微积分方法建模--数学建模案例分析13习题二
微积分与数学模型答案
微积分与数学模型答案【篇一：数学建模课后答案】t>第二章(1)（2012年12月21日）1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. 1中的q值方法；（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑n=10的分配方案，p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）?pi?13i?1000.q1?p1n?pi?13?2.35,q2?p2ni?pi?13?3.33, q3?p3ni?pi?13?4.32i分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：n1?2,n2?3, n3?4第10个席位：计算q值为235233324322q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.22?33?44?5q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5方法三（d’hondt方法）此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）.pi是ni每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近.pip中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得?tvdt?2?k?(r?wkn)dnn2?rk?wk22n22vv第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v、s、?的关系.解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0，其量纲表达式为: [p]=mlt2?3, [v]=lt?1,[s]=l,[?]=ml,这里l,m,t是基本量纲.2?3量纲矩阵为：1?2?10a=????3?1(p)(v)齐次线性方程组为：2?3?(l)01??(m) 00??(t)(s)(???2y1?y2?2y3?3y4?0??y1?y4?0??3y?y?012?它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲pi定理得??p?1v3s1?1，?p??v3s1?1 ，其中?是无量纲常数.16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，0-1-3[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[g]=lmt,其中l，m，t是基本量纲.-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2量纲矩阵为?1?3?11?(l)?0?(m)110?a=? ???10?1?2(t)??(v)(?)(?)(g)齐次线性方程组ay=0 ，即? y1-3y2-y3?y4?0??0 ?y2?y3?-y-y-2y?034?1的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲pi定理得*??v?3??1?g. ?v???g，其中?是无量纲常数. ?16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt，[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[?]=lm0t0 ，[g]=lmt0-1-3-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为?1?0a=????1(v)齐次线性方程组ay=0 即1?3?100101?(l)10??(m) ?1?2??(t)(?)(?)(?)(g)?y1?y2?3y3?y4?y5?0?y3?y4?0 ???y1?y4?2y5?0?的基本解为11?y?(1,?,0,0,?)?122 ?31?y2?(0,?,?1,1,?)22?得到两个相互独立的无量纲量??1?v??1/2g?1/2??3/2?1?1/2??g??2??即 v??1) g1,?3/2?g1/2??1??2?1. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2? ??g(?3/2?g1/2??1) , 其中?是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为f(t,l,m,g,k)?0其量纲表达式为：[t]?l0m0t,[l]?lm0t0,[m]?l0mt0,[g]?lm0t?2,[k]?[f][v]?1?mlt?2(lt?1 )?1?l0mt?1，其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为?0?0a=???1(t)100?(l)0101??(m) 00?2?1??(t)1(l)(m)(g)(k)齐次线性方程组y2?y4?0??y3?y5?0 ??y?2y?y?045?1的基本解为11?y?(1,?,0,,0)?122 ?11?y2?(0,,?1,?,1)22?得到两个相互独立的无量纲量?tl?1/2g1/2??1?1/2?1?1/2?lmgk??2∴t?kl1/2l?1, ?1??(?2), ?2?1/2gmg∴t?lkl1/2(1/2) ，其中?是未定函数 . gmg考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为lkl?1/2() t,t；l,l;m,m. 又t??1/2gm?g当无量纲量m?lt?lgl时，就有 ?. ???mltgll《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．【篇二：数学建模-微积分模型】>今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。
