计算机视觉中的多视图几何第二章 3D射影几何和变换
空间几何的射影变换
空间几何的射影变换在日常生活中，我们经常面对空间的变换，如照相机拍摄的照片、镜子中的影像等。
这些现象都与几何变换密切相关，其中，射影变换是其中一个重要的变换类型。
在本文中，我们将讨论空间几何的射影变换及其应用。
一、射影变换的基本概念射影几何是解决欧几里德几何中所无法解决的问题的一种方法，它不要求平行线有相交点，也不要求垂直线相交成直角。
在射影几何中，平行线也可能相交，万物是相互联系的，没有孤立的存在。
被称为射影变换的变换是由一组变换组成的，这些变换可以通过投影、切比雪夫变换和对合来定义。
它们可以将几何图形中的点、直线和平面进行映射，并保持它们的基本性质。
射影变换也被称为单个射影坐标系到另一个射影坐标系的变换。
二、射影变换的应用射影变换在计算机视觉、计算机图形学、航空航天技术和游戏开发等领域中经常被使用。
它是许多计算机视觉算法的重要组成部分，如物体检测、目标跟踪和姿态估计等。
在游戏开发中，射影变换用于创建虚拟世界中的相机视图，使玩家可以观察到游戏场景中的不同角度和位置。
另一个重要的应用是医学成像，如CT和MRI。
这些成像技术可以创建三维图像，从而更好地诊断疾病和故障。
射影变换在这些成像技术中扮演着重要的角色，因为它可以将成像平面与三维物体之间建立对应关系，从而实现准确的成像。
三、空间几何的射影变换实现在实现空间几何的射影变换时，需要使用矩阵变换来表示变换矩阵。
通常使用4×4的矩阵表示射影变换，其中前三行表示旋转和缩放，第四行表示平移和尺度变化。
假设有一个点(x,y,z,1)在进行变换时，只需将其分别乘以变换矩阵的每一行即可得到变换后的坐标。
在实际应用中，常用的射影变换包括投影变换、剪裁变换、变换到相机坐标系等。
投影变换用于将三维场景投影到一个二维平面上，常用于计算机图形学和计算机视觉中。
剪裁变换用于筛选出场景中实际可见的区域，同时去掉不必要的区域。
变换到相机坐标系用于将物体的坐标与相机的坐标建立对应关系，从而计算其在视角下的表现形式。
计算机视觉中的数学方法
计算机视觉中的数学方法
内容简介
本书由射影几何、矩阵与张量、模型估计三个部分组成，它们是三维计算机视觉所涉及到 的基本数学理论与方法。I. 射影几何学是三维计算机视觉的数学理论基础，是从事计算机视觉 研究所必备的数学知识。本书着重介绍射影几何学和它在视觉中的应用，主要内容包括：平面 与空间射影几何，摄像机几何，两视点几何，自标定技术和三维重构理论。II. 矩阵与张量是描 述和解决计算机视觉问题的必要数学工具，视觉领域研究人员都应该掌握这门数学。本书着重 介绍与视觉有关的矩阵、张量理论与它的应用，主要内容包括：矩阵分解，矩阵分析，张量代 数，运动与结构，多视点张量。III. 模型估计是三维计算机视觉的基本问题，通常涉及到变换或 某种数学量的估计。本书着重介绍与视觉估计有关的数学理论与方法，主要内容包括：迭代优 化理论，参数估计理论，视觉估计的代数方法、几何方法、鲁棒方法和贝叶斯方法。上述三部 分涉及的数学内容是相对独立的，但三维计算机视觉将它们组成一个有机的整体。通过阅读本 书，读者能掌握三维计算机视觉中的基本数学内容与方法，增强数学素养、提高分析和解决视 觉问题的数学能力。
2பைடு நூலகம்
第6章
5.1.1 影消点与影消线--------------------------------------- 101 5.1.2 摄像机内参数----------------------------------------- 102 5.2 圆环点与摄像机内参数------------------------------------- 105 5.2.1 内参数约束方程--------------------------------------- 105 5.2.2 确定圆环点的图像------------------------------------- 105 5.2.3 圆环点与正交方向------------------------------------- 107 5.3 平行性与摄像机内参数------------------------------------- 108 5.3.1 平行四边形的射影------------------------------------- 108 5.3.2 平行六面体的射影------------------------------------- 111 5.3.2 摄像机内参数----------------------------------------- 113 5.4 Kruppa 方程与摄像机内参数--------------------------------- 117 5.4.1 Kruppa 方程------------------------------------------- 117 5.4.2 由 Kruppa 方程求焦距---------------------------------- 119 5.5 绝对二次曲线与摄像机内参数------------------------------- 121 5.5.1 基本约束方程----------------------------------------- 121 5.5.2 变化内参数------------------------------------------- 121 5.5.3 恒定内参数------------------------------------------- 122 5.5.4 尺度因子计算公式------------------------------------- 123 5.6 绝对二次曲面与摄像机内参数------------------------------- 125 5.6.1 基本约束方程----------------------------------------- 125 5.6.1 约束的等价性----------------------------------------- 126 三维重构理论 6.1 