幂函数练习题及答案解析

幂函数练习题及答案解析

13

)n

，则n ＝________. 解析：∵－12<－13，且(－12)n >(－13

)n

，

∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或2

1．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4)

解析：选A.y ＝(x ＋4)2开口向上，关于x ＝－4对称，在(－∞，－4)递减．

2．幂函数的图象过点(2，1

4

)，则它的单调递

增区间是( )

A ．(0，＋∞)

B ．[0，＋∞)

C ．(－∞，0)

D ．(－∞，＋∞) 解析：选C.

幂函数为y ＝x －2

＝1

x

2，偶函数图象如图．

3．给出四个说法：

①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点；

②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；

③幂函数的图象不可能出现在第四象限；

④幂函数y＝x n在第一象限为减函数，则n ＜0.

其中正确的说法个数是()

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选B.显然①错误；②中如y＝x－1 2的

图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.

4．设α∈{－2，－1，－1

2，

1

3，

1

2，1,2,3}，

则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是()

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选A.∵f(x)＝xα为奇函数，

∴α＝－1，1

3，1,3.

又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.

5．使(3－2x－x2)－3

4

有意义的x的取值范围是()

A．R B．x≠1且x≠3

C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1

解析：选 C.(3－2x－x2)－3

4＝

1

4

(3－2x－x2)3

，

∴要使上式有意义，需3－2x－x2＞0，

解得－3＜x＜1.

6．函数f(x)＝(m2－m－1)x m2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝()

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：选A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m ＝2，再把m＝－1和m＝2分别代入m2－2m－3＜0，经检验得m＝2.

7．关于x的函数y＝(x－1)α(其中α的取值

范围可以是1,2,3，－1，1

2)的图象恒过点

________．

解析：当x－1＝1，即x＝2时，无论α取何值，均有1α＝1，

∴函数y＝(x－1)α恒过点(2,1)．

答案：(2,1)

8．已知 2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．

解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)为减函数．

答案：α＜0

9．把(23)－13，(35)12，(25)12，(76

)0

按从小到大的顺

序排列____________________．

解析：(76)0＝1，(23)－13＞(23

)0

＝1，

(35)12＜1，(25

)1

2＜1， ∵y ＝x 1

2

为增函数，

∴(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23

)－13. 答案：(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23

)－1

3

10．求函数y ＝(x －1)－

2

3的单调区间． 解：y ＝(x －1)－

2

3＝1(x －1)23＝

1

3(x －1)2

，定义域为x ≠1.令t ＝x －1，则y ＝t －

2

3，t ≠0为偶函数．

因为α＝－23

＜0，所以y ＝t －

23在(0，＋∞)上

单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又t ＝x －1

单调递增，故y ＝(x －1)－

2

3在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增．

11．已知(m ＋4)－

1

2＜(3－2m )－

1

2，求m 的取值范围．

解：∵y ＝x －

1

2的定义域为(0，＋∞)，且为减函数．

∴原不等式化为⎩⎪⎨⎪

⎧

m ＋4＞03－2m ＞0m ＋4＞3－2m ，

解得－13＜m ＜3

2

.

∴m 的取值范围是(－13，3

2)．

12．已知幂函数y ＝x m 2＋2m －3

(m ∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．

解：由幂函数的性质可知

m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1，

又∵m ∈Z ，∴m ＝－2，－1,0.

当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3

， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵－3＜0，

∴y ＝x －3

在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，

又∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，