微积分与数学建模
建模实例
（三）模型的建立
在数理统计中，将A类或B类这样的群体称为统计总体， 把描述总体的每一个体特征的所有变量均视为随机变量。
如果不同总体中诸变量所遵循的分布有明显的差异时，则
可将此差异作为分类依据，这就是多元统计分析处理问题 的一般想法。区分一个DNA序列属于A类还是B类的问题属
于两总体间的判别问题，这里我们利用微积分中的向量代
1*1=1 11*11=121 111*111=12321 1111*1111=1234321 11111*11111=123454321 111111*111111=12345654321
前 言
• • • • • 1*8+1=9 12*8+2=98 123*8+3=987 1234*8+4=9876 12345*8+5=98765
分析建模
建模实例
节水洗衣机模型
（一）问题的提出
我国淡水资源有限，节约用水颇为重要。洗衣机在我国Biblioteka 相当普及，为节约洗衣机用水，要求设
计一洗衣机程序，在满足一定洗涤效果的前提下，
使得总用水量最少。 已知洗涤过程为：首先加入衣物和洗涤剂，然 后重复加水——漂洗——脱水过程。
建模实例
（二）模型假设
（1）洗涤剂一次加满，漂洗过程中不再添加；
的驻点。 又若 f " ( x0 ) 存在，且 f ' ( x) 0, f "' ( x) 0 ，则有下列结论：
若 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x0 ) 为极大值。 若 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x0 )为极小值。
内容回顾
但在实际问题中，上述简单的极值问题很少能出现，而是 有某些条件的限制，这就需要利用求条件极值的方法--Lagrange算法来解决。
微积分方法建模2经济增长模型--数学建模案例分析
§2 经济增长模型发展经济、增加生产有两个重要因素，一是增加投资（扩大厂房、购买设备、技术革新等），二是增加劳动力。
恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高，从而真正起到发展经济的作用。
为此，需要分析产量、劳动力和投资之间变化规律，从而保证经济正常发展。
记 )(t Q —某地区、部门或企业在t 时刻的产量)(t L —某地区、部门或企业在t 时刻的劳动力)(t K −某地区、部门或企业在t 时刻的资金)(t Z —每个劳动力在t 时刻占有的产量（劳动生产率）一、道格拉斯（Douglas ）生产函数由于现在关心的是产量、劳动力、投资的相对增长量，不是绝对量，所以定义,)0()()(Q t Q t i Q =)0()()(L t L t i L = ，)0()()(K t K t i K = （1）分别称为产量指数、劳动力指数和投资指数。
在正常的经济发展过程中这三个指数都是随时间增长的，但它们之间的关系难以从机理分析得到，只能求助统计资料.Douglas 从大量统计数据中发现下面的规律：如果令 )()(ln )(t i t i t K L =ξ，)()(ln )(t i t i t K Q =ψ （2）则散点),(ψξ在ψξ~平面直角坐标系上的图象大致如下即大多数点靠近一条过原点的直线,这提示ξ和ψ的关系为)10(<<=γγξψ （3） 上式代入得)()()(1t i t i t i K L Q γγ-= （4） 记)0()0()0(1--=γγK L Q a ，则由（1）、（4），可得)0,10(),()()(1><<=-a t K t aL t Q γγγ （5）这就是经济学中著名的Douglas 生产函数，它表明产量与劳动力、投资之间的关系。
由（5）有K K L L Q Q )1(γγ-+= （6）（6）表明年相对增长量Q Q 、L L 、KK 之间呈线性关系。
微积分方法建模飞机的降落曲线数学建模案例分析
第二章 微积分方法建模现实对象涉及的变量多是连续的，所以建立连续模型是很自然的，而连续模型一般可以用微积分为工具求解，得到的解析解便于进行理论分析，于是有些离散对象，如人口的演变过程，也可以构造连续模型.当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型.建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其它对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了.§1 飞机的降落曲线根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线（如图）.在整个降落过程中，飞机的水平速度保持为常数u ，出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10/g （这里g 是重力加速度）.已知飞机飞行高度h （飞临机场上空时），要在跑道上O 点着陆，应找出开始下降点0x 所能允许的最小值.一、由题设有 .