海伦公式的证明(精选多篇)
海伦公式的证明过程
海伦公式的证明过程海伦公式，也称为海伦-柯利公式，是用于计算三角形面积的一种公式，它由古希腊数学家海伦提出，在西元一世纪的《几何原本》中首次被描述。
假设有一个三角形，它的三边长度分别为a、b、c，那么根据海伦公式，它的面积S可以表示为：S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中s是半周长，可以计算为三边长度之和的一半，即：s=(a+b+c)/2现在我们来证明一下海伦公式。
假设有一个三角形ABC，我们可以假设它的顶点A位于坐标原点，B 位于x轴上，C位于x轴上的正半轴上方。
首先，我们可以计算出各个顶点的坐标分别为A(0,0)，B(b,0)，C(c*cosθ，c*sinθ)，其中θ是角C的大小。
接下来，我们可以计算出边AB和AC的长度，分别为：AB=√[(b-0)^2+(0-0)^2]=bAC = √[(c*cosθ-0)^2 + (c*sinθ-0)^2] = c接着，我们可以计算出角ABC的大小，可以利用余弦定理来计算：cos(ABC) = [(b-0)^2 + (0-0)^2 + c^2 - (c*cosθ-0)^2 -(c*sinθ-0)^2]/(2*b*c) = (b^2 + c^2 - 2bc*cosθ)/(2*b*c)进一步简化后可以得到：cos(ABC) = (b^2 + c^2 - 2bc*cosθ)/(2*b*c)然后，我们可以应用正弦定理来计算角ABC的正弦值：sin(ABC) = √[1 - cos^2(ABC)]再进一步简化后可以得到：sin(ABC) = √[1 - (b^2 + c^2 - 2bc*cosθ)^2/(4*b^2*c^2)]接下来，我们可以计算三角形的面积，利用面积公式S =(1/2)*AB*AC*sin(ABC)：S = (1/2)*b*c*sin(ABC) = (1/2)*b*c*√[1 - (b^2 + c^2 -2bc*cosθ)^2/(4*b^2*c^2)]然后，我们将sin(ABC)的表达式进行进一步简化：sin(ABC) = √[1 - (b^2 + c^2 - 2bc*cosθ)^2/(4*b^2*c^2)]= √[(4*b^2*c^2 - (b^2 + c^2 - 2bc*cosθ)^2)/(4*b^2*c^2)] = √[(4*b^2*c^2 - (b^4 + c^4 + (2bc*cosθ)^2 - 2*b^2*c^2 + 2bc*cosθ*(b^2 + c^2))/(4*b^2*c^2)]= √[(4*b^2*c^2 - b^4 - c^4 - (2bc*cosθ)^2 + 2*b^2*c^2 - 2bc*b^2 - 2bc*c^2 + 2(b^3*c*cosθ + bc^3*cosθ))/(4*b^2*c^2)] = √[(2b^2*c^2 + 2*c^2*b^2 - b^4 - c^4 - (2bc*cosθ)^2 +2bc*(b^3*cosθ + bc^2*cosθ))/(4*b^2*c^2)]= √[(4*b^4*c^2 + 4*b^2*c^4 - 2b^6 - 2*c^6 -4b^2*c^2*(cosθ)^2 + 2bc*(b^3*cosθ + bc^2*cosθ))/(4*b^2*c^2)] = √[(4b^4*c^2 + 4*b^2*c^4 - 2b^6 - 2c^6 -4b^2*c^2*(cosθ)^2 + 2b^4*c*cosθ + 2bc^3*cosθ)/(4*b^2*c^2)] = √[2b^2*c^2 + 2bcosθ*(b^4 + c^4 - 2b^2*c^2 + bc^2)]/(2bc)最后，我们可以将sin(ABC)的表达式代入到三角形面积公式中，得到：S = (1/2)*b*c*sin(ABC) = (1/2)*b*c*√[2b^2*c^2 +2bcosθ*(b^4 + c^4 - 2b^2*c^2 + bc^2)]/(2bc)= √[b^2*c^2 - (b^4 + c^4 - 2b^2*c^2 + bc^2)cosθ]/2= √[(b^2*c^2 + b^4 + c^4 - 2b^2*c^2 + bc^2)cosθ]/2= √[(b^4 + c^4 - 2b^2*c^2)cosθ + b^2*c^2]/2最后，我们可以用半周长s来替代上式中的cosθ，因为根据三角恒等式有cosθ = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)，其中a是边BC的长度，即：b^2 + c^2 - a^2 = 2bc*cosθ带入后可得：S = √[(b^4 + c^4 - 2b^2*c^2)cosθ + b^2*c^2]/2= √[(b^4 + c^4 - 2b^2*c^2)*(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) +b^2*c^2]/2=√[(b^2+c^2+a^2)(-b^2+c^2+a^2)(b^2-c^2+a^2)(a^2+b^2+c^2)]/4b*c所以，我们成功地证明了海伦公式。
海伦定理证明过程
海伦定理证明过程
在数学中，海伦定理（又称海伦公式）是指在任意三角形中，已知三边长，可以求出三角形面积的公式。
该定理最早由希腊数学家海伦提出，因此得名为海伦定理。
证明过程如下：
首先，根据海伦定理，任意三角形的面积S可以表示为：
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
其中，a、b、c分别为三角形的三条边长，s为它们的半周长，即：
s = (a+b+c)/2
因此，我们只需要证明该公式成立即可。
假设三角形的三边长分别为a、b、c，我们可以将它们作为底边，分别画出三个高h1、h2、h3，如下图所示：
[图片]
由三条高可知：
h1 = √(a^2 - x^2)
h2 = √(b^2 - y^2)
h3 = √(c^2 - z^2)
其中，x、y、z为三角形各边到高的垂线长度。
由勾股定理可知：
a^2 = x^2 + h1^2
b^2 = y^2 + h2^2
c^2 = z^2 + h3^2
将上式代入s和S的公式中，得到：
