抛物线及其标准方程重难点突破
专题3.5抛物线的标准方程及简单几何性质(八个重难点突破)(原卷版)-高二数学上学期重难点和易错突破
专题3.5抛物线的标准方程及简单几何性质知识点一抛物线的定义我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．注意：①“p ”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0；②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．知识点二抛物线的标准方程及简单几何性质标准方程()220y px p =>()220y px p =->()220x py p =>()220x py p =->图象性质范围0x y ≥∈R，0x y ≤∈R ，0x y ∈≥R ，0x y ∈≤R ，对称轴x 轴y 轴顶点()0,0O 焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线2p x =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =知识点三通径与焦半径1．通径过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p ．2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点00(),A x y ,则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程()220y px p =>()220y px p =->()220x py p =>()220x py p =->焦半径AF0||2p AF x =+0||2p AF x =-0||2p AF y =+0||2p AF y =-重难点1抛物线定义及应用1．已知抛物线22(0)y px p =>上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A ．2y x=B ．22y x=C ．24y x=D ．28y x=2．若抛物线22x py =（0p >）上一点(),3M m 到焦点的距离是5p ，则p =（）A ．34B ．32C ．43D ．233．已知抛物线C ：()220y px p =>的顶点为O ，经过点()0,2A x ，且F 为抛物线C 的焦点，若3AF OF =，则p ＝（）A ．12B ．1C D ．24．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的延长线交C 于点B ，若||||6AF FB ==，则p =．5．已知抛物线22x py =上一点()0,2A x 到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍，则p =．6．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与抛物线交于点M ，且4MF =，则p =．重难点2抛物线的标准方程与焦点、准线7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦准距(焦点到准线的距离)为2，则抛物线的焦点坐标为（）A ．()0,1B ．()0,2C ．()1,0D ．()2,08．圆22420x x y y -+-=的圆心在抛物线22y px =上，则该抛物线的焦点坐标为（）A ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,09．在同一坐标系中，方程22221x y a b+=与()200ax by a b +=>>的曲线大致是（）A ．B ．C ．D ．10．焦点坐标为()1,0-的抛物线的标准方程是（）A ．22y x=-B ．22x y=C ．24x y=-D ．24y x=-11．已知抛物线的焦点在y 轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（）A ．22x y =B ．22x y =或22x y =-C ．24x y=D ．24x y =或24x y=-12．抛物线21:4C y x =-绕其顶点顺时针旋转90︒后得到抛物线2C ，则2C 的准线方程为．13．已知两抛物线的顶点在原点，而焦点分别为()12,0F ，()20,2F ，求经过它们的交点的直线方程.重难点3根据抛物线的方程求参数14．设第四象限的点(),P m n 为抛物线28y x =上一点，F 为焦点，若6PF =，则n =（）A ．-4B ．-C ．-D ．-3215．已知O 为坐标原点，P 是焦点为F 的抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，2PF =，π3PFO ∠=，则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．316．已知点(),2A m 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，过点A 作C 准线的垂线，垂足为B ．若AOB （O为坐标原点）的面积为2，则p =）A ．12B ．1C ．2D ．417．已知抛物线22(0)x py p =>上一点0(,3)A x ，F 为焦点，直线AF 交抛物线的准线于点B ，满足2AB AF =，则0x =（）A ．3±B ．±C ．±D ．±18．已知抛物线C ：22y px =()2p >上一点(,P m 到其焦点F 的距离为3，则p =（）A ．3B ．72C ．4D ．519．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，曲线()0ky k x=>与C 交于点M ，MF x ⊥轴，则k =.20．顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线上一点(),2P m -到焦点F 的距离等于4，则m =．重难点4抛物线的对称性21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:8,C y x P =为x 轴正半轴上一点，线段OP 的垂直平分线l 交C 于,A B 两点，若120OAP ∠=︒，则四边形OAPB 的周长为（）A ．B ．64C ．D ．8022．已知O 为坐标原点，垂直抛物线()2:20C y px p =>的轴的直线与抛物线C 交于,A B 两点，0OA OB ⋅= ，则AB 4=，则p =（）A ．4B ．3C ．2D ．123．已知圆221x y +=与抛物线()220y px p =>交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则p 等于（）A B ．5C ．2D 24．抛物线22(0)x py p =>与椭圆221122x y +=交于A ，B 两点，若AOB (其中O 为坐标原点)，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．625．抛物线22(0)y px p =>上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是．26．已知点00(,)P x y 关于x 轴的对称点在曲线:C y =上，且过点P 的直线2y x =-与曲线C 相交于点Q ，则PQ =.重难点5抛物线的焦半径公式27．已知ABC 的顶点在抛物线22y x =上，若抛物线的焦点F 恰好是ABC 的重心，则||||||FA FB FC ++的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．628．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若3AF =，则AFB △的外接圆面积为（）.A ．27π8B ．64π27C ．9π4D ．25π1629．O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A ．B ．C ．D ．830．已知抛物线2:20C y pxp =>（）的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则AB MN的最小值为（）A ．1B C ．2D ．231．（多选）设抛物线28y x =的顶点为O ，焦点为F .点M 是抛物线上异于O 的一动点，直线OM 交抛物线的准线于点N ，下列结论正确的是（）A ．若4MF =，则OM =B ．若4MF =，则O 为线段MN 的中点C ．若8MF =，则OM =D ．若8MF =，则3OM ON=32．（多选）已知抛物线2:4E y x =的焦点为,F A 为E 上一点，则下列命题或结论正确的是（）A ．