将上述的四个条件代入y 的 表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++='=+++==='==023)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x y hd cx bx ax x y c y d y 得 ,0,0,3,22030===-=d c x h b x ha飞机的降落曲线为 )32(23020x x x x hy --= 二、 找出最佳着陆点飞机的垂直速度是y 关于时间t 的导数，故dt dx x x x x h dt dy )66(2020--= 其中dtdx 是飞机的水平速度，,u dt dx = 因此 )(60220x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为)12(6)12(6020202022--=--=x x x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0202-=x x x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 2026)(max x hu x a = []0,0x x ∈设计要求 106202g x hu ≤，所以gh u x 600⋅≥ （允许的最小值） 例如：小时/540km u =，m h 1000=，则0x 应满足：)(117378.9100060360010005400m x =⨯⨯≥ 即飞机所需的降落距离不得小于11737米.。
数学建模(微积分)二
，不难求得 （4）
2c1 r c2
T
2c1 rc 2
再根据（1）有，
Q
（5）
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
Q
2c1 r c2
（5）
这就是经济理论中著名的经济订货批量公式（EOQ公式） 货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货 的价格为k，则一周期的总费用 C 中应添加kQ，由于
Q rT
（1）
订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮 存量为q，则q(t)的变化规律可以用图1表示
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座 q
Q A r T 图1 t
0
考察一个订货周期的总费用：订货费为c1;贮存费是
c2 q(t )dt 其中积分恰等于图中三角形的面积为A，显然
0 T
1 A QT 2
实例十一、森林救火数学模型
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
贮存模型 背景 不允许缺货的贮存数学模型 知识 工厂要定期地订购各种原料，在仓库里供生产
之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以 备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。 无论是原料、商品还是水的贮存，都有贮存多少的 问题。原料、商品贮存得太多，贮存费用高；贮存 得太少，则无法满足需求。水库雨季蓄水过量，更 可能危及安全。当影响贮存量的因素包含随机性时， 如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建 立贮存模型。
Q rT 所以公式（3）中增加一常数项kr，对求解结果
式（4）、（5）没有影响。 （5）式表明，订货费c1越高，需求量越大，订货批量 Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小，这些关系 当然是符合常识的，不过公式在定量上表明的平方关系 却是凭常识方法得到的
高等数学模型—微积分模型(数学建模课件)
2、假设易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是
否可以合理地说明你们所测量地易拉罐地形状和尺寸。
二、数据测量
罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、
顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。
该如何测量？
二、数据测量
1、直接测量
①用软皮尺环绕易拉罐相关部位一圈
（罐桶直径、罐
测得周长。
高、圆台高、顶
速度、出手角度和出手高度)
作定性和定量研究并得到明
确结论。
森林救火问题
微积分模型
知识点
一、问题的提出
二、模型分析与假设
三、模型建立与求解
四、模型应用
一、问题的提出
一、问题的提出
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。队
员多，火被扑灭的快，森林损失小，但救援费用大；队员少，救援费用小，
118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86
四、模型建立与求解
一、问题的提出
运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅
球落入有效区内，以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。
问题：
建模分析如何使铅球投掷的最远？
二、问题分析
• 铅球投掷中，影响投掷距离的因素有哪些？
数学建模实例分析
数学建模实例分析在现代科学和工程领域中，数学建模是一种广泛应用的方法，用于解决现实世界中的问题。
数学建模通过数学语言和技术，将实际问题转化为数学模型，并运用数学方法进行分析和求解。
本文将通过一个数学建模实例，详细分析数学建模的过程和应用。
实例背景假设我们要解决一个城市的垃圾处理问题。
城市中存在多个垃圾处理站点，每个站点有不同的处理能力和成本。
我们的目标是确定最优的垃圾处理方案，使得总成本最低且满足垃圾处理需求。
问题分析1. 确定决策变量我们需要确定每个垃圾处理站点的处理量和选择哪些站点进行处理。
假设城市中有n个垃圾处理站点，我们可以引入以下决策变量：- xi：表示第i个垃圾处理站点的处理量，其中1 ≤ i ≤ n。
