“等时圆”模型 教师版
等时圆模型最精修订
等时圆模型最GROUP systen. ofHce roon.GEIGEIHUA^H-GEIHUA GEIHU/栏等时模型的规律及应用一.等时圆模型（如图所示） B B 1、小球从圆的J 贝瑞沿比消弦轨道靜山渭卜，滑到弦轨道与圆的交点的时间相 等。
（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（〃）自由落体 的时间，即山=禺=黒=2耳 （式中R 为圆的半径。
）三、等时性的证明 设某一条弦与水平方向的夹角为圆的直径为〃图）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运度为d = gsina,位移为s = 〃sina,所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
等时圆规 A A（如右动，加速四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1,通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上, 所以A正确。
例2：如图2,在斜坡上有一根旗杆长为L,现一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知0B二L。
求小环从A滑到B的时间。
【解析】：可以以0为圆心，以L为半径画一圆。
根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时等于从A点沿例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h, B点离地高度为H,现在要在地面上寻找一点P,使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求0、P两点之间的葩离OPo解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。
如图6所示，此时等时圆的半径为:所以OP = AR 2H(H+h)光滑），使 例4：如图7, AB 是一倾角为。
专题等时圆模型和动力学中的临界问题课件高一上学期物理人教版复习(1)
A
3mg
fm 2mg
BLeabharlann A B板能否动情况：（看板上下表面最大静摩擦力大小）
A
B
【问题】为使A与B保持相对静止一起向右加速运动，则力F的最大值为多少？
到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是（ D ）
A．t1=t2=t3 B．t3>t1>t2C．t1 ＜t2＜t3
D．t2>t1=t3
二、动力学中的临界问题 1、发生分离的临界条件——接触面间的弹力恰好为零（ FN＝0）。
1、接触面发生分离的临界条件——接触面间的弹力恰好为零。
【例1】 如图所示，细线的一端固定在倾角为 45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一 端拴一质量为m的小球(重力加速度为g)。
若由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将( D ) A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【练习】如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、
BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任
意一点，A、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，B点在y轴上且∠BMO＝
(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( B )
A.20 N B.15 N C.10 N D.5 N
A
B
【问题】为使A与B保持相对静止一起向右加速运动，则力F的最大值为多少？
“板能带动”的模型：随着F的逐渐增加一定是先一起加速，再出现相对滑动
BD
专题 等时圆模型(课件)-2022-2023学年高中物理课件(人教版2019必修第一册)
静止开始滑到下端所用时间相等,如图乙所示;
等时性的证明
设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α,圆的直径为d(如图丁)。质点沿光滑
弦做初速度为零的匀加速直线运动,加速度为a=g sin α,位移为s=d sin α,所以
2d sin α
2d
2s
运动时间为t0=
=
=
。
g sin α
g
a
丁
第四类：圆周内同底端的斜面(如图所示)
的圆心。已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道A
M、BM运动到M点;c球由C点自由下落到M点。则
A.a球最先到达M点
B.b球最先到达M点
C.c球最先到达M点
D.b球和c球都可能最先到达M点
( C )
审题关键 这里只有a球路径属于等时圆模型,b、c球如何跟等时圆模型建
立联系?