若AF 与x 轴垂直，则2AF =B ．若点A 的横坐标为2，则3AF =C ．以AF 为直径的圆与y 轴相切D ．AF 的最小值为233．如图，M 是抛物线210y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角π3xFM ∠=，则MF =.重难点6抛物线的轨迹问题34．已知动点(),M x y 的坐标满足方程3412x y =+-，则动点M 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上都不对35．动点(),M x y 满足方程3412x y =++，则点M 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线36．已知点()1,0A ，直线:1l x =-，两个动圆均过A 且与l 相切，若圆心分别为1C ､2C ，则1C 的轨迹方程为；若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为.37．若动点(),M x y 到点()4,0F 的距离比它到直线30x +=的距离大1，则M 的轨迹方程是．38．已知直线l 平行于y 轴，且l 与x 轴的交点为(4,0)，点A 在直线l 上，动点P 的纵坐标与A 的纵坐标相同，且OA OP ⊥，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．39．一圆经过点()0,3F ，且和直线30y +=相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形.重难点7抛物线的距离最值问题40．抛物线C 的顶点为原点，焦点为(2,0)F ，则点(5,0)B 到抛物线C 上动点M 的距离最小值为（）A ．B ．C ．5D ．41．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点P 在C 上，若点()6,3Q ，则PQF △周长的最小值为（）．A ．13B ．12C ．10D ．842．设P 是抛物线28y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，点()3,1B ，则PB PF +的最小值为.43．已知点M 为拋物线22y x =上的动点，点N 为圆22(4)5x y +-=上的动点，则点M 到y 轴的距离与点M 到点N 的距离之和最小值为.44．已知()3,2A ，若点P 是抛物线28y x =上任意一点，点Q 是圆22(2)1x y -+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为.45．设动点P 在抛物线214y x =上，点P 在 x 轴上的射影为点 M ，点A 的坐标是()2,0，则PA PM +的最小值是．46．已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆22(2)1x y +-=上运动，则2||PM PQ的最小值.重难点8抛物线的实际应用47．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A ．27cm 4B ．9cm2C ．27cm 8D ．23cm 648．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度30m AB =，拱高5m OP =，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱11A B 的长度为m .（精确到0.01m ）49．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为()220x py p =->，则（）A ．200p =B ．Γ的准线方程为100y =C ．Γ的焦点坐标为()0,50-D ．弹道CE 上的点到直线AC 50．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m ，深度为0.5m.(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m ，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.51．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm ，灯的深度为40cm.(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm ，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.52．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B 离地面5m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为4m ，且水流落在地面上以O 为圆心，以9m 为半径的圆上，求管柱OA 的高度.53．如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，OP ，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一城镇P位于点O的北偏东30°处，10km条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．。
“抛物线及其标准方程(第一课时)”教学设计——问题链式探究式教学设计
一
元二次 函数 Ｙ＝ 一 ＋ ＋ｃ （ ａ ＃Ｏ ） 的图象是一条抛物线．
④ 结论． 动点 肼满足 的几何关系是 ：动点 到定点 Ｆ的距离等于它
提出问题 ：为什么一元二次函数的图象 是一 条抛 物线 ？
的学 习欲 望 ．
２ ．抛 物 线 的定 义
（ ２ ） 求抛物线的方程—— 全班学生分工 ，求 出不 同建系方式 下 的抛物线方程．通过 比较 ，明确第二种建 系方式所得的抛物线 方程最简洁 ，并把这个方程叫做抛物线的标 准方程 ．
（ ３ ） 明确抛物线标准方程 的四种形式— —给 出问题 ４ ，先让 学生独立思考 ，再组织学生 以小组交流的方 式进行讨论 ．以加深 对抛物线标准方程 的理解．
如图 １ ，把一根直尺 固定在画板上面 ，将直角三角板 的一条 义，给出抛 物线的定义 ，在老 师的引导下逐 步完善定义．这样的 直角边紧靠直 尺 的边 缘 ，取 长等于另一 直角边 长 的绳 子 ，将绳 处理方式 一方 面增强 了学生思维 的严谨 性；另一方面加 深 了学
ｚ 不过 ’的理解． 子的一端 固定 在顶点 Ａ处 ，将绳 子的另一端 固定在 画板上 的点 生对抛 物线定义 中的条件 “
３ ．抛 物 线 的 方程
图４
Ｚ ］ ＿ ａ Ｍ ／
（ １ ） 方程推导．
① 建系．
Ｋ Ｄ
／ Ｉ
２
Ｆ （ 争０ ）
【 设计意 图】通过 问题 引入引发学生 的认知冲突 ，激发 学生 到直尺 的距离．
（ ２ ） 抛 物 线 的定 义 ．
问题 １ ：你们能给抛物线下个定义吗？ 问题 ２ ：为什么定 点 Ｆ不能在定直线 ｆ 上？
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自高中数学教材选修22第二章第四节《抛物线及其标准方程》。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及其简单性质；2. 抛物线的标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；3. 抛物线的图形及其在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及其简单性质；2. 培养学生运用抛物线知识解决实际问题的能力；3. 培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线标准方程的推导，抛物线图形的识别；2. 教学重点：抛物线的定义，标准方程及其性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔；2. 学具：直尺，圆规，量角器，练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）展示图片：篮球投篮、投掷铅球、卫星轨道等；（2）提问：这些情景中，物体的运动轨迹有什么共同特点？2. 知识讲解（1）抛物线的定义：物体在只受重力作用下，从一点出发，经过一段时间后，落回到这一点，且在运动过程中始终受到同一平面的约束，这样的运动轨迹称为抛物线；（2）抛物线的标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；（3）抛物线的性质：对称性、开口方向、顶点、焦点、准线等。