三角原理------------------------------------------------- 130 6.2 基本矩阵与射影重构--------------------------------------- 132 6.3 无穷远平面与仿射重构------------------------------------- 133 6.4 绝对二次曲线与度量重构----------------------------------- 135 6.5 绝对二次曲面与度量重构----------------------------------- 138 6.6 实现分层重构的实例--------------------------------------- 140 6.6.1 仿射点对应------------------------------------------- 141 6.6.2 准仿射重构------------------------------------------- 142 6.6.3 仿射重构--------------------------------------------- 143 6.6.4 度量重构--------------------------------------------- 146 6.7 多摄像机系统标定----------------------------------------- 147 6.7.1 一维标定物------------------------------------------- 147 6.7.2 确定仿射摄像机矩阵----------------------------------- 148 6.7.3 确定欧氏摄像机矩阵----------------------------------- 149
计算机视觉中的多视图几何第一章 2 D射影几何和变换
1.5 1D射影几何
交比 交比是射影不变量。给定4个点
x
，交比定义为：
i
Cross ( x , x , x , x )
1 2 3 4
x x
1
x x
2
x x
3
x x
4
1
3
2
4
在任何直线的射影变换下，交比的值不变：如 H x
2X 2
x 则：
1 2 3 4
C ross ( x x, x, x) C , ross ( x , x , x , x )
x y
S
其中s为缩放量，。
sR t 简洁的分块形式写成： H x x x o 1
T
相似变换就是在等距变换的基础上进行了一个S的缩放。
相似变换失真情况 相似变换的不变性质：长度比，夹角，虚圆点。
1.4.3 仿射变换
仿射变换是一个非奇异线性变换与一个平移变换的复合。它的矩阵表示为：
T *
1.6.5 由图像恢复度量性质 结论1.15 在射影平面上，一旦 C*被辨认，那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。
1.7 二次曲线的其他性质
1.7.1极点-极线关系
点X和二次曲线C定义一条直线L=CX。L称为X关于C的极线，而点X称为L关于C的极点。
c
l
x
如果点在C上，则它的极线就是二次曲线过点X的切线。
1 2 3
T
T
其中行直线无交点
平行线 平行直线交与理想点 无穷远线 所有理想点的集合
a c b / 2 d / 2
b / 2 d / 2 c e/ 2 e/2 f
1.2 2D射影平面
计算机图形学-三维图形变换与投影
5.关于yoz面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为： T 0 0
6.关于zox面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
J
z
x y
34
三维复合变换
步骤：
1。J轴绕Z轴转φ 角至yoz平面，成为J1。 2。J1轴绕X轴转γ 角后与z轴平行，成为J2。 3。立体绕J2轴转θ 角 4。从J2返回J1。 5。从J1返回J。
J2 J
J2
z
J1
z
J1
z
J1
x
y
x
y
x
y
35
投影变换
36
投影变换
显示器只能用二维图形表示三维物体，因此三维 物体就要靠投影来降低维数得到二维平面图形 把三维物体转变为二维图形的过程称为投影变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
错切变换
1 b d 1 T g h 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
三维错切变换中，一个坐标的变化受另外两个坐
标变化的影响。
如果变换矩阵第一列中元素d和g不为0，产生沿x
同理可得，绕y轴旋转变换：
x ' z sin x cos y' y z ' z cos x sin
z 绕y轴旋转 x
cos 0 T sin 0
0 sin 1 0 0 cos 0 0
计算机图形学(三维几何变换)
有些图形系统，对设备坐标系进行了规范化，将坐标 范围限定在区间{x, y, z | 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}内，称为 标准化设备坐标系
Y
P’(x’,y’,z’) P(x,y,z)
sin cos 0 0 x 0 y (3) 1 z
X
x cos y sin z 0
Z
旋转的图示
2009-2010-2:CG:SCUEC
以图形中心为中心进行缩放的步骤
2009-2010-2:CG:SCUEC
18
以图形中心为中心的缩放变换
以图形中心为中心的缩放 然后再对每一点按照式(*)作变换. 最后再沿x, y和z方向平移xp, yp和zp,把经过缩放 的图形移回原处.
(xp,yp,zp)
以图形中心为中心进行缩放的步骤
2009-2010-2:CG:SCUEC
A
放缩
17
2009-2010-2:CG:SCUEC
以图形中心为中心的缩放变换
为了使缩放变换后的图形仍在原位臵附近，可另 以图形中心为中心的缩放 外定义一个相似中心点(xp,yp,zp). 先把整个图形沿x, y和z方向平移–xp, –yp和–zp, 相似中心就移到了坐标原点.