一样的小球同时从起点向下滑落，哪个小球先到终点。
1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解
决了这个问题，他还拿这个问题向其
他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱
布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利
等解决了这个问题。这条最速降线就
是一条摆线，也叫旋轮线。
伽利略于1630年提
出了这个问题，当
时他认为这条线应
该是一条圆弧，可
1 2
h
由L＝ at ，a＝gsin θ，L＝
2
sin θ
1
可得t＝
sin θ
2h
g，
可知倾角越小，时间越长，图1中t1＞t2＞t3。
第二类：同底斜面(如图2所示)
1 2
d
由L＝ at ，a＝gsin θ，L＝
2
cos θ
【课件】牛顿运动定律的综合应用(6)——斜面模型(等时圆)高一上学期物理人教版(2019)必修第一册
力F使其静止在斜面上，g取10m/s2.则F大小为（
）
A．30N
B．15N
C．50N
D．80N
（多选）倾角为30°的光滑斜面上放一质量为m的盒子A，A盒用轻质细绳跨过定滑轮与B盒相连，B盒
内放一质量的物体。如果把这个物体改放在A盒内，则B盒加速度恰好与原来等值反向，重力加速度为
木楔斜面上时，它正好匀速下滑。现用与木楔斜面成α角的力F拉木块，木块匀速上升。求：
（2）若取消对木楔的固定，且不考虑各接触面的摩擦力，将外力改为水平方向，如图2所示，在水平
外力F1作用下，木块与木楔相对静止一起做匀加速直线运动，θ（θ＜45°），并固定在在水平面上，当将一质量为m的木块放在
g，则B盒的质量mB和系统的加速度a的大小分别为（
）
A．mB=
4
3
B．mB=
8
C．a＝0.2g
D．a＝0.4g
如图所示，足够长的木板置于光滑水平面上，倾角= 53°的斜劈放在木板上，一平行于斜面的细绳一端系
在斜劈顶，另一端拴接一可视为质点的小球，已知木板、斜劈、小球质量均为1 kg，斜劈与木板之间的
动摩擦因数为μ，重力加速度g=10m/s2，现对木板施加一水平向右的拉力F，下列说法正确的是（
）
A．若μ=0.2，当F=4N时，木板相对斜劈向右滑动
B．若μ=0.5，不论F多大，小球均能和斜劈保持相对静止
C．若μ=0.8，当F=22.5N时，小球对斜劈的压力为0
D．若μ=0.8，当F=26 N时，细绳对小球的拉力为2 41N
OD滑到斜面上所用的时间依次为t1、t2、t3、t4。下列关系不正确的是（ ）
专题3：等时圆模型(课件)+-2023-2024学年高一物理同步讲练课堂(人教版2019必修第一册)
将不变。
07.
高中物理必修第一册课件
例题精选
【典例4】如图所示，OA、OB是竖直面内两根固定的光滑细杆，O、A、B位
于同一圆周上，OB为圆的直径。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画
出），两个滑环都从O点无初速释放，用t1、t2分别表B示滑环到达A、B所用
的时间，则
A．1 = 2
B．1 < 2
1
2
设圆周的直径为d，则滑环沿杆滑到D点的位移大小 = sin， = 2
解得 =
2
可见滑环滑到D点的时间t与杆的倾角无关，即三个滑环滑到D点所用的时
间相等。
【参考答案】A
03.
例题精选
高中物理必修第一册课件
【典例2】如图，四根光滑杆AB 、 BC 、 AD 、 DC被固定成一个平行四边形
【参考答案】C
下滑时间同为 =
4
05.
高中物理必修第一册课件
例题精选
【典例3】如图，两个半径不同的竖直圆环相切于O点，圆心1 、2 连线正好
沿竖直方向。现有长度可伸缩的光滑杆刚好过O点放置，调节杆的长度，两端
始终与环1 2 接触，上下两接触点分别记作a、b。一大小不计的光滑小圆环
（图中未画出）从a点由静止释放后沿杆下滑，当慢慢增大杆与竖直方向夹角θ
点竖直地固定一长10m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢
绳，且各穿有一钢环（视为质点），两环从A点由静止开始，同时分别沿两钢
绳滑到钢绳末端，如图所示，小环在钢绳上滑行的时间1 和2 分别为
A．2s和2s
B．1s和2s
C．2s和 2s
D．以上答案均不正确
12.