3. 例题讲解（1）求抛物线y²=4x的焦点、顶点和准线；（2）已知抛物线的焦点为F(1,0)，求该抛物线的标准方程。
4. 随堂练习（2）已知抛物线的焦点和顶点，求其标准方程。
5. 小结六、板书设计1. 定义：抛物线是物体在只受重力作用下，从一点出发，经过一段时间后，落回到这一点，且在运动过程中始终受到同一平面的约束的运动轨迹；2. 标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；3. 性质：对称性、开口方向、顶点、焦点、准线；4. 例题：抛物线y²=4x的焦点、顶点和准线；已知焦点求抛物线标准方程。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学教材，第三章解析几何，第五节抛物线。
本节课的主要内容有：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。
其中，重点讲解抛物线的标准方程及其求法。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义和性质，掌握抛物线的标准方程及其求法。
2. 能够运用抛物线的性质和方程解决一些实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的标准方程及其求法。
难点：抛物线性质的理解和应用。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、投影仪、教学课件。
学具：笔记本、尺子、圆规、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察一些生活中常见的抛物线形状，如篮球投篮、抛物线运动等，引发学生对抛物线的兴趣。
2. 讲解抛物线的定义和性质：在黑板上画出一条抛物线，讲解抛物线的定义，如焦点、准线等，并引导学生理解抛物线的性质。
3. 讲解抛物线的标准方程：通过示例，讲解如何求解抛物线的标准方程，让学生跟随步骤，进行练习。
4. 应用练习：给出一些抛物线应用问题，让学生运用所学知识解决，如求解抛物线与坐标轴的交点等。
六、板书设计板书设计如下：抛物线的定义和性质：焦点：到抛物线上任意一点的距离等于到准线距离的点。
准线：与抛物线对称，且到焦点的距离等于到抛物线上任意一点的距离。
抛物线的标准方程：y^2 = 4ax （a > 0）y^2 = 4ax （a < 0）七、作业设计（1）焦点在x轴上，顶点在原点，开口向上。
（2）焦点在y轴上，顶点在原点，开口向下。
答案：（1）y^2 = 4ax（2）x^2 = 4ay2. 已知抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，求解抛物线与x轴、y 轴的交点坐标。
答案：与x轴的交点：(a, 0)，(a, 0)与y轴的交点：(0, 2a)，(0, 2a)八、课后反思及拓展延伸本节课通过讲解抛物线的定义、性质和标准方程，让学生掌握了抛物线的基本知识，能够在实际问题中应用。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自《解析几何》教材第四章第一节，主要内容包括抛物线的定义、性质及其标准方程的推导和应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的性质。
2. 学会推导抛物线的标准方程，并能解决实际问题。
3. 能够运用抛物线标准方程解决几何问题和实际应用。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质及其标准方程。
难点：抛物线标准方程的推导和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入2. 知识讲解(1) 抛物线的定义：平面内到一个定点F的距离等于到一条定直线l的距离的点的轨迹。
(2) 抛物线的性质：① 对称性；② 焦点、准线；③ 直线与抛物线的交点；④ 平面几何关系。
(3) 抛物线的标准方程：y^2 = 2px (p > 0) 或 x^2 = 2py (p > 0)。
3. 例题讲解(1) 求抛物线y^2 = 4x的焦点和准线。
(2) 已知抛物线x^2 = 8y，求过点P(2,3)且与抛物线相切的直线方程。
4. 随堂练习(1) 求抛物线y^2 = 12x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 16y，求过点A(4,2)且与抛物线相交的直线方程。
5. 课堂小结六、板书设计1. 定义2. 性质3. 标准方程4. 例题解析5. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目(1) 求抛物线y^2 = 20x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 18y，求过点B(3,2)且与抛物线相切的直线方程。
2. 答案(1) 焦点：F(5,0)，准线：x = 5，对称轴：y轴。
(2) 直线方程：y = 4/3x 2/3。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、知识讲解、例题讲解、随堂练习等环节，使学生掌握了抛物线的定义、性质和标准方程。
抛物线及其标准方程
一、学习目标1、了解抛物线的定义、几何图形和标准方程；2、使用抛物线的定义求抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。
3、明确抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题.二、学习重难点1、学习重点：抛物线的定义及标准方程；2、学习难点：抛物线定义的形成过程，抛物线定义的应用.三、课前导学（预习教材理P64~ P67，文P56~ P59找出疑惑之处）复习1：函数2y x x=-+的图象是，它的顶点坐标是（），对称轴是．261复习2：点M与定点(2,0)x=的距离的比是1:2，则点M的轨迹是什么图F的距离和它到定直线8形？四、课堂学习（一）学习探究探究：若一个动点(,)p x y到一个定点F和一条定直线l的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？新知1：抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的；直线l叫做抛物线的．新知2：抛物线的标准方程定点F到定直线l的距离为p（0p>）．（二）典型例题例1：（1）已知抛物线的标准方程是26=，求它的焦点坐标和准线方程；y x（2）已知抛物线的焦点是()0,2F-，求它的标准方程.变式1：根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点是()3,0F；（2）准线方程是14x=-；（3）焦点到准线的距离是2.变式2：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）22y x=；（2）21 2x y=；（3）2250y x+=；（4）280x y+=例2：抛物线212y x=上与焦点的距离等于9的点的坐标是__________.变式3：（1）若抛物线28y x=上一点A到焦点的距离为6，则该点的横坐标为__________.（2）抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点距离是2p a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则点M 到准线的距离是__________，点M 的横坐标是__________.例3：一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8m ，深度为0.5m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．（三）效果检测1、抛物线210y x =的焦点到准线的距离是________________.2、抛物线28x y =-的焦点是________________ ；准线方程是_________________.3、动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为_________________.4、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1716B ．1516C ．78D ．0五、课时小结1、抛物线的定义：MF MH =；2、抛物线的标准方程有四种不同的形式：每一对焦点和准线对应一种形式；3、p 的几何意义是：焦点到准线的距离；4、标准方程中p 前面的正负号决定抛物线的开口方向．六、课后作业1、对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ）．A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)162、抛物线280x y +=的准线方程式是（ ）．A ．2x =B ．2x =-C ．2y =D ．2y =- 3、动点P 到点()2,0F 的距离比它到直线1x =-的距离大1，则P 的轨迹方程为_________________.4、求焦点在x 轴上，且点()2,3A -到焦点的距离是5的抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.5、若抛物线()220y px p =->上有一点M ，其横坐标为9-，它到焦点的距离为10，求抛物线方程及其准线方程和点M 坐标.。