- yi：表示是否选择第i个垃圾处理站点进行处理，其中1 ≤ i ≤ n，yi取值为0或1。
2. 建立目标函数我们的目标是最小化总成本，因此我们可以建立如下的目标函数：minimize Z=∑(ZZZZ+ZZZZ)其中ci表示第i个垃圾处理站点的处理成本，fi表示第i个垃圾处理站点的固定成本。
3. 建立约束条件为了满足垃圾处理需求，我们需要引入约束条件。
假设垃圾处理的总需求为D，则有以下约束条件：∑ZZ = D此外，我们还需要考虑每个垃圾处理站点的处理能力限制和选择约束。
对于每个站点i，我们可以引入以下约束条件：ZZ≤ ZZZZ其中ai表示第i个垃圾处理站点的处理能力。
模型求解通过建立目标函数和约束条件，我们可以将垃圾处理问题转化为一个数学优化问题。
我们可以使用线性规划方法进行求解。
通过线性规划求解器，我们可以得到最优的决策变量和目标函数值，从而确定最优的垃圾处理方案。
实例结果分析通过数学建模和求解，我们可以得到最优的垃圾处理方案。
我们可以获得每个垃圾处理站点的处理量以及选择的站点信息。
同时，根据目标函数值，我们可以评估该方案的总成本。
实例应用数学建模的实例分析不仅仅应用于垃圾处理问题，还可以应用于许多其他现实世界的问题。
数学建模之微积分的应用
微积分的应用1.跳伞运动员由静止状态向地面降落，人和伞共重161磅（1磅=0.45359273kg ），在降落伞张开以前，空气阻力等于 v 2 ，在开始降落5s 后降落伞张开，这时空气阻力为 v 22 ，试求降落伞张开后跳伞员的速度v(t)，并讨论极限速度。
问题分析：本题题目比较好懂，只要理解阻力的速度的关系，再根据物理关系进行列方程即可求解。
所以问题主要在于模型的建立于求解。
具体解题过程如下。
（1） 分析求解从t=0到t=5s 之间跳伞员的运动状态 由已知可得空气阻力f=v/2，故根据力学知识可以得到如下方程：mg-f=ma即 mg-v/2=m dv dt此为一元微分方程。
由高数知识，先解该方程对应的齐次微分方程-v/2=m dv dtdv v =−dt 2m 两边同时积分 ∫ dv v v t v 0=∫−dt 2m t 0 得 v t =v 0∗e −t2m由常数变异法令 v t =h(t)∗e −t 2m则 v t ’=h(t)’∗e −t2m + h(t)*(-12m ) ∗e −t2m 带回原方程得：h(t)’=g ∗e −t 2mh(t)=2mg ∗e−t2m +C (C 为常数)所以v t =h (t )∗e −t 2m = (2mg ∗e −t 2m +C) ∗e −t 2m又 v 0= 0，所以C= -2mg所以 v t = = 2mg (1−e −t 2m )带入数值，t=5s ，则可得到v 5=48.17m/s 。
且由方程的解的表达形式，利用MATLAB 可以得到如下v-t 曲线。
由于该曲线是在5s 内的，则e −t 2m 随t 的变花近似为线性的，所以看起来近似直线，实际则不是的。
（2） 分析求解从t=5s 到t=t 之间跳伞员的运动状态同以上的分析过程，可以列出在该时间段内的方程：mg- v 22 =m dv dt即 dvdt =2mg−v 22m dv 2mg−v 2=12m dt令√2mg =a ，对上式两边同时积分得：∫dva2−v2=∫12mdtt5v tv5查的积分表公式，上式继续得到：∫dva2−v2=12a∫(1a−v+1a+v)v tv5dv=v t v512aln|a+v ta−v t∗a−v5a+v5| =t−52m直接对该式进行定性分析：如果不考虑跳伞员的高度问题，当t ∞时，上式右边∞,所以可以得到绝对值部分为无穷大；所以有v t=a=√2mg=37.826 m/s。
3.1存贮模型
3.1 存贮模型工厂要定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之需；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
显然，这些情况下都有一个贮存量多大才合适的问题。
贮存量过大，贮存费用太高；贮存量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。
本节在需求量稳定的前提下讨论两个简单的存贮模型：不允许缺货模型和允许缺货模型。
前者适用于一旦出现缺货会造成重大损失的情况（如炼铁厂对原料的需求），后者适用于像商店购货之类的情形，缺货造成的损失可以允许和估计。
不允许缺货的存贮模型先考察这样的问题：配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同意不见的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
问题分析 让我们试算一下：若每天生产一次，每次100件，无贮存费，生产准备费5000元，故每天费用为5000元； 若十天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若五十天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元。
虽然从以上结果看，十天生产一次比每天和五十天生产一次的费用少，但是，要得到准确的结论，应该建立生产周期、产量与需求量、生产准备费，贮存费之间的关系，即数学建模。
从上面的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
所以必然存在一个最佳的周期，使总费用最小。
微积分方法建模如何预报人口的增长--数学建模案例分析