(xp,yp,zp)
视口
2009-2010-2:CG:SCUEC
8
Yv
世界坐标系
Y
y2 o x y z x2
观察坐标系
y1
X
计算机视觉三维测量与建模-参考答案汇总 第1--8章
第一章大数据财务决策概论一、数字影像的概念？常见的数字影像的类型有哪些？物理世界的物体针对不同频段的电磁波具有不同的辐射、吸收和透射特性。
通常数字影像的成像过程是传感器将接收到的辐射、反射或透射的电磁波，从光信号转换为电信号，再转换为数字信号的过程。
彩色影像、灰度影像、二值影像、深度图影像、多光谱影像、伪彩色影像。
二、摄影几何的意义以及摄影几何数学表达的优点有哪些？射影几何学也叫投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一个特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。
在射影几何学中，把无穷远点视为“理想点”。
欧氏直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线，如果一个平面内的两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。
使用射影几何进行数学表达的优点包括：(1)提供了一个统一的框架来表示几何图元，如点、线和平面；(2)可以在无穷远处以直接的方式操作点、线和平面；(3)为许多几何操作(如构造、交集和变换)提供了线性表示方式。
三、为了描述光学成像的过程，通常需要引入几种坐标系,分别进行说明。
1.世界坐标系为了描述观测场景的空间位置属性,第一个需要建立的基本的三维坐标系是世界坐标系,也被称为全局坐标系。
2.像空间辅助坐标系第二类坐标系是像空间辅助坐标系，也被称为相机空间坐标系。
它类似于摄影测量学中的像空间辅助坐标系，是以摄像机为分析基准的坐标系，也是从三维空间转换到二维空间的一个桥梁。
3.像平面坐标系第三个重要的坐标系是像平面坐标系。
摄像机对三维场景拍照，属于透视投影变换,是将观测点的坐标值从三维空间转换到二维空间的射影变换。
四、基于不同的测量原理，主动式扫描仪系统可以分为几类？1.飞行时间扫描仪TOF类型的扫描仪通过测量从发射端发出的辐射波到目标表面的往返时间来计算目标表面点的距离。
2.相移扫描仪相移扫描仪利用正弦调制的强度随时间变换的激光束进行测量。
通过观测发射信号和反射信号的相位差，计算目标与传感器之间的往返距离。
计算机视觉中的多视几何
计算机视觉中的多视几何多视几何是计算机视觉领域中的一个重要分支，它研究如何从多个视角的图像中获取三维物体的信息。
本文将介绍多视几何的基本概念、常见方法以及应用。
一、多视几何的基本概念多视几何主要研究相机之间的空间关系及其对图像的几何变换。
在多视几何中，通常假设相机遵循针孔相机模型，即相机投影是通过沿光线将三维点投影到成像平面上的方式实现的。
这种假设简化了多视几何问题的数学表述。
在多视几何中，存在着多个视角或相机，每个视角拍摄到的图像都包含了一部分目标物体的信息。
不同视角下的图像可以通过几何变换相互对应，从而形成更全面的物体描述。
多视几何的目标是通过对多个视角下的图像进行分析和匹配，获得物体的三维结构和姿态。
二、多视几何的常见方法1.立体视觉立体视觉是多视几何的一个重要分支，它主要关注于从成对的立体图像中恢复场景中物体的深度信息。
立体视觉的主要任务是进行视差估计，即在两个视图中找到对应的特征点，并通过视差值计算物体的深度。
常用的立体视觉方法包括基于特征点匹配的方法、基于区域的方法以及基于能量优化的方法。
2.三维重建三维重建是多视几何的另一个重要研究方向，它旨在通过多个视角下的图像恢复出物体的三维结构。
三维重建的主要任务是通过多视图几何的理论和方法，将多个二维图像中的特征点或特征区域对应起来，并通过三角剖分和立体校正等技术进行三维重建。
常见的三维重建方法包括基于立体匹配的方法、基于结构光的方法以及基于视差图的方法。
3.多视图几何与运动恢复多视图几何与运动恢复关注的是相机的运动估计和3D结构恢复问题。
例如，基于特征点匹配的方法可以通过计算相邻帧之间的运动矩阵来估计相机的运动。
通过多个相机的视角，可以利用多视图的几何关系计算出物体的相对位置和运动轨迹。
三、多视几何的应用1.3D建模与重建多视几何可以用于三维建模与重建，例如通过从多个视角拍摄的图像生成三维模型。
这在虚拟现实、游戏开发、建筑设计等领域都有广泛的应用。
计算机图形学2010_06三维图形变换
第六章 三维图形变换第一节 三维图形变换基础一、三维坐标系xyzxyz右手坐标系左手坐标系三维图形学中习惯上通常是采用右手坐标系。
xy 平面对应于视平面，z 轴垂直于视平面，指向视平面之外。
二、三维齐次坐标及变换矩阵三维图形变换也是基于矩阵运算进行。
矩阵运算的维数被扩展为四维。
三维坐标点采用4元齐次坐标表示：(x , y , z , 1)，三维坐标与三维齐次坐标的相互转换如下：三维坐标(x , y ,z )——齐次坐标(x , y ,z , 1) 齐次坐标(x , y ,z , h )——二维坐标(x /h , y /h ,z /h ) 变换矩阵则为4X4的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s nm kr j i h q f e d p c b a 其中：平移变换第二节 三维几何变换一、三维基本变换 1. 平移变换⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010000100001nmk T )1,,,()1,,,(n z m y k x T z y x +++=⋅2. 比例变换)1,,,()1,,,(1000000000000jz ey ax T z y x j e a T =⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 3. 旋转变换三维的基本旋转变换分为三种，即绕三个坐标轴的旋转变换。
(1)绕z 轴旋转γ角旋转后z 值不变，x,y 值将发生改变，x,y 值的计算公式与平面旋转相同，即：zz y x y y x x ='+='-='γγγγcos sin sin cos 则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 00sin cos γγγγT 有：)1,1,cos sin ,sin cos ()1,,,(γγγγy x y x z y x +-=T(2)绕x 轴旋转α角则旋转后x 的坐标值不变，y 和z 的坐标值将改变，相当于在yz 平面上绕平面原点进行旋转变换。
平面转转变换的公式为：ααααcos sin sin cos y x y y x x +='-='对应而来，这里y 对应于x ，z 对应y ，有：ααααcos sin sin cos z y z z y y +='-='则变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000cos sin 00sin cos 00001ααααT )1,cos sin ,sin cos ,()1,,,(ααααz y z y x z y x +-=T(3)绕y 轴旋转β角这时，z 对应于x ，x 对应于y 。
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Stereo image rectification
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3D Computer Vision
The main goal here is to reconstruct geometry of 3D worlds.
