“等时圆”模型 教师版

“等时圆”模型

=点或终点的各条光滑弦运动到另一端点具有等时性,运动时间与弦的倾角、“等时圆”模型

1．如图所示,位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M 点,与竖直墙相切于A 点。竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°,C 是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM 、BM 运动;c 球由C 点自由下落。则( )

A ．a 球最先到达M 点

B ．b 球最先到达M 点

C ．c 球最先到达M 点

D ．b 球和c 球都可能最先到达M 点 解析 设圆轨道半径为R ,据“等时圆”理论,t a =

=2,t b >t a ,c 球做自由落体运t c =,C 项正确。答案 C

2．(多选)如图所示，一物体从竖直平面内的圆环的最高点A 处由静止开始沿光滑弦轨道AB 下滑至B 点，那么( )

A ．只要知道弦长，就能求出运动时间

B ．只要知道圆半径，就能求出运动时间

C ．只要知道倾角θ，就能求出运动时间

D ．只要知道弦长和倾角，就能求出运动时间 解析 物体沿AB 弦轨道下滑，加速度为a ＝

mg cos θ

m

＝g cos θ，弦长l ＝2R ·

cos

θ，则t ＝2l a

＝

2·2R cos θg cos θ

＝2

R

g

．可见，物体沿任何一条弦轨道下滑所用时间均相等，且等于沿直径自由下落的时间．答案 BD 3．(多选)如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到

M 点；c 球由C 点自由下落到M 点．则( )

A ．a 球最先到达M 点

B ．b 球最先到达M 点

C ．c 球最先到达M 点

D ．c 、a 、b 三球依次先后到达M 点

解析 设圆轨道半径为R ，据“等时圆”模型结论有，t a ＝

4R

g

＝ 2

R

g

；B 点在圆外，t b >t a ，c 球做自由落体运动t c ＝

2R

g

；所以，有t c

4．(单选)如图所示，AB 和CD 为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R 和r 的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P ．设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A 滑到B 和由C 滑到D ，所用的时间分别为t 1和t 2，则t 1与t 2之比为 ( )

A ．2∶1

B ．1∶1

C ．3∶1

D ．1∶ 3

解析 由“等时圆”模型结论有：t AP ＝t CP ＝ 2R

g ，t PB ＝t PD ＝2 r

g

，所以t 1＝t AP ＋t PB ，t 2＝t CP ＋t PD ，知t 1＝t 2，B 项正确．答案 B

5．(单选)如图4所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为 ( )

A ．α＝θ

B ．α＝θ2

C ．α＝θ

3

D ．α＝2θ

解析 如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且

与斜面相切于D 点．由等时圆知识可知，由A 沿斜面滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ

2

．答案 B

6．(单选)如图是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道

直线部分AE 滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图所示的示意图．AC 是滑道的竖直高度，D 点是AC 竖直线上的一点，且有AD ＝DE ＝10 m ，滑道AE 可视为光滑，滑行者从坡顶A 点由静止开始沿滑道AE 向下做直线滑动，g 取10 m/s 2

，则滑行者在滑道AE 上滑行的时间为( )

A ． 2 s

B ．2 s

C ． 3 s

D ．2 2 s

解析 A 、E 两点在以D 为圆心半径为R ＝10 m 的圆上，在AE 上的滑行时间与沿AD 所在的直径自由下落的时间相同，t ＝

4R

g

＝

4AD

g

＝2 s ，选B ． 答案 B

7．如图所示，圆弧AB 是半径为R 的1

4圆弧，在AB 上放置一光滑木板BD ，一质量

为m 的小物体在BD 板的D 端由静止下滑，然后冲向水平面BC ，在BC 上滑行

L 后停下．不计小物体在B 点的能量损失，已知小物体与水平面BC 间的动摩

擦因数为μ．求：小物体在BD 上下滑过程中，重力做功的平均功率． 解析 由动能定理可知小物体从D 到C 有W G －μmgL ＝0，所以W G ＝μmgL

由等时圆知识可知小物体从D 到B 的时间等于物体从圆周的最高点下落到B 点的时间，即为t ＝

4R

g

，所以小物体在

木板BD 上下滑过程中，重力做功的平均功率为P ＝W G t ＝μmgL 2g R ． 答案 μmgL

2g

R