高考物理模型专练与解析模型06等时圆模型(教师版含解析)
06“等时圆”模型1．如图所示，在竖直平面内有半径为R 和2R 的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A ，B 和C 分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB，AC长为．现沿AB 和AC 建立两条光滑轨道，自A 处由静止释放小球，已知小球沿AB 轨道运动到B 点所用时间为t 1，沿AC 轨道运动到C 点所用时间为t 2，则t 1与t 2之比为()A．B ．1:2C．D ．1:3【答案】A 【详解】方法一：设AB 与竖直方向的夹角为θ，则：AB =2R cos θ，由牛顿第二定律得物体沿AB 下滑的加速度为：a =g cos θ，解得在AB上运动的时间为：1t同理设AB 与竖直方向的夹角为α，则：AC =4R cos α，由牛顿第二定律得物体沿AC 下滑的加速度为：a =g cos α，可知物体在AC上运动的时间为：2t．则12t t A 正确．方法二、令AC 和小圆的交点与D 点，物体沿AC 运动到D 的时间为1t ．则在小圆中物体沿AC 到D 点的时间和沿AB 到B点的时间相等，等于：1t 物体沿AC 运动到D 的时间为2t为：2t则12t t 【点睛】本题主要考查了牛顿第二定律以及运动学基本公式的直接应用，解题时要分析清楚小球的运动情况，并能结合几何关系求解．2．如图所示，一个物体由A 点出发分别沿三条光滑轨道到达C 1，C 2，C 3，则()A ．物体到达C 1点时的速度最大B ．物体分别在三条轨道上的运动时间相同C ．物体到达C 3的时间最短D ．在C 3上运动的加速度最大【答案】C 【详解】在沿斜面方向上，物体受重力沿斜面向下的分力，所以根据牛顿第二定律得，物体运动的加速度mgsin a gsin m斜面倾角越大，加速度越大，所以3C 上运动的加速度最大，根据几何知识可得：物体发生位移为hx sin，物体的初速度为零，所以212x at解得t倾角越大，时间越短，物体到达3C 的时间最短，根据22v ax 得，v 相等，故C 正确。
等时圆模型知识讲解
等时圆模型收集于网络，如有侵权请联系管理员删除等时圆模型一、 何谓“等时圆”例：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）A.t 1<t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3 C .t 3>t 1>t 2 D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos ①再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ② 设下滑时间为t ，则221at L =③ 由以上三式得，g Rt 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
关于它在解题中的应用，我们看下面的例子： 二、“等时圆”的应用1、可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定 答案：A例2：如图4，位于竖直平面内的固定图2图1xymg θ AB C D M 图4图3 A收集于网络，如有侵权请联系管理员删除光滑圆轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于点A ，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为600，C 是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与M 靠得很近的一点（DM 远小于CM ）。
第四章运动和力等时圆模型人教版(教材)高中物理必修第一册PPT
动力学 图像 问题
连接体 问题
动力学 临界 极值 问题
等时圆 模型
传送带 模型
板块 模型
【学习目标】
