新课标高考数学圆锥曲线分类汇编文

2011-2017新课标(文科)圆锥曲线分类汇编
一、选择填空
【2011 D ）
A
D.
【2011新课标】9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直. l与C交于A, B两点，
|AB|=12，P为C的面积为（ C ）
A．18 B．24 C．36 D．48
【解析】易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C.
【2012新课标】4．设F1、F2是椭圆E a>b>0)的左、右焦点，P
一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ C ）
A B C
【解析】∵△F2PF1是底角为30º
C.
【2012新课标】10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线
交于A，B C的实轴长为（）
A C．4 D．8
，
的实轴长为4，故选C.
【2013新课标1】4. 已知双曲线C a＞0，b＞0)C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
∵c2＝a2＋b2，
∵∴C。

【2013新课标1】8. O为坐标原点，F为抛物线C：P为C上一点，若|PF|
△POF的面积为(C)．
A．2 B．4
【解析】利用|PF |
x P
∴y P
∴S △POF OF |·|y P |
＝
【2013新课标2】5. 设椭圆C
＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上
的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( D
)
A
【解析】如图所示，在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|
＝2x ，由tan 30°
而由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a
＝3x ，
【2013新课标2】10. 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为( C )．
A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1
B ．y
y
C ．y y ．y y
当直线l 的斜率大于0时，如图所示，过A ，B 两点分别向准线x ＝－1作垂线， 垂足分别为M ，N ，则由抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|. 设|AM|＝|AF|＝3t(t ＞0)，
|BN|＝|BF|＝t ，|BK|＝x ，而|GF|＝2，
在△AMK
解得x ＝2t ，则∴∠NBK ＝
60°，则∠GFK ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°. ∴斜率k ＝tan 60°
y 当直线l 的斜率小于0时，如图所示， 同理可得直线方程为y
【2014新课标1】（42 D ） 【解析】 D.
【2014新课标2】10. 设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于
,A B 两点，则AB =（ C ） （A ）
30
3
（B ）6 （C ）12 （D ）73 【2014新课标2】12. 设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是（ A ）
（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦， （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ） 2
222⎡
⎤
-⎢⎥⎣⎦
， 【2015新课标1】（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为
1
2
，E 的右焦点与抛物线C ：y²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=（ B ） （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
【2015新课标1】16. 已知F 是双曲线C ：x 2-8
2y
=1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.
当△APF 周长最小是，该三角形的面积为
【2015新课标2】15．已知双曲线过点()
34，，且渐近线方程为x y 2
1
±
=，则该双曲线的标准方程 x 2
4
-y 2=1 。

【2016新课标1】5. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴
长的1
4，则该椭圆的离心率为（ B ）
（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34
【2016新课标1】15. 设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，
则圆C 的面积为 4π 。

【2016新课标2】5. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k
x
（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ D ）
（A ）
12 （B ）1 （C ）3
2
（D ）2 【解析】(1,0)F ，又因为曲线(0)k y k x =>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21
k
=，所以2k =，
选D.
【2016新课标2】6. 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（ A ） （A ）−
43 （B ）−3
4
（C ）3 （D ）2 【解析】圆心为(1,4)，半径2r =，所以
22
|41|
11a a +-=+，解得4
3a =-，故选A.
【2016新课标3】12. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点，A ，
B 分别为
C 的左，右顶点，.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，
与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ A ） （A ）
13（B ）12（C ）23（D ）34
【2016新课标3】（15）已知直线l ：360x y -+=圆x 2+y 2=12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD|= 4 .
【2017新课标1】5．已知F 是双曲线C ：x 2-2
3
y
=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂
直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为（ D ） A ．13
B ．1 2
C ．2 3
D ．3 2
【2017新课标1】12．设A 、B 是椭圆C ：22
13x y m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满
足∠AMB =120°
，则m 的取值范围是（ A ） A ．(0,1][9,)+∞ B ．(0,3][9,)+∞ C ．(0,1][4,)+∞
D ．(0,3][4,)+∞
【2017新课标2】5.若a ＞1，则双曲线x y a
=22
2-1的离心率的取值范围是（ ）
A. 2+∞（，）
B. 22（，）
C. 2（1，）
D. 12（，）
【解析】a ＞1，则双曲线
﹣y 2=1的离心率为：=
=
∈（1，
），选C
【2017新课标2】12.过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为（ C ） A.5 B.22 C.23 D.33
【解析】抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），且斜率为的直线：y=
（x ﹣1），
过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且斜率为的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 可知：，解得2
）2
）y=﹣
（x
﹣，即
，则的距离为：
=2
，故选C ．
【2017新课标3】11．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且
以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ A ）
A ．
63
B ．
33
C ．
23
D ．
13
【解析】由题意可得：2
2)(200a b ab a b a -++⋅-⋅=
，得223b a =，又2
22c a b -=，)(32
2
2
c a a -=，
3
6=
e 【2017新课标3】14．双曲线22
219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为
35y x =，则a = 5 . 【解析】 渐近线方程为b
y x a
=±，由题知3b =，所以5a =。