s = (a+b+c)/2 = (x+y+z+h1+h2+h3)/2
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
= √
[(x+y+z+h1+h2+h3)/2((x+y+z+h1+h2+h3)/2-a)((x+y+z+h1+h2+h3)/ 2-b)((x+y+z+h1+h2+h3)/2-c)]
经过展开和化简后，可以得到：
S = √[xyz(x+y+z)]
因此，我们证明了海伦定理的正确性。
海伦公式的证明(精选多篇)
海伦公式的证明(zhèngmíng)(精选多篇)第一篇：海伦公式(gōngshì)的证明与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形(biàn xíng)来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，那么(nà me)余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)为cosc =(a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2某ab某sinc=1/2某ab某√(1-cos^2 c)=1/2某ab 某√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2某b^2]=1/4某√[4a^2某b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4某√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4某√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4某√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2那么p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]第二篇：海伦公式的几种证明与推广海伦公式的几种证明与推广古镇高级中学付增德高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔heron"s formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得：s(pa)(pb)(pc)，而公式里的p(abc)，称为半周长。
图1c海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
用勾股定理证明海伦公式
用勾股定理证明海伦公式在数学的广袤世界里，勾股定理和海伦公式就像是两颗璀璨的明珠，各自闪耀着独特的光芒。
而当我们尝试用勾股定理去证明海伦公式时，就像是展开了一场奇妙的探险之旅。
咱们先来说说这勾股定理，它就像是数学王国里的“大明星”，大家都知道“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”，简单来说就是 a² + b² = c²。
这公式看似简单，却有着无穷的威力。
而海伦公式呢，它是用来计算三角形面积的。
假设一个三角形的三条边长分别为 a、b、c，半周长 p = (a + b + c) / 2 ，那么这个三角形的面积S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
接下来，咱们就正式开始用勾股定理来证明海伦公式啦。
咱们先构造一个三角形 ABC，假设 BC = a，AC = b，AB = c 。
然后过顶点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D 。
这时候，三角形 ABC 就被分成了两个直角三角形，分别是 ABD 和 ACD 。
假设 BD = x ，那么 DC = a - x 。
在直角三角形 ABD 中，根据勾股定理，AD² = c² - x²；在直角三角形 ACD 中，AD² = b² - (a - x)²。
所以，c² - x² = b² - (a - x)²，展开并化简得到：c² - x² = b² - (a² - 2ax + x²)c² - x² = b² - a² + 2ax - x²c² = b² - a² + 2ax2ax = c² + a² - b²x = (c² + a² - b²) / (2a)这时候，AD 的长度就可以表示为：AD = √(c² - x²) = √[c² - ((c² + a² - b²) / (2a))²]三角形 ABC 的面积 S 就等于 1/2 × BC × AD ，也就是：S = 1/2 × a × √[c² - ((c² + a² - b²) / (2a))²]接下来就是一顿化简操作啦。
求三角形面积——海伦公式（共五则范文）
求三角形面积——海伦公式（共五则范文）第一篇：求三角形面积——海伦公式证明：海伦公式：若ΔABC的三边长为a、b、c，则SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！)证明：设边c上的高为 h,则有√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)两边平方，化简得：2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2两边平方，化简得：h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))SΔABC=ch/2=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2仔细化简一下，得：SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4用三角函数证明！证明：SΔABC=absinC/2=ab√(1-(cosC)^2)/2————（1）∵cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)∴代入（1）式，（仔细）化简得：SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4第二篇：海伦公式与四边形面积公式海伦公式与四边形面积公式2007年08月01日星期三 00:43 我们知道，已知三角形的三条边长度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海伦公式得到三角形的面积：所以：已知圆内接三角形的三边长，其面积公式为海伦公式。