1、了解等时圆模型的建立过程，知道等时圆模型的基本规 律和使用条件。
2、学会自建等时圆，掌握等时圆模型在动力学中的妙用。 3、体会物理模型、物理思维方法在物理解题中的重要性。
基本规律
物体从同一竖直圆上各点沿不同的光滑弦由 静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。 物体从同一竖直圆上最高点沿不同的光滑弦 由静止下滑，到达圆周上各点的时间相等。
【例 2】
方法一：等时圆法 方法二：解析法
【解后反思】 不能直接观察出“等时圆” 时，需自建“等时圆”。作等 时圆的步骤是： （1） 设置顶点 （2） 过顶点作竖直线 （3） 找圆心 （4） 作等时圆
【练习2】
1.3古.表人明写文文中章女常子常热借情古、讽温今柔。的杜句牧子《：阿既房见宫复赋关》，：载“呜笑呼载!言灭。六国者六国也，非秦也；族秦者秦也，非天下也。”借秦灭亡的教训批评唐 敬4、宗烛广之建武宫的室闪。光处——“苟利国家生死以，岂因福祸趋避之。” 26、.作请者学提生出思自考己：的观点——“无所待”才是真正的逍遥的并列句了三类人的句子是：至人无己，神人无功，圣人无名。 B9.《材离料骚一》介中绍表了明共当享时单社车会产中生的的人背们景违及背其准使则用，方把法苟，合而取材悦料别三人和奉材为料信四条都的提两到句要：关注儿童骑行共享单车时所面临的安全问题。 194.写．女李子白为在人《妇蜀后道早难晚》辛一苦诗劳中动，的写句出子了是剑：阁三地岁势为险妇要，，靡易室守劳难矣攻；的夙特兴点夜的寐句，子靡是有“剑朝阁矣峥嵘而崔嵬，一夫当关，万夫莫开。” 1三8,.诗文歌中赏告析诉:我们别人的东西虽小也不能占有：苟非吾之所有，虽一毫而莫取。 21.4秦.《王离被骚逐》狼中狈表不明堪作，者荆保轲持行清刺白一为无正所道惧而。死，也是以古贤为榜样的两句(表明自己追慕古代圣贤，宁死不失正义) ：“伏清白以死直兮， 1固2前.本圣段之写所蒙厚嘉。在”秦王面前为荆轲见秦王铺平了道路，他先讲明燕王对秦国十分畏惧恭顺，再进一步讲明燕王如何诚心诚意侍奉秦国。 这2.易样水，送就别满，足有了力秦地王突的出骄了傲荆心轲理义，无同反时顾，的由刚于毅是性宠格臣和所英言雄，气也概增。加了对荆轲的信任感。 ②问郑：伯 诗是人如是何怎说样服想烛起之大武堰的河？的当？郑为伯什准么备艾使青烛说之“我武看见到秦了君雪时使，我却想遭起到了拒你绝”？：而“臣不之是壮看也到，春犹雨不，如听人到；秋今风老萧矣瑟，的无声能音为使也我已想。起”了鲜你明呢地？流 露A. 出由对政年府轻倡时导未的被共重享用单而车产出生行的模牢式骚有与效不缓满解。了而公郑共伯出则行表“最现后得一大公度里宽”的容问而题不，卑而不网亢络。技“吾术不的能强早大用是子促，进今其急发而展求的子重，要是原寡因人。之过也。然 郑明亡确， ：子人亦如有其不名利，焉佚。之狐”先身屈上尊的自狐责味，太动重之。以只情身；入后虎以狼国之家地大，义能警否之说，服晓秦之伯以谁理也。不于敢是打，保烛票之，武稍只有得不“许慎之，”惹。恼了秦伯，自己掉了脑袋 生不齐算答 ，：还《可白能蛇被传牢》牢。的钉在历史的耻辱柱上让后人指指点点。抬出烛之武，既能提高成功的几率，在成就烛之武的同时自己也落个“伯 【乐课”的堂美教名学。设所计以】说他是一条狡猾的狐狸！ 7第.既四在部广分阔（的从历“既史至背秦景”上到引“秦出王阿目房眩宫良的久修”）建廷，刺又秦起王到了笼盖全篇、暗示主题的作用的句子是：六王毕，四海一；蜀山兀，阿房出。 1【3教．学李难白点在】《蜀道难》一诗中指出逶迤千里的蜀道，还有更为奇险的风光。诗人先用“连峰去天不盈尺，枯松倒挂倚绝壁。”托出山势 的舞高幽险 壑，之然潜后蛟由，静泣而孤动舟，之嫠“飞妇湍。瀑流争喧豗，砯崖转石万壑雷”写出水石激荡、山谷空鸣的场景。
等时圆模型 高中物理课件3-9
第9节 等时圆模型
一、等时圆 1.等时圆点从竖直圆环上沿任一光滑弦上端由静止开始滑到环最低点所用时间均 相等，设圆环半径为 R，则滑动时间为 4R.
g (2)如图乙所示，质点从竖直圆环上最高点沿任一光滑弦由静止开始滑到圆环上所用时间均 相等，设圆环半径为 R，则滑动时间为 4gR.