How can we estimate the camera parameters?
Nonlinear camera calibration
Perspective projection:
ui fx
vi
0
1 0
fy 0
uv00•rr12TT 1 r3T
ttt132•xzy1iii
Nonlinear camera calibration
Perspective projection:
- known 3D points on calibration targets
- find corresponding 2D points in image using feature detection algorithm
Camera parameters
Known 3D coords and 2D coords
• D. Scharstein and R. Szeliski. A taxonomy and evaluation of dense two-frame stereo correspondence algorithms. International Journal of Computer Vision, 47(1/2/3):742, April-June 2002.
chpt5_三维变换2
立方体的顶点可以定义为 Point3 vertices[8]= {{-1.0,-1.0,-1.0},{1.0,-1.0,-1.0}, {1.0,1.0,-1.0}, {-1.0,1.0,-1.0}, {-1.0,-1.0,1.0}, {1.0,-1.0,1.0}, {1.0,1.0,1.0}, {-1.0,1.0,1.0}}; OpenGL系统最终要把三维坐标值变换成4阶齐次 坐标形式 用顶点列表定义立方体的表面
——激活顶点数组
Step2：告诉OpenGL顶点数组的位置和存放格 式 glVertexPointer(3,GL_FLOAT,0,vertices); glColorPointer(3,GL_FLOAT,0,colors); ——参数分别表示三维对象的颜色、顶点的 浮点数据类型、数组元素连续存放（即间 隔为0）、数组的指针 GLubyte cubeIndices[ ] ={0,3,2,1,2,3,7,6,0,4,7,3,1,2,6,5,4,5,6,7,0,1,5,4} ——该数组保存了6个面24个顶点在顶点数组 里的索引号
把点和矢量的概念混淆起来会给程序实现带来更 多的困难
三维空间的矩阵乘法运算不能表示一个变换，需要采 用齐次坐标表示法
齐次坐标
在 （v1 , v 2 , v3 , P0） 的标架里，点P可唯一地表示 为 P P xv yv zv 0 P＝0 如果把一个点与标量0和1的相乘定义为 1 P＝P
已为各个顶点指定了 颜色，还要根据顶点 的颜色确定多边形内 部的颜色 C0,C1,C2,C3是应用程 序赋给4个顶点
C23 ( ) (1 )C2 C3
C45 ( ) (1 )C4 C5
计算机图形学-几何变换
0
vy
h 2
0
0
1
0
0 0 0 1
几何变换
局部坐标系
模型变换
世界坐标系
视点变换
眼睛坐标系
屏幕坐标系
投影变换
窗口变换
图像坐标系
屏幕坐标系
投影变换
窗口变换
图像坐标系
4、 窗口变换
物体模型经过投影变换后变成二维图像，需要进一步映射到屏幕上的 窗口进行显示，这个过程就是窗口变换。
4、 窗口变换
左下顶点是 (vx , vy ) ，宽和高分别是 w 和 h,窗口变换的矩阵形式如下所示
w
2
0
0
vx
w 2
Vi 2 s
0
h 2
x ' 2 0 0 0 1 2
y
'
0
3
0
0 1 = 3
z ' 0 0 4 0 1 4
1
0
0
0
1 1 1
p ' (2, 3, 4)
2、 视点变换
局部坐标系
模型变换
世界坐标系
视点变换
眼睛坐标系
屏幕坐标系
投影变换
窗口变换
图像坐标系
2、 视点变换
人借助眼睛所观看到的三维世界中的物体，是在确定人眼位置、方向 和视场范围内形成的视网膜投影成像。因此，三维图形在转换为二维 图像显示时，也需要将场景中的物体模型转换到以人眼为中心的坐标 系下进行表示，这就是视点变换。
正视投影保持物体的有关比例不变，这是三维绘图中产生比例图画的方法。物体的 各个面的精确视图可以由平行投影得到。
透视投影不保持相关比例，但能够生成真实感视图。对同样大小的物体，离投影面 较远的物体比离投影面较近物体的投影图象要小，产生近大远小的效果
计算机视觉中的多视图几何第四章 算法评估和误差分析
知识点回顾 第一章 2D
齐次标记下点、线和二次曲线的表示 射影变换下点如何映射 H 度量恢复仿射和度量性质 仿射矫正 度量矫正
Page 2
知识点回顾 第二章 3D
齐次标记下点、线和二次曲线的表示 变换层次：欧式--》相似--》仿射--》射影 二次曲线和二次曲面的关系
T x' h h h
x'
J h h J h
如果点x本身的测量也具有某种不确定性,那么在x和h没 有相关的假设下，公式可以由下面的公式代替： T T 公式如下：
x'
J h h J h J x x J x
Page 11
得到协方差矩阵之后，我们还可以拓展应用，计算一个给 定点的转移的不可靠性。 考虑在第一幅图像中的一个没有被利用于计算变换H的新 点x.它在第二幅图像中对应的点是x’=Hx.但是,由于在估 J J 计H中存在不可靠性,x’的正确位置也有相应的不可靠性,于 是就可以用H的协方差矩阵来计算这个不可靠性. 公式如下： T
