第一类曲线积分的计算

第一类曲线积分的计算

1、定义

定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i n

i 1s max T ，在i L 上任取一点(i ,

).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n

1

i i 0T

且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地

定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s ),,(f lim i i i n

1

i i 0T ，

(此处i s 为i L 的弧长,i n

i 1s max T , J 为一常数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2）

2、物理意义

（1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i

由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i

）

i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式

i n

1

i i )P (f

当对 的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量。 （2）空间曲线L 的重心坐标为

(,,)(,,)yz L

L

x x y z dl

M x M

x y z dl

,

(,,)(,,)zx

L

L

y x y z dl

M y M

x y z dl

,

(,,)(,,)xy L

L

z x y z dl

M z M

x y z dl

（3） 曲线L 的绕z 轴(x, y 轴)的转动惯量是

22()(,,)z L

J x y x y z dl

3、几何意义

1） 当被积函数为1时, 积分的值恰为曲线的长度。

（2） 当.ds )y ,x (f ,0)y ,x (f L 表示以L 为准线，以平行于z 轴的线为母线的曲柱面的面积。 4、 性质

第一型曲线积分具有下述一些重要性质:

（1）若 k ,,2,1i ds y ,x f L i 存在， k ,,2,1i c i 为常数，则

ds y ,x f c i L k 1i i 也存在，且 .ds y ,x f c ds y ,x f c L i k

1

i i i L k 1i i （2）若曲线段L 由曲线k 21L ,,L ,L 首尾相接而成，且

i (ds y ,x f i

L )k ,,2,1 都存在，则 ds y ,x f L 也存在，且 ds y ,x f ds y ,x f k

1

i L L I

。

（3）若 ds y ,x f L 与 ds y ,x g L 都存在，且在L 上 ,y ,x g y ,x f 则

ds y ,x g ds y ,x f L L 。

（4）若 ds y ,x f L 存在，则 .ds y ,x f L 也存在，且 ds y ,x f ds y ,x f L L 。 （5）若 ds y ,x f L 存在，L 的弧长为s ，则存在常数c,使得 ,cs ds y ,x f L

这里 y ,x f sup c y ,x f inf L

L

。

5、 第一型曲线积分的计算 定理1 设有光滑曲线 L ： ,,t ,

t y ,

t x

函数 y ,x f 为定义在L 上的连

续函数，则 .dt t t t ,t f ds y ,x f 2'2'L

（3） 定理2 当曲线L 由方程 b ,a x ,x y 给出，且 x 在 b ,a 上有连续导函数

时， dx x 1x ,x f ds y ,x f 2'b a

L (5) 定理3 当曲线L 由方程 d ,c y ,y x 给出，且 y 在 d ,c 上有连续导函数

时, L d c

2'.dy y 1y ,y f ds y ,x f (6) 定理4 设函数)y ,x (f 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为

0x x t y y t t t T z z t

则

,,,,T

l

t f x y z ds f x t y t z t

。

定理5 设函数)y ,x (f 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为

12(,,)0

(,,)0

x y z x y z

则可化为以x 为参数的参数方程。然后化为定理4的形式。

,,,,T

l

t f x y z ds f x y x z x

。

定理6 设函数)y ,x (f 在光滑曲线上有定义且连续，曲线的的方程为

12(,)

(,)z g x y z g x y

则在一定的条件下可化为以z 为参数的参数方程，再化为定理4的形式。