§9 如何预报人口的增长人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们常在报刊上看见关于人口增长的预报，而且你可能注意到不同的报刊对同一时间同一国家或地区的人口预报在数字上常有较大的差别，这其实是由于使用了不同的人口模型计算的结果.建立人口模型的意义在于利用模型中的参数及时控制人口的增长.模型一 Malthus 指数增长模型英国人口学家malthus 根据百余年的人口统计资料，于1787年提出著名的指数增长模型. 假设 1、某国家或地区在时刻t 的人口)(t x 为连续可微函数；2、人口的增长率r 是常数，或者说，单位时间人口的增长量与当时的人口成正比. 建模 记0x 为初始时刻)0(=t 的人口，由假设2，t 到t t ∆+时间内的人口增量为 t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()( 易导出下面的微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx求解 易解出)0()(0>=r e x t x rt分析 模型与19世纪以前欧洲一些地区和国家的人口增长率长期稳定不变的人口统计数据可以很好地吻合，但是与19世纪以后许多国家的人口统计资料却有很大差异.出现这种差异的原因是19世纪以后人口的增长率已不再是常数.比如美国19世纪100年的10年增长率0.266，20世纪80年的10年增长率0.137，而1970至1980年的10年增长率为0.0307. 模型二 Logistic 阻滞增长模型 假设 1、同模型一；2、当人口增加到一定数量后，增长率随着人口的继续增加而逐渐减少，且)(x r 为x 的线性函数sx r x r -=)()0,(>s r ，其中r 相当于0=x 时的增长率，称固有增长率；3、自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，称最大人口容量. 建模 当m x x =时增长率应为0，即0)(=m x r ，从而m x r s =，于是)1()(mx xr x r -=，其中r ，m x 是根据人口统计数据确定的常数.m x 常由经验确定.仿模型一同样得⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(xx x x x r dt dxm求解 tr m me x xx t x --+=)1(1)(0表 美国的实际人口与按两种模型计算的人口的比较分析1、模型表明人口增长率dt dx随着人口数x 的增加先增后减，在2m x x =处达到最大；且当∞→t 时，m x x →.2、模型在本世纪初曾被广泛使用，且预报效果很好，如预报美国人口时，66010179,31.0,109.3⨯==⨯=m x r x .但1960以后误差越来越大，究其原因是1960年美国实际人口已突破用过去数据确定的m x （它是用1800—1930的数据估计的），由此可知，模型的缺点之一是m x 不易准确地得到.。
微积分在实际问题中的数学建模方法
微积分在实际问题中的数学建模方法微积分是数学中重要的分支，它研究函数的变化率和积分的性质。
微积分为解决实际问题提供了强有力的数学工具和建模方法。
在实际问题中，微积分的数学建模方法可以帮助我们理解和分析问题，并通过数学计算得到解决方案。
微积分在实际问题中的数学建模方法包括函数建模、极限分析、导数分析、积分分析等。
下面将对每个方法进行详细介绍，并给出实际问题的例子以说明其应用。
函数建模是微积分中最基础的建模方法之一，它可以将实际问题转化为数学函数的形式。
通过观察问题的特征和规律，我们可以根据实际情况选择适当的函数模型，并确定模型的参数。
例如，在人口增长问题中，我们可以使用指数函数来建模人口的增长趋势，通过调整指数函数的系数来拟合实际数据，进而预测未来的人口变化。
极限分析是微积分中重要的思维工具之一，在实际问题中广泛应用。
通过对问题中的量进行极限分析，我们可以推导出问题的特性和规律。
例如，在力学中，我们可以利用极限分析来推导物体的速度和加速度之间的关系，进而解决运动问题。
在经济学中，极限分析可以帮助我们理解市场供需关系的演变过程，从而预测价格的变化趋势。
导数分析是微积分中常用的分析方法之一，它可以帮助我们理解函数的变化趋势和函数的局部特性。
通过求导数，我们可以得到函数的斜率和变化率，进而分析问题中的变化规律。
例如，在物理学中，通过对位移函数求导数，我们可以得到速度函数；再对速度函数求导数，我们可以得到加速度函数。
这种导数分析可以帮助我们理解物体运动的过程和规律。
积分分析是微积分中重要的计算方法之一，它可以帮助我们计算函数的面积、体积和曲线的长度等。
通过对问题中的量进行积分，我们可以得到问题的定量解决方法。
例如，在物理学中，通过对力的函数进行积分，我们可以计算出力对物体所做的功；再通过对功的函数进行积分，我们可以计算出物体的势能变化。
这种积分分析可以帮助我们计算物体的能量转换和储存情况。
综上所述，微积分在实际问题中的数学建模方法可以帮助我们理解问题、分析问题并得到解决方案。
数学建模之微积分模型
4r − 40 g − 2 t= =10 rg
10天后出售，可多得利润20元
敏感性分析
4r − 40 g − 2 t= rg
估计r=2， g=0.1
研究 r, g变化时对模型结果的影响 • 设g=0.1不变
40r − 60 t= , r ≥ห้องสมุดไป่ตู้1.5 r
20
t 对r 的（相对）敏感度
t
15 10 5 0 1.5
其中 c1,c2,c3, t1, β ,λ为已知参数
模型求解
dC =0 dx
求 x使 C(x)最小
β x= +β λ
c1 λ t12 + 2 c 2 t1 2 2c3λ
b
dB dt
β
λx − β
0
t1
t2 t
结果解释
• β /λ 是火势不继续蔓延的最少队员数
结果 解释
β x= +β λ
c1 λ t + 2 c 2 t1 2c3λ2