第9节 等时圆模型
一、等时圆 【原型题 1】如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系 xOy，该平面内有 AM、BM、CM 三条光 滑固定轨道，其中 A、C 两点处于同一个圆的圆周上，C 是圆周上任意一点，A、M 分别为此圆 与 x、y 轴的切点；B 点在 y 轴上，O′为圆心.现将 a、b、c 三个小球分别从 A、B、C 点三点同时 由静止释放，它们将沿轨道运动到 M 点，所用时间分别为 tA、tB、tC，分析并比较 tA、tB、tC 大 小关系.
第9节 等时圆模型
一、等时圆
笔记
2.等时圆的总结 不同弦的交点必须是等时圆最高点或最低点，图丁中的虚线圆不是弦 Ob 与弦 Oa 的等时圆，
是弦 Oa 与 ad 的等时圆.
总结：等时圆模型的共性是运动的初速度为零且轨迹弦都有一个公共交点，该交点为圆的 最高点或最低点，而另一端在圆上，故任意路径与直径正好构成一个斜边相同的直角三角形， 也就是说等时圆的等时关系从本质上讲是直角三角形的关系，且斜边必须沿重力方向.
第9节 等时圆模型
二、等时三角形 【原型题 6】如图所示，△BCD 为直角三角形，BD 水平，质点从 CD 上任意一点沿直线滑到 B 点，不计阻力，现使质点分别从 a、b、c 点由静止开始下滑到 B，aB 与水平面的夹角为α，cB 与水平面的夹角为β，且α+β＝90°，bB 与水平面的夹角为 45°，所用时间分别为 ta、tb、tc，分析 比较 ta、tb、tc 的大小关系.
“等时圆”模型的基本规律及应用知识讲解
“等时圆”模型的基本规律及应用（此文章已发表于《考试》杂志）前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。
而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。
基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下： 一、何谓“等时圆”如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）A.t 1<t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3C.t 3>t 1>t 2D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos①图1x ymg θ再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ② 设下滑时间为t ，则221at L = ③由以上三式得，gR t 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
关于它在解题中的应用，我们看下面的例子： 二、“等时圆”的应用1、 可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在图2图3 A同一“等时圆”上，所以A 正确。
4-5-1专题一等时圆模型(课件)—高一上学期物理人教版必修第一册
1
等时圆两种类型的特点
证明: mgcosθ=ma； x=2Rcosθ； 由x=1/2at2得：
t 2x 4R ag
1.模型特点:
物体从静止开始，沿着竖直平面圆的竖直直径为公共斜边的光滑
轨道所用时间都相同，且都等于自由下落发生位移为直径的时间。
2.等时轨道结论：运动时间与斜面的倾角和长短无关。
8
屋檐倾角多大时，下雨天最不容易积水 ？
9
“类等时圆”
t1 t2
tEF tCD t AB
10
toa tad tob
7
类等时圆轨道时间和速度求值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【练习1】OB、OC、OD是竖直面内三根固定的光滑细
杆，每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个
滑环分别从a、b、c处由静止释放，用t1、t2、t3依次V1、
V2、V3表示各滑环到达O所用的时间和速度，则（ ）
A.t1<t2<t3 C.t1=t2=t3
3.等时轨道前提：❶V0=0 ❷无摩擦力 ❸有公共竖直直径为斜边
4.等时轨道运动时间表达式：t 2x 2d sin 2d
a
g sin
g
2
等时圆轨道1：有共同最高点
【练习1】ab、ac、ad是竖直面内三根固定的光滑细杆，
a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，c
点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画
B.v1<v2<v3 D.t1、t3 一定不相同
D
E.所有轨道中，和水平面夹角为450的 C
轨道运动时间最短
B
答案：【BD】
A
O
mgsinθ=ma；
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“等时圆”模型
=点或终点的各条光滑弦运动到另一端点具有等时性,运动时间与弦的倾角、“等时圆”模型
