉血离开心脏后首先经过主动脉。在心跳周期的收缩期，在压力的作用下，血从心脏被泵出进入主动脉的一端。此时，主动脉壁扩张，大约容纳左心室射出血液的三分之二，其余三分之一流至外周。在舒张期，没有血液流进主动脉，此时主动脉壁发生弹性回缩，从而把血液挤出主动脉并使其进入人体循环系统。

记V t 时刻主动脉的体积

P t 时刻主动脉的血压 kp v V +=0，（0v ，k 为常数）

试求出)(t p 的表达式。

19、由于化工生产过程中，经常要排出一些不利于环境的物质，为保持车间内的环境卫生，必须通入大量的新鲜空气，这就是通风问题。记y 为t 时刻2CO 的浓度；v 为车间的体积()3m

；a 为通入的空气量min)/(3m ；0y 为2CO 的初始浓度；g 为新鲜空气中2CO 的浓度。试求出a 的表

达式。

20、设铅球初速为v ，出手高度为h ，建立投掷距离与α,,h v 的关系式，其中α为出手角度，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。

x 循环系统