二、解答题
【2011新课标】20. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上。

（1）求圆C 的方程；
（2）若圆C 与直线0x y a -+=交与A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值. 【解析】
（1）曲线261y x x =-+与坐标轴的交点为（0,1））（0,223±，故可设圆的圆心坐标为
（3，t ），则有2222)22()1(3t t +=-+，解得t =1，圆的半径为3)1(322=-+t ， 所以圆的方程为9)1()3(22=-+-y x 。

（2）设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)坐标满足方程组2
2
0(3)(1)9
x y a x y -+=⎧⎨
-+-=⎩，消去y 得到方程
012)82(222=+-+-+a a x a x ，由已知可得判别式△=56-16a -4a 2>0，
由韦达定理可得a x x -=+421，2
1
2221+-=a a x x ①，
由OA ⊥OB ，可得12120x x y y +=，又1122y x ay x a =+=+，
∴
2
12122()0x x a x x a +++=②，由①②可得a =-1，满足△>0，故a =-1.
【2012新课标】20. 设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。

（1）若∠BFD =90º，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。

【解析】
（1）设准线l 于y 轴的焦点为E ，圆F 的半径为r ，则|FE |=p ，
|FA |=|FB |=|FD |=r ，E 是BD 的中点，∵
090BFD ∠=， ∴
||||=||2FA FB FD p ==，|BD |=2p ，设A (0x ，0y )，根据抛物线定义得，|FA |=
02p y +，∵ABD ∆的面积为42，∴ABD S ∆=01||()22p BD y +=1
222
p p ⨯⨯=42，
【2013新课标1】21. 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C 。

(1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |。

【解析】由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3。

设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R 。

(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，(左
顶点除外)
x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，
所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2。

所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB
|
若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q
可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)，由l 与圆M
1当k
并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2
|AB |
x 2－x 1|
当k |AB
||AB |
|AB |
【2013新课标2】20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x y (1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x P 的方程。

【解析】
(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r ，由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3， 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.
y 2－x
2＝1上，
P 的半径r ＝3， 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.
【2014新课标1】20.
B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。

（1）求M 的轨迹方程；
（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积。

【参考答案】：（1）圆C 的方程可化为()2
2
416x y +-=,所以圆心为 C(0,4),半径为 4。

设M(x,y),则，
，,由题设知
,
故()()()2420x x y y -+--=，即()()2
2
132x y -+-= 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是()()
2
2
132x y -+-=
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆。

由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM ，因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为13
-
, 直线l 的方程为：183
3
y x =-+
又22OM OP ==，O 到l 的距离为4105，410
5
PM =，所以POM ∆的面积为：165。

【2014新课标2】20. 设12,F F 分别是椭圆C ：122
22=+b
y a x （a>b>0）的左右焦点，M 是C 上
一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N 。

（1）若直线MN 的斜率为
4
3
，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。

【解析】
（1）根据2
2
c a b =-及题设知22
(,),23b M c b ac a
=，将222b a c =-代入223b ac =，解得
1,22c c a a ==-（舍去），故C 的离心率为12
（2）由题意，原点O 为12F F 的中点，2//MF y 轴，
所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点，故2
4b a
=，即24b a = ① 由1||5||MN F N =得11||2||DF F N =。