事实上，对于圆内接四边形，已知其四边形的四边长（不妨设其为a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面积，而且公式的形式与海伦公式相类似：证明：设圆内接四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，设∠BAD=θ，则∠BCD=180°-θ，设其对角线BD＝x，由余弦定理有：联立两式解得：第三篇：高中数学三角形面积公式高中数学三角形面积公式由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。
高中数学必修3海伦公式的证明方法
高中数学必修3海伦公式的证明方法海伦公式的证明⑴与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c 的对角分别为A、B、C，则余弦定理为[1]cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]海伦公式的证明⑵中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。
“术”即方法。
三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。
相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
三角形海伦面积公式证明
三角形海伦面积公式证明摘要：一、引言二、海伦公式的历史背景三、海伦公式的推导过程1.三角形面积公式2.引入变量3.计算面积4.验证海伦公式四、结论正文：一、引言在几何学中，计算三角形面积是一个常见的问题。
海伦公式是一个计算三角形面积的公式，它不仅简单易用，而且具有广泛的应用。
本文将介绍海伦公式的证明过程。
二、海伦公式的历史背景海伦公式，又称海伦- 秦九韶公式，得名于德国数学家海伦（Heron）和我国南宋数学家秦九韶。
他们在公元1 世纪和13 世纪独立发现了这个公式。
海伦公式在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，例如计算电路面积、计算机图形学等。
三、海伦公式的推导过程1.三角形面积公式首先，我们回顾一下三角形面积的计算公式：S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))，其中a、b、c 为三角形的三边，p 为半周长，即p = (a + b + c) / 2。
2.引入变量为了证明海伦公式，我们可以先引入一些变量。
令s 为半周长，即s = p / 2。
我们用a、b、c 表示三角形的三边，用A、B、C 表示三角形的三角。
3.计算面积利用三角形面积公式，我们可以得到：S = √(s * (s - a/2) * (s - b/2) * (s - c/2))。
4.验证海伦公式我们可以将s 表示为p / 2，然后将p 表示为a + b + c。
代入公式中，我们可以得到：S = √((a + b + c) / 4 * ((a + b + c) / 4 - a/2) * ((a + b + c) / 4 - b/2) * ((a + b + c) / 4 - c/2))。
经过简化，我们可以得到：S = √((ab + ac + bc) / 4)。
这就是海伦公式！四、结论通过以上推导，我们证明了海伦公式。
这个公式为我们提供了一种简便的方法来计算三角形的面积。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==海伦公式证明篇一：海伦公式及其证明方法海伦公式及其证明方法海伦公式：1??=，其中??= ??+??+??如图在△ABC中，过A作高AD交BC于D 设BD = x，那么DC = a-x由于AD是△ABD、△ACD的公共边?2=??2???2=??2? ????? 2解出x得??2???2+??2??= 于是2???2+??2???= ??2? 2△ABC的面积2???2+??211????=???=??? ??2?2即122??2+??2???2??= ?????令1??= ??+??+?? 对被开方数分解因式，并整理得到??=得证 2篇二：海伦公式的证明证明（1）与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
海伦公式的证明方法
海伦公式的证明方法海伦公式的证明介绍海伦公式是解决三角形面积的一个重要公式，可以通过三个边长来计算三角形的面积。
本文将详细介绍海伦公式的证明过程，并列举各种证明方法。
方法一：利用三角形的高度1.假设三角形的边长分别为a，b，c。
2.设三角形的高分别为h1，h2，h3，分别由边a，b，c所对应的高。
3.利用三角形的高度关系，我们可以得到公式h1 = 2 * S / a，h2= 2 * S / b，h3 = 2 * S / c，其中S为三角形的面积。
4.将上述公式带入等式，得到 h1 + h2 + h3 = 2 * S / a + 2 *S / b + 2 * S / c = 2S(a + b + c) / abc 由此可得 S =(abc) / (2(a + b + c))，即为海伦公式。
方法二：利用三角形的面积公式1.根据三角形的面积公式S = sqrt(s(s-a)(s-b)*(s-c))，其中s为三角形的半周长，即s = (a + b + c)/2。
2.可以将该面积公式带入等式，并进行简化运算，推导得到海伦公式。