《抛物线及其标准方程》教案
《抛物线及其标准方程》教案一、教学内容本节课的教学内容选自普通高中课程标准实验教科书，人教A版，必修5，第一章，抛物线及其标准方程。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及其图形特征；2. 抛物线的标准方程及其性质；3. 抛物线与坐标轴的交点；4. 抛物线的焦点和准线。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义及其图形特征，掌握抛物线的标准方程及其性质；2. 能够运用抛物线的性质解决一些简单问题；3. 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点1. 抛物线的定义及其图形特征；2. 抛物线的标准方程及其性质；3. 抛物线与坐标轴的交点；4. 抛物线的焦点和准线。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、投影仪；2. 学具：教科书、笔记本、尺子、圆规、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一些实际问题，如投篮、射击等，引导学生思考这些问题的背后是否存在某种数学模型。
2. 概念讲解：讲解抛物线的定义及其图形特征，让学生通过观察、思考、讨论，理解并掌握抛物线的概念。
3. 性质讲解：讲解抛物线的标准方程及其性质，引导学生通过举例、分析、归纳，掌握抛物线的性质。
4. 例题讲解：选取一些典型的例题，引导学生运用所学的抛物线性质解决问题，巩固所学知识。
5. 随堂练习：设计一些随堂练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
6. 焦点和准线讲解：讲解抛物线的焦点和准线，让学生通过观察、思考、讨论，理解并掌握焦点和准线的作用。
7. 作业布置：布置一些有关抛物线的问题，让学生课后巩固所学知识。
六、板书设计1. 抛物线的定义及其图形特征；2. 抛物线的标准方程及其性质；3. 抛物线与坐标轴的交点；4. 抛物线的焦点和准线。
七、作业设计1. 题目：已知抛物线的标准方程为 \( y^2 = 4ax \)，求证抛物线与坐标轴的交点。
答案：抛物线与x轴的交点为 (a, 0)，与y轴的交点为 (0, 2a)。
2. 题目：已知抛物线的焦点为F(1,2)，求抛物线的标准方程。
李鑫-抛物线及其标准方程
课题：2.4.1 抛物线及其标准方程授课教师：吉林毓文中学李鑫教材：人教A版高中数学选修2-1一、教学内容解析本节课的教学内容是抛物线的定义及抛物线的标准方程，教学重点是抛物线的标准方程. 《普通高中数学课程标准》中指出，通过平面解析几何这一单元的学习，“帮助学生在平面直角坐标系中，认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程，运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感受平面解析几何中蕴含的数学思想. ”本节课内容在本章中的位置如下图：抛物线是学生在学习了椭圆、双曲线的定义及简单几何性质后学习的另一种圆锥曲线，是坐标法在解析几何中的应用的另一体现. 学习本节课的内容，是对前面已经学习的圆锥曲线内容的复习与延续，进一步了解曲线与方程的对应关系，也可以再次体验数形结合的数学思想在数学学习中的应用，同时，熟悉坐标法在解决几何问题时的应用，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题，提升学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.通过了解抛物线在生活中的应用，进一步了解数学与日常生活、工业生产和科学研究等方面的密切联系，增强学生的数学应用意识，培养学生在数学建模等方面的核心素养.二、教学目标设置1.学生能从动态作图的过程中抽象出抛物线的定义，并能从所学定义的角度重新认识初中的二次函数图象；2. 通过比较，学生会选择合适的坐标系建立抛物线的方程，进一步熟练坐标法的应用；3.结合抛物线及其方程，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想；4.在学习活动中，学生通过独立思考与合作交流，发展思维，养成良好的思维习惯，提升自主学习与合作学习的能力.三、学生学情分析1.知识上，学生是在高一学习过直线与圆等解析几何初步的内容之后再次学习解析几何的相关内容，同时刚刚学习了椭圆、双曲线的定义和标准方程，对于曲线与方程的对应关系有了一定的认识，但由于抛物线涉及的是到一个点与一条直线的距离相等的点的轨迹，和刚刚学过的两种曲线稍有区别，处理起来可能会有点困难；2.方法上，学生已经初步尝试过坐标法在解析几何中的应用，对于简单的问题可以用坐标法求解，但对于坐标系的选取、式子的变形与化简等方面经验不足，需要进一步的指导和强化练习；3.态度上，学生对解析几何中数形结合的思想存在一定的畏难情绪，不愿在画图、运算等方面进行尝试，需要一定的成功经验激励学生.4.教学难点及突破策略难点：（1）运用定义推导抛物线的标准方程（2）坐标法在求抛物线标准方程中的应用突破策略：（1）提供同心圆与竖直平行线构成的特殊坐标纸，帮助学生理解抛物线的定义；（2）学生之间讨论交流，合作共研，分析选取不同坐标系的利与弊；（3）教师引导学生分析解决问题的方式与方法，学生进行模仿练习.四、教学策略分析根据学生已有的学习基础和认知结构，本节课采用启发探究的教学方式，采用问题串引导学生的探究活动，以此提高学生的学习效率与学习能力.1. 为了充分调动学生学习的积极性，在上课一开始通过故事的方式引入本节课的主要研究对象——抛物线，同时，设下伏笔，引出抛物线聚集光线的光学性质；2.在研究抛物线标准方程时，请学生充分分析坐标系选择的合理性，通过自主尝试、小组交流等形式，锻炼分析问题和解决问题的能力；3. 学习新知识后，通过思考和对比的形式，将初中所学知识——二次函数的图象有机结合到本节内容中来，加深对本节课内容的理解.五、教学过程1.创设情境激发兴趣视频讲述有关阿基米德的故事，引出抛物线的模型.（传说公元前215年，古罗马帝国派强大的海军，乘战舰攻打古希腊名城叙拉古. 小小的叙拉古难敌来势汹汹的古罗马大军，人们就把希望寄托于居住在这里的阿基米德身上，当时年过古稀的阿基米德，虽然没有绝世的武功，却有聪明的头脑. 他挺身而出，发动全城的妇女拿着自己的铜镜来到海岸边. 在阿基米德的指挥下，大家站成一条完美的曲线，让手中的铜镜反射的太阳光恰好集中照射到敌舰的船帆上. 顿时，敌舰起火，不可一世的罗马海军大败而归. 究竟是怎样的曲线才能有如此强大的威力呢？）『设计意图』通过视频故事激发学生学习兴趣，同时引出本节课的主要研究对象，同时设置伏笔，为抛物线的应用做好铺垫，培养学生直观想象能力.2.师生探究抽象定义结合信息技术，动态作图.（作图步骤：点F是定点；l是不经过点F的定直线；H是l上任意一点；过点H作直线l的垂线n；作线段FH的垂直平分线m交n于点M；拖动点H，观察点M的轨迹.）问题1：过点H的直线n与直线l垂直，说明了什么？教学预设：点M到直线l的距离恰好为线段MH的长.问题2：点M在线段FH的垂直平分线上，有什么特点？教学预设：线段MF的长等于线段MH的长，进而点M到定点F的距离与到定直线l的距离相等.『设计意图』通过这些问题设计，让学生体会随着点H的移动，点M到定点F的距离与到定直线l的距离始终相等，进而引导学生抽象出抛物线的定义，提升学生数学抽象素养.定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.问题3：为什么要强调定直线l不经过定点F呢？（动态演示当直线l经过点F时点M的轨迹形状）完善定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 『设计意图』通过问题的方式，引起学生的注意，强化对这个限制条件的认识.3.利用定义，绘制曲线问题4：通过抛物线的定义，能不能在右图所给的图形中描出一条抛物线呢？