可设置一系列数值由模型决定队员数量x思考在森林救火模型中如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火有关试假设一个合理的函数关系重新求解模型34问题根据产品成本和市场需求在产销平衡条件下确定商品价格使利润最大假设1产量等于销量记作x2收入与销量x成正比系数p即价格3支出与产量x成正比系数q即成本4销量x依赖于价格pxp是减函数建模与求解px收入qx利润进一步设dpdu使利润up最大的最优价格pdpdcdpdi最大利润在边际收入等于边际支出时达到px建模与求解边际收入边际支出结果解释价格上升1单位时销量的下降幅度需求对价格的敏感度绝对需求p很小时的需求在最优价格模型中如果考虑到成本q随着产量x的增加而降低作合理假设重新求解模型35机体提供能量维持血液在血管中的流动给血管壁以营养克服血液流动的阻力消耗能量取决于血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则研究在能量最小原则下血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加管壁厚度近似与血管半径成正比考察血管ac与cbcb粘性流体在刚性管道中运动粘性系数克服阻力消耗能量管壁内表面积2rl管壁体积d2rdl管壁厚度d与r成正比模型假设机体为血流提供能量模型求解4937模型解释生物学家
经典：微分方程模型——数学建模真题解析
h h
ds
16
设桶的水平面积为A，孔 的面积为B，则由于质量 守恒，则
Adh=-Bds 符号反映了此消彼长。
dh h
ds
设水的流速是v则
ds vdt dh (B / A)vdt
1
2
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
例：下面的方程都是微分方程：
m du ku mg sin
dx
u a2 u sin x t x
3
微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分 方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公 路上飞驰，一个球从空中落下等。 偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改 变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水 的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
25
我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
吸收
中心室
19
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
数学建模微积分模型例题
数学建模微积分模型例题
以下是一个简单的数学建模微积分例题：
题目：有一根细棒，其长度为10米，质量为1千克。
我们需要计算这根细棒的弯曲程度。
首先，我们需要理解什么是弯曲程度。
弯曲程度可以理解为细棒弯曲的弧长与其原长的比值。
因此，我们可以用以下数学模型表示细棒的弯曲程度：设细棒的原长为L 米，弯曲的弧长为s 米，则弯曲程度y = s / L。
接下来，我们需要考虑如何计算弯曲的弧长s。
由于细棒弯曲时形成的是一个圆弧，因此我们可以使用微积分的知识来求解。
设细棒在弯曲过程中形成的圆弧的半径为r 米，圆心角为θ度，则弧长s = r ×θ。
由于细棒的质量分布均匀，因此我们可以认为细棒在弯曲过程中形成的圆弧的半径r 是恒定的。
同时，我们知道细棒的总质量M = 1 千克，因此我们可以计算出细棒在弯曲过程中形成的圆心角θ。
设细棒在弯曲过程中形成的圆心角为θ度，则θ= M ×g / (r ×g)。
其中g 是重力加速度，g = 9.8 m/s^2。
将以上模型整合，我们可以得到以下微积分方程：
y = s / L = r ×θ/ L = (M ×g / (r ×g)) ×90°/ L
其中，y 是弯曲程度，s 是弯曲的弧长，L 是细棒的原长，r 是圆弧的半径，θ是圆心角。
这是一个简单的数学建模微积分例题，通过这个例题我们可以理解数学建模的基本思路和方法。
微积分在数学建模中的应用
微积分在数学建模中的应用摘要:数学建模活动能培养学生的数学思维能力、创新能力及分析和解决问题的能力,而微积分被广泛应用于数学建模之中。
关键词:微积分;数学建模1数学建模数学模型与数学建模数学模型是对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,并运用适当的数学工具,得出的一个数学结构。
[它是使用数学符号、数学式子及数量关系对现实原型简化的本质描述。
数学建模活动是讨论建立数学模型的全过程,是通过建立数学模型解决实际问题的全过程,是一种数学思维方式。
它为学生创设了“提出问题、探索思考和实际应用”的空间。
其特点为: (1)创造性。
由于数学建模活动所讨论的是现实世界中的实际问题,而现实世界的复杂性往往使所提出的问题不能直接套用数学定理来解决,这就需要较多的创新工作。
(2)应用性。
即给出的是一种现实的情景,一种实际的需求,让学生面对现实的实际问题,选择适当的数学方法解决问题。
(3)开放性。
提出的问题中条件可能不足,也可能冗余,问题有较强的探索性,需要从迷离混沌的状态中,运用思维能力,找出一条主要线索。
2 微分方程建模的一般步骤微分方程建模是用数学中微分方程解决实际问题的桥梁，具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵，并在物理学、力学、工程学、生物学、医学、经济学、军事学等各个领域中有着广泛应用．应用微分方程理论针对各种实际问题建立的数学模型，一般而言都是动态模型，其结果极其简明，但整个推导过程却有点繁杂，不过还是能给人们以合理的解释．因此，选准切入点，将微分方程和数学建模的内容有机的结合才能充分体现微分方程建模的思想意图．当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来状态、研究它的控制手段时，通常要建立动态模型．而针对不同的实际对象的动态模型，进行微分方程建模的一般性步骤是：（1）用较精练的语言叙述待解决的问题（2）要根据建模的目的和对问题的具体分析做出简化假设（3）按照对象内在的或可类比的其他对象的规律建立目标函数的关系式并提出此微分方程有解的相关条件，即列出微分方程组（4）求出这个微分方程的解（5）用所得的结果来解释实际问题（或现象），或对问题的发展变化趋势进行预测下面以具体的实例来探究微分方程在数学建模中的应用．3 建模广泛应用运用微积分知识,人们建立了许多数学模型,并解决了许多重大问题。