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残差和估计误差 ˆ 测量矢量的测量值x、估计值 x 、真值x 给定测量矢量 x ，最大似然估计 是 S 上 最接近x 的点，ML估计算法就是返回该曲 面上离x 最近的点的算法。L cc H gj
ˆ x
x
曲面是相对平整的
x
ˆ x
维数、匹配点数目、带有标准差的噪声
Page 7
第二节 变换估计协方差 ML估计计算了平均误差的期望，看似挺好。 但是，计算它的点数、给定匹配点的准确度以 及点的配置也会改变变换估计的不可靠性。 这个不可靠性由协方差矩阵获取，H是3X3的， 它的协方差矩阵就是9X9的。
具体方法：x1=(1,0)’ (1,0)=x1’ x2=(0,1)’ (0,1)=x2’ x3=(-1,0)’ (-1,0)=x3’ x4=(0,-1)’ (0,-1)=x4’ 通过上述过程可以计算出H的每个元素的方差 同理，双图像误差也对应着有一个协方差矩阵公式
计算机形学三维几何变换
计算机形学三维几何变换计算机形学是计算机科学中的一个重要分支，主要研究计算机图形学中的各类图形的数学描述方法和计算机图形学技术的应用。
其中，三维几何变换是计算机形学中的一项重要内容。
本文将介绍三维几何变换的概念、常见的三维几何变换操作以及其在计算机图形学中的应用。
一、概述三维几何变换是指对三维空间中的图形进行平移、旋转、缩放等操作，从而改变图形的位置和形状的过程。
三维几何变换是计算机图形学中非常常用的操作，可以实现物体的移动、旋转、缩放等效果。
二、三维几何变换的操作1. 平移（Translation）平移是指将图形沿指定的轴方向移动一定距离。
平移操作可以简单地理解为将图形的每一个顶点坐标向指定方向移动相同距离。
平移操作的数学表达式为：\[T(x,y,z) = (x + dx, y + dy, z + dz)\]其中，(x,y,z)表示原始顶点坐标，(dx,dy,dz)表示沿(x,y,z)轴平移的距离。
2. 旋转（Rotation）旋转是指将图形绕指定轴进行旋转。
旋转操作可以用欧拉角、四元数、矩阵等多种方式进行计算。
旋转操作的数学表达式为：\[R(x,y,z) = M(x,y,z)\]其中，(x,y,z)表示旋转前的坐标，M表示旋转变换矩阵。
旋转变换矩阵的计算方式有很多，最常见的是使用旋转角度和旋转轴来计算旋转矩阵。
3. 缩放（Scaling）缩放是指将图形沿各个轴向相应的方向按比例进行扩大或缩小。
缩放操作可以用不同的比例因子对每个顶点坐标进行缩放计算。
缩放操作的数学表达式为：\[S(x,y,z) = (sx, sy, sz)(x,y,z)\]其中，(x,y,z)表示原始顶点坐标，(sx,sy,sz)表示在x轴、y轴和z轴方向的缩放比例。
4. 其他变换操作除了平移、旋转和缩放之外，三维几何变换还可以包括倾斜、翻转、剪切等其他操作。
这些操作都是通过对图形的顶点坐标进行适当的数学计算而实现。
三、三维几何变换的应用三维几何变换在计算机图形学中有广泛的应用。
多视角几何2-3D投影几何及变换-总结
多视角几何2-3D投影几何及变换-总结形式齐次形式π=(π1，π2，π3，π4)T自由度3特殊平面无穷远平面标准位置π∞=(0,0,0,1)T；它包含了所有方向(X1,X2,X3,0)T；二维中，确定无穷远直线可以测量平面仿射性质，三维中，确定无穷远平面可以测量平面仿射性质；结论3.7.当射影变换H是仿射变换时，无穷远平面在H作用下保持不变。
相关绝对二次曲线，Ω∞是无穷远平面上π∞的点型二次曲线，曲线无穷远平面(也即是说X4=0)，定义式可写成，Ω∞是对应于矩阵C=I的二次曲线；它是无穷远平面上由纯虚数点构成的二次曲线。
二次曲线Ω∞的几何表示需要5个额外的自由度，自由度在仿射坐标系中确认度量属性是必要的。
结论3.9.当且仅当射影变换H是相似变换时，绝对二次曲线Ω∞在H作用下保持不动。
1.Ω∞仅是在一般相似变换下保持不变的集合；2.所有圆形都Ω∞和相交于两点。
3.所有球形都和π∞相交于Ω∞度量性质.如果三维射影空间中Ω∞得到辨认，那么度量性质，如角度和相对长度等，都可测量。
现有两直线，方向分别是d1和d2(三维向量)。
两直线在欧式世界坐标系下的角度是，也可写为，d1和d2是直线与包含Ω∞的无穷远平面π∞的交点，Ω∞是绝对二次曲线在该平面内的矩阵表达形式。
点和平面点在平面上：πT X=0三点定平面1.三点X i在平面π上，三点相互独立，矩阵秩是32.矩阵M=[X,X1,X2,X3]由一般点X和三个定义平面π的点Xi组成，当X在平面π上时，行列式值det M=0，因点X可以用Xi的线性组合表示。
按X 列展开行列式，平面系数是，π=(D234,-D134,D124,-D123)T (3.4)这就是(3.3)的解向量(零空间)；3.公式中为非齐次坐标：前三个分量为平面法向量；三平面定点三平面πi交点X是3×4矩阵的零空间，矩阵由平面系数为行向量构成的：点X的解类似于（3.4）;平面变换在点变换作用下X'=H X，平面变换是，π'=H-Tπ (3.6)1.3 直线自由度 4零空间和生成子空间表示A、B是两非重合的空间点，连接两点的直线通过2×4矩阵W的行空间生成，矩阵W是由A T、B T为行向量：W T生成的空间是在直线上的点集λA+μB。