方法三：利用余弦定理1.根据余弦定理 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)，其中C为三角形的夹角。
2.将cos(C)用海伦公式中的三个边长带入，得到 cos(C) = (a^2 +b^2 - c^2) / 2ab。
3.将cos(C)带入三角形的面积公式 S = 1/2 * a * b * sin(C)，并利用sin^2(C) = 1 - cos^2(C)进行变形，可得 S =sqrt(s(s-a)(s-b)*(s-c))，即为海伦公式。
方法四：利用向量法1.假设三角形的顶点分别为A，B，C。
2.对边向量AB和AC作向量叉乘得到一个面积向量，其模长即为三角形的面积的2倍。
3.根据向量叉乘的性质，可以得到该面积向量的模长为|AB ×AC| = * |AB| * |AC| * sin(∠BAC)。
高等数学----海伦公式
海伦公式课本的例8（下册p.205）中涉及初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下：海伦公式：三角形的面积()()()c p b p a p p S ---=其中：a 、b 、c 分别是三角形的三边长，()c b a p ++=21证明（1）：由余弦定理可知：ba cb a C 2cos 222-+= ，由此得出由 ()c b a p ++=21可得： p c b a 2=++ ，()c p c p c c b a c b a -=-=-++=-+2222 ， ()a p a p a c b a c b a -=-=-++=++-2222 ， ()b p b p b c b a c b a -=-=-++=+-2222 ，因此：()()()()()()()c p b p a p p ba cb ac b a c b a c b a b a C ---=+-++--+++=221sin()()()()()()()()()()c b a c b a c b a c b a ba ba b a c ba cb a b a b a b ac b a c b a b ab ac b a b a c b a C C CC +-++--+++=--⋅-+=-+-⋅-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+=-=212222222121cos 1cos 1cos 1sin 22222222222222222由三角形面积公式 C b a S sin 21=即得 ()()()c p b p a p p S ---=上述证明用到了三角函数 C sin 、C cos ，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。
BT 是 △ABC 的AC 边上的高，点 T 为垂足。
记 c AB =，b AC =，a BC =，h BT =，d CT =（见上图）。
证明（2）：若 △ABC 是锐角三角形（图1），则由勾股定理有()()()⎩⎨⎧=--=-21222222h d b c h d a 由（1）式得出 22h a d -=，带入（2）式 ：()22222h ha b c =--- 。
海伦公式证明范文
海伦公式证明范文要证明海伦公式，我们可以使用向量的方法。
设三角形的三个定点分别为A,B,C，对应的向量为a,b,c。
我们用c表示向量CA，a表示向量AB，b表示向量BC。
首先，根据向量的定义，我们知道向量的加法满足三角形法则，即c = a + b。
海伦公式可以写作d = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中d为三角形的面积，s为半周长。
我们来证明海伦公式的正确性：1.首先，我们可以计算三个向量的模长，即，a，=AB，b，=BC，c，=CA。
2.根据向量的模长，我们可以得到a²=，a，²，b²=，b，²，c²=，c，²。
3.根据向量的定义，a=B-A，b=C-B，c=A-C，我们可以得到如下的等式：a·a=(B-A)·(B-A)=B·B-2AB+A·A=b²-2AB+c²b·b=(C-B)·(C-B)=C·C-2BC+B·B=a²-2BC+c²c·c=(A-C)·(A-C)=A·A-2AC+C·C=a²-2AC+b²4.把第3步得到的等式代入海伦公式，我们有：d = sqrt(s(s - a² + 2AB - c²)(s - b² + 2BC - c²)(s - a² +2AC - b²))= sqrt(s(s(b² - 2BC + c²) + 2AB - c²)(s(a² - 2AC + b²) + 2AB - c²)(s(a² - 2AC + b²) + 2BC - c²))= sqrt(s((s - b² + 2BC - c²)(s - a² + 2AC - b²)(s - a² + 2AB - c²)))5.注意到(a+b+c)²=a·a+b·b+c·c+2(a·b+b·c+c·a)=a²+b²+c²+2(a·b+b·c+c ·a)，即2(a·b+b·c+c·a)=(a+b+c)²-(a²+b²+c²)我们将其代入第4步得到的等式，得到：d = sqrt(s((s - b² + 2BC - c²)(s - a² + 2AC - b²)(s - a² + 2AB - c²)))= sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))这就证明了海伦公式。
海伦公式的证明范文
海伦公式的证明范文海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它由古希腊数学家海伦提出。