『设计意图』圆上的点到圆心的距离都相等，平行线上的点到定直线的距离都相等，所以可以借助此图形找到一些到定点和到定直线距离都相等的点，进而描出一条抛物线. 通过这个练习，让学生进一步熟悉抛物线的定义，掌握定义的本质.4.建坐标系，求其方程问题5：对于确定的抛物线，如何选择坐标系能使所求的方程更简单呢？引导学生试着建立坐标系，同学之间互相借鉴对照，最后形成三个比较常见的方案：『设计意图』引导学生自主提出问题，并从数学的角度分析问题，避免直接将结论强加给学生，注重知识的发生和发展过程，充分暴露结论的形成过程，引导学生学会处理类似数学问题的思路和方法，提升学生数学运算素养.在学生充分尝试的基础上，老师和学生一起研究其中一个方案. 在板演的过程中，注重运算技巧的指导，同时强调引入p的意义是焦点与准线的距离，并以此说明为何p 是大于零的.在得出其中一种方案后，启发学生有没有更简单的方法得到其他几种情况的方程，引导学生从曲线的平移这个角度得到曲线方程，进而简化运算过程.对比分析三种方案，最终选择形式较简单的方案二的结果作为抛物线的标准方程，同时写出其焦点坐标和准线方程.接着给出一个巩固性练习：练习：若抛物线的标准方程是y2=6x，你能说出它焦点坐标和准线方程吗？『设计意图』以此练习加强对抛物线标准方程的认识，初步熟悉方程中一次项的系数与焦点坐标和准线方程的关系.5.类比分析，对比记忆总结常见的四种抛物线类型，分别写出其对应的标准方程、焦点坐标、准线方程.通过表格的形式，类比得出其他结论，在总结的过程中，从对称变换的角度简化运算，帮助学生记忆相关内容. 在推导开口向上的抛物线标准方程过程中，学生可能会遇到困难，可以借助关于直线y=x对称的两点的坐标关系来得相应结论.『设计意图』类比抛物线的四种常见形态，从变换的角度分析问题得出结论，避免重复运算，同时对比记忆，有助于形成良好的知识网络.6.新知运用，巩固提高练习1：写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1) x2=2y;(2) 2y2+5x=0; (3) x2+8y=0.『设计意图』巩固通过抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程的方法，以此来对比记忆标准方程的一般形式、开口方向，并进一步明确p的几何意义.练习2：已知抛物线的焦点是F(0,−2)，求它的标准方程.，求它的标准方程.练习3：已知抛物线的准线方程是x=14『设计意图』通过反向的练习，在巩固知识熟练方法的同时，增强学生思维灵活性的训练. 练习4：已知抛物线的焦点到准线距离是2，求它的标准方程.『设计意图』对于没有明确抛物线的开口方向的类型，提醒学生学会从不同的角度分类讨论的思想，进而增加思维的条理性和严密性.7.质疑反思，强化定义问题6：与初中的时候学习的二次函数图象相比较，今天学习的抛物线与二次函数图象的抛物线是不是一回事呢？以y=ax2(a≠0)为例，引导学生分析能否从标准方程和抛物线的定义角度出发得出结论. 能说明这一情况之后，再分析对于一般的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)会有相同的结论吗? 『设计意图』和已经学过的知识作比较，进一步加强对定义的理解，同时完成相关知识体系的建构，提升学生逻辑推理和数学运算素养.8.回归应用，解决问题问题7：本节课最开始提到的问题，当光线从一定的方向射向抛物线时会被反射聚焦到焦点上，我们能从本节课所学的知识加以说明吗？如图所示，介绍光线入射到点M时，由物理学的知识可知，光线是按切线的方向进行反射的，只要能说明我们在开始作图的过程中提到的垂直平分线m是抛物线的切线，即可说明这个问题. 所以，问题转化为证明些直线是抛物线的切线. 而想要证明此直线是抛物线的切线，只需要用本课所学的抛物线标准方程与直线方程联立，看方程组的解的个数即可.『设计意图』能过本节课所学的知识，解决开始时提到的问题，提高学生的数学应用意识，同时培养学生能从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力.9.小结提升，布置作业作业：（1）教材第67页练习1、2、3（2）请查阅资料，看看抛物线在生活中还有哪有应用呢？『设计意图』巩固所学的知识，掌握抛物线的标准方程与焦点坐标、准线方程，同时因材施教，引导学生自己发现生活中的抛物线，让不同层次的学生均有收获，增加学生的数学素养.六、教学反思本节课的教学设计力图通过故事引出问题，再数学的提出问题、分析问题，进而解决问题，整个环节较为完整，学生的认知结构相对得到较为充分的补充，不过也存在一些小的遗憾. 一是对于学生在分析四种抛物线标准方程时，可以再给学生充分的时间和空间让学生探讨，在学习过程中让学生适当走一些所谓的“弯路”未必是件坏事，可能会更促进学生对知识本质的理解；二是对学生思维习惯的培养可以在解决过程再适当地加以点拨和引导，让学生在数学课堂得到更加有效的逻辑思维能力的训练.《抛物线及其标准方程》点评吉林毓文中学特级教师李艳玲《抛物线及其标准方程》这一节课的教学设计，充分研究了《普通高中数学课程标准》和教材，准确定位学生当前的认识结构和知识水平，整节课结构合理有效，环节紧凑自然，数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模等数学核心素养在本节课的教学中有足够的体现。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课的内容选自高中数学教材选修22第三章第一节，主要讲述抛物线的定义及其标准方程。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及其简单性质；2. 抛物线的标准方程推导；3. 抛物线标准方程的应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的简单性质；2. 学会推导抛物线的标准方程，并能应用于实际问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程及其应用。
难点：抛物线标准方程的推导过程，以及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、投影仪、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示实际生活中的抛物线实例，如抛物线运动轨迹、拱桥等，引导学生观察并思考抛物线的特点。
2. 抛物线的定义及性质（2）讲解抛物线的性质，如对称性、顶点等。
3. 抛物线标准方程的推导（1）教师引导学生通过实际例题，推导出抛物线的标准方程；（2）讲解抛物线标准方程的推导过程，强调理解推导方法。
4. 例题讲解选取典型例题，讲解抛物线标准方程的应用，引导学生学会解决实际问题。
5. 随堂练习设计具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识，及时发现问题并解答。
6. 小结六、板书设计1. 抛物线的定义；2. 抛物线的性质；3. 抛物线标准方程的推导过程；4. 典型例题及解题步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知抛物线y^2=8x的焦点为F（2，0），求该抛物线的准线方程；（2）已知抛物线y=2x^2的焦点为F（0，1/8），求该抛物线的标准方程。
2. 答案：（1）准线方程：x=2；（2）标准方程：x^2=1/8y。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义和性质掌握较好，但在推导抛物线标准方程时，部分学生存在困难。
在今后的教学中，应加强此类问题的讲解和练习。
抛物线(难点突破,教师版)
抛物线【真题感悟】： 1、（2009年江苏高考第22题）在平面直接坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。
（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线方程；（（，.【考点定位】本题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。