计算机视觉中的多视图几何第三章
2
3.2.3重投影误差——两幅图像 对两幅图像误差量化的另一种方法是估计每组对应的“校正值”。我们希望由 测量值估计世界平面的点，然后把它重投影到估计上认为是完全匹配的对应上。
ˆ ˆ ˆ 以最小化总的误差函数 现在我们要寻找一个单应H和完全匹配的点对x 和x
i i
ˆ ˆ d (x , x ) d (x, x) s.t x ˆ
i i i
i
算法 ~ （1）归一化x：计算一个只包括位移和 相似变换，将点 变到新的点集 T x x
i i
~ （2）归一化 : 针对第二幅图像上的点 x ，类似的计算一个相似 T，将点变换到点集 变换 x x
i i i
~ ~ 将算法 3.1应用于对应点 x x ，求得单应 H （3）DLT：
2
给定对应集的代数误差为：
3.2.2几何距离 记号：矢量 单图像误差
d ( x, Hx )
2 al g i i
2
i
Ah
2
2
几何距离是基于图像上距离的测量并最小化图像坐标的测量值与估计值之差。
x 表示测量的图像坐标；ˆ 表示该点的估计值而 x 表示该点的真值。 x
我们考虑第一幅图像的测量准确，而误差只出现在第二幅图像中，这时适宜的最 小量是转移误差。它是第二幅图像上的测量点与点H x 之间的欧氏距离
i
h h h h
3.2式可写成
1
2
3
h , H h h
1
h
2
4
h h
5
7
8
h h h
3 6 9
（3.2）
计算机形学中的几何变换与投影算法基础
计算机形学中的几何变换与投影算法基础在计算机图形学中，几何变换与投影算法是实现三维对象表示、变换和可视化的基础。
通过对三维空间中的对象进行变换和投影，可以将其呈现在二维平面上，从而实现更直观的可视化效果。
本文将介绍计算机形学中的几何变换和投影算法的基本概念和应用。
一、几何变换几何变换是指通过对三维对象进行平移、旋转、缩放等操作，改变其在空间中的位置和形状。
在计算机图形学中，常用的几何变换包括平移、旋转、缩放和剪切。
1. 平移平移是指将对象沿着指定方向移动一定的距离。
在计算机图形学中，平移变换可以通过将对象的每个顶点坐标增加一个平移向量来实现。
平移变换公式如下：[x'] = [1 0 0 tx] [x][y'] [0 1 0 ty] [y][z'] [0 0 1 tz] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(tx, ty, tz)表示平移向量。
通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现平移效果。
2. 旋转旋转是指将对象绕指定轴进行旋转。
在计算机图形学中，常用的旋转有绕X轴、Y轴和Z轴旋转。
旋转变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个旋转矩阵来实现。
旋转变换矩阵的形式如下：[x'] = [1 0 0 0] [x][y'] [0 cosθ -sinθ 0] [y][z'] [0 sinθ cosθ 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，θ表示旋转角度。
通过对对象的每个顶点应用上述变换矩阵，可以实现旋转效果。
3. 缩放缩放是指改变对象的尺寸大小。
在计算机图形学中，缩放变换可以通过将对象的每个顶点坐标乘以一个缩放因子来实现。
缩放因子分别作用于X、Y和Z轴的坐标，从而改变对象在各个轴上的尺寸。
缩放变换公式如下：[x'] = [sx 0 0 0] [x][y'] [0 sy 0 0] [y][z'] [0 0 sz 0] [z][1 ] [0 0 0 1] [1]其中，(sx, sy, sz)表示缩放因子。
三维变换及三维观察
Y
俯视图
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
x
计算机图形学基础——三维变换及三维观察
三维投影变换——平行正投影三视图 侧视图投影矩阵：
立体向YOZ面投影
0 0 0 0
Tyoz
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0 0 1
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础——三维变换及三维观察
0
0
0
1
旋转前后坐标变 换的关系为：
x' x cos z sin
y' y
z' xsin z cos
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础——三维变换及三维观察
三维几何变换
绕z轴旋转
cos sin 0 0
Tz
sin
0
cos
三维投影变换——平行正投影三视图 俯视图投影矩阵：
立体向XOY面投影
1 0 0 0
Txoy
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0 0 1
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础——三维变换及三维观察