公式的表达式为：S = sqrt(s × (s-a) × (s-b) × (s-c))其中，S是三角形的面积，a、b、c分别是三角形的三条边的长度，s 是三角形的半周长，s=(a+b+c)/21.首先，我们可以根据余弦定理得到a、b、c和角A、B、C的关系：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC2.然后，我们将上述三个等式代入海伦公式的表达式中，并开平方：S = sqrt(s × (s-a) × (s-b) × (s-c))= sqrt(((a+b+c)/2) × ((a+b+c)/2 - a) × ((a+b+c)/2 - b) × ((a+b+c)/2 - c))= sqrt(((a+b+c)/2) × ((a+b+c-2a)/2) × ((a+b+c-2b)/2) × ((a+b+c-2c)/2))3.进一步简化表达式，得到：S = sqrt((a+b+c)/2 × (b+c-a)/2 × (a+c-b)/2 × (a+b-c)/2) = sqrt(((b+c) × (a-c) × (a+b) × (c-a))/16)= sqrt((b+c) × (a-c) × (a+b) × (a-c))/4)= sqrt((b+c) × (a-c) × (a+b) × (c-a))/4)4.注意到，根据三角形面积的性质，S>0；而根据三角形不等式定理，有a-c<b+c<a+b和a+b<c-a<b+c。
记入史册的海伦-秦九韶公式的证明
大家应该都知道著名的海伦-秦九韶公式吧,那就是根号下P(P-A)(P-B)(P-C) 注: P=(A+B+C)/2可是数学书上并没有这个公式的推导过程,本来我也不想去费脑细胞去推导这个这个公式,可是有一天我同桌和我比谁先推导出这个公式.所以我就推了一下,没想到古人的公式竟然被我在十几分钟内推导完成.以下就是我的推导过程:首先随意画一个三角形设三边分别是A,B,C做B边的高,设被高分成两条线段的B边的其中一段为X,另一段为B-X则根据勾股定理可得方程A^2-X^2=C^2-(B-X)^2A^2-X^2=C^2-B^2+2BX-X^2A^2=C^2-B^2+2BX2BX=A^2+B^2-C^2X=(A^2+B^2-C^2)/2B所以高=根号下A^2-(A^2+B^2-C^2)^2/4B^2=根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4B^2所以S三角形=高*B*0.5=0.5*根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4B^2*B^2=0.5*根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4=0.5*根号下A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2/4=根号下1/4【A^2*B^2-(「A^2+B^2-C^2」/2)^2】=根号下(AB/2)^2-(「A^2+B^2-C^2」/4)^2=根号下(AB/2+「A^2+B^2-C^2」/4)(AB/2-「A^2+B^2-C^2」/4)=根号下(「2AB+A^2+B^2-C^2」/4)(「2AB-A^2-B^2+C^2」/4)=根号下(「A+B」^2-C^2)/4*(C^2-「A-B」^2)/4=根号下(A+B+C)/2*(A+B-C)/2*(B+C-A)/2*(A+C-B)/2=根号下P(P-2C/2)(P-2A/2)(P-2B/2) 注:P=(A+B+C)/2=根号下P(P-C)(P-A)(P-B)有了这个公式只要把三角形的三边长带入就可以求出三角形的面积。
海伦公式求三角形面积 证明
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与海伦在他的著作”metrica”中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = /2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√=1/2*ab*√=1/4*√=1/4*√=1/4*√=1/4*√设p=/2则p=/2, p-a=/2, p-b=/2,p-c=/2,上式=√=√所以，三角形abc面积s=√海伦公式的几种证明与推广 古镇高级中学付增德 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔heron’s formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得：s?，而公式里的p?12，称为半周长。 图1c海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据morris kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：s=p222===1414144=?222ab2?2ac2?2bc22?a?b?c12absinc和余弦定理 教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s?121212c2?a2?b2?2abcosc的证明过程：s?absinc=ab1?cosnc=2ab1?2下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式s?abc?12aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。 如图2，b图2c?x2?y2?c2222?2a?c?b22在△abc中，ad为边bc上的高，根据勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，2a?y?z?a?z?a?b?c2a，x?c?y?c??12a4ac22?下略。在求22高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△abc顶点a于对边bc上任一点d间的距离ad有下列等式确定：abad?dc?ac?bd?ad?bc?bd?dc?bc，等式改写为?ab?dcbc?ac?bdbc?bc?dcbc?bdbcaa22而当点d是顶点a的正射影时,有bddc?abcosbaccosc??c?b22?b?c22，利用比例的性质，变形得bdbc?a?c22?b2a，dcbc?a?b22?c2a，代入即求出高ad。