将
【2015新课标1】20. 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
（1）求K的取值范围；
（2，其中0为坐标原点，求︱MN︱.
【2015新课标2】已知椭圆C ：12222=+b
y a x ()0.>>b a 的离心率为22
，点()
22，在C 上。

(1)求C 的方程；
(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ,B ，线段AB 的中点为M 。

证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
【解析】
（1）如图所示，由题设得
,22=a c 又点的坐标满足椭圆的方程，所以12422=+b
a ， 联立解得：.14
8,4,82
22
2
=+
==y x C b a 的方程为：所以切线 （2）设A,B 两点的坐标为
.,,,,,2211m
n
k n m M y x y x om =）的坐标为（点）），（（ ,82,822
2222121=+=+y x y x 则 上面两个式子相减得：
2011-2017 新课标高考数学圆锥曲线分类汇编(文)
2( y2 2
y12 ) (x2 2
x12 ) 0.变形得
y2 x2
y1 x1
1 2
x1 y1

x2 y2
1 2m 2 2n
m. 2n
kl
kom
y2 x2

y1 x1
n m
( m ) 2n
n m
1 . （定值） 2
【2016 新课标 1】20. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：
y2 2 px( p 0) 于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.
OH
（1）求
；
ON
（2）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.
【解析】
（1）由已知得 M (0,t) ， P( t 2 ,t) ，又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N (t2 ,t) ，
2p
p
ON 的方程为 y
p x ，代入 y2 t
2 px 整理得
px2
2t2x 0 ，解得 x1
0，
x2
2t 2 p
，因此
H ( 2t 2 p
,2t) ，所以
N
为 OH
的中点，即
| OH | ON
| |
2.
（2）直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点.理由如下：
直线 MH 的方程为 y t p x ，即 x 2t ( y t) .代入 y2 2 px 得 y2 4ty 4t2 0 ，解得
2t
p
y1 y2 2t ，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它公共
点。

【2016 新课标 2】21. 已知 A 是椭圆 E： x2 y2 1 的左顶点，斜率为 k k＞0 的直线交 E 与
43 A，M 两点，点 N 在 E 上， MA NA . （1）当 AM AN 时，求 AMN 的面积
（2）当 AM AN 时，证明： 3 k 2 。

【解析】
（1）椭圆
x2 4
y2 3
1 的左顶点为
A(-2,0)
，
因为 | AM || AN | 且 AM AN ，所以 △AMN 为等腰直角三角形，所以 MN x 轴．
设 MN 交轴与点 D ，所以 △ADM 为等腰直角三角形，所以得 M (a 2, a) ，
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因为点 M 在椭圆 E 上，所以 3(a 2)2 4a2 12 ，
整理得
7a2
12a 0
，解得
a 12 7
或
a
0 （舍去）．所以 △AMN
的面积
S
1 a 2a a2 2
144 49。

（2）设直线 AM 方程 y k(x 2) ，联立椭圆直线方程，消去 y 整理得 (3 4k2)x2 16k2x 16k2 12 0 ．
设点
M(x0, y0)
，于是
2
x0
16k 2 3 4k2
，
所以
x0
2 16k2 3 4k2
6 8k2 3 4k2
，所以 | AM
|
1 k2

16k 2 3 4k 2
2

4
16k 2 3
12 4k 2
12 3
1 k2 4k 2
，
因为
k
0
，所以
|
AN
|
12 3
1
1 k2
4
k2
12k 1 k 2
3k 2 4
．因为
2 | AM
|| AN
|
，所以
2
12 3
1 k 4k2
2
12k 1 k2 3k2 4
，
即 4k3 6k2 3k 8 0 ，设 f (x) 4x3 6x2 3x 8 ，则 f (x) 12x2 12x 3 3(2x 1)2 0 ，所以函 数 f (x) 在区间 (0,) 内单调递增，因为 f ( 3) 15 3 26 0 ， f (2) 6 0 ，所以函数 f (x) 的零点
k ( 3,2) ，即 k 的取值范围是 ( 3,2) 。

【2016 新课标 3】20. 已知抛物线 C：y2=2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点. （1）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ； （2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程。