三维投影变换——平行正投影三视图 俯视图投影矩阵：
XOY面绕OX轴向下 旋转90度
T
Txoy TRx
Ttz
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0 z0 1
广东工业大学机电学院图学与数字媒体工程系
计算机图形学基础——三维变换及三维观察
三维投影变换——平行正投影三视图
侧视图：获得侧视图是将三维形体往yoz面（侧面W） 作垂直投影。
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点和射影变换 2D射影几何中点的非齐次表示(X,Y)，齐 次表示(X,Y,1).ax+by+c=0,矢量(a,b,c). 3D射影几何中点X用齐次表示时需要一 个4维矢量，齐次矢量X=(x1,x2,x3,x4),对 应非齐次坐标(X,Y,Z),当X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4。在x4=0时，齐次点X表示无穷远 点。
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平面、直线和二次曲面的表示和变换 直线公式：ax+by+c=0,矢量(a,b,c). 平面公式：π1X+π2Y+π3Z+π4=0,矢量 (π1,π2,π3,π4)’. 齐次化, X=x1/x4, Y=x2/x4, Z=x3/x4. 得到π1x1+π2x2+π3x3+π4x4=0 或简记为π’X=0.表示点X在π上.
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Plucker直线坐标 (1)是Plucker反对乘矩阵的六个非零元素 的集合，即l={l12,l13,l14,l23,l42,l34} l的行列式值为0，故有 l12*l34+l13*l42+l14*l23=0 (2)假定两条直线l1和l2分别由连接A,B和 连接A1，B1所产生的，这些直线相交的 充要条件是四点共面，所以行列式值为 零,即IA,B,A1,B1I=0.
因为一般位置，所以它们线性无关 (2)矩阵M=[X,X1,X2,X3],它由一般位置的点X和 确定平面π的三点Xi组成.当X在π上时，IMI=0 因为三点确定一个平面，再多一点，肯定可 以用X1,X2,X3线性表示，所以不是满秩的。 IMI=X1D234-X2D134+X3D124-X4D123 π=(D234,D134,D124,D123)是(1)的解矢量,零空间
3D射影几何和变换
点与直线
直线的齐次表示：ax+by+c=0 (a,b,c)’看做矢量，(ka,kb,kc)’也是矢量； 上述两个矢量是等价的，因为只差一个全 局缩放因子，却都表相同的直线； 这种等价关系下的等价类叫做齐次矢量； 在IR² 中的矢量等价类的集合组成射影空间 IP² ，(0,0,0)’；
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表示：点，x=(x,y)’；直线I=(a,b,c)’； ax+by+c=0; 方法：把“1”作为增加在点中的最后一个坐 标使IR² 变成一个齐次矢量； 充要条件：(x,y,1)与(a,b,c)’的内积是 ax+by+c=0； 通式：点的齐次表示为x=(x1,x2,x3)’ x=(x1/x3,x2/x3)；
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二次曲面与对偶二次曲面
X’QX=0，X是点，Q是4*4的对称矩阵。
二次曲面的分类
二次曲面的矩阵Q是对称的，它可以分解为 Q=U’DU,U是正交矩阵，D是实对角矩阵，通过 对U的缩放，可以得到Q=H’DH,则D等价于矩阵 H进行了射影变换。令对角矩阵符号差∮(D),定义 为D中+1与-1个数的差值。如表
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射影变换 在点变换X’=HX下，平面变换为 π‘=H’‘‘π 平面上的点的参数表示 在平面π上的点X可以写成X=Mx 其中M是4*3矩阵，设平面π=(a,b,c,d)’ 且a非零，那么M’可以写成M‘=[PII3*3]， 其中p=(-b/a,-c/a,-d/a)’
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直线的表示 两点的连线或两平面的相交定义一条直线，每 个交点由两个参数确定，两个交点有四个参数， 故有四个自由度.问题，4个自由度得5个变量 表示。
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点的齐次表示
理想点与无穷远线
两条平行线L1：ax+by+c=0 L2：ax+by+c‘=0 可以求得两条直线的交点为（bc’-bc,0,0） 这是点的齐次表示，当我们用非其次点来 表示时会出现bc’-bc/0的问题，这就是说两 条线的交点在无穷远处
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理想点与无穷远点
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联合与关联关系