1．如图所示,位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M 点,与竖直墙相切于A 点。
竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°,C 是圆环轨道的圆心。
已知在同一时刻a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM 、BM 运动;c 球由C 点自由下落。
则( )
A ．a 球最先到达M 点
B ．b 球最先到达M 点
C ．c 球最先到达M 点
D ．b 球和c 球都可能最先到达M 点 解析 设圆轨道半径为R ,据“等时圆”理论,t a =
=2,t b >t a ,c 球做自由落体运t c =,C 项正确。
答案 C
2．(多选)如图所示，一物体从竖直平面内的圆环的最高点A 处由静止开始沿光滑弦轨道AB 下滑至B 点，那么( )
A ．只要知道弦长，就能求出运动时间
B ．只要知道圆半径，就能求出运动时间
C ．只要知道倾角θ，就能求出运动时间
D ．只要知道弦长和倾角，就能求出运动时间 解析 物体沿AB 弦轨道下滑，加速度为a ＝
mg cos θ
m
＝g cos θ，弦长l ＝2R ·
cos
θ，则t ＝2l a
＝
2·2R cos θg cos θ
＝2
R
g
．可见，物体沿任何一条弦轨道下滑所用时间均相等，且等于沿直径自由下落的时间．答案 BD 3．(多选)如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到
M 点；c 球由C 点自由下落到M 点．则( )
A ．a 球最先到达M 点
B ．b 球最先到达M 点
C ．c 球最先到达M 点
D ．c 、a 、b 三球依次先后到达M 点
解析 设圆轨道半径为R ，据“等时圆”模型结论有，t a ＝
4R
g
＝ 2
R
g
；B 点在圆外，t b >t a ，c 球做自由落体运动t c ＝
2R
g
；所以，有t c <t a <t b ．C 、D 正确．答案 CD
4．(单选)如图所示，AB 和CD 为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R 和r 的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P ．设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A 滑到B 和由C 滑到D ，所用的时间分别为t 1和t 2，则t 1与t 2之比为 ( )
A ．2∶1
B ．1∶1
C ．3∶1
D ．1∶ 3
解析 由“等时圆”模型结论有：t AP ＝t CP ＝ 2R
g ，t PB ＝t PD ＝2 r
g
，所以t 1＝t AP ＋t PB ，t 2＝t CP ＋t PD ，知t 1＝t 2，B 项正确．答案 B
5．(单选)如图4所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为 ( )
A ．α＝θ
B ．α＝θ2
C ．α＝θ
3
D ．α＝2θ
解析 如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且
与斜面相切于D 点．由等时圆知识可知，由A 沿斜面滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ
2
．答案 B
6．(单选)如图是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道
直线部分AE 滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图所示的示意图．AC 是滑道的竖直高度，D 点是AC 竖直线上的一点，且有AD ＝DE ＝10 m ，滑道AE 可视为光滑，滑行者从坡顶A 点由静止开始沿滑道AE 向下做直线滑动，g 取10 m/s 2
，则滑行者在滑道AE 上滑行的时间为( )
A ． 2 s
B ．2 s
C ． 3 s
D ．2 2 s
解析 A 、E 两点在以D 为圆心半径为R ＝10 m 的圆上，在AE 上的滑行时间与沿AD 所在的直径自由下落的时间相同，t ＝
4R
g
＝
4AD
g
＝2 s ，选B ． 答案 B
7．如图所示，圆弧AB 是半径为R 的1
4圆弧，在AB 上放置一光滑木板BD ，一质量
为m 的小物体在BD 板的D 端由静止下滑，然后冲向水平面BC ，在BC 上滑行
L 后停下．不计小物体在B 点的能量损失，已知小物体与水平面BC 间的动摩
擦因数为μ．求：小物体在BD 上下滑过程中，重力做功的平均功率． 解析 由动能定理可知小物体从D 到C 有W G －μmgL ＝0，所以W G ＝μmgL
由等时圆知识可知小物体从D 到B 的时间等于物体从圆周的最高点下落到B 点的时间，即为t ＝
4R
g
，所以小物体在
木板BD 上下滑过程中，重力做功的平均功率为P ＝W G t ＝μmgL 2g R ． 答案 μmgL
2g
R。