2、（2016年江苏高考第22题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x y 2=0，抛物线C ：y 2=2px (p ＞0).t ())0(423)2()22(22222>+=−−+−=m m m s s s s m f −−（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；线上因此，线段PQ 的中点坐标为 ②因为在直线上 所以，即由①知，于是，所以因此的取值范围为【考点定位】直线与抛物线位置关系 【典例导引】：:l (2,).p p −−(2,).M p p −−y x b =−+(2)p p b −=−−+22.b p =−20p b +>2(22)0p p +−>4.3p <p 4(0,).31、最值、范围在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．例1、【2019年高考浙江卷】如图，已知点为抛物线的焦点，（（（2）设，重心．令，则．由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为，代入，得，(1,0)F 22(0)y px p =>S (,),(,),(),A A B B c c A x y B x y C x y (,)G G G x y 2,0A y t t =≠2A x t =2112t x y t −=+24y x =222(1)40t y y t−−−=故，即， 所以． 又由于及重心G 在x 轴上，【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力．例2、【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线，点A ，，抛物线上的点．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． 24B ty =−2B y t=−212(,)B t t−11(),(3)3G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++2x y =11()24，−39()24，B 13(,)()22P x y x −<<（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求的最大值．（|令，因为， 所以 f (k )在区间上单调递增，上单调递减，因此当k =时，取得最大值． ||||PA PQ ⋅3()(1)(1)f k k k =−−+2()(42)(1)f k k k '=−−+1(1,)2−1(,1)212||||PA PQ ⋅2716【点评】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．2、定点、定值、存在性证明：定点、定值、存在性问题多以直线与抛物线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇， 形成了过定点、定值等问题的证明．解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据（例 记同理可得，，所以，所以直线的方程为， ||PA ||PQ 3()(1)(1)f k k k =−−+||||PA PQ ⋅221N x n =+2N y n =1M N MN M N y y k x x m n−==−+MN 212(21)y m x m m n−=−−+即，因为，所以进一步化简可得， 令，即，可得， 所以直线MN 过定点，该定点的坐标为．【点评】圆锥曲线中定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建 以例0，N 为原点，，，求证：）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），=2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．的斜率存在且不为0， 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（1）知，． 直线P A 的方程为． ()21m n y x mn +=+−2m n mn +=12(1)0x mn y −−−=10y −=1y =1x =(1,1)QM QO λ=QN QO μ=12224k x x k −+=−1221x x k =1122(1)1y y x x −−=−−令x =0，得点M 的纵坐标为． 同理得点N 的纵坐标为． 由，，得，． 所以【（例A ，， 所以． （2）假设存在实数，使是以Q 为直角顶点的直角三角形， 由点P 是线段AB 的中点，可得，由C ：可得． 由题意可得，即，1111212211M y kx y x x −+−+=+=+−−22121N kx y x −+=+−QM QO λ=QN QO μ==1M y λ−1N y μ=−22121212224112()111111=21k x x x x x x k k −+−−−+p 12121212(2)(2)(24)(24)48()1680AF BF y y x x x x x x ⋅=++=++=+++=p ABQ △1222P x x x p +==22x py =(22)Q p p ,0OA OB ⋅=1212(2)(2)(2)(2)0x p x p y p y p −−+−−=即，化简得，即，化简得，解得(负值舍去)．例，AB与CD的距离，由ABCD，解得或，所以正方形的边长为（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，1212(2)(2)(222)(222)0x p x p x p x p−−++−+−=212125(46)()8840x x p x x p p+−++−+=25(4)(46)48840p p p p p⨯−+−⨯+−+=24310p p+−=14p=d==2b=−6b=−PA PAk PBPBk由，，相减得，故．同理可得． 由，的倾斜角互补知，即，所以．设直线的斜率为，由，，1，则，解得，所以抛物线的方程是． （2）设切线方程为，即， 切线与轴的交点为， 2112y px =20y =02px 101010()()()2y y y y p x x −+=−1010102PA k y y px x y y −==−+10()x x ≠20202()PB p y y k x x ≠=+PA PB PAPB k k =−102022p p y y y y =−++1202y y y +=−AB AB k 2222y px =2112y px =12p=2p =C 24x y =00()y y k x x −=−000kx y y kx −+−=x 00(,0)y x k−圆心到切线的距离为，化简可得，设两切线斜率分别为，，则，，，2，∴所求的切线方程为. （2）由得，且，2d ==22200000(4)2(2)40x k x y k y y −+−+−=1k 2k 0012202(2)4x y k k x −+=−−200122044y y k k x −=−04y >142y x =−−248y kx y x=−⎧⎨=⎩228(1)160k x k x −++=2264(1)640,k k ∆=+−>0k ≠，∴， ，，又，（2）由四边形OACB 为平行四边形，得，利用根与系数的关系得点，又由，，通过数量积和不等式的运算，求出的范围即可.3、如图，已知直线，，分别与抛物线交于点，，，与轴的12k ∴>−1228(1),k x x k+∴+=12128()8y y k x x k+=+−=1=(OC OA OB x +=AC QC ⊥0QC AC ⋅=228(1)8(4,),(,k QC AC OB x y k k+=−==2228(1)8[4](4)k QC AC x kx k k +⋅=−+−=0k >28222x ≥+1212=(,)OC OA OB x x y y +=++C AC QC ⊥0QC AC ⋅=2x PA PB PC 24y x =A B C x正半轴分别交于点，，，且，直线方程为． （1）设直线，的斜率分别为，，求证：；（2）求的取值范围．设A 点到PB 的距离为，C 点到PB 的距离为，则，L M N ||||LM MN =PB 240x y −−=PA PC 1k 2k 1212k k k k +=PABPBCS S △△1d 2d 221d ==222d ==所以， 因为，所以， 所以的取值范围是．4设，，则，． 因为，所以解得或（舍去），所以直线的方程为， 所以直线过定点．12336||1333PAB PBC S d t t S d t t t−−====−+++△△02t <<161153t<−<+PAB PBC S S △△1(,1)533(,)D x y 44(),E x y 344y y m +=344y y t =−OD OE ⊥34OD OE x x ⋅=4t =0t =DE 4x my =+DE (4,0)5、已知动圆恒过且与直线相切，动圆圆心的轨迹记为；直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与轨迹有两个不同的公共点，，为坐标原点．（1）求动圆圆心的轨迹的方程，并求直线的斜率的取值范围；（2）点是轨迹上异于，的任意一点，直线，分别与过且垂．， ，即所以）可知， 所以，为定值，该定值为．6、已知抛物线经过点，过作两条不同直线，其中直线关于直线对称.