高中物理竞赛_话题18：关联速度问题

话题18：关联速度问题

一、刚体的力学性质:

讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．

如图所示，三角板从位置ABC 移动到位置A B C '''，可以认为整个板一方面做平动，使板上点B 移到点B '，另一方面又以点B '为轴转动，使点A 到达点A '、点C 到达点C '．由于前述刚体的力学性质所致，点A 、C 及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点B '为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速

度的矢量和．我们知道转动速度v r ω=，r 是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．

根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）． 结论一、

杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方

向的分速度．

再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论． 结论二、

接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触

面切向的分速度在无相对滑动时相同．

相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线a 、b ，如图所示，设直线a 不动，当直线b 沿自身方向移动时，交点P 并不移动，而当直线b 沿直线a 的方向移

B

C A '

B '

C '

动时，交点P 便沿直线a 移动，因交点P 亦是直线b 上一点，故与直线b 具有相同的沿直线a 方向的平移速度．同理，若直线b 固定，直线a 移动，交点P 的移动速度与直线a 沿直线b 方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线a 、b 各自运动，交点P 的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．

结论三、线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．

二、相关的速度

所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．

(一)、当绳（杆）端在做既不沿绳（杆）方向，又不垂直于绳（杆）方向的运动时，一般

要将绳（杆）端的运动分解为沿绳（杆）方向和垂直于绳（杆）方向二个分运动。

1、如图所示的情况，绳AB 拉着物体m 在水平面上运动，A 端以速度v 做匀速运动，问m

做什么运动？

有的同学会将绳的速度v 分解成竖直分速度sin v α和水平分速度cos v α，以为木块的速度cos u v α=()u v <．这是错误的。因为实际上木块并没有一个向上的分速度。应该将绳端B 实际上的水平速度B v 分解成沿绳方向的分速cos B v v α=和垂直于绳的分

速sin B v v α⊥=，v 使绳子缩短，所以v v =，v ⊥使绳子围绕滑轮转动。因此

()cos B B v

v v v α

=

>，而且B v 随着α的增大而越来越大。 2、如图所示，杆AB 沿滑下，A 、B 二端的速度A v 和B v 也是二个相

关的速度。

将A v 分解成沿杆方向的分速1A v 和垂直于杆的分速2A v , 将B v 分解成沿杆方向的分速1B v 和垂直于杆的分速2B v . 由于杆的长度不会发生变化，所以

11A B v v =，

即cos sin A B v v αα=，即

tan A B v v α=

⊥v B m

α

v 2

A A

1

B v

3、如图所示，半径为R 的半圆凸轮以等速0v 沿水平面

向右运动，带动从动杆AB 沿竖直方向上升，O 为凸轮圆心，P 为其顶点．求当AOP α∠=时，AB 杆的速度．

分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在A 点接触，杆上A 点速度A v 是竖直向上的，轮上A 点的速度0v 是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图所示，即

0cos sin A v v αα=，则

0tan A v v α=．

故AB 杆的速度为0tan v α

(二)、两杆交点的运动

两杆的交点同时参与了二杆的运动，而且相对每一根杆还有自己的运动，因而是一种比较复杂的运动。

1、图

)a （中的AC 、BD 两杆均以角速度ω绕A 、B 两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图示。当0t =时，

60αβ==，试求t 时刻两棒交点M 点的速度和加速度。

本问题实质上也是关联速度的问题，但其关联的本质是两杆的角速度相同，所以0

+=120αβ不变，推知M 点的轨迹在正三角形M 外接圆上运动．由此可重点在几何模型上去探求解法。

当0t =时，ABM ∆为等边三角形，因此AM BM l ==，它的外接圆半径l OM R 3

3

=

=，图()b 。二杆旋转过程中，α角增大的角度一直等于β角减小的角度，所以M 角的大小始终不变（等于

060），因此M 点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移

O αβM M 'A B

l

()

a αβ

M A

B

ω

ω

l

D

C

αO

P A

B

αO

P

A 0

v α

α

A

v