微积分方法建模--数学建模案例分析13习题二
习题二1、由实验知，细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时与当时已有的数量0A 成正比，即0kA V =（0>k 为比例常数），问经过时间t 以后细菌的数量是多少？ 2、一盘标有180分钟的录像带，实际上能走5.183分钟。
现已走完大半，计数器从0000走到4580，问剩下的带子还能录下一小时的节目吗？3、一张正方形椅子，它的四条腿一样长，四脚呈正方形，放在连续变化的地面上时，在任何位置都至少有三只脚同时着地。
是否可以经过稍挪动几下，就能四只脚同时着地？4、微型计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘使用前由操作系统将其格式化成磁道和扇区。
磁道是指不同半径构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。
磁道上的定长弧段作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据“0”或“1”，这个基本单元称为bit 。
为保障磁盘的分辨率，磁道宽t ρ>，每bit 占用的磁道长b ρ>。
为数据检索的便利，格式化时要求所有磁道具有相同的bit 数。
现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 和R 之间的环形区域，试确定r ，使磁盘具有最大的存储量。
5、有一机械挂钟，钟摆的周期为1秒，在冬季，摆长缩短了0.01厘米，这只钟每天大约快多少？ 6、在离水面高度为)(m h 的岸上，用绳子拉船靠岸。
绳子长)(m l ， 船位于离岸壁)(m s 处，当收绳速度为)/(0s m v 时，船的速度和加速度怎么变化呢？7、肺部压力的增加可以引起咳嗽，而肺部压力的增加伴随着气管半径的缩小，实验证明：当压力压轮差p 增加，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a r 2,00范围内，半径r 按照方程ap r r -=0减少，其中0r 为无压力时的管半径，a 为正常数。
那末较小半径是促进了还是阻碍了空气在气管里的流动？提示：我们把气管理想化为一个圆柱形的管子，半径为r ，管长为l ，两端压力差为p ,流体的粘滞度为η 。
由物理学知识，单位时间内流过管子的气体的体积为lpr V ηπ84=。
4.数学建模-微分法
实际问题：货物贮存优化问题 贮存费用 通常包含两项（1）因货物库存占有投资基金而应付给银
行的利息；（2）货物保管费，其中含仓租费，维持费， 损耗费，保险费等等. 贮存策略 指：（1）再规定的进货周期内，确定合理的订货批量； （2）在规定的订货限额下，确定合理的订货周期. 模型 I 确定性需求，不允许缺货，瞬时进货模型 建模目的（优化目标）：确定最优周期 T 及每次进货量 Q ，使平 均每天的 贮存费 用 C 为最小. 模型假设：（1）每次订货费为 c1 元，每天每吨货物贮存费为 c2 元， （ 均为不变价格；2）均匀销售 方式，即每天需求量为常数 R 吨 ； （3）不允许缺货 ，贮存量为零时，立即 能得到补 模型建立： 均匀销售 时, 库存量下降速度应是一个常数, 故库存量 充. 随时间变化曲线是 如下图所示的一条 直线:
0
0 x u
c3 (r x u ) , r x u 缺货费 w(r ) 0 , 0 r xu
其概率密度函数为已知函数 p（r）；
故缺货费的期望值 w c3 w(r ) p(r )dr c3 (r x u ) p(r )dr
x
因为
I ' ( x) k L' ( x) k c2 p(r )dr c3 p(r )dr ,
0 x
I ' ' ( x) (c2 c3 ) p( x) 0
故 I ’(x) 是递增的 ，又由前面推导 S 中的结论：
I ' ( S ) k c2 p(r )dr c3 p(r )dr 0,
2
模型求解: 用多元微分法, 令 c3 2c1 c2 c3 2c1 R C C 0 , 0 T , Q T Q Rc2 c3 c 2 c 2 c3 模型分析：当缺货损失费很大时 ( c3 +∞),
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习题二
1、由实验知，细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时与当时已有的数量0A 成正比，即0kA V =（0>k 为比例常数），问经过时间t 以后细菌的数量是多少？
2、一盘标有180分钟的录像带，实际上能走5.183分钟。
现已走完大半，计数器从0000走到4580，问剩下的带子还能录下一小时的节目吗？
3、一张正方形椅子，它的四条腿一样长，四脚呈正方形，放在连续变化的地面上时，在任何位置都至少有三只脚同时着地。
是否可以经过稍挪动几下，就能四只脚同时着地？
4、微型计算机把数据存储在磁盘上。
磁盘使用前由操作系统将其格式化成磁道和扇区。
磁道是指不同半径构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。
磁道上的定长弧段作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据“0”或“1