(1)平面可由一般位置的三个点或一条直线与一 个点的联合来唯一确定 (2)两张不同的平面交于唯一的直线 (3)三张不同的平面相较于一点
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三点确定一张平面
(1)设三点Xi在平面π上,那么每点满足π’X=0
x1’ x2’ π=0 x3’ π1’ π2’ x=0 π3’
绝对二次曲线
(1)绝对二次曲线是在π∞上的一条二次曲线，满足 X1² +X2² +X3² =0 X4² 值得注意的是定义一条二次曲线需要定义两个方程 可以写成(x1,x2,x3)I(x1,x2,x3)’=0形式
绝对对偶二次曲线
(1)绝对二次曲线的对偶是3维空间中一种退化的对偶二 次曲面，从几何上说，绝对对偶二次曲线由对偶二次 曲线的平面组成。想象一个椭球面的所有切平面的集 合，然后把椭球面压成饼的情况。
0 0 1
欧式
r11 r12 tx r21 r22 ty 0 0 1
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变换的层次
群 矩阵 失真 不变性质 射影 A t 接触表面 15dof v’ v 的相交和相切 仿射 A t 平面的平行 12dof 0’ 1 体积比，形心 相似 sR t 绝对二次曲线 7dof 0’ 1 欧式 R t 体积 6dof 0’ 1 A是3*3的可逆矩阵，R是3D旋转，t是平移
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移动分解
结论2.6 任何具体的平移加旋转运动都等价于绕 一根转动轴的旋转加沿该转动轴的平移
x’ y’ y’ 0 0 x’
s y y 0 x 0 x
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3D欧式运动与转动分解
a
转动轴
转动轴
s’ o’ t平行
s
s
o
t
o’ o
o垂直
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无穷远平面
(1)在平面射影几何中，辨认无穷远线就能测量 平面的仿射性质，辨认其虚原点就能测量其度 量性质：
三次绕线
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变换的层次
群 射影 仿射 矩阵
h11 h12 h13 h21 h22 h23 h31 h32 h33
a11 a12 tx
失真
变换性质 仿射变换的推广 平移+旋转 非均匀缩放 平移+旋转 均匀缩放 平移+旋转
a21 a22 ty
0 0 1
相似
sr11 sr12 tx
sr21 sr22 ty
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秩 ∮ 4 4 2 0 3 3 1 2 2 0 1 1
对角线 方程 实现 (1,1,1,1) X² +Z² +Y² +1=0 无实点 (1,1,1,-1) X² +Z² +Y² =1 球面 (1,1,-1,-1) X² =Z² +Y² +1 单叶双曲面 (1,1,1,0) X² +Z² +Y² =0 点(0,0,0,1) (1,1,-1,0) X² =Z² 过原点的圆锥 +Y² (1,1,0,0) X² =0 +Y² 单条直线(Z轴) (1,-1,0,0) X² =Y² 两平面X=+-Y (1,0,0,0) X² =0 平面X=0
两张平面相平行的充要条件是他们的交线在π∞上 如果一条直线与另一条直线或一张平面相交在π∞上， 则他们平行
(2)在射影变换H下，无穷远平面π∞是不动平面 的充要条件是H是一个仿射变换（类似于P20 无穷远线的推导）
在放射变换下平面π∞是整个集合不动，而不是点点不动 在某个具体的放射变换中，可能还存在除π∞外的某些平 面保持不动，但仅有π∞在任何仿射变换下保持不变 21 Page
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设A,B分别是原点和X-方向的理想点 L=(0,0,0,1)’(1,0,0,0)-(1,0,0,0)’(0,0,0,1) =4行4列的矩阵反对称矩阵，左下角1 由两平面P,Q的交线确定的直线的对偶 Plucker表示为L*=PQ’-QP’并与L有相似 的性质。在点变换下，L*’=H‘’‘L*H’‘,矩 阵L*可由L通过简单的重写规则得到： l12:l13:l14:l23:l42:l34=l*34:l*42:l*23:l*14:l*13:l*12 对偶的原则是1234的集合
(1)零空间与生成子空间表示
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(2)Plucker矩阵 将一条直线由4*4的反对称齐次矩阵表示，连 接两点A,B的直线L的矢量表示：L=AB’-BA’ L有若干如下性质： 1、L的秩为2 2、该表示具有描述一条直线所需要的4个自由 度，6-2 3、矩阵L与用来确定它的点A,B无关,C=A+aB 代替时,那么得到的矩阵是 L’’=AC’-CA’=A(A’+aB’)-(A+aB)A’= AB’-BA’=L