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数 的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若∠a+∠b+∠c =180°那么abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1，222222zzc图3如图3,在△abc中，内切圆⊙o的半径是r,则tana2?rx, tanb2?ry,tanc2?rz,代入恒等式tana2?tanb2+tana2?tanc2+tanb2?tanc2=1，得rxy?rxz?ryz?1，两边同乘xyz，有等式r?xyz???①又，b?c?a????2x，所以，x?z?a?b?cb?c?a，同理y?a?c?b， 。???②于是△abc的面积s?12r=12r=r=r=14，把①、②式代入，即得s?xyz三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条 边又是任意内接与圆的四边形abcd中，设四条边长分别为a,b,c,d，且p?a?b?c?d,则s四边形=现根据猜想进行证明。 证明：如图，延长da，cb交于点e。设ea = eeb = f○○∵∠1+∠2 =180∠2+∠3 =180∴∠1 =∠3∴△eab～△ecd∴fa?e=ef?c=bd，s?eabs四边形abcd=bd?b解得：e =bd?b③f =bd?b④由于s四边形abcd =d?bbs△eab将③，④跟b =b?b代入海伦公式公式变形，得：∴s四边形abcd =d?b4eb22?4bd?bb22=d4b?b)??b=4b?4?22?=414?2222=414?22=414?22=4=4a?c)?]2222=4=所以，海伦公式的推广得证。 图4参考文献 ［1］七市高中选修教材编写委员会．数学问题探究．北京：生活·读书·新知三联书店，2014：14～ ２６． ［2］王林全．初等几何研究教程．广州：暨南大学出版社，１９９６． 海伦公式 与海伦在他的著作”metrica”/2则p=/2,p-a=/2,p-b=/2,p-c=/2,上式=√=√所以，三角形abc面积s=√证明⑵中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a_*c_-_}当p=1时，△2=q,△=√1/4{a_*c_-_}因式分解得△_=1/4=1/4=1/4=1/4=1/4_} .其中c>b>a.根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题： 已知四边形abcd为圆的内接四边形，且ab=bc=4,cd=2,da=6，求四边形abcd的面积 这里用海伦公式的推广s圆内接四边形=根号下 代入解得s=8√ 3证明⑶在△abc中∠a、∠b、∠c对应边a、b、co为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长 有tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2=1rtana/2=tanb/2=tanc/2∴r∴s=√p证明：海伦公式：若δabc的三边长为a、b、c，则sδabc=√×××）/4/2啊，多此一举！)证明：设边c上的高为h,则有√＋√=c√=c－√两边平方，化简得：2c√=b_+c_-a_两边平方，化简得：h=√_/)sδabc=ch/2=c√_/)/2仔细化简一下，得：sδabc=√×××）/4用三角函数证明！ 证明：sδabc=absinc/2=ab√_)/2————∵cosc=/∴代入式，化简得：sδabc=√×××）/4初中数学几何定理1。同角的余角相等。2。对顶角相等。3。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。4。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。5。同位角相等，两直线平行。6。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。7。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。8。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。9。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。10。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。11。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。12。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。13。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。14。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。15。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。16。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。17。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。18．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。19。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。20。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。21。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。22。弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