（1）求抛物线的方程及准线方程；M ()1,0F 1x =−M C 1x =−x N N k l C A B O M C l k D C A B DA DB ()1,0F 1,0)(0,1)2),y 01(y y +1(OP OQ ⋅=+121x x =4OP OQ ⋅145=+=5()2:20E y px p =>()1,2A A 12,l l 12,l l 1x =E（2）设直线分别交抛物线于两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程. 【解析】（1）∵抛物线过点， ∴，解得，∴抛物线的方程为，准线方程为．∴，∴直线的方程为，即． 方法二：设， 因为直线关于对称， 所以与的倾斜角互补，12,l l E 、B C A BC E BC E ()1,2A 24p =2p =24y x =1x =−1BC k =−BC ()(23y x −−=−−+10x y +−=()()1122,,,B x y C x y 12,l l 1x =AB AC所以， 所以，所以．补：1、已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点. （1）求抛物线的标准方程； （2）求的最小值. 12122212121222224411221144AB AC y y y y k k y y x x y y −−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−1212221212124144BC y y y y k y y x x y y −−====−−+−2:2(0)C y px p =>F 143+=C AB F F AB M ABMF【解析】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为， ∴抛物线的焦点为， ∴，∴抛物线的标准方程为.（2）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：，，综上所述：的最小值为2.2、已知抛物线上一点到焦点的距离为．（1）求抛物线的标准方程；()1,0()1,0F 2p =24y x =AB 24AB p ==2MF =ABMF2:(0)C y ax a =>1(,)2P t F 2t C（2）若点在抛物线上，且其纵坐标为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由抛物线的定义可知，则，， ，A C 1(3,1)Q −C M N A AM AN 1k 2k 12k k ||24aPF t t =+=4a t =)3。
3.1 抛物线及其标准方程 一等奖创新教学设计
3.1 抛物线及其标准方程一等奖创新教学设计3.3.1 抛物线及其标准方程（第一课时）教学设计一教学内容1. 抛物线的定义，焦点、准线方程的定义。
2. 抛物线的标准方程的推导，四种不同标准方程形式的特点。
3. 抛物线的定义和标准方程的简单应用。
二教学目标1.理解抛物线的定义，焦点、准线方程的定义。
2.掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法。
3.能够根据已知条件写出抛物线的标准方程，焦点坐标、准线方程。
4.提升学生数学抽象，直观想象，数学建模，数学运算的核心素养。
三教学重点及难点重点：抛物线的定义、抛物线的标准方程的推导，四种标准方程形式的特点难点：根据已知条件写出抛物线的标准方程，焦点坐标、准线方程，定义的简单应用四教学过程设计问题1：通过前面的学习，我们可以发现平面内：设动点M到定点F的距离和到定直线（不过点F）的距离之比为，当01时动点M的轨迹为双曲线当=1时动点M的轨迹为？当=1时，即动点M到定点F的距离和到定直线的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？下面我们用网络画板来探究这个问题。
师生活动：教师引导学生学生回顾：动点M到定点F的距离与点M到定直线（不过点F）的距离之比为，当01时，点M的轨迹为双曲线，思考：当=1时，即动点M到定点F的距离和到定直线的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？设计意图：问题引入设置悬念，引发学生思考。
问题2：如图：F是定点，是不过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作MH垂直，线段FH的垂直平分线交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现M满足的几何条件吗？追问1：它的轨迹是什么形状？用网络画板作出动点M的轨迹师生活动：教师读题，让学生思考点M的几何特征，拖动点H，点M随之运动，学生观察，思考动点M满足什么几何条件？用动画展示点M的运动的轨迹，让学生观察是什么形状？进而引导学生得出抛物线的定义，以及注意：是不过点F。
设计意图：动态形象直观展示问题，提高学生的观察、思考、概括能力，进而提升学生的数学抽象素养。
抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲(教师版)
专题 3.11
抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点 F 叫
作
抛(2)物Fra bibliotek线的
焦
集
点
，
合
直
线
l
语
叫
作
抛
言
物
线
的
准
线
表
设点 M(x,y)是抛物线上任意一点，点 M 到直线 l 的距离为 d，则抛物线就是点的集合 P={M||MF|=d}.
最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.
【题型 1
动点的轨迹问题】
【方法点拨】
根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点 F，和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹，
因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程.
高考复习材料
【例 1】（2024·上海市高三开学考试）在平面上，到点(1,0)的距离等于到直线 + 2 = 3的距离的动点
（
）
A．2 = 4
B．2 = −4
1
1
C．2 = 2
D．2 = −2
【解题思路】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.
【解答过程】依题意，设抛物线方程为2 = , ≠ 0，于是得22 = ⋅ (−1)，解得 = −4，
所以所求抛物线方程是2 = −4.
故选：B.
【变式 4-1】（2024·全国·高三专题练习）焦点在直线3−4−12 = 0上的抛物线的标准方程为（
4，则抛物线的标准方程为（
抛物线及其标准方程(教学设计)
2.4.1 抛物线及其标准方程一、三维目标（一）知识与技能（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程（二）过程与方法通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
并进一步感受坐标法及数形结合的思想。
（三）情感态度与价值观进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。
二、教学重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导四、教学过程1.课题引入（投影）大家看到什么？足球运行的轨迹是一条抛物线，人跳水的的轨迹也是一条抛物线，在生活中还有很多抛物线的影子。
师：那么，数学中如何定义抛物线，如何研究抛物线？这就是我们今天要学习的内容。
（板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程）类比椭圆和双曲线的学习，我们知道，研究圆锥曲线先画出曲线、再根据曲线的几何特征得出定义、然后建立适当的坐标系推出标准方程，最后通过方程研究曲线的几何性质，今天我们依然按照这条路线来探讨抛物线。
（板书:1、画法；2、定义；3、标准方程）1、抛物线的画法(flash)我们先来看抛物线是如何画出来的？看投影，把直尺固定在画板上，三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；截取一段绳子，在画板上的一定点F；用铅笔拉直绳子，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔就画出一条曲线，这条曲线就是一条抛物线。