【解析】
（1）由题设
F
(
1 2
,0)
，设
l1
:
y
a,
l2
:
y
b
，则
ab
0
，
且
A(
a2
,0),
b2 B(
, b),
P(
1
,
a),
Q(
1
, b),
R(
1
,
a
b)
.
2
2
2
2
22
记过 A, B 两点的直线为 l ，则 l 的方程为 2x (a b) y ab 0
由于 F 在线段 AB 上，故1 ab 0 ，记 AR 的斜率为 k1 ， FQ 的斜率为 k2 ，则
k1
ab 1 a2
ab a2 ab
1 a
ab a
b
k2
，所以
AR∥ FQ
（2）设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0) ，则 SABF
1 2
ba
FD
1 2
ba
x1
1 2
,
S PQF
ab 2
由题设可得 1 2
ba
x1
1 2
ab 2
，所以 x1
0 （舍去）， x1
1.
设满足条件的 AB 的中点为 E(x, y) .，
当
AB 与
x
轴不垂直时，由
k AB
kDE
可得
a
2 b
y (x x 1
1)
，
而 a b y ，∴y2 x 1(x 1) ； 2
当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合。

所以，所求轨迹方程为 y2 x 1
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2011-2017 新课标高考数学圆锥曲线分类汇编(文)
【2017 新课标 1】20. 设 A，B 为曲线 C：y= 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4. （1）求直线 AB 的斜率；
（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方
程。

【解析】
（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1
x2 ，
y1
x12 4
，
y2
x22 4
，x1+x2=4，
于是直线 AB 的斜率 k y1 y2 x1 x2 1 。

x1 x2
4
（2）由
y
x2 4
，得
y'
x 2
，设
M（x3，y3），由题设知
x3 2
1，解得
x3
2
，于是
M（2，1）。

设直线 AB 的方程为 y x m ，故线段 AB 的中点为 N（2,2+m），|MN|=|m+1|。

将
y x m 代入
y
x2 4
得
x2
4x 4m 0 ，当 16(m 1) 0 ，即 m 1 时，x1,2
22
m 1 。

从而 |AB|= 2 | x1 x2 | 4 2(m 1) ，由题设知 | AB | 2 | MN | ，即 4 2(m 1) 2(m 1) ，解得 m 7 . 所以直线 AB 的方程为 y x 7 。

【2017 新课标 2】20. 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： +y2=1 上，过 M 做 x 轴的垂线，
垂足为 N，点 P 满足 =
．
（1）求点 P 的轨迹方程；
（2）设点 Q 在直线 x=﹣3 上，且 • =1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦 点 F． 【解析】
（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），由点 P 满足 =
．
可得（x﹣x0，y）= （0，y0），可得 x﹣x0=0，y= y0，即有 x0=x，y0= ，
代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1，即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2；
（2）设 Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π）， • =1，可得（ cosα， sinα）•（﹣3﹣ cosα，m﹣
即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，解得 m=
sinα）=1， ，
即有 Q（﹣3，
），椭圆 +y2=1 的左焦点 F（﹣1，0），
由 kOQ=﹣
，kPF=
，由 kOQ•kPF=﹣1，
可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。

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2011-2017 新课标高考数学圆锥曲线分类汇编(文)
【2017 新课标 3】20. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 y=x2+mx–2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的 坐标为(0,1)，当 m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦 长为定值。

【解析】
（1）令 A（x1,0）， B（x2 ,0），又 C（0,1）， x1 ， x2 为 x2 mx 2 0 的根， 0
x1 x1 x2
x2
m 2
假设
AC
BC 成立， AC
BC
0
，
AC
（0 -
x1 ,1)
( x1 ,1)
，
BC
（0
-x2 ,1)
(x2 ,1)
AC BC x1x2 1 0 不能出现 AC BC 的情况
（2）令圆与 y 轴的交点为 C（0,1）， D（0, y3），令圆的方程为 x2 y 2 Dx Ey F 0
令 y 0 得 x2 Dx F 0 的根为 x1 ， x2 ，D m，F 2 令 x 0 得
y 2 Ey F 0 ……. ①
点 C（0,1）在①上，1 E 2 0 E 1 y 2 y 2 0 解得 y 1 或 y 2
y3 2 在 y 轴上的弦长为 3，为定值。

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