”，这个基本单元称为bit 。
为保障磁盘的分辨率，磁道宽t ρ>，每bit 占用的磁道长b ρ>。
为数据检索的便利，格式化时要求所有磁道具有相同的bit 数。
现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 和R 之间的环形区域，试确定r ，使磁盘具有最大的存储量。
5、有一机械挂钟，钟摆的周期为1秒，在冬季，摆长缩短了0.01厘米，这只钟每天大约快多少？
6、在离水面高度为)(m h 的岸上，用绳子拉船靠岸。
绳子长)(m l ， 船位于离岸壁)(m s 处，当收绳速度为)/(0s m v 时，船的速度和加速度怎么变化呢？
7、肺部压力的增加可以引起咳嗽，而肺部压力的增加伴随着气管半径的缩小，实验证明：当压力压轮
差p 增加，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡
a r 2,00范围内，半径r 按照方程ap r r -=0减少，其中0r 为无压力时的管半径，a 为正常数。
那末较小半径是促进了还是阻碍了空气在气管里的流动？
提示：我们把气管理想化为一个圆柱形的管子，半径为r ，管长为l ，两端压力差为p ,流体的粘
滞度为η 。
由物理学知识，单位时间内流过管子的气体的体积为l
pr V ηπ84
=。
8、现有一个椭圆柱油罐，其长度为l ，两底面是长轴为
，短轴为b 2的椭圆，问当油罐中油面
高度为h 时，油量是多少？
9、某航空公司需增加5架波音747客机.如果购买一架客机需要一次支付5000万美金，客机的使用寿命为15年。
如果租用一架客机，每年需要支付600万美金的租金，租金以均匀货币流的方式支付。
若银行的年利率为%12，问购买客机与租用客机哪种方案为佳？如果年利率为%6呢？
10、一颗地球同步轨道通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆。
通信卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动。
若地球半径R=6400公里，问卫星距地面的高度h 应为多少？计算通信卫星的覆盖面积。
11、一工厂有x 名技术工人和y 名非技术工人，每天可生产的产品产量y x y x f 2),(=（件）。
现有16名技术工人和32名非技术工人，而计划再雇佣1名技术工人，试问如何调整非技术工人的人数，可保证产品量不变？
12、如果在存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量。
证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少。
13、在考虑最优价格问题时，设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长。
设β为增长率，t q q β+=0。
又设单位时间内的销售量为bp a x -=，p 为价格。
今将销售期分为T t T T t ≤<≤≤2/2/0和两段，每段的价格固定，记作21,p p 。
求21,p p 的最优值使销售期内的总利润最大。
如果要求销售期内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值。
14、在B A ,两种物质的溶液中，提取出物质A ，可以采取这样的方法：在B A ,的溶液中加入第三种物质C ，利用C 与B 不互溶，而A 在C 中溶解度较大的特点，将A 提取出来。
这种方法就是化工中的萃取过程。
现有稀水溶液的醋酸，利用苯作为溶剂，进行３次萃取来回收醋酸，共有苯体积m 。
每次应取多少苯量，方使从水溶液中萃取出的醋酸最多？
15、若流入污水的浓度比湖水浓度高,湖水便会受到污染,而当清水注入时,可使湖水净化.
假设:1.蒸发量与降雨量相等,流入与流出平均速度相等,即湖水总量不变;2.湖水不发生化学变化, (12222=+b y a x )
不引起沉淀;3.湖水中水浓度是均匀的。
讨论污水和清水的注入对湖水的影响。
16、每天的饮食可产生热量A ，用于新陈代谢消耗热量B ，活动消耗热量⨯C 体重，增重、减重的热量主要由脂肪提供，每公斤脂肪转化的热量为D ，记)(t W 为体重，若0W 为初始体重，试求出)(t W 解析表达式。
17、在十字路口行驶的车辆中,主要因素是机动车辆,驶近交叉路口的驾驶员,在看到黄色信号后要做出决定:是停还是要通过路口.当决定停车时,他必须有足够的停车距离.少于此距离时不能停车,大于此距离时必须停车,当决定通过路口时,他必须有足够的时间使他完全通过路口,包括做出决定的时间、通过十字路口的时间以及停车所需的最短距离的驾驶时间,
这就是黄灯应持续的时间。
请计算出这个时间。
18、主动脉是一个大的血管，当动脉血离开心脏后首先经过主动脉。
在心跳周期的收缩期，在压力的作用下，血从心脏被泵出进入主动脉的一端。
此时，主动脉壁扩张，大约容纳左心室射出血液的三分之二，其余三分之一流至外周。
在舒张期，没有血液流进主动脉，此时主动脉壁发生弹性回缩，从而把血液挤出主动脉并使其进入人体循环系统。
记V t 时刻主动脉的体积
P t 时刻主动脉的血压 kp v V +=0，（0v ，k 为常数）
试求出)(t p 的表达式。
19、由于化工生产过程中，经常要排出一些不利于环境的物质，为保持车间内的环境卫生，必须通入大量的新鲜空气，这就是通风问题。
记y 为t 时刻2CO 的浓度；v 为车间的体积()3m
；a 为通入的空气量min)/(3m ；0y 为2CO 的初始浓度；g 为新鲜空气中2CO 的浓度。
试求出a 的表
达式。
20、设铅球初速为v ，出手高度为h ，建立投掷距离与α,,h v 的关系式，其中α为出手角度，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
x 循环系统。