2.抛物线的定义观察图形中的线段关系，你能发现动点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程）想一想：设AH=a，那么+ =a，还有+ =a 我们发现|MH|=|MF|，其中|MH|是动点M 到定直线l的距离，|MF|是动点M到定点F的距离；（演示）动点M随着三角板运动的过程中可以发现，始终有|MH|=|MF|，即动点M与定点F和定直线l的距离相等。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课一、教学内容本节课选自高中数学选修22第三章《圆锥曲线与方程》第三节《抛物线及其标准方程》。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及简单性质；2. 抛物线的标准方程推导；3. 抛物线的焦点、准线及几何图形的绘制。
二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义及其标准方程；2. 使学生理解抛物线的焦点、准线等概念，并能运用它们解决相关问题；3. 培养学生的空间想象能力及逻辑思维能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线标准方程的推导及焦点、准线的理解；2. 教学重点：抛物线的定义及标准方程的掌握。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中常见的抛物线图形，如篮球抛投轨迹、拱桥等，引发学生对抛物线的兴趣，进而导入新课。
2. 知识讲解：（1）抛物线的定义：介绍抛物线的概念，引导学生思考抛物线的特点；（2）抛物线的标准方程推导：以焦点在y轴上的抛物线为例，引导学生通过探究、合作交流的方式推导出标准方程y^2=2px（p>0）；（3）抛物线的焦点、准线：讲解焦点、准线的定义，并引导学生通过实际操作，感受焦点、准线与抛物线的关系。
3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解解题思路和方法。
4. 随堂练习：设计难易适中的练习题，让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹；2. 标准方程：y^2=2px（p>0）；3. 例题解答步骤；4. 练习题及答案。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线y^2=8x的焦点、准线；（2）已知抛物线的焦点为（2，0），求该抛物线的标准方程；（3）已知抛物线的焦点为（0，3），求该抛物线的标准方程。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义及标准方程掌握程度较好，但对焦点、准线的理解还需加强，今后教学中应增加实际操作环节，提高学生的理解程度；2. 拓展延伸：引导学生了解抛物线在其他学科领域的应用，如物理学中的抛体运动、天文学中的行星轨道等。
《抛物线及其标准方程》课堂教学设计
抛物线及其标准方程
教学反思：
本节教材是在学生学习了椭圆、双曲线之后，因此在教学中，要时时注意与前两种曲线进行对比，求曲线方程的步骤、建系方法都是学生已经理解和掌握了的，我充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构。
一、教学理念
在“以学生发展为核心”的理念下，不仅要关注学生“学会”知识，而且还要特别关注学生“会学”知识。
本节课在实验的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师适时的引导，生生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、纠正，不断完善并形成抛物线的概念，推导抛物线的方程，建构自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。
在这一过程中，教师只是一名组织者，引导者，促进者。
二、教学方法
为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，我采用了“引导探究”式的教学模式，在课堂教学过程中，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线，思维为核心”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和概括，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学的全过程。
三、教学手段
直尺—三角板教具在本节课的概念形成过程中起到非常重要的作用，为学生的自主探究活动提供了实物载体，相关的实验材料可向学生预先布置，做好准备，计算机为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台，二者有机结合，协调发挥作用，使课堂更加紧凑有序。
四、教学设计
为了突破本节课的难点——抛物线概念的形成，我注重与同学们所熟知的二次函数对比，通过变换坐标系的建立，一方面强化学生求曲线方程的基本功，另一方面与二次函数联系起来，使学生有一种“顿悟”的感觉。
在每个阶段的教学中精心设计问题情景，为学生自主探究和发现创造条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
念
轨迹是抛物线，教师用几 值让学生认识先
形 已知平面内有一定直线 l 和 何画板演示，所形成的图 有直观感知
成 其上方一点 F ， F 到 l 的距 像是抛物线。
2.让学生自
离为 p .若动点 M 到直线 l
的距离和到 F 的距离相 等，问 M 的轨迹是什么？
学生自己给抛物线 己观察得出使学
下定义。
生总结归纳，形
成学习数学概念
学生自己建立直角 课的良好习惯。
坐标系求解方程，有课题
中引例可以得出怎样建系
是最佳的。
以 KF 为 y 轴， KF 中垂
在平面内,与一个定点 F 和一条 定直线 l ( l 不经过点 F )的距离
相等的点的轨迹叫抛物线.
点 F 叫抛物线的焦点, 直线 l 叫抛物线的准线.
线为 x 轴建立坐标系。
研究完图像我们要看看抛物线 的方程，那么抛物线的标准方 程如何求解？
y
M· F·
H l 抛物线标准方程： x 2 2 py
· · M FP
HKl
x
p 的几何意义：焦点到准线的
距离。
抛物线标准方程的四种形 式： 概 (1) x 2 2 py ( p 0) 念 (2) x 2 2 py ( p 0) 深 (3) y 2 2 px ( p 0) 化 (4) y 2 2 px ( p 0)
（四）教学过程
教
学 教学内容
环
师生互动
节
学生自己建立坐标系求
解，教师可适当的引
导，纠正。
学生求解的过程中会有
已知平面内有一定直线 l 和 三类不同的建系方法，
其上方一点 F ， F 到 l 的距 求出三个不一样的解析
离为 2.若动点 M 到直线 l 式：
特 的距离和到 F 的距离相 例 等，问 M 的轨迹是什么？
一次变量定焦点， 开口方向看正负。
教师设置问题，学生观察 得特征，课本 66 页的表 格填空
(1) x 2 2 py ( p 0)
焦点（0，p）,准线y p
2
2
通过开口方 向问题的探讨，
(2) x 2 2 py ( p 0) 引导学生认识
到：
焦点（0， p）,准线y p （1）抛物线标准
准方程.
归 p 的几何意义是：焦点到准
纳 线的距离；
让学生谈本节课的
总 一次变量定焦点,
收获，并进行反思.
结 开口方向看正负。
二、数学思想：
数形结合、类比归纳
由特殊到一般知识生成。
关注学生的 自主体验，反思 和发表本堂课的 体验和收获.
2
2 方程的四种形式
(3) y 2 2 px ( p 0) （2）确定抛物线
焦点（ p ,0）,准线x p 焦点位置及开口
2
2 方向的确定。
(4) y 2 2 px ( p 0)
焦点（ p ,0）,准线x 来自p22一、知识方面：
1、抛物线的定义。
2、抛物线的四种形式的标
1.3.3 抛物线及其标准方程
（一）教学重点与难点 重点：掌握抛物线的标准方程； 难点：从引例求曲线与方程中抽象概括出抛物线的定义. （二）教学方法 应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题 引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进 行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对抛物线及其标准 方程的全面的体验和理解. 对于抛物线定义和标准方程求解采取讲 练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固. （三）教学手段：多媒体授课
(1) y 1 x 2 4
引
(2) y 1 x 2 1
入
4
(3) y 1 x 2 1 4
点的轨迹是一个抛物线
设计意图
通过给出问题在 学生已有的知识 基础上去求解特 殊形式的轨迹而 学会建系、设点 等步骤。巩固求 曲线方程的过 程，经历自己学 习过程。
概 变式：
学生猜想所成点的
1．通过特殊